第06讲 一元一次方程45道压轴题型专项训练（9大题型）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（浙教版2024）

第06讲 一元一次方程45道压轴题型专项训练（9大题型） 【题型目录】压轴题型一 一元一次方程解法拓展 压轴题型二 一元一次方程含参问题 压轴题型三 一元一次方程新定义问题 压轴题型四 一元一次方程应用之配套问题 压轴题型五 一元一次方程应用之销售盈亏问题 压轴题型六 一元一次方程应用之方案选择问题 压轴题型七 一元一次方程应用之几何问题 压轴题型八 一元一次方程应用之水电费问题 压轴题型九 一元一次方程应用与数轴动点综合 【压轴题型一 一元一次方程解法拓展】 1．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，则　　； (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值； (3)①已知关于x的一元一次方程的解是，请写出解是的关于y的一元一次方程：（只需要补充含有y的代数式）； ②若关于x的一元一次方程和互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解为 ． 2．若一个三位正整数t的前两位数字相同且各位数字均不为0，则称这个数为“前介数”；若把这个数的个位数字放到前两位数字组成的数的前面组成一个新的三位数，则称这个新的三位数为“后介数”；记一个“前介数”t与它的“后介数”的差为．例如，551前两位数字相同，所以551为“前介数”；则155就为它的“后介数”，． (1)______，______；（将解答过程写出） (2)对于任意一个“前介数”t，一定能被______整除；（将正确的答案序号写在横线上，将解答过程写出） ①2；②7；③9；④11； (3)已知一个“前介数”m的个位数字是1，且关于y的方程有整数解，求所有满足条件的m的值． 3．我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“天心方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“天心方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)一元一次方程_______（填“是”或“不是”） “天心方程”． (2)若关于的一元一次方程是“天心方程”，则_______． (3)若关于的一元一次方程是“天心方程”，且它的解为，求的值． (4)若关于的一元一次方程和关于的一元一次方程都是“天心方程”，求代数式的值． 4．已知代数式，其中为常数，当时，时，． (1)求的值； (2)关于的方程的解为，求的值． (3)当时，求式子的值． 5．我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： (1)下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的有 　 　． ①；②；③． (2)已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，求m的值； (3)若关于x的一元一次方程和都是“和解方程”，求代数式的值． 【压轴题型二 一元一次方程含参问题】 6．已知多项式，． (1)若代数式的值与x无关，求m，n的值． (2)在（1）的条件下，若关于x的方程有无数个解，求a，b的值． (3)在（2）的条件下，关于x的方程有无数个解，求c的值． 7．在关于x的一元一次方程中，m是正整数． (1)当时，求方程的解； (2)若方程有正整数解，求m的值． 8．已知：，． (1)若无论取任何数值，的值都是一个定值，求的值； (2)若关于的方程无解，有无数解，求的值． 9．阅读下列材料，并完成相应的任务． 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”． 例如：方程与方程为“美好方程”． (1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为7，其中一个解为，求的值． 10．定义：关于x的方程与方程（均为不等于0的常数）互为“反对方程”．例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若方程与方程互为“反对方程”，则________． (2)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，求的值． (3)若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，求k的值． 【压轴题型三 一元一次方程新定义问题】 11．定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”． (1)请通过计算判断关于的方程与关于的方程是不是“2差解方程”； (2)若关于的方程与关于的方程是“差解方程”，求的值； (3)关于x，y的两个方程与方程，若对于任何数，都使得它们不是“2差解方程”，求的值． 12．小美喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，她给出一个定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“小美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当，，所以为一元一次方程的“小美方程”． (1)已知关于的方程：是一元一次方程的“小美方程”吗？________（填“是”或“不是”）； (2)若关于的方程是关于的一元一次方程的“小美方程”，请求出的值； (3)若关于的方程是关于的一元一次方程的“小美方程”，求出的值． 13．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程，”求关于y的一元一次方程的解． 14．小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的所有解的其中一个解，且满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“友好方程” （1）已知关于的方程：①，②，哪个方程是一元一次方程的“友好方程”？请直接写出正确的序号是_________． （2）若关于的方程是关于的一元一次方程的“友好方程”，请求出的值． （3）如关于的方程是关于的一元一次方程的“友好方程”，请直接写出的值． 15．小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“十全十美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“十全十美方程”． (1)判断下列关于y的方程是否是一元一次方程的“十全十美方程”，在后面的横线上写“是”或“否”： ① ______，②  ______； (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请求出a的值； (3)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请直接写出的值． 【压轴题型四 一元一次方程应用之配套问题】 16．某家具厂的设计师根据的比例尺，并按斜二测画法在图纸上设计了一套柜子，柜子由一个框架、三个抽屉、两扇门组成．一个工人每天可以制作2个框架、或者制作3个抽屉、或者制作5扇门． (1)由刻度尺在图纸上测量可得，、、，所以这个柜子的表面积是______，体积是______． (2)工人有38名工人，如何分配工人的工作才能使每天恰好配套完成一定数量的柜子，并写出每天完成的柜子数量是多少只？ 17．某工厂接受了 20 天内生产1200 台GH 型电子产品的总任务。已知每台GH 型产品由 4 个G 型装 置和3 个 H 型装置配套组成。工厂现有80 名工人，每个工人每天能加工6 个G 型装置或3 个 H 型装置。工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的G 、H 型装置数量正好组成GH 型产品. （1）按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH 型电子产品？ （2）工厂补充 40名新工人，这些新工人只能独立进行G 型装置的加工，且每人每天只能加工 4个G型装置，则补充新工人后每天能配套生产多少产品？补充新工人后20天内能完成总任务吗？ 18．列一元一次方程解决实际问题：如图，李明计划安装由六块相同的长方形玻璃组成的窗户，该窗户一边长为6米，另一边长为a米，玻璃上方安装了两张半径为2米的相同的扇形遮光帘． (1)某厂家现有工人50人，平均每人每天可加工长方形玻璃8块或遮光帘4张，为使每天生产的玻璃数量是遮光帘数量的3倍，应安排生产长方形玻璃和遮光帘的工人各多少名？ (2)在同等质量的前提下，甲、乙两个厂家制作玻璃与遮光帘的收费方式如下： 遮光帘(元/平方米) 玻璃(元/平方米) 甲厂家 40 不超过10平方米的部分，90元/平方米； 超过10平方米的部分，78元/平方米 乙厂家 50 85元/平方米，且每购买1平方米的玻璃赠送平方米遮光帘 若李明选择甲、乙两个厂家所需费用相同，求a的值．（π取3） 19．在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板．为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得4张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示．（单位：） (1)每张原材料板材可以裁得A型纸板________张或裁得B型纸板________张； (2)现有130张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计）．问：怎样裁剪才能使剪出的A、B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？ 20．某工厂现需为C919客机模型制作一款定制礼盒，工作人员准备按照以下两种裁剪方式制作，已知一个长方形和2个圆形可以组装成一个礼盒，现有210张纸板，其中张纸板用图①的方式裁剪，剩余纸板用图②的方式裁剪． (1)若组装完后，裁出的圆形和长方形正好用完，则一共做了多少个礼盒？ (2)如果按照上面的方式，一共要做550个礼盒，则至少还需要增加多少张纸板？ 【压轴题型五 一元一次方程应用之销售盈亏问题】 21．制定销售单价，如表： 销售量 单价 不超过100件的部分 元/件 超过100件不超过300件的部分 元/件 超过300件的部分 2元/件 (1)若买100件花______元，买300件花______元； (2)小明买这种商品花了338元，列方程求购买这种商品多少件？ (3)若小明花了元，恰好购买件这种商品，求的值． 22．春节，即农历新年，是一年之岁首、传统意义上的年节．俗称新春、新年、新岁、岁旦、年禧、大年等，口头上又称度岁、庆岁、过年、过大年．春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某水果店现推出水果篮和坚果礼盒，每个水果篮的成本为元．每盒坚果礼盒的成本为元，每个水果篮的售价比每盒坚果的售价多元，售卖个水果篮获得的利润和售卖盒坚果礼盒获得的利润一样多． (1)求每个水果篮和每盒坚果礼盒的售价； (2)该水果店第一批购进了个水果篮和盒坚果礼盒，为回馈客户该水果店计划将每个水果篮打折出售，坚果礼盒原价出售，售完这批水果篮和坚果礼盒水果店共盈利元，按此计划每个水果篮应打几折出售？ (3)在年末时，该水果店购进水果篮个和坚果礼盒盒，进行“新春特惠”促销活动，水果店规定，每人每次最多购买水果篮1个或坚果礼盒1盒．水果篮每个售价打九折后再参与店内“每满元减元”的活动，坚果礼盒每盒直接参与店内“每满元减元”的活动；售卖结束时，坚果礼盒全部售卖完，售卖过程中由于部分水果变质导致水果篮有个没办法售出．若该水果店获得的利润率为，求的值． 23．平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价80元． (1)甲种商品每件售价为 元，每件乙种商品利润率为 ； (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲乙两种商品各多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款360元，第二天只购买甲种商品实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 24．贵阳市人民广场某超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：获利＝售价－进价） 甲 乙 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 29 40 （1）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ （2）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品．其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售．第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多180元，求第二次乙种商品是按原价打几折销售？ 25．某社区超市第一次总共用6000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，甲、乙两种商品的进价如表： 甲 乙 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 29 40 （1）求该超市第一次购进乙种商品的件数？ （2）甲乙两种商品的售价如上表，若将第一次所购商品全部卖完后，一共可获得多少利润？ （3）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原售价销售，乙商品在原售价上打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多720元，求第二次乙种商品是按原价打几折销售？ 