2024-2025学年沪科版数学九年级下册全册综合复习素质评价 试题

2024-2025学年沪科版数学九年级下册 全册综合复习素质评价 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(　　) 2. 文房四宝是中国古代传统文化中的文书工具，即笔、墨、纸、砚，也是安徽的特产，被联合国教科文组织列为世界级“非物质文化遗产”，如图是一个砚台，则其俯视图是(　　) 3．如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝40°，则∠D＝(　　) A．80° B．50° C．40° D．20° 4．从，3.14，，－中随机抽取一个数，此数是无理数的概率是(　　) A. B. C. D．1 5．如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为(　　) A．25 B．25 C. D. 6. A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成△ABC，在他们中间放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的(　　) A．三边垂直平分线的交点处 B．三边中线的交点处 C．三条角平分线的交点处 D．三边高的交点处 7．如图，点A的坐标为(－2，1)，点B的坐标为(0，4)，将线段AB绕点O按顺时针方向旋转得到对应线段A′B′，若点A′恰好落在x轴上，则点B′到x轴的距离为(　　) A. B. C. D. 8．如图，网格纸中每个小正方形的边长均为1，以小正方形的顶点为圆心，2为半径做了一个扇形，用该扇形围成一个圆锥的侧面，针对此做法，小明和小亮通过计算得出以下结论：小明说此圆锥的侧面积为π；小亮说此圆锥的底面周长为π，下列判断正确的是(　　) A．只有小亮对 B．只有小明对 C．两人都对 D．两人都不对 9. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算圆的面积，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.141 6.若圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形的面积近似估计圆的面积，可得π的估计值为3.如图，若用半径为1的圆的内接正八边形的面积作近似估计，可得π的估计值为(　　) A. B．2 C．2 D. 10．如图，已知直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是以C(0，1)为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA，PB，则△PAB面积的最大值是(　　) A．8 B．12 C. D. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11．青年创意田园里的小火车共有3节车厢，且从任意一节车厢上车的机会均等，研学游期间团小瑶、团小海两位同学同时乘坐同一列小火车，则这两位同学从同一节车厢上车的概率是__________． 12．如图，AB是半圆O的直径，以弦AC为折痕折叠后，恰好经过点O，则∠AOC等于________． 13．如图，从半径为9 cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为________． 14．2024·河南如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝3，线段CD绕点C在平面内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E.若CD＝1，则AE的最大值为________，最小值为________． 三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15．如图所示为一个几何体的三视图． (1)写出这个几何体的名称； (2)求该几何体侧面展开图的面积． 16．一个不透明的盒子里有3个相同的小球，将3个小球分别标上号码1、2、3，每次从盒子里随机取出1个小球且取后放回，预计取球10次．规定每次取球时，取出的球上的号码即为得分，前8次的取球得分情况如下表所示： 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分 2 1 1 2 2 3 2 3 (1)设第1次至第8次取球得分的平均数为n，求n的值； (2)求事件“第9次和第10次取球得分的平均数等于n”发生的概率． 四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17. 玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扁圆形器物，据《尔雅·释器》记载“肉好若一，谓之环”，其中“肉”指玉质部分(边)，“好”指中央的孔．结合图①“肉好若一”的含义可以表示为：中孔直径d＝2h.图②是一枚破损的汉代玉环，为修复原貌，需推算出该玉环的孔径尺寸．如图③，文物修复专家将破损玉环的外围边缘表示为弧AB，设弧AB所在圆的圆心为O，测得弧AB所对的弦AB＝12 cm，半径OC⊥AB于点D，测得CD＝3 cm，连接OB，求该玉环中孔半径的长． