第05讲 解一元一次方程80道计算题专项训练（8大题型）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（浙教版2024）

第05讲 解一元一次方程80道计算题专项训练（8大题型） 【题型目录】题型一 解简单的一元一次方程 题型二 解复杂的一元一次方程 题型三 解含绝对值的一元一次方程 题型四 有规律的一元一次方程问题 题型五 根据两个一元一次方程的关系求解 题型六 一元一次方程的整数解问题 题型七 一元一次方程的新定义问题 题型八 一元一次方程解的拓展问题 【经典例题一 解简单的一元一次方程】 1．解方程 (1) (2) 2．解方程 (1)； (2)． 3．解下列方程： (1)； (2)． 4．解方程∶ (1)； (2)． 5．解方程： (1) (2) 6．解下列方程： (1) (2) 7．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； 8．解方程 (1) (2) 9．解下列方程 (1) (2)； (3) (4) 10．解下列方程： (1)； (2)； (3)． (4)． 【经典例题二 解复杂的一元一次方程】11．解下列方程： (1)； (2)． 12．解方程： (1)； (2)． 13．解方程 (1)； (2)； (3) 14．解方程： (1)； (2)． 15．解下列方程： (1)； (2)； (3)． 16．解方程： (1) (2) (3) (4) 17．解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．解方程：． 19．解下列方程： (1) (2) 20．计算： (1) (2) (3) (4) 【经典例题三 解含绝对值的一元一次方程】21．解绝对值方程：． 22．先阅读下面的解题过程，然后解答问题（1）、（2）、（3）． 例：解绝对值方程：． 解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是． ②当时，原方程可化为，它的解是． ∴原方程的解为或． (1)依例题的解法，方程的解是______； (2)依例题的解法，解方程：； (3)依例题的解法，方程的解是______． 23．根据绝对值定义，若有，则或，若，则，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：． 解：方程可化为： 或， 当时，则有：，所以， 当时，则有：；所以， 故，方程的解为或， (1)解方程：； (2)已知，求的值． 24．阅读下题和解题过程：化简，使结果不含绝对值． 解：①当时，即时， 原式； ②当，即时， 原式 这种解题的方法叫“分类讨论法”． 请你用“分类讨论法”解下列方程： (1)； (2)． 25．阅读下题和解题过程：化简：，使结果不含绝对值． 解：当时，即时：原式； 当时，即时：原式． 这种解题的方法叫“分类讨论法”． 请你用“分类讨论法”解一元一次方程：． 26．阅读下列有关材料并解决有关问题． 我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式． 例如：化简代数式时，可令和，分别求得和（称-1，2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的三种情况：①；②；③．化简时，对应三种情况为：①当时 ，原式；②当时，原式；③当时 ，原式． 通过以上阅读，请你解决问题： （1）零点值是_________和__________； （2）化简代数式； （3）解方程； （4）的最小值为_________，此时的取值范围为____________． 27．阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得和（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：（1）；（2）；（3）．从而化简代数式可分以下种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式． 综上讨论，原式 通过以上阅读，请你解决以下问题： （1）分别求出和的零点值； （2）化简代数式； （3）解方程． 28．阅读下列材料： 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：，，……都是含有绝对值的方程． 怎样才能求出含有绝对值的方程的解？ 以方程和为例来探求解法． 探究思路： 根据绝对值的意义，把绝对值的符号去掉，含有绝对值的方程转化为一元一次方程进行求解． 探究结论： 1．解方程． 解：根据绝对值的意义可得：或． 2．解方程． 分析：把看作一个整体． 解：根据绝对值的意义可得：或， 解得：或． 应用材料中的方法解下列方程： (1)； (2)． 29．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)请画出数轴，将下列各数在数轴上表示出来，并用“<”连接： ，，，，， (2)如果，那么______； (3)若数轴上表示数a的点位于与之间，则_____． 30．小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的x的取值范围是什么，最小值是什么．” 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．” 小明说：“利用数轴可以解决这个问题．” 他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，式子的最小值为3． 请你根据他们的解题思路解决下面的问题． (1)当式子取最小值时，最小值是__________． (2)已知，y的最大值是__________． (3)已知：，则__________． 【经典例题四 有规律的一元一次方程问题】 31．已知：，，， (1)按上述规律填空∶ ． (2)计算： (3)根据以上规律解方程： 32．观察下列关于x的方程，并回答问题． ①的解是； ②的解是； ③的解是； … (1)猜想方程的解为______； (2)根据观察得到的规律，直接写出第2024个方程的解______； (3)根据观察得到的规律，写出解为的方程是____________． 33．（1）如表，方程1，方程2，方程3，．．．是按照一定规律排列的一列方程，解方程1，并将它的解填在表中的横线处； 序号 方程 方程的解 1 _____　 2 3 ．．． ．．． ．．． （2）方程的解是，求a的值．该方程是不是（1）中所给出的一列方程中的一个方程？如果是，它是第几个方程？ 34．观察算式：；；；；… (1)按照这个规律可得：__________； (2)请你用以上规律计算：； (3)解方程：． 35．观察下列关于x的方程及其解的特征： 的解为； 的解为； 的解为； … 根据观察得到的规律，解答下列问题： (1)方程的解为___________； (2)猜想方程的解，并检证； (3)直接写出按此规律排列的第2023个方程___________． 36．观察下列方程： ①的解是， ②的解是， ③的解是，…… (1)根据观察得到的规律，直接写出其中解是的方程，并检验． (2)直接请写出第n个方程和它的解．（n为正整数） 37．现有一列按某种规律排列的方程： 方程1：，方程2：，方程3：…… 并且方程1的解是，方程2的解是，…… (1)求方程3的解； (2)写出这列方程中： ①解是的方程； ②第n个方程． 38．观察下图： 下列每一副图都是由一些单位长度均为1的黑方格和白方格按一定的规律组成（下面所有方格均指的单位为1的小方格） (1)根据规律，第4个图中共有_______个方格，其中黑方格_______块． (2)第n个图形中，白方格共有_______个（用n表示，n为正整数） (3)有没有可能黑方格比白方格恰好少2022个，如果有，求出是第几个图形；如果没有，请说明理由． 39．已知表②，表③分别是从表①中选取的一部分，表①中第一行第四个数是3，第二行第三个数是5，根据表①中的规律，解答下列问题： (1)表①中第四行第五个数是__________； (2)表②，表③中的，的和是__________； (3)求表①中第四行第几个数是107？ (4)表①中第行第7个数是___________（用含的代数式表示）． 40．（1）如表，方程1，方程2，方程3，．．．是按照一定规律排列的一列方程，解方程1，并将它的解填在表中的横线处； 序号 方程 方程的解 1 ﹣（x﹣2）＝1 x＝ 　 　　 2 ﹣（x﹣3）＝1 x＝ 3 x＝ ．．． ．．． ．．． （2）方程﹣（x﹣a）＝1的解是x＝，求a的值．该方程是不是（1）中所给出的一列方程中的一个方程？如果是，它是第几个方程？ 【经典例题五 根据两个一元一次方程的关系求解】 41． 已知方程是关于x的一元一次方程． (1)求a的值． (2)已知方程和上述方程同解，求m的值． 42．已知关于的方程． (1)若该方程与方程同解，试求的值； (2)当为何值时，该方程的解比关于的方程的解大2？ 43．已知方程是关于的一元一次方程． (1)求的值． (2)已知方程和上述方程同解，求式子的值． 44．若方程的解与方程的解相同，求关于x的方程的解． 45．若关于的方程的解是关的方程的解的6倍，求的值． 46．当k取何值时，关于x的方程和的解相同？ 47．如果方程的解与方程的解相同，求式子的值． 48．已知关于的方程为一元一次方程，且该方程的解与关于的方程的解相同．求、的值． 49．已知关于x的方程，若该方程的解与方程的解互为相反数，求m的值． 50．若方程的解与关于x的方程的解相同，确定字母a的值． 【经典例题六 一元一次方程的整数解问题】 51．同学们都知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： (1)求 ； (2)若，则 ； (3)请你找出所有符合条件的整数，使得． 52．已知关于的方程有整数解，且是整数，求的值． 53．若是整数，且，求的值． 54．已知关于的方程． (1)当时，求方程的解； (2)若，方程的解是整数，则有最 （填“大”或“小”）值，这个值是 ，此时， ． 55．