【压轴题型六 一元一次方程应用之方案选择问题】 26．学校10月19日举办体育文化艺术节活动，准备单色圆珠笔、双色圆珠笔、三色圆珠笔三种圆珠笔共1000支作奖励（每种圆珠笔都要有），其中双色圆珠笔的单价比单色圆珠笔的单价贵0.2元，买5支双色圆珠笔和8支单色圆珠笔共需要6.2元． (1)双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？ (2)若某超市的三色圆珠笔根据球珠直径有两个级别，学校只能从中选择一个级别．价格如下表： 三色圆珠笔级别 球珠直径 球珠直径 单价 1元 1.5元 现在学校用880元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应该选样哪种级别的三色圆珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由． (3)若要求购买三色圆珠笔的数量是单色圆珠笔的一半，单色圆珠笔和双色圆珠笔单价不变，其中三色圆珠笔单价为a元，在总数量不变的前提之下，无论这三种圆珠笔的数量如何分配，总费用始终不变．求此时a的值和总费用． 27．根据以下素材，探索完成任务． 素材1： 某家具厂生产一种课桌和椅子，课桌每张定价200元，椅子每把定价80元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： 方案一：每买一张课桌就赠送一把椅子； 方案二：课桌和椅子都按定价的付款． 素材2： 学校计划添置 100张课桌和x把椅子． 问题解决 【任务1】(1)请用含x的代数式分别表示出两种方案的费用． 【任务2】(2)若，分别计算两种方案的费用． 【任务3】在(2)的条件下，如果两种方案可以同时使用，请帮助学校设计一种最省钱的方案． 28．曙光双语学校月日举办体育文化艺术节活动，准备单色圆珠笔，双色圆珠笔、三色圆珠笔三种圆珠笔共支作奖励（每种圆珠笔都要有），其中双色圆珠笔的单价比单色圆珠笔的单价贵元，买支双色圆珠笔和支单色圆珠笔共需要元． (1)问双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？ (2)若三色圆珠笔市场上根据球珠直径有三个级别，学校只能从中选择一个级别．价格如下表： 三色圆珠笔级别 球珠直径 球珠直径 球珠直径 单价 元 元 元 现在学校用元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应该选择哪种级别的三色圆珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由． (3)若要求购买三色圆珠笔的数量是单色圆珠笔的一半，单色圆珠笔和双色圆珠笔单价不变，其中三色圆珠笔单价为元，在总数量不变的前提之下，无论这三种圆珠笔的数量如何分配，总费用始终不变．求此时的值和总费用． 29．下表是中国电信两种“套餐”计费方式．（月基本费固定收，主叫不超过主叫时间，流量不超上网流量不再收费，主叫超时和上网超流量部分加收超时费和超流量费） 月基本费/元 主叫通话/分钟 上网流量 接听 主叫超时部分（元/分/钟） 超出流量部分/（元/） 方式一 免费 方式二 免费 (1)若某月小萱主叫通话时间为分钟，上网流量为，则她按方式一计费需________元，按方式二计费需________元；若她按方式二计费需元，主叫通话时间为分钟，则上网流量为________． (2)若上网流量为，是否存在某主叫通话时间（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)若上网流量为，直接写出当月主叫通话时间（分钟）满足什么条件时，选择方式一省钱；当每月主叫通话时间（分钟）满足什么条件时，选择方式二省钱． 30．甲、乙两家超市新年期间推出优惠活动，推出如表购物优惠方案： 甲超市 乙超市 消费金额（元） 优惠活动 消费金额（元） 优惠活动 0～100（包含100） 无优惠 0～200（包含200） 无优惠 100～350（包含350） 一律享受九折优惠 大于200 超过200元的部分享受八折优惠 大于350 一律享受八折优惠 (1)小王需要购买价格为240元的商品，去哪家店更划算？ (2)小李带了252元去购物、为了买到最多的商品，应选择哪家超市？最多能买到原价为多少元的商品？ (3)小刘在甲超市购物、两次购物分别付了80元和288元，如果小刘把这两次购物改为一次性购物，付款多少元？ 【压轴题型七 一元一次方程应用之几何问题】 31．如图，正方形的边在数轴上，数轴上点表示的数为，正方形的面积为16． (1)数轴上点B表示的数为________； (2)将正方形沿数轴水平移动，移动后的正方形记为，移动后的正方形与原正方形重叠部分的面积为S． ①当时，画出图形，并求出数轴上点表示的数； ②设正方形的移动速度为每秒2个单位长度，点为线段的中点，点在线段上，且．经过t秒后，点E，F所表示的数互为相反数，直接写出t的值． 32．如图，点，在数轴上分别位于原点的左右两边，点表示的数是，点表示的数是，且，满足．点、、是线段的四等分点，分别以线段、、为边向数轴的上方作正方形，正方形，正方形． (1)直接写出，的值： ， ； (2)如图1，若动点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设点的运动时间为，求线段时的值； (3)如图2，若动点从点出发以每秒4个单位长度的速度向数轴的正方向运动，当点到达点时立即以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，点到达点的同时动点从点出发以每秒2个单位长度的速度向数轴的负方向运动，当点首次到达点后立即以每秒3个单位长度的速度在点和点之间往返运动，过动点作直线垂直，在运动过程中，直线与线段的交点为．当点第二次到达点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为，直接写出线段时的值． 33．已知：中，，点P是的边上一动点，点P从点B开始沿着的边按路径顺时针运动，移动速度为每秒2个单位．如图1． (1)试求出P点第一次回到B点的运动时间： (2)如图2，若点Q是的边上一动点，P、Q两点分别从B、C同时出发，即当点P开始移动的时候，点Q从点C开始沿着边顺时针移动，移动的速度为每秒4个单位，试问：当t为何值时，在三角形同一边上，P、Q两点的路径距离第1次相差为3个单位? (3)若点P、点Q沿着的边顺时针运动不停止，在三角形同一边上，t为何值时，它们路径距离第2次、第3次……第n次相差为3个单位?（结果用n表示） 34．如图，面积为30的长方形的边在数轴上，O为原点，．线段从出发，以每秒1个单位的速度向右移动，与此同时线段从出发以每秒2个单位的速度向左移动．连接，新长方形与原长方形重叠部分的面积记为S，设运动时间为t． (1)当在O、A之间，用含t的代数式表示：______． (2)S恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数是多少？ (3)长方形与长方形未重叠部分的面积记为，请直接写出时，t的值． 35．如图，数轴上放置边长为2的正方形和边长为3的正方形．点表示的数为12，点位于原点处，点位于点处．正方形向右以1个单位/秒的速度运动，正方形以2个单位/秒的速度向左运动．相遇后正方形继续向右运动，正方形上的点A运动到点处后，正方形立即返回向右运动．设运动时间为（秒）． (1)两正方形第一次相遇（即点A，重合）时，______，此时点A所表示的数为______； (2)当正方形追上正方形（即点，第二次重合）时，求点表示的数； (3)在整个运动过程中，当两正方形重叠部分面积为1时，请直接写出点A表示的数． 【压轴题型八 一元一次方程应用之水电费问题】 36．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，下表是调控后的价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超过6吨的部分 2元/吨 超出6吨不超出10吨的部分 4元/吨 超出10吨的部分 8元/吨 注：水费按月结算． (1)若该户居民8月份用水8吨，则该用户8月应交水费________元；若该户居民9月份应交水费26元，则该用户9月份用水量为________吨； (2)若该户居民10月份应交水费30元，求该用户10月份用水量； (3)若该户居民11月份、12月份共用水18吨，共交水费52元，且11月份用水不超过8吨，求11月份、12月份各应交水费多少元？ 37．移动公司推出A、B两种话费与流量套餐，套餐详情如表． 月基本费/元 主叫限定时长（min） 主叫超时费（元/min） 被叫 免费数据流量（） 流量超额费（元/） 套餐A 79 200 免费 15 3 套餐B 99 300 免费 20 2 套餐补充说明：①月结话费月基本费主叫超时费流量超额费： ②流量超额后以为单位计费（例如：套餐A流量超额，需另付元）． (1)若贝贝的爸爸使用套餐A，10月主叫时长为300分钟，使用的流量为，求他的月结话费为多少？ (2)若贝贝的爸爸11月份主叫时长为350分钟，使用的流量为（），贝贝通过计算发现，按A、B两种套餐计费的月结话费刚好相同，求a的值： (3)若贝贝的爸爸12月份主叫时长不足200分钟，请你根据他流量使用情况计算说明选用哪种套餐更省钱． 38．小江同学注意到妈妈手机中的电费短信（如下左图），对其中的数据产生了浓厚的兴趣，谷度是什么意思?电费是如何计算的?第一档与第二档又有什么关系？ 表1：宁波市居民生活用电标准（部分修改） 电压等级 普通电价（元/度） 峰谷电价（元/度） 峰时电价 谷时电价 第一档 年用电量不超过度的部分 第二档 年用电量超过度但不超过度的部分 第三档 年用电量超过度的部分 【解读信息】 通过互联网查询后获得上表（如表1）．小江家采用峰谷电价计费，谷时用电量为度，那么峰时用电量就是度，由于小江家年用电量处在第一档，故9月份电费为： ． 第一档年用电量的上限为度，所以截至9月底小江家已经用电2760－581＝2179度．不难发现，第二档所有电价均比第一档提高0.05元/度，第三档所有电价均比第一档提高0.3元/度． 【理解信息】 (1)若采用普通电价计费，小江家九月份的电费为 元．（精确到） (2)若采用峰谷电价计费，假设某月谷时用电量与月用电量的比值为m，那么处在第一档的1度电的电费可以表示成 元．（用含有m的代数式表示） 【重构信息】 (3)月份，小江家谷时用电量与月用电量的比值为．请根据上述对话完成下列问题： ①通过计算判断：截至月底小江家的年用电量是否仍处于第一档？ ②月份谁家的用电量多，多了多少？ 39．为了加强居民的节水意识合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的．该市自来水收费价格见下表： 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 请根据上面的表格回答下列问题： (1)若某户居民一月份用水8立方米，则应向其收水费多少元？ (2)若该用户二月份用水12.5立方米，则应向其收水费多少元？ (3)若该用户三、四月份共用水15立方米（3月份用水量不超过6立方米），共交水费44元，则该用户三、四月份各用水多少立方米？ 40．近日，无锡市发展改革委印发《关于优化调整居民阶梯气价政策有关事项的通知》，从2022年1月1日起，增加一、二档用气量，“一户多人口”政策同步调整． 气量分档 用气量（立方米） 价格（元/立方米） 调整前 调整后 第一档 年用气量≤300 年用气量≤400 2.73 第二档 300＜年用气量≤600 400＜年用气量≤1000 3.28 第三档 年用气量＞600 年用气量＞1000 3.82 人口超过4人的家庭，每增加1人，一、二档上限增加80立方米、200立方米（原政策一、二档上限增加60立方米、120立方米）． (1)若小明家有5口人，年用气量1000立方米．则调整前气费为 元，调整后气费为 元； (2)小红家有4口人，若调整后比调整前气费节省109元，则小红家年用气量为多少立方米？ 【压轴题型九 一元一次方程应用与数轴动点综合】 41．如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为． 已知动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍．经过点C后立刻恢复初始速度． (1)动点P从点A运动至点C需要多少时间？ (2)动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）； (3)动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点P运动的时间． 42．已知数轴上点A表示的数为6，B 是数轴上在A 左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P 从点A 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B 表示的数是 ； 当点P运动到的中点时，它所表示的数是 ； (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点P，Q 同时出发．如果P，B，Q中有一个点是另外两点所构成线段的中点，就称P，B，Q为一组“平衡点”．求出点P运动多少秒时，点P，B，Q能构成一组“平衡点”？ (3)若点P出发2秒后点Q再从点B 出发，并以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动至点处加速，以每秒5个单位长度的速度继续向左运动．直接写出当t等于何值时，P，Q之间的距离为6？ 43．点，在数轴上分别表示有理数，且满足．现将数轴在点，处剪断，再用绳子将它们连接，就可得到如图所示的“拱形数轴”，其中点为绳子上一点且满足．在此数轴上，我们定义任意两点的距离为它们之间折线段的长度之和，如图1，，两点的距离为线段的长，记为，记，两点的距离为． (1)请直接写出________，________； (2)若，点在数轴上表示有理数6，一动点从点出发以每秒3个单位长度沿“拱形数轴”向正方向运动，同时，另一动点从点出发以每秒1个单位长度沿“拱形数轴”向负方向运动，两个点运动到点处均停止，设运动时间为秒，请问取何值时，使得？ (3)如图2，已知，动点从点出发以每秒2个单位长度沿着“拱形数轴”向正方向运动，同时点从点出发，以每秒1个单位长度沿着“拱形数轴”向负方向运动；两点相遇后，点速度立即变为原来的一半并沿着“拱形数轴”向负方向运动，同时点保持速度不变并沿着“拱形数轴”向正方向运动．设运动时间为秒，是否存在使得？如果存在，请直接写出的值，如果不存在，请说明理由． 44．如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”。图中点表示，点表示12，点表示20，我们称点和点在数轴上相距32个长度单位，记为．动点从点出发，以4单位/秒的速度沿着“折线数轴”正方向运动，从点运动到点期间，速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向运动，从点运动到点期间，速度变为原来的2倍，之后也立刻恢复原速．设运动时间为秒． (1)当时，，两点在数轴上相距多少个单位长度？ (2)当、两点相遇时，求运动时间的值． (3)若“折线数轴”上定点与，两点相距的长度相等，当为何值时，、与点相距的长度之和等于12？ 45．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 例如：从“形”的角度看：可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的距离；可以理解为数轴上表示3与的两点之间的距离． 从“数”的角度看：数轴上表示4和的两点之间的距离可用代数式表示为：． 根据以上阅读材料探索下列问题： (1)数轴上表示2和的两点之间的距离是__________， ； ；（直接写出最终结果） (2)等式几何意义 ，则x的值为 ； (3)若x为数轴上某动点表示的数，则式子有最小值吗？若有求出最小值，若没有，写出理由． (4)如图所示，点E，F，G是数轴上的三点，E点表示数是，F点表示数是，G点表示数是6，点E，F，G开始在数轴上运动，若点E以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点F和点G分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度向右运动，假设t秒后，点E与点F之间的距离表示为，点E与点G之间的距离表示为，点F与点G之间的距离表示为．时，若的值是一个定值，试确定m的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 一元一次方程45道压轴题型专项训练（9大题型） 【题型目录】 压轴题型一 一元一次方程解法拓展 压轴题型二 一元一次方程含参问题 压轴题型三 一元一次方程新定义问题 压轴题型四 一元一次方程应用之配套问题 压轴题型五 一元一次方程应用之销售盈亏问题 压轴题型六 一元一次方程应用之方案选择问题 压轴题型七 一元一次方程应用之几何问题 压轴题型八 一元一次方程应用之水电费问题 压轴题型九 一元一次方程应用与数轴动点综合 【压轴题型一 一元一次方程解法拓展】 1．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，则　　； (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值； (3)①已知关于x的一元一次方程的解是，请写出解是的关于y的一元一次方程：（只需要补充含有y的代数式）； ②若关于x的一元一次方程和互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】(1) (2)3或 (3)①，；② 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． （1）分别求得两个方程的解，利用“阳光方程”的定义列出关于m的方程解答即可； （2）利用“阳光方程”的定义得出两个“阳光方程”的解为由两个“阳光方程”的解的差为5列出关于k的方程解答即可； （3）①由题意可知的解是，结合，则即可求解； ②求得方程的解，利用“阳光方程”的定义得到方程的解，再将关于y的方程变形得，利用同解方程的定义即可得到，从而求得方程的解． 【详解】（1）解：关于x的一元一次方程的解为：, 方程的解为：， 关于x的一元一次方程与是“阳光方程”， 解得：； 故答案为：； （2）解： 互为“阳光方程”的一个解为，则另一个解为， 又这两个“阳光方程”的解的差为5 则或， 解得或． 故k的值为3或； （3）解：①关于x的一元一次方程的解是， 即的解是， 关于y的一元一次方程：的解是， 则的解是， 即的解是， 故答案为：，； ②∵关于x的一元一次方程的解为， 又∵关于x一元一次方程和互为“阳光方程”， 方程的解为：， 把关于y的一元一次方程， 整理得： ， 解得：， 关于y的一元一次方程的解为： 故答案为： 2．若一个三位正整数t的前两位数字相同且各位数字均不为0，则称这个数为“前介数”；若把这个数的个位数字放到前两位数字组成的数的前面组成一个新的三位数，则称这个新的三位数为“后介数”；记一个“前介数”t与它的“后介数”的差为．例如，551前两位数字相同，所以551为“前介数”；则155就为它的“后介数”，． (1)______，______；（将解答过程写出） (2)对于任意一个“前介数”t，一定能被______整除；（将正确的答案序号写在横线上，将解答过程写出） ①2；②7；③9；④11； (3)已知一个“前介数”m的个位数字是1，且关于y的方程有整数解，求所有满足条件的m的值． 【答案】(1)； (2)③④ (3)，331，441，771 【分析】（1）根据题干给出的定义进行求解即可； （2）设“前介数”为，根据定义得到，说明一定能被9或11整除； （3）设“前介数”为，根据题意求出，解关于y的方程，得出，根据关于y的方程有整数解，得出，，4，7，最后写出m的值即可． 【详解】（1）解：， ； 故答案为：；． （2）解：设“前介数”为且， ∴， 对应的“后介数”是， ∴ ， ∵a、b均不为0的整数， ∴，为整数， ∴一定能被9整除或被11整除； 故答案为：③④． （3）解：设“前介数”为，a为不为0的整数，， 则m对应的“后介数”是， ∴ ， ∴关于y的方程可以变为： ， 整理得：， 解得：， ∵关于y的方程有整数解， ∴，，4，7， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知，，331，441，771． 【点睛】本题考查用新定义解题，整式加减的应用，解方程，有理数四则混合运算，根据新定义，表示出“前介数”，与其对应的“后介数”是求解本题的关键． 3．我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“天心方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“天心方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)一元一次方程_______（填“是”或“不是”） “天心方程”． (2)若关于的一元一次方程是“天心方程”，则_______． (3)若关于的一元一次方程是“天心方程”，且它的解为，求的值． (4)若关于的一元一次方程和关于的一元一次方程都是“天心方程”，求代数式的值． 【答案】(1)不是 (2) (3)， (4) 【分析】（1）解得，由“天心方程”的定义得，即可求解； （2）解得，由“天心方程”的定义得，即可求解； （3）解得：，由“天心方程”的定义得及方程的解为得和，解方程组，即可求解； （4）由“天心方程”得，，从而可得， ，，将此代入代数式得化简即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ， 不是天心方程， 故答案：不是； （2）解：由解得， 一元一次方程是“天心方程”， ， 解得：， 故答案：； （3）解：由解得： ， 方程的解为， ①， 一元一次方程是“天心方程”， ②， 联立①②，解得， 故，； （4）解：一元一次方程是“天心方程”， ， ①， 关于的一元一次方程是“天心方程”， ， ， ②， 由①②得：③， ④， ⑤， 将③④⑤代入代数式得： 原式 ． 【点睛】本题考查了新定义，方程的解，求代数式的值，解含参数的一元一次方程，理解新定义，能用整体代换的思想求解是解题的关键． 4．已知代数式，其中为常数，当时，时，． (1)求的值； (2)关于的方程的解为，求的值． (3)当时，求式子的值． 【答案】(1)1 (2) (3)3 【分析】（1）将时，代入代数式A，然后再化简即可解答； （2）将代入方程得到：，再将时代入代数式B得到：，然后将上面两个等式通过整理变形即可求出k值； （3）先分别求出A、B、E，再代入所求的代数式计算即可． 【详解】（1）解：将时，代入代数式A，可得：，即． （2）解：由题意可知：当时， ， 整理得①， 将时代入代数式B得到：， 整理得：②， 将②式代入①中可得：， 整理得，解得：． （3）解：∵，， ∴，整理得：， ∵， ∴ ∴当时，， ，， ∴． 【点睛】本题主要考查了整式的加减涉及到一元一次方程的解等知识点，掌握整体思想成为解答本题的关键． 5．我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： (1)下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的有 　 　． ①；②；③． (2)已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，求m的值； (3)若关于x的一元一次方程和都是“和解方程”，求代数式的值． 【答案】(1)② (2) (3)32 【分析】（1）求出方程的解，再根据和解方程的意义得出即可； （2）先解方程得出方程的解，再根据和解方程的含义建立方程即可求得答案； （3）根据和解方程得出方程的解与，再整体代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：①＝的解是， ∵， ∴①不是“和解方程”； ②的解是， ∵， ∴②是“和解方程”； ③的解是， ∵， ∴③不是“和解方程”； 故答案为：②． （2）∵， ∴， ∴， ∵即是“和解方程”， ∴， ∴； （3）∵， ∴， 而是“和解方程”， ∴， ∴，（①式） ∵， ∴， 而是“和解方程”， ∴， ∴，（②式）， 由①-②得：， ∴ ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解的应用，新定义运算，求解代数式的值，正确理解新定义再建立新的方程求解是解题的关键． 【压轴题型二 一元一次方程含参问题】 6．已知多项式，． (1)若代数式的值与x无关，求m，n的值． (2)在（1）的条件下，若关于x的方程有无数个解，求a，b的值． (3)在（2）的条件下，关于x的方程有无数个解，求c的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，解一元一次方程： （1）根据正数的加减计算法则求出的结果，根据代数式的值与x无关，可得的结果中含x的项的系数都为0，据此求解即可； （2）根据（1）所求得到，则关于x的方程有无数个解，即关于x的方程有无数个解，据此可得，可得； （3）根据（2）所求得到关于x的方程有无数个解，讨论x的取值范围去绝对值，根据方程有无数解进行求解即可． 【详解】（1）解；∵，， ∴ ， ∵代数式的值与x无关， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵关于x的方程有无数个解， ∴关于x的方程有无数个解， ∴关于x的方程有无数个解， ∴， ∴； （3）解：∵关于x的方程有无数个解， ∴关于x的方程有无数个解， 当时，则，解得，即当时，对于任意的x只要满足，都满足，即此时方程有无数解； 当时，则，解得，此时方程只有一个解，不符合题意； 当时，则，解得，即当时，对于任意的x只要满足，都满足，即此时方程有无数解； 综上所述，． 7．在关于x的一元一次方程中，m是正整数． (1)当时，求方程的解； (2)若方程有正整数解，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握解一元一次方程步骤是解题关键． （1）把代入原方程，根据解一元一次方程步骤求出x； （2）先求出方程的解，再根据然后根据x是正整数，m是正整数，求出m. 【详解】（1）解：当时，原方程为， 解得； （2）解：解方程， 得， 方程有正整数解，是正整数， ． 8．已知：，． (1)若无论取任何数值，的值都是一个定值，求的值； (2)若关于的方程无解，有无数解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减中的无关题型、一元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）把结果化简后，根据值为定值，确定出的值即可； （2）由方程有解和无解的条件得出的值，代入进行计算即可． 【详解】（1）解： ； ， ∵无论取任何数值，它的值是一个定值， ，即； （2）解：∵关于的方程无解，有无数解， ∴， ∴， ∴． 9．阅读下列材料，并完成相应的任务． 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”． 例如：方程与方程为“美好方程”． (1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为7，其中一个解为，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题为新定义问题，考查了一元一次方程的解的定义，解一元一次方程等知识，理解新定义“美好方程”是解题关键． （1）先解方程解方程得，根据“美好方程”的定义得到，代入方程即可求解； （2）根据“美好方程”的定义得到另一个方程的解为，根据“美好方程”的两个解的差为7得到或，即可求解． 【详解】（1）解：解方程得， 因为关于的方程与方程是“美好方程”， 所以， 所以， 把代入方程得， 所以； （2）解：因为“美好方程”的两个解的和为1， 所以另一个方程的解为， 因为“美好方程”的两个解的差为7， 所以或， 所以或． 10．定义：关于x的方程与方程（均为不等于0的常数）互为“反对方程”．