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－2，2)，B(－1，4)，C(－4，5)，请解答下列问题： (1)若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为(1，0)，作出△A1B1C1并写出其余两个顶点的坐标； (2)将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，作出△A2B2C2； (3)若将△A1B1C1绕某一点P旋转也可得到△A2B2C2，直接写出旋转中心点P的坐标． 五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19．九年级数学课外小组在开展活动时，设计了这样一个数学活动．有A、B 两组卡片，每组各3张，A组卡片上分别写有1，3，5；B组卡片上分别写有－3，－2，－1.每张卡片除正面写有的数字不同外，其余均相同．甲从A组中随机抽取一张，将上面所写的数字记为x，乙从B组中随机抽取一张，将上面所写的数字记为y. (1)若甲抽出的数字是1，乙抽出的数字是－3，它们恰好是x－my＝7的解，求m的值； (2)在(1)的条件下，求甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程x－my＝7的解的概率． 20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA交BC于点D. (1)求证：∠OAC与∠B互余； (2)若AD＝6，BD＝10，CD＝8，求⊙O的半径． 六、(本题满分12分) 21．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点O在对角线BD上，以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O交BC于点E，连接DE. (1)当⊙O的半径为时，⊙O与直线AD的位置关系是怎样的？请说明理由； (2)若DE是⊙O的切线，请求出线段DE的长． 七、(本题满分12分) 22．为了培养学生学习数学的兴趣，激发学生学习潜能，学校准备开展“爱数学、用数学”夏令营活动．学校对各班参加夏令营的学生人数情况进行了统计．已知全校共1 000名学生，统计发现各班参加夏令营的学生人数有2名、3名、4名、5名、6名，共五种情况，并将其制成了如图所示的两幅不完整的统计图： (1)该校一共有________个班，在扇形统计图中，参加夏令营的学生人数为5名的班级数所对应的扇形圆心角的度数是________； (2)请将条形统计图补充完整； (3)为了了解学生在这次活动中的感受，学校准备从只有2名学生参加夏令营的班级中任选两名学生参加活动总结会，请用列表或画树状图的方法，求所选的两名学生恰好来自同一个班级的概率． 八、(本题满分14分) 23．如图①，在正方形ABCD中，P是边BC上的动点，点E在△ABP的外接圆上，且位于正方形ABCD的内部，连接AE，EP，EA＝EP. (1)求证：△PAE是等腰直角三角形； (2)如图②，连接DE，过点E作EF⊥BC于点F，请探究线段DE与PF的数量关系，并说明理由； (3)若DE＝4，当点P是BC的三等分点时，求BC的长． 答案 一、1.C　【点拨】A.是轴对称图形，不是中心对称图形；B.是轴对称图形，不是中心对称图形；C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；D.是轴对称图形，不是中心对称图形．故选C. 2 .C 3. B　【点拨】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∵∠BAC＝40°，∴∠B＝50°. ∴∠D＝∠B＝50°. 故选B. 4 .A　【点拨】从，3.14，，－中随机抽取一个数共有4种等可能的结果，抽到无理数的结果只有这1种，所以此数是无理数的概率是.故选A. 5. D　【点拨】连接OC， ∵C是的中点，∠AOB＝120°， ∴∠AOC＝∠BOC＝60°， 又∵OA＝OC＝OB， ∴△OAC和△OBC都是等边三角形， ∴S四边形AOBC＝2××52＝． 故选D. 【点方法】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到∠AOC＝∠BOC＝60 °，易得△OAC和△OBC都是等边三角形，利用等边三角形的面积公式即可解决问题． 6. A　【点拨】为使游戏公平，应使凳子到三名同学的距离相等，利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，凳子应放在三边垂直平分线的交点处． 故选A. 7. B　【点拨】如图，连接OA，OB′，过点B′作B′H⊥x轴于点H，过点A作AT⊥OB于点T. ∵点A的坐标为(－2，1)，点B的坐标为(0，4)， ∴AT＝2，OT＝1，OB＝4， ∴OA＝＝， ∴OA′＝OA＝， 由题易知S△OA′B′＝S△OAB＝×4×2＝4， ∴OA′·B′H＝4， ∴B′H＝＝， ∴点B′到x轴的距离为． 故选B. 8. A　 【点拨】如图，由题意知， OB＝2，OA＝1，∠OAB＝90°， ∵cos∠AOB＝＝， ∴∠AOB＝60°， ∴该扇形的圆心角为60°＋90°＝150°， ∴S扇形＝＝π，l扇形＝＝π， ∴圆锥的侧面积为π，圆锥的底面周长为π， ∴小明不对，小亮对． 故选A. 9. B　【点拨】如图，过点A作AC⊥OB于点C， ∵用半径为1的圆的内接正八边形面积作近似估计， ∴∠AOB＝45°，OA＝1， ∴AC＝， ∴△AOB的面积为×1×＝)， ∴正八边形的面积为8×＝2， ∴π的估计值为2． 故选B. 【点方法】作AC⊥OB于点C，利用等腰直角三角形的性质求出△AOB的面积，从而得出正八边形的面积，进而解决问题． 