已知关于的一元一次方程，其中为整数 (1)求的值 (2)若该方程与方程同解，求的值 (3)若该方程有整数解，求的值 56．已知关于x的一元一次方程，其中k为常数． (1)若是该方程的解，求k的值； (2)若该方程的解为正整数，求满足条件的所有整数k的值． 57．对于有理数m、n定义一种新运算“”：．等式右边是通常的四则运算．例如． (1)若，则______，______ (2)已知，且y为整数，求所有满足条件的整数a的值． 58．若关于x的一元一次方程：的解是，其中a，m，k为常数． (1)当时，则______； (2)当时，且m是整数，求正整数k的值； 59．已知当时，代数式的值为0；关于y的方程的解为； (1)求的值； (2)若规定表示不超过a的最大整数，例如：，请在此规定下求的值． 60．阅读与理解：已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值． 解：，，因为关于x的方程，有正整数解，所以为正整数，因为k为整数，所以或，所以或； 探究与应用：应用上边的解题方法，已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值． 【经典例题七 一元一次方程的新定义问题】 61．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．例如：． (1)计算：； (2)若，求的值． 62．根据绝对值定义，若有，则或，若，则，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：． 解：方程可化为：或， 当时，则有，； 当时，则有，； 综上，方程的解为或． (1)解方程：； (2)已知，求的值． 63．定义运算例如：． (1)计算； (2)，求x的值． 64．用“”定义一种新运算：对于任意有理数，规定，如． (1)求； (2)若，求的值． 65．定义， 例如：，． 请完成下列问题： (1)_________，_________． (2)已知，求的值． (3)当时，求的值． 66．阅读下列材料： 让我们来定义一种运算：，例如：，再如：． 按照这种运算的规定，请解答下列问题． (1)______（只填最后结果）； (2)求的值，使（写出解题过程）． 67．新定义一种运算：．例如：． (1)求的值； (2)解方程：． 68．对于有理数a，b，定义了一种“”的新运算，具体为： (1)计算：①    ② (2)若是关于x的一元一次方程的解，求m的值． 69．关于x的方程的解与的解互为相反数． (1)求的值； (2)根据方程解的定义试说明关于t的方程有无数解． 70．对于整数，，，，定义，如：； (1)计算：的值； (2)当时，求的值． 【经典例题八 一元一次方程解的拓展问题】 71．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”，例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 72．已知a、b为有理数，且，若关于x的一元一次方程的解为，则此方程为“合并式方程”．例如：，∴此方程为“合并式方程”，请根据上述定义解答下列问题： (1)一元一次方程是否是“合并式方程”？并说明理由； (2)若关于x的一元一次方程是“合并式方程”，且它的解为，求a、b的值． 73． 定义：若，则称a与b是关于2的平衡数． (1)3与__________是关于2的平衡数，与__________（填一个含x的式子）是关于2的平衡数； (2)若，判断a与b是不是关于2的平衡数，并说明理由； (3)若，且c与d是关于2的平衡数，x为正整数，求非负整数k的值． 74．解一元一次方程时，发现这样一种特殊情况：的解为，恰巧，我们将这种类型的方程做如下定义：如果一个方程的解满足，则称它为“巧合方程”，请解决以下问题． (1)请判断方程是否是巧合方程：______（直接写“是”或“不是”）； (2)已知方程是巧合方程，请求出b的值； (3)若和都是巧合方程，请求出的值． 75．定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“美好方程”，求关于的一元一次方程的解． 76．定义：若，则称与是关于3的实验数． (1)4与__________是关于3的实验数，__________与是关于3的实验数．（用含的代数式表示） (2)若，，判断与是否是关于3的实验数，并说明理由． (3)若，，且与是关于3的实验数，求． 77．定义：若关于的一元一次方程（的常数）的解满足，则称该方程为“差解方程”，例如：方程的解为，而，，则方程为“差解方程”，根据题意，解决下面问题： (1)方程________（填“是”或“不是”）“差解方程”； (2)关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值； (3)若是“差解方程”，试求k的值． 78．我们规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 (1)判断：方程________差解方程；（填“是”或“不是”） (2)若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； (3)已知关于x的一元一次方程和n都是“差解方程”，求代数式的值． 79．方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”． (1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则______； (2)若关于的方程是“立信方程”，请求出符合要求的正整数的值． 80．定义：若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个数互为“奇妙数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“奇妙数”． (1)判断与是否互为“奇妙数”，并说明理由； (2)若有理数与互为“奇妙数”，与互为相反数，求代数式的值； (3)对于有理数且，设的“奇妙数”为；的倒数；的“奇妙数”为；的倒数为；……；依次按如上的操作，得到一组数．当时，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 解一元一次方程80道计算题专项训练（8大题型） 【题型目录】 题型一 解简单的一元一次方程 题型二 解复杂的一元一次方程 题型三 解含绝对值的一元一次方程 题型四 有规律的一元一次方程问题 题型五 根据两个一元一次方程的关系求解 题型六 一元一次方程的整数解问题 题型七 一元一次方程的新定义问题 题型八 一元一次方程解的拓展问题 【经典例题一 解简单的一元一次方程】 1．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： （1）按照合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 2．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解： ， ， ， ， ． 3．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键． （1）移项、合并同类项、系数化为，据此求出方程的解即可； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，据此求出方程的解即可． 【详解】（1）解：移项得 合并得 系数化为得； （2）去分母得 去括号得 移项得 合并得 系数化为得． 4．解方程∶ (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的步骤是解本题的关键． （1）利用去括号、移项、合并同类项、系数化为，即可得到答案； （2）利用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，即可得到答案； 【详解】（1）解：整理得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为得：； （2）解：方程整理得：， 去括号得： 移项合并得：， 解得：． 5．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解方程的步骤是解题的关键． （1）先将分母去掉，然后再把括号去掉，再移项、合并同类项，系数化1即可得出x的值； （2）先整理，然后去分母，去括号，再移项、合并同类项，系数化1即可得出x的值； 【详解】（1） 去分母得：， 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得：； （2）． 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得：． 6．解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程； （1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解： 移项， 合并同类项， 化系数为1， （2）解： 去分母， 去括号， 移项， 合并同类项， 化系数为1， 7．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解此题的关键 （1）先移项、合并同类项、最后合并同类项即可得到答案； （2）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1，计算即可得到答案； （3）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，计算即可得到答案； （4）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，计算即可得到答案． 【详解】（1） 移项，得：， 合并同类项，得：， （2） 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化成1，得：； （3） 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化成1，得：； （4） 整理，得：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化成1，得：； 8．