例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若方程与方程互为“反对方程”，则________． (2)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，求的值． (3)若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，求k的值． 【答案】(1) (2)，； (3)或1 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解“反对方程”的定义是解题关键． （1）根据“反对方程”的定义，即可得出答案； （2）根据“反对方程”的定义，得到，，即可求出的值； （3）先根据“反对方程”的定义，得到方程的“反对方程”，再求出链各个方程的解，再根据解都是整数，得到或，即可求出的值． 【详解】（1）解：方程与方程互为“反对方程”， ， 故答案为：； （2）解：方程与方程互为“反对方程”， ，， ，； （3）解：方程的“反对方程”为， 方程的解为， 方程的解为， 两个方程的解都是整数， 或， 当，解得：， 当，解得：， 综上可知，的值为或1． 【压轴题型三 一元一次方程新定义问题】 11．定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”． (1)请通过计算判断关于的方程与关于的方程是不是“2差解方程”； (2)若关于的方程与关于的方程是“差解方程”，求的值； (3)关于x，y的两个方程与方程，若对于任何数，都使得它们不是“2差解方程”，求的值． 【答案】(1)是，过程见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）根据“m差解方程”的定义解答即可； （2）根据定义列出方程关于m，n的方程，再去掉绝对值，并求解； （3）根据定义列出方程，并根据m的系数为0时，符合题意，求出解． 【详解】（1）方程的解是； 方程的解是． 根据题意可得， 所以这两个方程是“2差解方程”； （2）方程的解是； 方程的解是． 根据题意可得， 整理，得， 由m为正数， 得或， 解得或； （3）方程的解是； 方程的解是． 根据题意可得， 即， 当时，即，对于任何数m，得，它们不是“2差解方程”． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解含字母系数的方程等，理解新定义是解题的关键． 12．小美喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，她给出一个定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“小美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当，，所以为一元一次方程的“小美方程”． (1)已知关于的方程：是一元一次方程的“小美方程”吗？________（填“是”或“不是”）； (2)若关于的方程是关于的一元一次方程的“小美方程”，请求出的值； (3)若关于的方程是关于的一元一次方程的“小美方程”，求出的值． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】（1）先化简绝对值得到，再解求出，最后计算作答即可； （2）先分别解方程求出，，再根据“小美方程”的定义计算即可； （3）先根据题意得到，再由得到，解得，将代入整理得到，最后计算即可． 【详解】（1）由得，； 解得：， 而， 所以是一元一次方程的“小美方程”， 故答案为：是； （2）解：∵ 解得：； 对于，解得； 由题意，当时，，解得：； （3）解：由题意，，即 由得：， 所以， 则， 把上式代入中，整理得：， 即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了新定义，一元一次方程的解法，正确理解“小美方程”是解题的关键． 13．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程，”求关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1)9 (2) 或 (3)2022 【分析】（1）先表示两个方程的解，再求解； （2）根据条件建立关于n的方程，再求解； （3）由关于x的一元一次方程和是“美好方程”，可求出的解为x=-2023，再将变形为，则y+1=x=2023，从而求解． 【详解】（1）解：∵3x+m=0 ∴x ∵ ∴x=4 ∵关于x的方程与方程是“美好方程” ∴ ∴m=9． （2）解：∵“美好方程”的两个解和为1 ∴另一个方程的解是1-n ∵两个解的差是8 ∴1-n-n=8或n-（1-n）=8 ∴ 或 ． （3）解：∵ ∴x=-2022 ∵关于x的一元一次方程和是“美好方程” ∴关于x的一元一次方程的解为： x=1-（-2022）=2023 ∴关于y的一元一次方程可化为 ∴y+1=x=2023 ∴y=2022． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． 14．小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的所有解的其中一个解，且满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“友好方程” （1）已知关于的方程：①，②，哪个方程是一元一次方程的“友好方程”？请直接写出正确的序号是_________． （2）若关于的方程是关于的一元一次方程的“友好方程”，请求出的值． （3）如关于的方程是关于的一元一次方程的“友好方程”，请直接写出的值． 【答案】（1）②；（2）95或97；（3）16 【分析】（1）先求出一元一次方程的解，再解方程和，根据“友好方程”的定义去判断； （2）解出方程的解，一元一次方程的解是，分类讨论，令，求出a的值； （3）一元一次方程解得，由得，把它代入关于y的方程即可求出结果． 【详解】解：（1）一元一次方程的解是， 方程的解是，，故不是“友好方程”， 方程的解是或，当时，，故是“友好方程”， 故答案是：②； （2）方程的解是或， 一元一次方程的解是， 若，，则，解得， 若，，则，解得， 综上，a的值是95或97； （3），解得， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∵分母m不能为0， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查解一元一次方程，解题的关键是理解题目中定义的“友好方程”，通过解一元一次方程的方法求解． 15．小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“十全十美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“十全十美方程”． (1)判断下列关于y的方程是否是一元一次方程的“十全十美方程”，在后面的横线上写“是”或“否”： ① ______，②  ______； (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请求出a的值； (3)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请直接写出的值． 【答案】(1)①否；②是 (2)3或9 (3)或 【分析】本题考查了新定义方程，解方程，熟练掌握定义，正确解方程是解题的关键． （1）根据新定义的要求，解方程验证即可． （2）先求出的解，再根据新定义的内容求出的根，再代入这个根求出a即可． （3）先求出的解，再根据新定义的内容求出的根，再代入这个根求出，继而得解． 【详解】（1）解：（1）①否；②是，理由如下： 的解为； ①方程的解是，，故不是“十全十美方程”； ②方程的解是或，当时，，是“十全十美方程”． 故答案为：①否；②是； （2）方程的解是或， 一元一次方程的解是，即， 若，，则，解得：； 若，，则，解得：； ∴a的值为3或9． （3）的值为或．理由如下： 由， 解得：， ∵， ∴， 即的解是：， ∴， 整理得：， ∵分母m不能为0， ∴， ∴， ①当时，， ∴，； ②当时，， ∴，； ∴的值为或． 【压轴题型四 一元一次方程应用之配套问题】 16．某家具厂的设计师根据的比例尺，并按斜二测画法在图纸上设计了一套柜子，柜子由一个框架、三个抽屉、两扇门组成．一个工人每天可以制作2个框架、或者制作3个抽屉、或者制作5扇门． (1)由刻度尺在图纸上测量可得，、、，所以这个柜子的表面积是______，体积是______． (2)工人有38名工人，如何分配工人的工作才能使每天恰好配套完成一定数量的柜子，并写出每天完成的柜子数量是多少只？ 【答案】(1)78，36 (2)10人做框架，20个做抽屉，8人做门，使每天恰好配套完成20个柜子 【分析】（1）由长方体的表面积和体积公式求柜子的表面积和体积． （2）通过设x个工人做框架，表示出框架数，再通过“恰好配套”得到抽屉数和门数，进而得到做抽屉和做门的工人数分别是、，最后通过工人总数是38人列方程求解即可． 【详解】（1）解：因为比例尺是， 所以柜子实际长宽高为，，， 表面积：， 体积：． （2）解：设x个工人做框架，则框架一共2x个，柜子一共2x个，抽屉6x个，门4x个， 做抽屉的工人个， 做门的工人个， 根据工人数量列等式关系：， 解得：， ， 答：10人做框架，20个做抽屉，8人做门，使每天恰好配套完成20个柜子 【点睛】本题考查了长方体的表面积和体积公式、一元一次方程的实际应用，准确应用公式是第一问的解题关键，找准数量关系和等量关系是第二问的解题关键． 17．某工厂接受了 20 天内生产1200 台GH 型电子产品的总任务。已知每台GH 型产品由 4 个G 型装 置和3 个 H 型装置配套组成。工厂现有80 名工人，每个工人每天能加工6 个G 型装置或3 个 H 型装置。工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的G 、H 型装置数量正好组成GH 型产品. （1）按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH 型电子产品？ （2）工厂补充 40名新工人，这些新工人只能独立进行G 型装置的加工，且每人每天只能加工 4个G型装置，则补充新工人后每天能配套生产多少产品？补充新工人后20天内能完成总任务吗？ 【答案】（1）48；（2）64，能． 【分析】（1）设安排x名工人生产G型装置，则安排（80﹣x）名工人生产H型装置，根据“生产的装置总数=每人每天生产的数量×人数”结合每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成，即可得出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入中即可求出结论； （2）设安排y名工人生产H型装置，则安排（80﹣y）名工人及40名新工人生产G型装置，同（1）可得出关于y的一元一次方程，解之可得出y的值，再将其代入中即可求出补充新工人后每天能配套生产的套数，进而求出20天生产的总数，与1200比较即可得出结论． 【详解】（1）设安排x名工人生产G型装置，则安排（80﹣x）名工人生产H型装置， 根据题意得：， 解得：x=32，∴48． 答：按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成48套GH型电子产品． （2）设安排y名工人生产H型装置，则安排（80﹣y）名工人及40名新工人生产G型装置， 根据题意得：， 解得：y=64，∴y=64． ∵64×20=1280＞1200，∴补充新工人后20天内能完成总任务． 答：补充新工人后每天能配套生产4套产品，补充新工人后20天内能完成总任务． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 18．列一元一次方程解决实际问题：如图，李明计划安装由六块相同的长方形玻璃组成的窗户，该窗户一边长为6米，另一边长为a米，玻璃上方安装了两张半径为2米的相同的扇形遮光帘． (1)某厂家现有工人50人，平均每人每天可加工长方形玻璃8块或遮光帘4张，为使每天生产的玻璃数量是遮光帘数量的3倍，应安排生产长方形玻璃和遮光帘的工人各多少名？ (2)在同等质量的前提下，甲、乙两个厂家制作玻璃与遮光帘的收费方式如下： 遮光帘(元/平方米) 玻璃(元/平方米) 甲厂家 40 不超过10平方米的部分，90元/平方米； 超过10平方米的部分，78元/平方米 乙厂家 50 85元/平方米，且每购买1平方米的玻璃赠送平方米遮光帘 若李明选择甲、乙两个厂家所需费用相同，求a的值．（π取3） 【答案】(1)应安排30名工人生产长方形玻璃，安排20名工人生产遮光帘 (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用： （1）设应安排x名工人生产长方形玻璃，则安排名工人生产遮光帘，根据每天生产的玻璃数量是遮光帘数量的3倍列出方程求解即可； （2）先分别求出窗户的总面积和遮光帘的面积，再分别用含a的式子表示出甲、乙两个厂家所给方案的费用，再根据选择甲、乙两个厂家所需费用相同列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设应安排x名工人生产长方形玻璃，则安排名工人生产遮光帘， 由题意得，， 解得， ∴， 答：应安排30名工人生产长方形玻璃，安排20名工人生产遮光帘； （2）解：由题知，窗户的总面积为平方米，遮光帘的面积为（平方米）， ∴该窗户的透光面积共平方米． ∵． ∴， ∴窗户玻璃的面积超过平方米． 甲商家所需的费用为：， ∵，， ∴赠送的遮光帘面积小于实际需要的遮光帘面积． 乙商家所需的费用为：， ∵李明选择甲、乙两个厂家所需费用相同， ∴， 解得：． 故的值为． 19．在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板．为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得4张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示．（单位：） (1)每张原材料板材可以裁得A型纸板________张或裁得B型纸板________张； (2)现有130张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计）．