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是关键； （1）先去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为1即可； （2）去分母，再去括号，移项、合并同类项，最后系数化为1即可． 【详解】（1）解：去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：方程两边同乘6，得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：； 9．解下列方程 (1) (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是： （1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （4）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．． 【详解】（1）解：， 移项，得 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：， 去括号，得， 移项，得 合并同类项，得， 系数化为1，得； （3）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得； （4）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 10．解下列方程： (1)； (2)； (3)． (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键； （1）根据移项，合并同类项，化系数为1计算即可； （2）根据去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可； （3）根据去分母，合并同类项与移项，化系数为1计算即可； （4）根据去分母，去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可． 【详解】（1）解： 移项合并得：， 解得：； （2） 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化为1：； （3） 去分母得：， 移项合并得：， 解得： （4） 去分母，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 【经典例题二 解复杂的一元一次方程】 11．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查解一元一次方程，根据方程的特点选择恰当的解法是解题的关键， （1）去分母解方程即可； （2）先去括号，再移项，合并同类项解方程． 【详解】（1）解：原方程可变形为． 方程两边分别通分后相加，得， 即． 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 两边同时除以5，得． （2）去中括号，得． 去小括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 两边同时除以，得． 12．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，理解一元一次一次方程的解题步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，是解答关键. （1）先去括号，再移项，合并同类项，系数化1求解； （2）先去中括号，再去小括号，再移项，合并同类项，系数化1求解． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：去中括号，得， 去小括号，得， 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 13．解方程 (1)； (2)； (3) 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键； （1）根据去分母，去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可； （2）根据去分母，去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可； （3）根据去分母，去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可． 【详解】（1）解：， ， （2） （3） 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 化系数为1得：． 14．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程． （1）按解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求解即可； （2）先利用分数的基本性质，把分子、分母化为整数，再按解一元一次方程的一般步骤求解即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：原方程可变形为：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 15．解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了解一元一次方程的知识． （1）根据一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1解答即可； （2）根据一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1解答即可； （3）根据一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1解答即可． 【详解】（1）解： 去括号得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，； （2） 去分母得， 去括号得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，； （3） 原方程可变为， 去括号得， 移项合并同类项得，， 系数化为1得， 16．解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查的是解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步骤是解决此题的关键． （1）移项、合并同类项、系数化1即可； （2）去括号、移项、合并同类项、系数化1即可； （3）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1即可 （4）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17．解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键； （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可求解； （3）方程两边同时乘以，依次去括号，即可求解； （4）先裂项化简，再通分，然后系数化为1即可． 【详解】（1）解： ， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 化系数为1，； （2）解：， 去分母，， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 化系数为1，； （3）解： 两边同时乘以，得， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； （4） 裂项，得：， 化简，得：， 通分，得：， 系数化为1，得： 18．解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的求解，准确计算是解题的关键；根据去括号法则进行化简计算一元一次方程即可． 【详解】解：原方程化为：， 两边同乘以35，得：， 去括号，得：， 两边同乘以3得：， 移项，合并同类项得：． 19．解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键. （1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可； （2）原方程利用分数的基本性质变形后，按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可. 【详解】（1）解： 去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得，； （2）解： 原方程可化为： 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得，． 20．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)7 (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的加减混合运算，解一元一次方程， （1）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减； （2）利用有理数的乘法分配律求解即可； （3）先去括号，再合并同类项求解即可； （4）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 【经典例题三 解含绝对值的一元一次方程】 21．解绝对值方程：． 【答案】原方程无解 【分析】本题主要考查了绝对值方程，根据绝对值的意义分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，先化简绝对值，然后分别求出结果即可． 【详解】解：当时，原方程化为，解得：（舍去）； 当时，原方程化为，解得：（舍去）； 当时，原方程化为，解得：（舍去）； ∴原方程无解． 22．先阅读下面的解题过程，然后解答问题（1）、（2）、（3）． 例：解绝对值方程：． 解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是． ②当时，原方程可化为，它的解是． ∴原方程的解为或． (1)依例题的解法，方程的解是______； (2)依例题的解法，解方程：； (3)依例题的解法，方程的解是______． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【分析】本题考查了解一元一次方程、绝对值： （1）分类讨论：①当时，②当时，去绝对值并解一元一次方程即可求解； （2）分类讨论：①当时，②当时，去绝对值并解一元一次方程即可求解； （3）分类讨论：①当，②当，③当时，去绝对值并解一元一次方程即可求解； 利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：讨论：①当时，原方程可化为， 解得：． ②当时，原方程可化为， 解得：． ∴原方程的解为或， 故答案为：或． （2）， ①当时，原方程可化为，它的解是； ②当时，原方程可化为，它的解是； ∴原方程的解为或． （3）， ①当，即时，原方程可化为，它的解是； ②当，即时，原方程可化为，它的解是； ③当时，原方程可化为，此时方程无解； ∴原方程的解为或． 故答案为：或． 23．根据绝对值定义，若有，则或，若，则，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：． 解：方程可化为： 或， 当时，则有：，所以， 当时，则有：；所以， 故，方程的解为或， (1)解方程：； (2)已知，求的值． 【答案】(1)或 (2)12或 【分析】本题考查了绝对值的意义、解一元一次方程，解决本题的关键是理解绝对值的意义，熟练掌握解一元一次方程的步骤． （1）根据绝对值的意义和解一元一次方程的步骤进行计算即可； （2）根据绝对值的意义可得或，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：解方程：， 或， 解得或， 故方程的解为或； （2）解：已知， 或， 解得或 所以的值为12或， 答：的值为12或． 24．阅读下题和解题过程：化简，使结果不含绝对值． 解：①当时，即时， 原式； ②当，即时， 原式 这种解题的方法叫“分类讨论法”． 请你用“分类讨论法”解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）分两种情况讨论，当 时或 时，先去掉绝对值，再化简即可． （2）分两种情况讨论，当 时或 时，去掉绝对值，再化简即可． 【详解】（1）解：①当时， 即， ， 解得：； ②当， 即， ， 解得：； 方程的解为或； （2）①当时， 即， ， 解得：； ②当， 即， ， 解得：； 方程的解为或． 【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用，关键是能正确去掉绝对值符号． 25．阅读下题和解题过程：化简：，使结果不含绝对值． 解：当时，即时：原式； 当时，即时：原式． 这种解题的方法叫“分类讨论法”． 请你用“分类讨论法”解一元一次方程：． 【答案】或 【详解】试题分析：分为两种情况，当2x﹣1≥0或2x﹣1＜0，先去掉绝对值符号，求出即可． 试题解析：解：当2x﹣1≥0时，原方程可化为：2x﹣1=3，解得：x=2，当2x﹣1＜0时，原方程化为﹣（2x﹣1）=3，解得：x=﹣1，即原方程的解为x=2或x=﹣1． 点睛：本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用，关键是能正确去掉绝对值符号． 26．阅读下列有关材料并解决有关问题． 我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式． 例如：化简代数式时，可令和，分别求得和（称-1，2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的三种情况：①；②；③．化简时，对应三种情况为：①当时 ，原式；②当时，原式；③当时 ，原式． 通过以上阅读，请你解决问题： （1）零点值是_________和__________； （2）化简代数式； （3）解方程； （4）的最小值为_________，此时的取值范围为____________． 【答案】（1）3，﹣4；（2）当时，；当时，；当时，；（3）或；（4）2025， 【分析】（1）令和，求出x的值即可得出的零点值； （2）由题意可得：零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：、和，分三种情况求出的值即可； （3）在（2）的情况下，分别建立方程求解即可； （4）首先根据题意求解出原式中对应的零点值，再根据材料过程进行不同范围分类讨论，最后即可得出结果． 【详解】解：（1）令和，解得：和， 故答案为：3，﹣4． （2）当时，； 当时，； 当时，， 综上所述，． （3）当时，，解得； 当时，，方程无解； 当时，，解得； ∴方程的解为或． （4）中的零点值分别为：， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 显然，当时，原式取得最小值，最小值为2025， 故答案为：2025，． 【点睛】本题考查化简绝对值，仔细阅读材料，明确绝对值的代数意义是解题关键． 27．阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得和（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：（1）；（2）；（3）．从而化简代数式可分以下种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式． 综上讨论，原式 通过以上阅读，请你解决以下问题： （1）分别求出和的零点值； （2）化简代数式； （3）解方程． 【答案】（1）分别令和，分别求出x的值即可；（2）分、和三种情况分别化简即可；（3）根据（2）的结果，解方程即可． 【详解】试题分析： 试题解析：解：（1）分别令和，分别求得和． 所以和的零点值分别为和． （2）当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． 综上讨论，原式 （3）当时，，解得； 当时，，解得． 所以原方程的解为或． 考点：新概念、整式的加减、一元一次方程． 28．阅读下列材料： 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：，，……都是含有绝对值的方程． 怎样才能求出含有绝对值的方程的解？ 以方程和为例来探求解法． 探究思路： 根据绝对值的意义，把绝对值的符号去掉，含有绝对值的方程转化为一元一次方程进行求解． 探究结论： 1．解方程． 解：根据绝对值的意义可得：或． 2．解方程． 分析：把看作一个整体． 解：根据绝对值的意义可得：或， 解得：或． 应用材料中的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了绝对值的意义、解一元一次方程，正确理解绝对值的意义是解此题的关键． （1）根据绝对值的意义可得：或，再解一元一次方程即可得解； （2）根据绝对值的意义可得：或，再解一元一次方程即可得解． 【详解】（1）解：根据绝对值的意义可得：或， 解得：或； （2）解：根据绝对值的意义可得：或， 解得：或． 29．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)请画出数轴，将下列各数在数轴上表示出来，并用“<”连接： ，，，，， (2)如果，那么______； (3)若数轴上表示数a的点位于与之间，则_____． 【答案】(1)数轴见解析，； (2)1或 (3)8 【分析】（1）先准确画出数轴，然后找到各数对应的点，再根据数轴上的数左边比右边的数小，用“”连接即可； （2）根据绝对值的意义求解即可； （3）由题意易得，，然后根据绝对值的性质可进行求解． 【详解】（1）解：，， 数轴如图所示： 用“”连接为：； （2）解：∵， ， 或． 故答案为：1或； （3）解：∵数轴上表示数a的点位于与之间， ∴，， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了数轴，相反数，绝对值，解一元一次方程及合并同类项，准确在数轴上找到各数对应的点是解题的关键． 30．小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的x的取值范围是什么，最小值是什么．” 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．” 小明说：“利用数轴可以解决这个问题．” 他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，式子的最小值为3． 请你根据他们的解题思路解决下面的问题． (1)当式子取最小值时，最小值是__________． (2)已知，y的最大值是__________． (3)已知：，则__________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了绝对值，解一元一次方程； （1）根据线段上的点与线段的端点的距离最小，可得答案； （2）根据两个绝对值，可得分类的标准，根据每一段的范围，可得到答案． （3）分，，化简绝对值，进而解方程，即可求解． 【详解】（1）解：当时，原式，此时；当时，原式；当时，原式， 当时，取最小值时，最小值为． 故答案为． （2）解：当时， 当时，，当时，最大； 当，时， 综上所以时，有最大值． 