问：怎样裁剪才能使剪出的A、B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？ 【答案】(1)12；20 (2)100张裁剪A型， 30张裁剪B型；300个 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用： （1）根据每张原材料板材先裁得4张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，列出算式计算即可； （2）设用x张原材料板材裁剪A型纸板，根据1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：12，20； （2）设用x张原材料板材裁剪A型纸板，则用张原材料板材裁剪B型纸板， 根据题意得：， 解得， ∴， 答：用100张原材料板材裁剪A型纸板，用30张原材料板材裁剪B型纸板，能做300个纸盒． 20．某工厂现需为C919客机模型制作一款定制礼盒，工作人员准备按照以下两种裁剪方式制作，已知一个长方形和2个圆形可以组装成一个礼盒，现有210张纸板，其中张纸板用图①的方式裁剪，剩余纸板用图②的方式裁剪． (1)若组装完后，裁出的圆形和长方形正好用完，则一共做了多少个礼盒？ (2)如果按照上面的方式，一共要做550个礼盒，则至少还需要增加多少张纸板？ 【答案】(1)450个 (2)47张 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系建立方程是解本题的关键． （1）由长方形的数量是礼盒的数量，再建立方程，再解方程即可； （2）先计算得到还需要裁出200个圆形和100个长方形，再结合图①与图②的裁剪方式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 即， 解得． 共有90张纸板用图①方式裁剪，共裁出900个圆形． 每个礼盒需要2个圆形， 共做了450个礼盒． （2）一共要做550个礼盒，由（1）知还需要制作（个）礼盒， 则还需要裁出200个圆形和100个长方形， 用题图①的方式裁剪所需要的纸板数量为（张）． 使用的纸板数量要最少， 剩余长方形均用题图②的方式裁剪，需要的纸板数量为（张）． 至少还需纸板（张）． 答：至少还需要增加47张纸板． 【压轴题型五 一元一次方程应用之销售盈亏问题】 21．制定销售单价，如表： 销售量 单价 不超过100件的部分 元/件 超过100件不超过300件的部分 元/件 超过300件的部分 2元/件 (1)若买100件花______元，买300件花______元； (2)小明买这种商品花了338元，列方程求购买这种商品多少件？ (3)若小明花了元，恰好购买件这种商品，求的值． 【答案】(1) (2)购买这种商品件 (3) 【分析】（1）根据总价等于单价乘以数量，列式计算即可； （2）设购买这种商品件，根据题意，列出方程，进行计算即可； （3）分，，，三种情况，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得： 买100件花：元，买300件花：元； 故答案为：； （2）解：设：设购买这种商品件， 由（1）知：买100件花元，买300件花元， ∵， ∴， 由题意，得：， 解得：； 答：购买这种商品件． （3）解：当时，由题意，得：，此种情况不存在； 当时，由题意，得：， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，由题意，得：， 解得：； 综上，． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用．解题的关键是根据题意，正确的列出方程． 22．春节，即农历新年，是一年之岁首、传统意义上的年节．俗称新春、新年、新岁、岁旦、年禧、大年等，口头上又称度岁、庆岁、过年、过大年．春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某水果店现推出水果篮和坚果礼盒，每个水果篮的成本为元．每盒坚果礼盒的成本为元，每个水果篮的售价比每盒坚果的售价多元，售卖个水果篮获得的利润和售卖盒坚果礼盒获得的利润一样多． (1)求每个水果篮和每盒坚果礼盒的售价； (2)该水果店第一批购进了个水果篮和盒坚果礼盒，为回馈客户该水果店计划将每个水果篮打折出售，坚果礼盒原价出售，售完这批水果篮和坚果礼盒水果店共盈利元，按此计划每个水果篮应打几折出售？ (3)在年末时，该水果店购进水果篮个和坚果礼盒盒，进行“新春特惠”促销活动，水果店规定，每人每次最多购买水果篮1个或坚果礼盒1盒．水果篮每个售价打九折后再参与店内“每满元减元”的活动，坚果礼盒每盒直接参与店内“每满元减元”的活动；售卖结束时，坚果礼盒全部售卖完，售卖过程中由于部分水果变质导致水果篮有个没办法售出．若该水果店获得的利润率为，求的值． 【答案】(1)每个水果篮售价元，坚果礼盒售价元 (2)计划每个水果篮应打折出售 (3)的值为 【分析】（1）设买水果篮售价元，坚果礼盒售价元，根据等量关系：售卖1个水果篮获得的利润和售卖2盒坚果礼盒获得的利润一样多，即可列出方程，解方程即可； （2）设计划每个水果篮应打折出售，列出方程，即可得出答案； （3）根据方案，得出实际水果篮售价元，坚果礼盒售价元，再根据该水果店获得的利润率为40%，列出方程即可得出答案． 【详解】（1）解：设买水果篮售价元，坚果礼盒售价元，依题意得： ， 解得：． ∴． 答：每个水果篮售价元，坚果礼盒售价元． （2）设计划每个水果篮应打折出售，依题意得： ， 解得：， 答：计划每个水果篮应打折出售． （3）∵， ∴实际水果篮售价元，坚果礼盒售价元， ∴， ∴． 答：的值为． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意、找到等量关系并正确列出方程是关键． 23．平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价80元． (1)甲种商品每件售价为 元，每件乙种商品利润率为 ； (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲乙两种商品各多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款360元，第二天只购买甲种商品实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 【答案】(1)60， (2)购进甲商品40件，乙商品10件 (3)13或14件 【分析】（1）根据题意直接列式计算即可； （2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，然后根据题意列一元一次方程求解即可； （3）设第一天购买乙种商品a件，设第二天购买甲种商品b件，然后分别列方程求得，最后求和即可． 【详解】（1）解：（元）， 所以甲种商品每件售价为60元，每件乙种商品利润率为． 故答案为：60，． （2）解：设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件， 由题意得，， 解得：，则． 答：购进甲商品40件，乙商品10件． （3）解：设第一天购买乙种商品a件， 依题意得，， 解得或4.5（舍去）， 所以第一天购买乙种商品5件． 设第二天购买甲种商品b件， 依题意得，， 解得或9， 所以第二天购买甲种商品8或9件， （件）或（件）． 答：小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共13或14件． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，读懂题意、找准等量关系、正确列出方程是解答本题的关键． 24．贵阳市人民广场某超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：获利＝售价－进价） 甲 乙 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 29 40 （1）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ （2）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品．其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售．第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多180元，求第二次乙种商品是按原价打几折销售？ 【答案】（1）1950（元）；（2）第二次乙商品是按原价打8.5折销售． 【分析】（1）设第一次购进甲种商品件，则购进乙种商品（）件，根据单价×数量=总价，即可得出关于x的一元一次方程，可求得甲、乙两种商品得数量；根据总利润=单件利润×销售数量，列式计算即可求出结论； （2）设第二次乙种商品是按原价打y折销售，根据总利润=单件利润×销售数量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品（）件， 根据题意得： 解得：， ∴（件）． ∴（29-22）×150+（40-30）×90=1950（元）． 答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润1950元． （2）设第二次乙种商品是按原价打y折销售， 根据题意得：， 解得：y=8.5． 答：第二次乙商品是按原价打8.5折销售． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程. 25．某社区超市第一次总共用6000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，甲、乙两种商品的进价如表： 甲 乙 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 29 40 （1）求该超市第一次购进乙种商品的件数？ （2）甲乙两种商品的售价如上表，若将第一次所购商品全部卖完后，一共可获得多少利润？ （3）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原售价销售，乙商品在原售价上打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多720元，求第二次乙种商品是按原价打几折销售？ 【答案】（1）90件；（2）1950元；（3）9折 【分析】（1）设第一次购进乙种商品x件，则甲种商品的件数是（2x-30）件，根据总进价为6000元列出方程，求解即可； （2）根据（1）得甲种商品的件数是150件，根据题意列出方程求出其解即可； （3）设第二次甲种商品的售价为每件y元，根据第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多720元，建立方程求出其解即可． 【详解】解：（1）设该超市第一次购进乙种商品x件数，则甲商品为2x-30件， 由题意可得：30x+22（2x-30）=6000， 解得：x=90， ∴该超市第一次购进乙种商品90件； （2）由（1）得：该超市第一次购进甲种商品150件， ∴可获得的利润为：（29-22）×150+（40-30）×90=1950（元）． 答：两种商品全部卖完后可获得1950元利润； （3）设第二次乙种商品是按原价打y折销售，根据题意列方程，得： （29-22）×150+（40×-30）×90×3=1950+720， 解得：y=9， 答：第二次乙种商品是按原价打9折销售． 【点睛】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用及一元一次方程的解法的运用．解答时根据题意建立方程是关键．解题时注意利润=售价-进价的运用． 【压轴题型六 一元一次方程应用之方案选择问题】 26．学校10月19日举办体育文化艺术节活动，准备单色圆珠笔、双色圆珠笔、三色圆珠笔三种圆珠笔共1000支作奖励（每种圆珠笔都要有），其中双色圆珠笔的单价比单色圆珠笔的单价贵0.2元，买5支双色圆珠笔和8支单色圆珠笔共需要6.2元． (1)双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？ (2)若某超市的三色圆珠笔根据球珠直径有两个级别，学校只能从中选择一个级别．价格如下表： 三色圆珠笔级别 球珠直径 球珠直径 单价 1元 1.5元 现在学校用880元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应该选样哪种级别的三色圆珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由． (3)若要求购买三色圆珠笔的数量是单色圆珠笔的一半，单色圆珠笔和双色圆珠笔单价不变，其中三色圆珠笔单价为a元，在总数量不变的前提之下，无论这三种圆珠笔的数量如何分配，总费用始终不变．求此时a的值和总费用． 【答案】(1)单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为元； (2)购买单色圆珠笔和三色圆珠笔各支，双色圆珠笔支 (3)此时的值为，总费用始终不变，总费用为元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，整式的应用，根据题意列出方程和整式是解题的关键． （1）设单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为元，根据列出方程求解即可； () 设购买单色圆珠笔支，三色圆珠笔支，则双色圆珠笔支，然后分购买球珠直径、球珠直径三色圆珠笔的总费用等于列方程，解方程取符合题意的值即可； () 设购买支三色圆珠笔，则单色圆珠笔支，双色圆珠笔支，总费用为元，由题意列出方程，根据总费用始终不变，求出和的值即可． 【详解】（1）解：设单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为 元， 由题意得：， 解得， ∴， 答：单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为元； （2）解：设购买单色圆珠笔支，三色圆珠笔支，则双色圆珠笔支， 当选球珠直径三色圆珠笔购买时， 则， 解得，不合题意； 当选球珠直径三色圆珠笔购买时， 则， 解得， ∴，符合题意， 答：购买单色圆珠笔和三色圆珠笔各支，双色圆珠笔支； （3）解：设购买支三色圆珠笔，则单色圆珠笔支，双色圆珠笔支，总费用为元， 由题意得： ， ∵与无关， ∴， 解得：， ∴， 答：此时的值为，总费用始终不变，总费用为元． 27．根据以下素材，探索完成任务． 素材1： 某家具厂生产一种课桌和椅子，课桌每张定价200元，椅子每把定价80元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： 方案一：每买一张课桌就赠送一把椅子； 方案二：课桌和椅子都按定价的付款． 素材2： 学校计划添置 100张课桌和x把椅子． 问题解决 【任务1】(1)请用含x的代数式分别表示出两种方案的费用． 【任务2】(2)若，分别计算两种方案的费用． 【任务3】在(2)的条件下，如果两种方案可以同时使用，请帮助学校设计一种最省钱的方案． 【答案】【任务1】方案一：元，方案二：元；【任务2】该校选择方案二更省钱；【任务3】100张桌子全部用方案一买，剩下的椅子用方案二买． 【分析】（1）根据各自的优惠方案，用代数式表示所需费用； （2）当时，分别求出（1）中两个代数式的值，通过比较即可求解； （3）按以下三种方式分别计算出各自所需费用并进行比较即可：①全按方案一购买；②全按方案二购买；③先按方案一购买100张课桌，同时送100把椅子，再按方案二购买200把椅子． 【详解】解：（1）方案一：（元）， 方案二：（元）． （2）当时， 方案一：（元）， 方案二：（元）， ， ∴该校选择方案二更省钱； （3）当时， 由（2）可知，①全按方案一购买：元； ②全按方案二购买：元； ③先按方案一购买100张课桌，同时送100把椅子；再按方案二购买200把椅子， ， ， ∴先按方案一购买100张桌子，同时送100把椅子；再按方案二购买200把椅子最省． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，代数式求值等知识，理解两种优惠方案，从而正确写出代数式是解决问题的关键． 28．曙光双语学校月日举办体育文化艺术节活动，准备单色圆珠笔，双色圆珠笔、三色圆珠笔三种圆珠笔共支作奖励（每种圆珠笔都要有），其中双色圆珠笔的单价比单色圆珠笔的单价贵元，买支双色圆珠笔和支单色圆珠笔共需要元． (1)问双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？ (2)若三色圆珠笔市场上根据球珠直径有三个级别，学校只能从中选择一个级别．价格如下表： 三色圆珠笔级别 球珠直径 球珠直径 球珠直径 单价 元 元 元 现在学校用元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应该选择哪种级别的三色圆珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由． (3)若要求购买三色圆珠笔的数量是单色圆珠笔的一半，单色圆珠笔和双色圆珠笔单价不变，其中三色圆珠笔单价为元，在总数量不变的前提之下，无论这三种圆珠笔的数量如何分配，总费用始终不变．求此时的值和总费用． 【答案】(1)单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为元； (2)购买单色圆珠笔和三色圆珠笔各支，双色圆珠笔支； (3)此时的值为，总费用始终不变，总费用为元． 【分析】() 设单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为元，根据列出方程求解即可； () 设购买单色圆珠笔支，三色圆珠笔支，则双色圆珠笔支，然后分购买球珠直径、球珠直径、球珠直径三色圆珠笔的总费用等于列方程，解方程取符合题意的值即可； () 设购买支三色圆珠笔，则单色圆珠笔支，双色圆珠笔支，总费用为元，由题意列出方程，根据总费用始终不变，求出和的值即可． 【详解】（1）设单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为 元， 由题意得：， 解得， ∴， 答：单色圆珠笔单价为元，双色圆珠笔单价为元； （2）设购买单色圆珠笔支，三色圆珠笔支，则双色圆珠笔支， 当选球珠直径三色圆珠笔购买时， 则， 解得，不合题意； 当选球珠直径三色圆珠笔购买时， 则， 解得， 则，不合题意； 当选球珠直径三色圆珠笔购买时， 则， 解得， ∴，符合题意， 答：购买单色圆珠笔和三色圆珠笔各支，双色圆珠笔支； （3）设购买支三色圆珠笔，则单色圆珠笔支，双色圆珠笔支，总费用为元， 由题意得：， ∵与无关， ∴， 解得：， ∴， 答：此时的值为，总费用始终不变，总费用为元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，整式的应用，根据题意列出方程和整式是解题的关键． 29．下表是中国电信两种“套餐”计费方式．（月基本费固定收，主叫不超过主叫时间，流量不超上网流量不再收费，主叫超时和上网超流量部分加收超时费和超流量费） 月基本费/元 主叫通话/分钟 上网流量 接听 主叫超时部分（元/分/钟） 超出流量部分/（元/） 方式一 免费 方式二 免费 (1)若某月小萱主叫通话时间为分钟，上网流量为，则她按方式一计费需________元，按方式二计费需________元；若她按方式二计费需元，主叫通话时间为分钟，则上网流量为________． (2)若上网流量为，是否存在某主叫通话时间（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)若上网流量为，直接写出当月主叫通话时间（分钟）满足什么条件时，选择方式一省钱；当每月主叫通话时间（分钟）满足什么条件时，选择方式二省钱． 【答案】(1)，， ； (2)； (3)当时方式一比较划算，当方式二比较划算； 【分析】（1）根据方式一、二月基本费加超时费直接计算即可得答案，设上网流量为x，根据费用列方程求解即可得到答案； （2）假设存在根据费用相等列方程求解即可得到答案； （3）由（2）及单价对比可直接得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得， ∵小萱主叫通话时间为分钟，上网流量为， ∴方式一收费为：（元）； 方式二收费为：（元）； 设上网流量为x，由题意可得， ， 解得， 故答案为：，，； （2）解：假设存在， ∵， ∴， ∴ 解得：， ∴假设成立，上网流量为当时，方式一和方式二的计费相等； （3）解：∵上网流量为当时，方式一和方式二的计费相等为元， ①当时，方式一费用为：， 方式二费用为：， ， ∴当方式二比较划算． ②当时， 方式一费用为：， 方式二费用为：， 当时，， ∴当时方式一比较划算，当方式二比较划算． 【点睛】本题考查利用一元一次方程解决阶梯收费问题，解题的关键是读懂收费方式找到等量关系式． 30．甲、乙两家超市新年期间推出优惠活动，推出如表购物优惠方案： 甲超市 乙超市 消费金额（元） 优惠活动 消费金额（元） 优惠活动 0～100（包含100） 无优惠 0～200（包含200） 无优惠 100～350（包含350） 一律享受九折优惠 大于200 超过200元的部分享受八折优惠 大于350 一律享受八折优惠 (1)小王需要购买价格为240元的商品，去哪家店更划算？ (2)小李带了252元去购物、为了买到最多的商品，应选择哪家超市？最多能买到原价为多少元的商品？ (3)小刘在甲超市购物、两次购物分别付了80元和288元，如果小刘把这两次购物改为一次性购物，付款多少元？ 【答案】(1)在甲超市更划算； (2)应选择甲超市，最多能买到原价为280元的商品； (3)把这两次购物改为一次性购物，付款320元或352元； 【分析】（1）比较在甲、乙超市分别所需支付的金额即可； （2）求出252元在甲超市能购买的商品原价，再求出在乙超市购买的商品的原价，比较大小即可； （3）先计算出支付80元和288元的商品原价，再将两次商品原价加一起参加优惠活动即可； 【详解】（1）解：甲超市购物所付的费用为：（元）， 乙超市购物所付的费用为：（元）， ∵， ∴在甲超市更划算； （2）解：甲超市购买的商品原价：（元）， 设乙超市超市购买的商品原价为x元，由题意得： ，解得：， ∵280＞265， ∴应选择甲超市，最多能买到原价为280元的商品； （3）解：∵， ∴第一次购买商品的原价小于100元，原价为80元， ∵，， ∴第二次购买商品的原价为100～350或大于350元， 设第二次购买商品的原价为m元， ①当时， 由题意得：（元）， （元）， ∴把这两次购物改为一次性购物，付款320元； ②当时， 由题意得：（元）， （元）， ∴把这两次购物改为一次性购物，付款352元； 综上，把这两次购物改为一次性购物，应付款320元或352元． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用（方案选择），（1）（2）比较简单，（3）中因为，故需要对288元的商品原价进行讨论． 【压轴题型七 一元一次方程应用之几何问题】 31．如图，正方形的边在数轴上，数轴上点表示的数为，正方形的面积为16． (1)数轴上点B表示的数为________； (2)将正方形沿数轴水平移动，移动后的正方形记为，移动后的正方形与原正方形重叠部分的面积为S． ①当时，画出图形，并求出数轴上点表示的数； ②设正方形的移动速度为每秒2个单位长度，点为线段的中点，点在线段上，且．经过t秒后，点E，F所表示的数互为相反数，直接写出t的值． 【答案】(1) (2)①点表示的数为或2；② 【分析】（1）利用正方形的面积为16，可得长，再根据，进而可得点表示的数； （2）①先根据正方形的面积为16，可得边长为4，当时，分两种情况：正方形向左平移，正方形向右平移，分别求出数轴上点表示的数； ②当正方形沿数轴负方向运动时，点，表示的数均为负数，不可能互为相反数，不符合题意；当点，所表示的数互为相反数时，正方形沿数轴正方向运动，再根据点，所表示的数互为相反数，列出方程即可求得的值． 【详解】（1）解：正方形的面积为16， ， 点表示的数为， ， ， 数轴上点表示的数为， 故答案为：． （2）解：①正方形的面积为16， 边长为4， 当时，分两种情况： 若正方形向左平移，如图1， ， ， 点表示的数为； 若正方形向右平移，如图2， ， ， 点表示的数为； 综上所述，点表示的数为或2； ②的值为4．理由如下： 当正方形沿数轴负方向运动时，点，表示的数均为负数，不可能互为相反数，不符合题意； 当点，所表示的数互为相反数时，正方形沿数轴正方向运动，如图3， ，点表示， 点表示的数为， ，点表示， 点表示的数为， 点，所表示的数互为相反数， ， 解得． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，数轴以及两点间的距离公式的运用，解决问题的关键是正确理解题意，利用数形结合列出方程，注意要分类讨论，不要漏解． 32．如图，点，在数轴上分别位于原点的左右两边，点表示的数是，点表示的数是，且，满足．点、、是线段的四等分点，分别以线段、、为边向数轴的上方作正方形，正方形，正方形． (1)直接写出，的值： ， ； (2)如图1，若动点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设点的运动时间为，求线段时的值； (3)如图2，若动点从点出发以每秒4个单位长度的速度向数轴的正方向运动，当点到达点时立即以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，点到达点的同时动点从点出发以每秒2个单位长度的速度向数轴的负方向运动，当点首次到达点后立即以每秒3个单位长度的速度在点和点之间往返运动，过动点作直线垂直，在运动过程中，直线与线段的交点为．当点第二次到达点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为，直接写出线段时的值． 【答案】(1)，8 (2)或 (3)，，或6 【分析】此题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法，弄清点运动的方向、速度和时间是解题的关键． （1）根据非负数的性质可得解； （2）根据相遇前和相遇后，列方程求解即可； （3）根据点到达点前和返回后，点在的左右两侧，根据找出等量关系列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，且，， ，， ，， 故答案为：，8； （2）解：，． 表示的数是，表示的数是8， ， 点、、是线段的四等分点， ， 又四边形，，是正方形， ， 若，相遇前，则有，， 解得，； 若，相遇后，则有， 解得，， 综上，线段时，或， （3）解：点从到运动时间为（秒， 点从点运动到点所需时间为：（秒，从点到点所需时间为（秒， 则点第二次到达点所需时间为（秒， 故点运动总时间为（秒， ①当点向运动时，点在左侧时，则有． 解得，； ②当点向运动时，点在右侧时，则有， 解得，； ③当点从向运动时，点在右侧时，则有， 解得，， ④当点从向运动时，点在左侧时，则有， 解得，， 综上，线段时的值为，，或6． 33．已知：中，，点P是的边上一动点，点P从点B开始沿着的边按路径顺时针运动，移动速度为每秒2个单位．如图1． (1)试求出P点第一次回到B点的运动时间： (2)如图2，若点Q是的边上一动点，P、Q两点分别从B、C同时出发，即当点P开始移动的时候，点Q从点C开始沿着边顺时针移动，移动的速度为每秒4个单位，试问：当t为何值时，在三角形同一边上，P、Q两点的路径距离第1次相差为3个单位? (3)若点P、点Q沿着的边顺时针运动不停止，在三角形同一边上，t为何值时，它们路径距离第2次、第3次……第n次相差为3个单位?（结果用n表示） 【答案】(1)P点第一次回到B点需要秒 (2)时，点P点Q第一次在同边（边）上相差3个单位 (3)（n为正整数）秒时，在同一边上，P、Q两点的路径距离第n次相差3 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，动点运动问题．熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键． （1）由题意知，根据P点第一次回到B点需要的时间为，计算求解即可； （2）由题意知，分①当点P在点Q前面时，②当点Q在点P前面时，两种情况列方程求解，然后判断作答即可； （3）由题意知，每隔秒，点P回到B点，点Q回到C点，由在运动过程中，在同边边上，P、Q两点的路径距离相差为3，可得，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴P点第一次回到B点需要秒； （2）解：由题意知，分①当点P在点Q前面时，②当点Q在点P前面时两种情况求解； ①当点P在点Q前面时，由题意得：， 解得：， 此时，点P移动的路程为1﹐点Q移动的路程为2， ∴点P在边上，Q在边上，不在同一边，不符合要求； ②当点Q在点P前面时：由题意，得：， 解得：， 此时，点P移动的路程为7，点Q移动的路程为， ∴点P在边上，Q在边上，在同一边上，符合要求； ∴当时，点P点Q第一次在同边（边）上相差3个单位； （3）解：由题意知，每隔秒，点P回到B点，点Q回到C点， ∵在运动过程中，在同边边上，P、Q两点的路径距离相差为3， ∴（n为正整数）秒， ∴（n为正整数）秒时，在同一边上，P、Q两点的路径距离第n次相差3． 34．如图，面积为30的长方形的边在数轴上，O为原点，．线段从出发，以每秒1个单位的速度向右移动，与此同时线段从出发以每秒2个单位的速度向左移动．连接，新长方形与原长方形重叠部分的面积记为S，设运动时间为t． (1)当在O、A之间，用含t的代数式表示：______． (2)S恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数是多少？ (3)长方形与长方形未重叠部分的面积记为，请直接写出时，t的值． 【答案】(1) (2)数轴上点表示的数是0或4 (3)或或 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用： （1）先根据长方形面积公式求出，再求出，则； （2）分当在左侧时，重叠部分即为长方形，，当在右侧时，重叠部分即为长方形，根据重叠面积为原长方形面积的一半建立方程求解即可； （3）分当线段、在长方形内部，且相遇前，当线段、在长方形内部，且相遇后，当线段在长方形外部，线段在长方形内部，当线段、在长方形外部在O左侧，在右侧，四种情况根据长方形竖直方向的边长相同结合面积之间的关系转化成水平方向上线段的之间的关系，进而建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵， ∴， ∵线段从出发以每秒2个单位的速度向左移动， ∴， ∴， 故答案为： ； （2）解：由题意得，，， 如图所示，当在左侧时，重叠部分即为长方形， ∴， 解得， ∴， ∴数轴上点表示的数是4， 如图所示，当在右侧时，重叠部分即为长方形， ∴， 解得， ∴， ∴数轴上点表示的数是0， 综上所述，数轴上点表示的数是0或4； （3）解：如图所示，当线段、在长方形内部，且相遇前， ∵， ∴， ∴， 解得； 如图所示，线段、在长方形内部，且相遇后， ∴， ∴， 解得； 如图所示，线段在长方形外部，线段在长方形内部， ∴， ∴， 解得，舍去， 如图所示，线段、在长方形外部在O左侧，在右侧， ∴， ∴， 解得． 综上所述，t的值为或或． 35．如图，数轴上放置边长为2的正方形和边长为3的正方形．点表示的数为12，点位于原点处，点位于点处．正方形向右以1个单位/秒的速度运动，正方形以2个单位/秒的速度向左运动．相遇后正方形继续向右运动，正方形上的点A运动到点处后，正方形立即返回向右运动．设运动时间为（秒）． (1)两正方形第一次相遇（即点A，重合）时，______，此时点A所表示的数为______； (2)当正方形追上正方形（即点，第二次重合）时，求点表示的数； (3)在整个运动过程中，当两正方形重叠部分面积为1时，请直接写出点A表示的数． 【答案】(1)秒； (2)用时8秒，点表示的数为8 (3)5或或7或15 【分析】（1）根据题意列出关于t的方程，解方程即可； （2）先求出点A运动到点处时，，正方形以2个单位/秒的速度返回向右运动后，表示出，，根据此时，得出，求出结果即可； （3）分四种情况进行讨论：正方形以2个单位/秒的速度向左运动，且点A在线段上，正方形以2个单位/秒的速度向左运动，且点A在线段左侧，正方形以2个单位/秒的速度返回向右运动，且点在线段上，正方形以2个单位/秒的速度返回向右运动，且点在线段右侧，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：正方形向右以1个单位/秒的速度运动，正方形以2个单位/秒的速度向左运动时，，，两正方形第一次相遇（即点A，重合）时，， 即， ， 此时点A所表示的数为； （2）解：正方形以2个单位/秒的速度向左运动，点A运动到点处后，正方形立即返回向右运动， 点A运动到点处时，， 正方形以2个单位/秒的速度返回向右运动后，，，当正方形追上正方形（即点，第二次重合）时，， ， 此时，点表示的数为8； （3）解：如图1， 正方形以2个单位/秒的速度向左运动，且点A在线段上，两正方形重叠部分面积为1时，，，， ∵，， ， ∴， 解得：， 此时，； 如图2， 正方形以2个单位/秒的速度向左运动，且点A在线段左侧，两正方形重叠部分面积为1时，，，， ∵，， ， ∴， 解得：， 此时，； 如图3， 正方形以2个单位/秒的速度返回向右运动，且点在线段上，两正方形重叠部分面积为1时，，，，， ∵，， ， ∴， 解得：， 此时，； 如图4， 正方形以2个单位/秒的速度返回向右运动，且点在线段右侧，两正方形重叠部分面积为1时，，，， ∵，， ， ∴， 解得：， 此时，； 综上所述，在整个运动过程中，当两正方形重叠部分面积为1时，点A表示的数为5或或7或15． 【点睛】本题主要考查了用数轴上点表示有理数，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． 【压轴题型八 一元一次方程应用之水电费问题】 36．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，下表是调控后的价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超过6吨的部分 2元/吨 超出6吨不超出10吨的部分 4元/吨 超出10吨的部分 8元/吨 注：水费按月结算． (1)若该户居民8月份用水8吨，则该用户8月应交水费________元；若该户居民9月份应交水费26元，则该用户9月份用水量为________吨； (2)若该户居民10月份应交水费30元，求该用户10月份用水量； (3)若该户居民11月份、12月份共用水18吨，共交水费52元，且11月份用水不超过8吨，求11月份、12月份各应交水费多少元？ 【答案】(1)20； (2)吨 (3)11月份应交水费16元，12月份应交水费36元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键． （1）该户居民8月份用水8吨，应交水费应是不超过6吨的部分和超出6吨不超出10吨的部分的费用之和，计算即得答案；若该户居民9月份应交水费26元，判断应交水费应是不超过6吨的部分和超出6吨不超出10吨的部分的费用之和，设未知数列方程并求解，即得答案； （2）先判断该用户10月份用水量超过10吨，再设未知数列方程并求解，即得答案； （3）设该用户11月份用水量为a吨，则12月份用水量为吨，分和两种情况，分别列方程并求解验证，即得答案． 【详解】（1）， 所以该用户8月应交水费20元； 设该用户9月用水量为x吨， ，， ， ， 根据题意得， 解得， 所以该用户9月用水量为吨； 故答案为：20；． （2）设该用户10月用水量为y吨， ， ， 根据题意得， 解得， 所以该用户10月用水量为吨； （3）设该用户11月份用水量为a吨，则12月份用水量为吨， 当时，， 由题意得， 解得，不合题意，舍去； 当时，， 由题意得， 解得， ， （元）， （元）， 答：11月份应交水费16元，12月份应交水费36元． 37．移动公司推出A、B两种话费与流量套餐，套餐详情如表． 月基本费/元 主叫限定时长（min） 主叫超时费（元/min） 被叫 免费数据流量（） 流量超额费（元/） 套餐A 79 200 免费 15 3 套餐B 99 300 免费 20 2 套餐补充说明：①月结话费月基本费主叫超时费流量超额费： ②流量超额后以为单位计费（例如：套餐A流量超额，需另付元）． (1)若贝贝的爸爸使用套餐A，10月主叫时长为300分钟，使用的流量为，求他的月结话费为多少？ (2)若贝贝的爸爸11月份主叫时长为350分钟，使用的流量为（），贝贝通过计算发现，按A、B两种套餐计费的月结话费刚好相同，求a的值： (3)若贝贝的爸爸12月份主叫时长不足200分钟，请你根据他流量使用情况计算说明选用哪种套餐更省钱． 【答案】(1)元 (2) (3)当使用流量小于或大于且小于时，使用A套餐更省钱；当当使用流量等于或等于时，使用两种套餐一样省钱；当使用流量大于且小于等于或大于时，使用B套餐更省钱． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合运算的实际应用： （1）根据所给的收费标准列式计算即可； （2）分别计算出两种方式的收费，再根据费用相同建立方程求解即可； （3）当时，套餐A的费用为79元，套餐B的费用为99元，则选择套餐A更省钱；当且套餐A的费用和套餐B的费用相同时，则， 解得，则当时，选择套餐A更省钱；当时，两种套餐一样省钱；当时，选择套餐B更省钱；当且套餐A的费用和套餐B的费用相同时，则，解得，则当时，选择套餐A更省钱；当时，两种套餐一样省钱；当时，选择套餐B更省钱；据此可得答案． 【详解】（1）解： 元， ∴他的月结话费为元； （2）解；由题意得，， 解得； （3）解：设贝贝的爸爸使用流量， 当时，套餐A的费用为79元，套餐B的费用为99元， ∵， ∴选择套餐A更省钱； 当且套餐A的费用和套餐B的费用相同时，则， 解得， ∴当时，选择套餐A更省钱； 当时，两种套餐一样省钱； 当时，选择套餐B更省钱； 当且套餐A的费用和套餐B的费用相同时，则， 解得， ∴当时，选择套餐A更省钱； 当时，两种套餐一样省钱； 当时，选择套餐B更省钱； 综上所述，当使用流量小于或大于且小于时，使用A套餐更省钱；当当使用流量等于或等于时，使用两种套餐一样省钱；当使用流量大于且小于等于或大于时，使用B套餐更省钱． 38．小江同学注意到妈妈手机中的电费短信（如下左图），对其中的数据产生了浓厚的兴趣，谷度是什么意思?电费是如何计算的?第一档与第二档又有什么关系？ 表1：宁波市居民生活用电标准（部分修改） 电压等级 普通电价（元/度） 峰谷电价（元/度） 峰时电价 谷时电价 第一档 年用电量不超过度的部分 第二档 年用电量超过度但不超过度的部分 第三档 年用电量超过度的部分 【解读信息】 通过互联网查询后获得上表（如表1）．小江家采用峰谷电价计费，谷时用电量为度，那么峰时用电量就是度，由于小江家年用电量处在第一档，故9月份电费为： ． 第一档年用电量的上限为度，所以截至9月底小江家已经用电2760－581＝2179度．不难发现，第二档所有电价均比第一档提高0.05元/度，第三档所有电价均比第一档提高0.3元/度． 【理解信息】 (1)若采用普通电价计费，小江家九月份的电费为 元．（精确到） (2)若采用峰谷电价计费，假设某月谷时用电量与月用电量的比值为m，那么处在第一档的1度电的电费可以表示成 元．（用含有m的代数式表示） 【重构信息】 (3)月份，小江家谷时用电量与月用电量的比值为．请根据上述对话完成下列问题： ①通过计算判断：截至月底小江家的年用电量是否仍处于第一档？ ②月份谁家的用电量多，多了多少？ 【答案】(1) (2) (3)①小江家月份的用电量必定超过第一档；②小江家用电量多，比小北家多用度． 【分析】（1）电价乘用电量即可得； （2）用电量为1度，则有，即可得； （3）①假设小江家月的用电量未超过第一档，即可求出该月最多支付电费，根据，即可得小江家月份的用电量必定超过第一档；②设小江家月份用电量为x度， 进行计算得， 即可得． 【详解】（1）解：（元）， 故答案为：． （2）解：用电量为1度，则有（元）， 故答案为：． （3）解：①假设小江家月的用电量未超过第一档，那么该月最多支付电费： （元）， ∵， ∴小江家月份的用电量必定超过第一档； ②设小江家月份用电量为x度， ， 解得， （度）， 即小江家用电量多，比小北家多用度． 【点睛】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系，列出一元一次方程，正确计算． 39．为了加强居民的节水意识合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的．该市自来水收费价格见下表： 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 请根据上面的表格回答下列问题： (1)若某户居民一月份用水8立方米，则应向其收水费多少元？ (2)若该用户二月份用水12.5立方米，则应向其收水费多少元？ (3)若该用户三、四月份共用水15立方米（3月份用水量不超过6立方米），共交水费44元，则该用户三、四月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)一月份用水8立方米，则应向其收水费20元 (2)二月份用水12.5立方米，则应向其收水费48元 (3)该用户三、四月份各用水4立方米，11立方米 【分析】（1）根据价目表进行计算即可； （2）根据价目表进行计算即可； （3）设三月份的用水量为立方米，则4月份用水量为立方米，然后分类讨论，列出方程计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：（元）， 答：一月份用水8立方米，则应向其收水费20元． （2）解：由题意得：（元）， 答：二月份用水12.5立方米，则应向其收水费48元． （3）解：设三月份的用水量为立方米，则4月份用水量为立方米， 当时，， 由题意得， 解得，符合题意； 当时，， 由题意得， 解得，不符合题意，舍去； 综上，该用户三、四月份各用水4立方米，11立方米． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的混合运算，找清楚题目数量间的关系，运用分类讨论的思想是解题的关键． 40．近日，无锡市发展改革委印发《关于优化调整居民阶梯气价政策有关事项的通知》，从2022年1月1日起，增加一、二档用气量，“一户多人口”政策同步调整． 