故答案为：10． （3）解：， 当时，原方程可以化为， 解得： （舍去）， 当时，原方程可以化为， 解得：， 当时，原方程可以化为， ， 综上所述，或； 故答案为：3或18． 【经典例题四 有规律的一元一次方程问题】 31．已知：，，， (1)按上述规律填空∶ ． (2)计算： (3)根据以上规律解方程： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，根据变化找出规律，正确运用计算法则求解； （1）根据题意得到规律即可解答； （2）先根据题意得到规律然后将原式进行拆项求解即可； （3）现根据规律整理方程，然后解方程即可； 【详解】（1）根据题意得： ， 故答案为：； （2） ； （3） 整理方程得： 解得：． 32．观察下列关于x的方程，并回答问题． ①的解是； ②的解是； ③的解是； … (1)猜想方程的解为______； (2)根据观察得到的规律，直接写出第2024个方程的解______； (3)根据观察得到的规律，写出解为的方程是____________． 【答案】(1)6 (2) (3) 【分析】本题考查数字类规律探究，解一元一次方程，根据已知方程及其解的特征总结规律是解题关键． （1）观察关于x的方程可得出第n个方程为，且其解为，再结合所给方程即得出答案； （2）根据（1）所得规律解答即可； （3）根据（1）所得规律，分析得出是第个方程的解，再写出这个方程即可． 【详解】（1）解：观察关于x的方程可得出第n个方程为，其解为， 因为，即， 所以该方程的解为； （2）解：由（1）可知第2024个方程的解； （3）解：因为， 所以由（1）可知，该解为第个方程的解， 所以这个方程是，即． 33．（1）如表，方程1，方程2，方程3，．．．是按照一定规律排列的一列方程，解方程1，并将它的解填在表中的横线处； 序号 方程 方程的解 1 _____　 2 3 ．．． ．．． ．．． （2）方程的解是，求a的值．该方程是不是（1）中所给出的一列方程中的一个方程？如果是，它是第几个方程？ 【答案】（1）； （2），方程是（1）中所给出的一列方程中的一个方程，且是第11个方程． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，数字类的规律型探索，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次方程的方法． （1）根据去括号，移项，合并，系数化为1的步骤求解即可； （2）把代入方程中求出a的值，然后找出（1）中方程的规律即可得到答案． 【详解】解：（1） 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：， 故答案为：； （2）∵方程的解是， ∴， ∴， 解得， ∵方程的解为， 方程的解为， 方程的解为， ∴方程的解为， ∴方程是（1）中所给出的一列方程中的一个方程，且是第11个方程． 34．观察算式：；；；；… (1)按照这个规律可得：__________； (2)请你用以上规律计算：； (3)解方程：． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）按照题目中得出的规律得出结果即可； （2）按照题目中得出的规律进行计算即可； （3）将方程变形为，根据解析（2）中的结果原方程可变为，求出x的值即可． 【详解】（1）解：∵； ； ； ； … ∴； 故答案为：． （2）解： ； （3）解： ， ． 【点睛】本题主要考查了数字规律探索，解题的关键是根据已知条件得出一般规律． 35．观察下列关于x的方程及其解的特征： 的解为； 的解为； 的解为； … 根据观察得到的规律，解答下列问题： (1)方程的解为___________； (2)猜想方程的解，并检证； (3)直接写出按此规律排列的第2023个方程___________． 【答案】(1)； (2)，验证见解析； (3)． 【分析】（1）根据已知方程及其解的特征可以得到规律的解为，即可得到答案； （2）根据（1）规律猜想方程解为，再解方程验证即可； （3）根据（1）规律即可得到答案 【详解】（1）解：观察已知方程及其解的特征可以得到规律的解为， 方程的解为； 故答案为：； （2）解：方程的解为， 验证：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项合并，得：， 系数化1，得：； （3）解：观察已知方程及其解的特征可以得到规律的解为， 第2023个方程为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字类规律探究，解一元一次方程，根据已知方程及其解的特征总结规律是解题关键． 36．观察下列方程： ①的解是， ②的解是， ③的解是，…… (1)根据观察得到的规律，直接写出其中解是的方程，并检验． (2)直接请写出第n个方程和它的解．（n为正整数） 【答案】(1)，检验见解析 (2)第n个方程为，它的解为 【分析】（1）根据题目所给方程找到规律求解，并验证即可； （2）根据题目所给方程找到规律求解即可 【详解】（1）解：由题意得满足题意的方程为：， 验证如下：去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：观察可知方程右边分子为x，分母为（n为序号）的2倍，方程右边的分数，分子为，分母为2，而解为， ∴第n个方程为，它的解为． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． 37．现有一列按某种规律排列的方程： 方程1：，方程2：，方程3：…… 并且方程1的解是，方程2的解是，…… (1)求方程3的解； (2)写出这列方程中： ①解是的方程； ②第n个方程． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）观察方程，得到规律，即可得到方程3的解； （2）①根据方程的规律，即可写出解是的方程； ②根据方程的规律，即可写出第n个方程． 【详解】（1）观察： 方程1：， 方程2：， 方程3： ∴方程的解的规律为：． ∴的解为． （2）①由上述方程，得出规律：方程：， ∴当时， 解得 ∴方程为： ∴方程为：． ②由上述可知：第个方程为：． 【点睛】本题考查整式加减的探究规律，解题的关键是得到整数的规律，根据规律解题． 38．观察下图： 下列每一副图都是由一些单位长度均为1的黑方格和白方格按一定的规律组成（下面所有方格均指的单位为1的小方格） (1)根据规律，第4个图中共有_______个方格，其中黑方格_______块． (2)第n个图形中，白方格共有_______个（用n表示，n为正整数） (3)有没有可能黑方格比白方格恰好少2022个，如果有，求出是第几个图形；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)45；12 (2)7n+5 (3)没有可能，理由见解析 【分析】（1）由前面3个图形的白方格与黑方格的规律，可得第4个图形所有方格数及其中黑方格数； （3）由（2）可得关于n的方程，解方程即可，若n是整数，则有，否则没有． 【详解】（1）第1个图形中，共有3×5=15（个）方格，其中黑方格有3个；第2个图形中，共有5×5=25（个）方格，其中黑方格有2×3=6（个）；第3个图形中，共有7×5=35（个）方格，其中黑方格有3×3=9（个）；则第4个图形中，共有9×5=45（个）方格，其中黑方格有4×3=12（个）； 故答案为：45；12 （2）由（1）得出规律：第n个图形中，共有方格：5(2n+1)个方格，其中黑方格有：3n个，则白方格有：个； 故答案为：7n+5 （3）没有可能，理由如下： 由（2）知，黑方格有：3n个，白方格有：(7n+5)个， 7n+5-3n=2022， 解得：， 由于n不是整数，所以没有可能黑方格比白方格恰好少2022个． 【点睛】本题是规律探索问题，考查了列代数式，解一元一次方程等知识，由特殊到一般是解决本题的关键． 39．已知表②，表③分别是从表①中选取的一部分，表①中第一行第四个数是3，第二行第三个数是5，根据表①中的规律，解答下列问题： (1)表①中第四行第五个数是__________； (2)表②，表③中的，的和是__________； (3)求表①中第四行第几个数是107？ (4)表①中第行第7个数是___________（用含的代数式表示）． 【答案】(1)19 (2)37 (3)27； (4)7n-1 【分析】（1）第四行后面每个数字是前面数字+4； （2）根据表②位于表格第三列，下面的数字是上面数字+3，所以a=14+3，表③位于表格中第6，7列，b=13+7，从而求解； （3）表①中第四行第一个数为3，第n个数为3+4（n-1），将107代入求解； （4）第n行第一个数为n-1，第七个数为n-1+（7-1）n． 【详解】（1）解：由表格①可得第四行后面每个数字是前面数字+4， ∴第五个数为15+4=19． 故答案为：19； （2）解：根据表②位于表格第三列，下面的数字是上面数字+3， ∴a=14+3=17， ③位于表格中第6，7列，b位于第7列， ∴b=13+7=20， ∴a+b=37． 故答案为37； （3）解：表①中第四行第一个数为3，第n个数为3+4（n-1）， 当3+4（n-1）=107时， 解得n=27； （4）解：第n行第一个数为n-1，第七个数为n-1+（7-1）n=7n-1． 故答案为：7n-1． 【点睛】本题考查了数字的变化规律问题，解题关键是根据表格找出第几行第几列的数字表示规律． 40．（1）如表，方程1，方程2，方程3，．．．是按照一定规律排列的一列方程，解方程1，并将它的解填在表中的横线处； 序号 方程 方程的解 1 ﹣（x﹣2）＝1 x＝ 　 　　 2 ﹣（x﹣3）＝1 x＝ 3 x＝ ．．． ．．． ．．． （2）方程﹣（x﹣a）＝1的解是x＝，求a的值．该方程是不是（1）中所给出的一列方程中的一个方程？如果是，它是第几个方程？ 【答案】（1）；（2），方程是（1）中所给出的一列方程中的一个方程，且是第11个方程． 【分析】（1）根据去括号，移项，合并，系数化为1的步骤求解即可； （2）把代入方程中求出a的值，然后找出（1）中方程的规律即可得到答案． 【详解】解：（1） 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：， 故答案为：； （2）∵方程的解是， ∴， ∴， 解得， ∵方程的解为， 方程的解为， 方程的解为， ∴方程的解为， ∴方程是（1）中所给出的一列方程中的一个方程，且是第11个方程． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，数字类的规律型探索，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次方程的方法． 【经典例题五 根据两个一元一次方程的关系求解】 41． 已知方程是关于x的一元一次方程． (1)求a的值． (2)已知方程和上述方程同解，求m的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查了一元一次方程的定义及解一元一次方程： （1）根据一元一次方程的定义得且，进而可求解； （2）先解方程，再根据方程同解的意义，将其解代入即可求解； 熟练掌握一元一次方程的定义及方程同解的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意得： 且， 解得：且， ． （2）， 整理得：， 即：， 解得：， 由（1）得：， 将其代入得：， 方程和方程同解， ， 解得：． 42．已知关于的方程． (1)若该方程与方程同解，试求的值； (2)当为何值时，该方程的解比关于的方程的解大2？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解方程，得，然后把代入方程求解即可； （2）分别求出两个方程的解（都是关于m的代数式），再根据两个方程解的关系得到关于m的方程，求解即可． 【详解】（1）解方程，得， 把代入方程，得， 解得：； （2）解方程，得， 解方程，得， ∵方程的解比关于的方程的解大2， ∴， 解这个方程，得：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的求解，正确理解题意、熟练掌握解一元一次方程的方法是关键． 43．已知方程是关于的一元一次方程． (1)求的值． (2)已知方程和上述方程同解，求式子的值． 【答案】(1) (2)-2 【分析】（1）由一元一次方程的定义可知且，从而可求得a的值． （2）求出方程的解，再代入方程求出m的值即可求解． 【详解】（1）方程是关于的一元一次方程， 且． ． （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 方程和方程同解， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，解一元一次方程，同解方程，掌握以上基础知识是解题的关键． 44．若方程的解与方程的解相同，求关于x的方程的解． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，先解方程得到，进而根据题意得到是方程的解，把代入方程中求出，再把代入方程中进行求解即可． 【详解】解：解方程得， ∵方程的解与方程的解相同， ∴是方程的解， ∴， ∴， ∴方程即为方程， 解得． 45．若关于的方程的解是关的方程的解的6倍，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了一元一次方程的解，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 分别解两个方程，根据“方程的解是关于的方程的解的6倍”，得到关于的一元一次方程，解之即可． 【详解】解：解方程得： ， 解方程得： ， 根据题意得： ， 解得： ． 46．当k取何值时，关于x的方程和的解相同？ 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，先求出第一个方程的解，把方程的解代入第二个方程得出关于的方程，解关于的方程即可得答案． 【详解】解：解得， 把代入，得 ， 解得， 故当时，关于的方程和的解相同． 47．如果方程的解与方程的解相同，求式子的值． 【答案】 【分析】本题主要考查的是同解方程，理解同解方程的概念是解题的关键． 先求得方程的解，然后代入另一个方程求得a的值，最后，再求得代数式的值即可． 【详解】解：解方程得：， 将代入得：， 解得： ， ∴． 48．已知关于的方程为一元一次方程，且该方程的解与关于的方程的解相同．求、的值． 【答案】， 【分析】本题考查一元一次方程的定义，解一元一次方程，先根据方程的定义，求出的值，然后解第一个方程，求出的值，代入第二个方程，得到关于的方程，再进行求解即可． 【详解】解：∵为一元一次方程， ∴， ∴， ∴方程化为：，解得：， 把代入，得：， 解得：； 故：，． 49．已知关于x的方程，若该方程的解与方程的解互为相反数，求m的值． 【答案】m的值为0 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，相反数的定义，先解方程得出，得出方程的解为，把代入解关于m的方程即可． 【详解】解：， 解得：， ∵方程的解为与方程的解互为相反数， ∴方程的解为， 把代入方程，得： ， 解得：． 故m的值为0． 50．若方程的解与关于x的方程的解相同，确定字母a的值． 【答案】． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，先解方程得到，再由题意可得是关于x的方程的解，则，解方程即可得到答案． 【详解】解： 去括号得：， 解得， ∵方程的解与关于x的方程的解相同， ∴是关于x的方程的解， ∴， ∴， 解得． 【经典例题六 一元一次方程的整数解问题】 51．同学们都知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： (1)求 ； (2)若，则 ； (3)请你找出所有符合条件的整数，使得． 【答案】(1)6 (2)7或 (3)或或0或1 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，熟练掌握其基础知识是解题的关键． （1）利用绝对值的意义去绝对值即可求解． （2）利用绝对值是意义去绝对值即可求解． （3）令，得：，令，得：，又，利用数轴上两点之间的距离即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：6． （2）解：由得： 当时，解得：， 当时，解得：， 故答案为：7或． （3）解：令，得：， 令，得：， 又， 则，表示的是x到1和之间的距离之和， ， 符合条件的整数为：或或0或1． 52．已知关于的方程有整数解，且是整数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解方程，解题的关键是先将a看作已知数，得出，根据x为整数，得出或，再求出a的值即可． 【详解】解： 去括号得：， 整理得：， 解得， 当或时，是整数， ∴． 53．若是整数，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，根据题意得出或是解题关键． 【详解】解：是整数， 也为整数， ， 或， ,即：； ,即：； ,即：； ,即：； 综上所述： 故答案为：． 54．已知关于的方程． (1)当时，求方程的解； (2)若，方程的解是整数，则有最 （填“大”或“小”）值，这个值是 ，此时， ． 【答案】(1) (2)小，1，2 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解此题的关键． （1）当时，原方程为：，再根据解一元一次方程的步骤进行计算即可得出答案； （2）求出，由，得出，再结合方程的解是整数，得出有最小值，这个值是，从而得出答案． 【详解】（1）解：当时，原方程为：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 当时，方程的解为； （2）解：， ， ， ， ∵， ∴原方程的解为． ∵原方程的解是整数，且， 则， 又∵最小的正整数为1， ∴当时，取得最小值，最小值， 即有最小值，这个值是1，此时，． （3）故答案为：小，1，2． 55．已知关于的一元一次方程，其中为整数 (1)求的值 (2)若该方程与方程同解，求的值 (3)若该方程有整数解，求的值 【答案】(1)2 (2)7 (3)或或或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义、解一元一次方程、一元一次方程的解等知识，熟练掌握一元一次方程的定义是解题关键． （1）一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，据此即可获得答案； （2）首先解方程可得，然后将代入方程并求解，即可获得答案； （3）根据题意，当时，，易知当取、时才能使该方程有整数解为整数，然后求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，方程为关于的一元一次方程， ∴，， 解得，， ∴的值为2； （2）解方程，可得， 依题意得，方程的解为， 将代入方程， 可得， 解得， ∴的值为7； （3）解：∵关于的一元一次方程有整数解， ∴当时，， ∵当取、时才能使该方程有整数解为整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，或或或． 56．已知关于x的一元一次方程，其中k为常数． (1)若是该方程的解，求k的值； (2)若该方程的解为正整数，求满足条件的所有整数k的值． 【答案】(1) (2)，，， 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键． （1）把代入方程解关于的方程即可； （2）解方程得，根据方程的解为正整数可得可能为1，2，3，6，解题即可求出k的值． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得； （2）解： 解得：， ∵方程的解为正整数， ∴可能为1，2，3，6， 故k的值为，，，． 57．对于有理数m、n定义一种新运算“”：．