气量分档 用气量（立方米） 价格（元/立方米） 调整前 调整后 第一档 年用气量≤300 年用气量≤400 2.73 第二档 300＜年用气量≤600 400＜年用气量≤1000 3.28 第三档 年用气量＞600 年用气量＞1000 3.82 人口超过4人的家庭，每增加1人，一、二档上限增加80立方米、200立方米（原政策一、二档上限增加60立方米、120立方米）． (1)若小明家有5口人，年用气量1000立方米．则调整前气费为 元，调整后气费为 元； (2)小红家有4口人，若调整后比调整前气费节省109元，则小红家年用气量为多少立方米？ 【答案】(1)3233.2，3016； (2)小红家年用气量为700立方米． 【分析】（1）已知用气量1000立方米，根据调整前与调整后每一档的对应价格列算式计算即可； （2）先设小红家年用气量为 立方米，再对用气量进行分类讨论，根据题目条件，分别表示出每一段中对应的调整前后的用气费用，再根据已知调整后比调整前气费节省109元，列出方程进行解答，分析是否在所讨论的范围内判断答案即可． 【详解】（1）调整前： 元， 调整后： 元； 故答案为：3233.2，3016； （2）设小红家年用气量为 立方米， 当 时， 调整前： 元 调整后： 元 调整后比调整前气费节省109元 解得 ，不合题意； 当 时， 调整前： 元 调整后： 元 调整后比调整前气费节省109元 元，不合题意； 当 时， 调整前： 元 调整后： 元 调整后比调整前气费节省109元 解得 ，符合题意； 当 时， 调整前： 元 调整后： 元 调整后比调整前气费节省109元 元，不合题意； 综上所述， 所以，小红家的年用气量为立方米． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，属于分段计费的典型题目，此类题目的解题关键在于认真审题，找准不同范围的收费标准，并分类讨论，根据题意找到等量关系，列出方程解答即可． 【压轴题型九 一元一次方程应用与数轴动点综合】 41．如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为． 已知动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍．经过点C后立刻恢复初始速度． (1)动点P从点A运动至点C需要多少时间？ (2)动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）； (3)动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点P运动的时间． 【答案】(1)18.5秒 (2) (3)14.5或19.5 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及数轴， （1）利用时间路程速度，即可求出结论； （2）求出点运动到点所需时间，当时，利用点表示的数点表示的数点在线段段的运动速度（运动时间，即可用含的代数式表示出点表示的数； （3）由，及的长，可得出共有2种情况，当点在点和点之间，即时，点表示的数为，进而可得出，，结合，可列出关于的一元一次方程，解之可求出的值；当点在点的右侧，即时，点表示的数为，进而可得出，，结合，可列出关于的一元一次方程，解之可求出的值． 【详解】（1）解：根据题意得： （秒）； 答：动点从点运动至点需要18.5秒； （2）解：动点从点运动至点需要的时间为： （秒）， 运动t秒至点B和点C之间时，点P表示的数为： ， ∴当时，点表示的数为， 当动点运动至点和点之间时，点表示的数为； （3）解：，，， 共2两种情况． 当点在点和点之间，即时，点表示的数为， ，， ∴， 解得：； 当点在点的右侧，即时，点表示的数为， ，， ， 解得：． 答：动点的运动的时间是14.5秒或秒． 42．已知数轴上点A表示的数为6，B 是数轴上在A 左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P 从点A 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B 表示的数是 ； 当点P运动到的中点时，它所表示的数是 ； (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点P，Q 同时出发．如果P，B，Q中有一个点是另外两点所构成线段的中点，就称P，B，Q为一组“平衡点”．求出点P运动多少秒时，点P，B，Q能构成一组“平衡点”？ (3)若点P出发2秒后点Q再从点B 出发，并以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动至点处加速，以每秒5个单位长度的速度继续向左运动．直接写出当t等于何值时，P，Q之间的距离为6？ 【答案】(1)；1 (2)当或时P，B，Q可以构成“平衡点” (3)t的值为1或6或48或60 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离和一元一次方程的应用，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离即可解答； （2）分点B为，点Q为，点为的中点，根据数轴上两点间的距离结合行程问题的特点列出方程求解； （3）分和两种情况，根据数轴上两点间的距离结合行程问题的特点列出方程求解． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为6，B 是数轴上在A 左侧的一点，且A，B两点间的距离为10． ∴设点对应的数为，则有： ， 解得，； 设的贵点对应的数为，则： ， 故答案为：；1； （2）解：分三种情况： ①如图，当点B为的中点时，则点P对应的，Q对应的数为 ∴ ∵， 解得，； ②当为和中点时，如图，则点P对应的，Q对应的数为， 则， ∴， 解得： ； ③当点Q为的中点时，如图， ∴， ∴ 此时t不存在， 综上，t的值为或； （3）解： ， ； ∴当时，点表示的数为； 当时，从处以每秒5个单位的速度向左运动，则表示的数为； ①当时，且点在点右侧时， ， 解得，； 点在点左侧时， ∵， ∴， 解得，； ②当时，∵， ∴， 整理得，， 或， 解得，或， 综上，t的值为1或6或48或60． 43．点，在数轴上分别表示有理数，且满足．现将数轴在点，处剪断，再用绳子将它们连接，就可得到如图所示的“拱形数轴”，其中点为绳子上一点且满足．在此数轴上，我们定义任意两点的距离为它们之间折线段的长度之和，如图1，，两点的距离为线段的长，记为，记，两点的距离为． (1)请直接写出________，________； (2)若，点在数轴上表示有理数6，一动点从点出发以每秒3个单位长度沿“拱形数轴”向正方向运动，同时，另一动点从点出发以每秒1个单位长度沿“拱形数轴”向负方向运动，两个点运动到点处均停止，设运动时间为秒，请问取何值时，使得？ (3)如图2，已知，动点从点出发以每秒2个单位长度沿着“拱形数轴”向正方向运动，同时点从点出发，以每秒1个单位长度沿着“拱形数轴”向负方向运动；两点相遇后，点速度立即变为原来的一半并沿着“拱形数轴”向负方向运动，同时点保持速度不变并沿着“拱形数轴”向正方向运动．设运动时间为秒，是否存在使得？如果存在，请直接写出的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，4 (2) (3)存在， 【分析】本题主要考查了非负数和为零的条件、数轴上动点问题、相遇问题的一元一次方程的应用等知识点， （1）由题中条件，利用平方与绝对值非负性，结合非负式和为0的条件求解即可得到答案； （2）由含t的代数式表示出，，，再列方程求解即可得到答案； （3）根据数轴上动点问题，分相遇前和相遇后两种情况列方程求解即可得到答案； 根据题意，数形结合列方程求解是解决问题的关键． 【详解】（1）∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，4； （2）∵， ∴点N在数轴上表示有理数4， ∵点B在数轴上表示有理数6， ∴B点位置如图所示， ∵， 由题意知，，，， ∵， ∴， 当时，， ∴（舍去）， 当时，， ∴时，使得； （3）存在，理由如下， ∵， ∴相遇时，两点各自运动的时间为（秒）， ∴由题意知，当时，，， ∴， ∴（舍去）， 当时，，， ∴, ∴， ∴当时，． 44．如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”。图中点表示，点表示12，点表示20，我们称点和点在数轴上相距32个长度单位，记为．动点从点出发，以4单位/秒的速度沿着“折线数轴”正方向运动，从点运动到点期间，速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向运动，从点运动到点期间，速度变为原来的2倍，之后也立刻恢复原速．设运动时间为秒． (1)当时，，两点在数轴上相距多少个单位长度？ (2)当、两点相遇时，求运动时间的值． (3)若“折线数轴”上定点与，两点相距的长度相等，当为何值时，、与点相距的长度之和等于12？ 【答案】(1)14 (2) (3)或10 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找到相等关系是解题的关键． （1）由点，，，表示的数，可求出，及的值，利用时间路程速度，可求出点到达点及点到达点所需时间，结合，的出发点、运动速度、运动方向及运动时间，可找出当时，点，表示的数，进而可求出的长； （2）当时，点位于：，点位于点：， 设再过秒，、相遇，可得出关于的一元一次方程，解之即可求出结论； （3）由定点与，两点相距的长度相等，可得出点表示6，利用时间路程速度，结合（1）可求出点到达点及点到达点所需时间，分三种情况，可得出关于的含绝对值的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：点表示，点表示0，点表示12，点表示20， ，，， ∵动点从点出发，以4单位/秒的速度沿着“折线数轴”正方向运动，从点运动到点期间，速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速， ∴点到达点用时（秒），到达点用时（秒），到达点用时（秒）， ∵动点从点出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向运动，从点运动到点期间，速度变为原来的2倍，之后也立刻恢复原速， ∴点到达点用时（秒），到达点用时（秒），到达点用时（秒）， 当时，点已经过，在线段上，表示的数为，点还在线段，表示的数为， ， 答：当时，，两点在数轴上相距14个单位长度； （2）解：当时，点未到达点，此时点表示的数为，点刚好到达点， ∴当、两点相遇时，，且相遇点在上， 设当再过秒，、相遇， 则：， 解得：， ， 答：当，两点相遇时，运动时间的值为秒； （3）解：“折线数轴”上定点与，两点相距的长度相等， 点表示6， ∴当点到达点时（秒），当点到达点时（秒）， 当时，点在上运动，点在上运动，此时、与点相距的长度之和大于，不合题意； 当时，点在上运动但未到达点，点在上运动，此时点M表示为，点N表示为， ∵、与点相距的长度之和等于12， ∴， 解得：； 当时，点在上运动但已到达点，点在上运动，则点M表示为，点N表示为， ∵、与点相距的长度之和等于12， ∴， 解得：（不符合，舍去）； 当时，点在上运动但已到达点，点在上运动但未到达点，则点M表示为，点N表示为， ∵、与点相距的长度之和等于12， ∴， 方程无解，不合题意； 当时，点在上运动，点在上运动但未到达点，则点M表示为，点N表示为， ∵、与点相距的长度之和等于12， ∴， 解得：； 当时，点在到达点，点到达点，此时、与点相距的长度之和为， ∴时不可能使、与点相距的长度之和等于12， 综上所述，当的值为或10，、与点相距的长度之和等于12． 45．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 例如：从“形”的角度看：可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的距离；可以理解为数轴上表示3与的两点之间的距离． 从“数”的角度看：数轴上表示4和的两点之间的距离可用代数式表示为：． 根据以上阅读材料探索下列问题： (1)数轴上表示2和的两点之间的距离是__________， ； ；（直接写出最终结果） (2)等式几何意义 ，则x的值为 ； (3)若x为数轴上某动点表示的数，则式子有最小值吗？若有求出最小值，若没有，写出理由． (4)如图所示，点E，F，G是数轴上的三点，E点表示数是，F点表示数是，G点表示数是6，点E，F，G开始在数轴上运动，若点E以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点F和点G分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度向右运动，假设t秒后，点E与点F之间的距离表示为，点E与点G之间的距离表示为，点F与点G之间的距离表示为．时，若的值是一个定值，试确定m的值． 【答案】(1)；；； (2)数轴上表示的点与表示的点之间的距离为；或； (3)有最小值，最小值为； (4)； 【分析】（1）利用两点之间的距离与绝对值的含义计算即可； （2）由，结合绝对值的含义可得的几何意义，再由可得或，再解方程即可； （3）由代数式含义为数轴上表示数的点与表示数的点距离与表示数的点与表示数的点的距离之和，从而可得答案； （4）由时，点表示数是，点表示数是，点表示数是，由已知可知点始终在点右侧，故，而，再结合，进一步解答即可． 【详解】（1）解：数轴上表示2和的两点之间的距离是， ；； （2）解：等式几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离为， ∵， ∴或， 解得：或； （3）解：代数式含义为数轴上表示数的点与表示数的点距离与表示数的点与表示数的点的距离之和， ∴当在和之间时，最小，最小值为：； （4）解：点表示数是，点表示数是，点表示数是， 根据题意可得： 时，点表示数是，点表示数是，点表示数是， 由已知可知点始终在点右侧，故， 而， ∵， ∴， 当的值是一个定值时， ∴为定值， ∴， ， 解得：， 此时定值为； 综上所述：的值是一个定值时，的值为． 【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，绝对值的含义，整式的加减运算，代数式的值，理解题意是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$