等式右边是通常的四则运算．例如． (1)若，则______，______ (2)已知，且y为整数，求所有满足条件的整数a的值． 【答案】(1)6； (2) 【分析】本题主要考查了定义新运算，有理数的混合运算．熟练掌握新新运算法则，有理数混合运算的顺序和法则，解一元一次方程，一次不定方程，是解决问题的关键． （1）根据新运算法则，进行计算即可； （2）根据新运算法则，列出一元一次方程，求解即可； （3）根据新运算法则，求出的关系式，再根据y、a的值为整数，给定y值求出a值即可． 【详解】（1）∵，且， ∴， 解得，； ∴； 故答案为：6，； （2）∵，且， ∴ ∴ ∵y、a都是整数， ∴，且， ∴． 58．若关于x的一元一次方程：的解是，其中a，m，k为常数． (1)当时，则______； (2)当时，且m是整数，求正整数k的值； 【答案】(1) (2)1或2 【分析】（1）由题意得：，再将带入原方程即可求解． （2）将带入原方程求出方程的解，再利用条件分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 将带入原方程得：， 解得：， 故答案为：． （2）将带入原方程得：， 解得：， 由于m是整数， 或或， 解得：或或（舍去）， 正整数k的值为：1或2． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解得意义，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 59．已知当时，代数式的值为0；关于y的方程的解为； (1)求的值； (2)若规定表示不超过a的最大整数，例如：，请在此规定下求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把时，代数式，根据代数式值为0，得出m的值，将m的值和代入，求出n的值，即可求出； （2）先计算出，再根据题目所给新定义即可求解． 【详解】（1）解：∵当时，代数式的值为0， ∴将代入，得，解得 ∵关于的方程的解为， ∴将代入，得， 解得． ∴． （2）解：由（1）知，， ∴． 【点睛】本题考查了方程的解的定义，以及解方程，正确求得m，n的值是关键． 60．阅读与理解：已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值． 解：，，因为关于x的方程，有正整数解，所以为正整数，因为k为整数，所以或，所以或； 探究与应用：应用上边的解题方法，已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值． 【答案】7或4或3或2 【分析】移项合并可得，由此可判断出k所能取得的整数值． 【详解】解：， ， ， ， 因为关于x的方程有正整数解， 所以为正整数， 因为k为整数， 所以或或或， 解得或或或． 故整数k的值为7或4或3或2． 【点睛】本题考查解一元一次方程的知识，注意理解方程的解为整数所表示的含义． 【经典例题七 一元一次方程的新定义问题】 61．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．例如：． (1)计算：； (2)若，求的值． 【答案】(1)6； (2)的值为． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，有理数混合运算及新定义： （1）根据新定义可得，据此计算求解即可； （2）根据新定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ∴ 解得：， 的值为． 62．根据绝对值定义，若有，则或，若，则，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：． 解：方程可化为：或， 当时，则有，； 当时，则有，； 综上，方程的解为或． (1)解方程：； (2)已知，求的值． 【答案】(1)或 (2)12或20 【分析】本题考查了绝对值的意义，解一元一次方程，熟练掌握绝对值的意义是解此题的关键． （1）由绝对值的意义可得或，再解一元一次方程即可得解； （2）由绝对值的意义可得或，将看成整体解方程即可得解． 【详解】（1）解：解方程：， 或， 解得：或； 方程的解为或； （2）解：∵， ∴或， 解得：或， ∴的值为或20． 63．定义运算例如：． (1)计算； (2)，求x的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查的是有理数的混合运算，根据新规定的运算法则列出算式和方程是解题的关键． （1）根据新定义的运算规则，将和代入计算即可； （2）根据新定义的运算规则，将和x代入可得关于x的一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ， ， ． 64．用“”定义一种新运算：对于任意有理数，规定，如． (1)求； (2)若，求的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数的四则运算，解一元一次方程等知识，理解新运算的规则，正确进行计算是解题的关键； （1）按定义的新运算规则进行计算即可； （2）按定义的新运算规则进行计算，得到一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解：由于， 所以， 两边乘2，得：， 整理，得：， 解得：． 65．定义， 例如：，． 请完成下列问题： (1)_________，_________． (2)已知，求的值． (3)当时，求的值． 【答案】(1)4；2 (2)10 (3)或2 【分析】本题主要考查定义新运算，根据运算法则进行计算是解答本题的关键． （1）根据定义新运算法则进行计算即可； （2）根据定义新运算法则列出方程，求出的值，再求的值即可； （3）根据定义新运算法则列出方程，求出的值，再求的值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ； 故答案为：4；2； （2）解：∵， ∴， 解得，， ∴； （3）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴或， 当时，； 当时，； 综上，的值为或2． 66．阅读下列材料： 让我们来定义一种运算：，例如：，再如：． 按照这种运算的规定，请解答下列问题． (1)______（只填最后结果）； (2)求的值，使（写出解题过程）． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元一次方程与有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，将所给式子转换为正常运算． （1）首先根据题意可得，则可求得答案； （2）由，根据题意可得一元一次方程：，解此方程即可求得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， ， 解得：． 67．新定义一种运算：．例如：． (1)求的值； (2)解方程：． 【答案】(1)25 (2) 【分析】本题主要考查有理数的运算和解一元一次方程，牢记有理数运算的法则和解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照新运算计算即可； （2）按照新运算转化为，再解方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 解得：． 68．对于有理数a，b，定义了一种“”的新运算，具体为： (1)计算：①    ② (2)若是关于x的一元一次方程的解，求m的值． 【答案】(1)①3，② (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算以及解一元一次方程， （1）①根据新运算定义列式计算即可；②根据新运算定义列式计算即可； （2）根据新运算定义列方程求解即可； 解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 【详解】（1）解：①∵， ∴ ； ②∵， ∴ ； （2）解：由题意得， 当时，，解得， 当时，，解得（舍去）， 综上所述，m的值为1． 69．关于x的方程的解与的解互为相反数． (1)求的值； (2)根据方程解的定义试说明关于t的方程有无数解． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查一元一次方程的解，结合已知条件求得的值是解题的关键． （1）根据一元一次方程解的意义求得的值后代入中计算即可； （2）结合（1）中所求，根据一元一次方程解的意义即可得出结论． 【详解】（1）解：解方程得：， ∵两个方程的根互为相反数， ∴另一个方程的根为， 把代入方程， 得：， 解这个方程得：， ∴． （2）解：∵， ∴可化为， ∵任何数代入均成立， ∴关于t的方程有无数解． 70．对于整数，，，，定义，如：； (1)计算：的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解一元一次方程，能根据新定义得出方程是解此题的关键． （1）根据新定义得出，进一步计算即可求解； （2）根据新定义得出，再解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 解得． 【经典例题八 一元一次方程解的拓展问题】 71．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”，例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1)m的值为9 (2)或 (3)2024 【分析】本题考查一元一次方程以及新定义． （1）分别表示出两个方程的解，根据定义可知两个方程的解之和为1，可得方程，求解即可； （2）根据定义可得或，求解即可； （3）先求解可得，再将化为，即可求解． 【详解】（1）解：解方程得： 解方程得： ∵关于x的方程与方程是“美好方程” ∴  解得： 答：m的值为9； （2）∵“美好方程”的两个解之和为1 ∴另一个方程的解为 ∵“美好方程”的两个解的差为8 ∴或 ∴或； （3）∵ ∴ ∵关于x的一元一次方程和是“美好方程” ∴的解为： ∵关于y的一元一次方程可化为 ∴ ∴． 72．已知a、b为有理数，且，若关于x的一元一次方程的解为，则此方程为“合并式方程”．例如：，∴此方程为“合并式方程”，请根据上述定义解答下列问题： (1)一元一次方程是否是“合并式方程”？并说明理由； (2)若关于x的一元一次方程是“合并式方程”，且它的解为，求a、b的值． 【答案】(1)不是合并式方程，理由见解析； (2)． 【分析】（1）根据“合并式方程”的定义进行计算即可； （2）由“合并式方程”的定义可得，解方程组即可． 本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，已知式子的值求代数值的值，理解一元一次方程的解的定义以及“合并式方程”的定义是解决问题的关键． 【详解】（1）解：依题意，一元一次方程的解为， 而， ∴一元一次方程不是“合并式方程”； （2）解： 关于的一元一次方程是“合并式方程”，且它的解为， ， 即， ∵，它的解为， ∴ 把代入 得 解得， 再把代入 解得， 答：． 73． 定义：若，则称a与b是关于2的平衡数． (1)3与__________是关于2的平衡数，与__________（填一个含x的式子）是关于2的平衡数； (2)若，判断a与b是不是关于2的平衡数，并说明理由； (3)若，且c与d是关于2的平衡数，x为正整数，求非负整数k的值． 【答案】(1)， (2)a与b是关于2的平衡数，理由见解析 (3)非负整数k的值为0或1或3 【分析】本题考查整式的加减，解一元一次方程，解题的关键读懂“关于2的平衡数”的定义． （1）根据“关于2的平衡数”定义列式计算即可； （2）求出根据整式的加减计算法则求出，再根据“关于2的平衡数”的定义判断； （3）根据已知列出方程，由x为正整数即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴3与是关于2的平衡数． ∵， ∴与是关于2的平衡数； （2）解：a与b是关于2的平衡数，理由如下： ∵， ∴ ， ∴a与b是关于2的平衡数； （3）解：∵c与d是关于2的平衡数， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵x为正整数，k为非负整数， ∴当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴非负整数k的值为0或1或3． 74．解一元一次方程时，发现这样一种特殊情况：的解为，恰巧，我们将这种类型的方程做如下定义：如果一个方程的解满足，则称它为“巧合方程”，请解决以下问题． (1)请判断方程是否是巧合方程：______（直接写“是”或“不是”）； (2)已知方程是巧合方程，请求出b的值； (3)若和都是巧合方程，请求出的值． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，本题是阅读型题目，理解题干中的新定义并熟练应用是解题的关键． （1）解原方程，利用“巧合方程”的定义进行验证即可； （2）先解方程，再根据“巧合方程”定义，建立关于b的方程求解即可； （3）同理（2）求出，n的值，代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ， 是巧合方程； （2）解： ， 方程是巧合方程， ； （3）解： ， 方程是巧合方程， ，即， 解得：； 解得：， 方程是巧合方程， ， ， ， ， 解得：， ． 75．定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“美好方程”，求关于的一元一次方程的解． 【答案】(1)； (2)或； (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． （1）先表示两个方程的解，再求解； （2）根据条件建立关于的方程，再求解； （3）由关于的一元一次方程和是“美好方程”，可求出的解为，再将变形为，则，从而求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵关于的方程与方程是“美好方程” ∴， ∴． （2）解：∵“美好方程”的两个解和为，其中一个解为， ∴另一个方程的解是 ∵两个解的差是 ∴或 ∴或； （3）解：∵ ∴ ∵关于的一元一次方程和是“美好方程” ∴关于的一元一次方程的解为： ∴关于的一元一次方程可化为 ∴ ∴． 76．定义：若，则称与是关于3的实验数． (1)4与__________是关于3的实验数，__________与是关于3的实验数．（用含的代数式表示） (2)若，，判断与是否是关于3的实验数，并说明理由． (3)若，，且与是关于3的实验数，求． 【答案】(1)， (2)是，见解析 (3) 【分析】本题考查了实数运算、整式的加减、解方程，化简绝对值，解题关键是准确理解新定义，熟练运用整式运算法则和解方程方法进行计算． （1）根据实验数的定义，列式，可得答案； 即可； （2）将两式相减得出结果是否是3，根据实验数的定义判断即可； （3）根据实验数的定义，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴4与是关于3的实验数，与是关于3的实验数． （2）a与b是关于3 的实验数， 理由：∵ ， ∴a与b是关于3 的实验数； （3）∵c与d是关于3的实验数，，， ∴， 即， 当时，原方程化简为，此时； 当时，原方程化简为，解得： 当时，原方程化简为，方程无解； ∴x的值为的任意实数． 77．定义：若关于的一元一次方程（的常数）的解满足，则称该方程为“差解方程”，例如：方程的解为，而，，则方程为“差解方程”，根据题意，解决下面问题： (1)方程________（填“是”或“不是”）“差解方程”； (2)关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值； (3)若是“差解方程”，试求k的值． 【答案】(1)不是 (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，理解“差解方程”的定义是解此题的关键． （1）求出方程的解，根据“差解方程”的定义判断即可得出答案； （2）根据“差解方程”的定义得出关于的方程，解方程即可得出答案； （3）由题意得出是方程的一个解，由定义得，从而得出，即，再分情况求解即可得出答案． 【详解】（1）解：解得：， ∵， ∴方程不是“差解方程”； （2）解：∵一元一次方程是“差解方程”， ∴由题意，得， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴是方程的一个解， ∴， 由定义得：， ∴， ∴， 当，即时，由得出此时方程无解，则不存在， 当，即时，， 综上所述，． 78．我们规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 (1)判断：方程________差解方程；（填“是”或“不是”） (2)若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； (3)已知关于x的一元一次方程和n都是“差解方程”，求代数式的值． 【答案】(1)是 (2) (3)0 【分析】此题考查了方程的解和解一元一次方程、求代数式的值，整体代入和正确理解新定义是解题的关键． （1）根据差解方程的定义进行验证即可； （2）根据差解方程的定义得到，即可得到答案； （3）根据差解方程的定义分别求出，，整体代入即可求出答案． 【详解】（1）解：∵的解是， ∴方程是“差解方程”， 故答案为：是； （2）∵是“差解方程”， ， ； （3）是“差解方程”， ， ， ， 是“差解方程”， ， ， ， ． 79．方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”． (1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则______； (2)若关于的方程是“立信方程”，请求出符合要求的正整数的值． 【答案】(1)3 (2)符合要求的正整数的值为4，6，18． 【分析】本题考查方程的解，解一元一次方程．理解并掌握方程的解的定义，“立信方程”的定义，是解题的关键． （1）先求出的解，再将方程的解代入，求出的值即可； （2）求出方程的解，根据方程是“立信方程”得到方程的解为整数，进行求解即可． 【详解】（1）， 解得：， 的解也是关于的方程的解， ，解得：； 故答案为：3； （2）， 解得：， 是“立信方程”， 是整数， 或， 解得：或或（不合题意，舍去）或， 符合要求的正整数的值为4，6，18． 80．定义：若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个数互为“奇妙数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“奇妙数”． (1)判断与是否互为“奇妙数”，并说明理由； (2)若有理数与互为“奇妙数”，与互为相反数，求代数式的值； (3)对于有理数且，设的“奇妙数”为；的倒数；的“奇妙数”为；的倒数为；……；依次按如上的操作，得到一组数．当时，求的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查有理数的运算，代数式求值，数字类规律探究，掌握“奇妙数”的定义，是解题的关键． （1）根据“奇妙数”的定义，进行判断即可； （2）根据“奇妙数”的定义，得到，相反数的定义，得到，将代数式化简后，整体代入法求值即可； （3）先求出前几个数，得到这组数6个为一组进行循环，进而求出的值即可． 【详解】（1）解：是，理由如下： ∵，， ∴； 故与互为“奇妙数”； （2）∵与互为“奇妙数”，与互为相反数， ∴，， ∴ ； （3）当，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴这组数6个为一组进行循环， ∵， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！64 学科网（北京）股份有限公司 $$