10. C　【点拨】过C作CM⊥AB于M，连接AC，如图， ∵直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于A，B两点， ∴易得A点的坐标为(4，0)，B点的坐标为(0，－3)， ∴OA＝4，OB＝3，由勾股定理得AB＝5. ∵C(0，1)，∴BC＝4. 由三角形面积公式得S△ABC＝AB·CM＝BC·OA， ∴5CM＝16，∴CM＝， ∴⊙C上点到直线y＝x－3的最大距离是1＋＝， ∴△PAB面积的最大值是×5×＝. 【点技巧】本题考查线圆最值问题，当动点P、圆心C和垂足M三点共线时，点P到直线的距离取得最大值或最小值. ) 二、11.　【点拨】3节车厢用A、B、C表示，根据题意画树状图如图： 所有等可能的情况有9种，其中两位同学从同一节车厢上车的情况有3种，∴P＝＝. 故答案为. 12. 120°　【点拨】如图，设点O关于直线AC的对称点是Q，连接AQ，OQ，OQ交AC于点M， 则AC垂直平分OQ， ∴AQ＝AO，OM⊥AC. 又∵OQ＝OA， ∴OQ＝AQ＝OA， ∴△AQO是等边三角形， ∴∠AOQ＝60°， ∵OM⊥AC，OA＝OC， ∴∠COQ＝∠AOQ＝60°， ∴AOC＝60°＋60°＝120°. 13. 3cm　【点拨】设圆锥的底面圆的半径为r cm，根据题意得2π·r＝，解得r＝6，所以这个圆锥的高为＝3(cm)． 14.2＋1；2－1　【点拨】∵BE⊥AE， ∴∠BEA＝90°， ∴点E是在以AB为直径的圆上运动． ∵CD绕点C旋转，且CD＝1， ∴点D是在以C为圆心，1为半径的圆上运动． 由题易得AB＝AC＝3，AE＝AB·cos∠BAE， ∴当cos∠BAE最大时，AE最大； 当cos∠BAE最小时，AE最小． ①如图①，当AE与⊙C相切于点D，且点D在△ABC内部时，∠BAE最小，∴cos∠BAE最大，∴AE最大，连接CE. ∵AE与⊙C相切于点D，∴∠ADC＝∠CDE＝90°， ∴AD＝＝2. ∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠CBA＝∠CAB＝45°. ∵＝， ∴∠CEA＝∠CBA＝45°， ∴DE＝CD＝1， 此时AE＝2＋1，即AE的最大值为2＋1. ②如图②，当AE与⊙C相切于点D，且点D在△ABC外部时，∠BAE最大，∴cos∠BAE最小，∴AE最小，连接CE. 同理可得AD＝2，DE＝1， 此时AE＝2－1，即AE的最小值为2－1. 三、15.【解】(1)这个几何体的名称为圆锥． (2)底面周长为π×8＝8π(cm)， 母线长为＝4 (cm)， ∴该几何体侧面展开图的面积为×4×8π＝16π(cm2)． 16.【解】(1)n＝(2＋1＋1＋2＋2＋3＋2＋3)÷8＝2. (2)第9次和第10次取球得分的平均数等于n也就是两次取出的球上的数的和为4，用列表法列出所有可能出现的情况如下： 第9次 1 2 3 第10 次 1 (1，1) (2，1) (3，1) 2 (1，2) (2，2) (3，2) 3 (1，3) (2，3) (3，3) 共有9种等可能的情况，其中和为4的有3种， ∴P(两数和为4)＝＝， ∴事件“第9次和第10次取球得分的平均数等于n”发生的概率为. 四、17.【解】∵OC⊥AB， ∴AD＝DB＝AB＝×12＝6(cm)． 设OB＝OC＝r cm， 在Rt△ODB中，由勾股定理得，OB2＝OD2＋BD2， ∴r2＝(r－3)2＋62，∴r＝7.5. ∴由题意得该玉环中孔半径的长为×7.5＝3.75(cm)． 18. 【解】(1)△A1B1C1如图所示． 点A1(3，－3)，点B1(4，－1)． (2)△A2B2C2如图所示． (3)P(5，0)．　【点拨】如图，点P即为所求的旋转中心， ∴旋转中心点P的坐标为(5，0)． 【点方法】由旋转的性质可知，对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，即点P是A1A2、B1B2、C1C2这三条线段的垂直平分线的交点．) 五、19.【解】(1)∵x＝1，y＝－3是x－my＝7的解，∴1－(－3m)＝7，∴m＝2. (2)列表如下： 乙 －3 －2 －1 甲 1 (1，－3) (1，－2) (1，－1) 3 (3，－3) (3，－2) (3，－1) 5 (5，－3) (5，－2) (5，－1) 共有9种等可能的情况，其中是方程x－2y＝7的解的有(1，－3)，(3，－2)，(5，－1)，共3种， ∴甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程x－my＝7的解的概率为＝. 20.(1)【证明】如图，延长AO交⊙O于点E，连接CE， ∵AE是圆的直径，∴∠ACE＝90°， ∴∠OAC＋∠E＝90°， ∵∠B＝∠E，∴∠OAC＋∠B＝90°， 即∠OAC与∠B互余． (2)【解】∵∠B＝∠E，∠ADB＝∠CDE， ∴△ADB∽△CDE，∴＝，即＝， ∴DE＝，∴AE＝＋6＝， ∴⊙O的半径为×＝. 六、21.【解】(1)⊙O与直线AD相切． 理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°， ∴在Rt△ADB中，BD＝＝10. ∵⊙O的半径为，∴BO＝， ∴DO＝BD－BO＝. 如图，过点O作OF⊥AD于点F， ∴OF∥AB， ∴△DFO∽△DAB， ∴＝，即 ＝， ∴OF＝.∵⊙O的半径为， ∴⊙O与直线AD相切． (2)如图，连接OE， ∵DE是⊙O的切线， ∴OE⊥DE，∴∠OEB＋∠DEC＝90°， 在矩形ABCD中， ∵∠C＝90°，BC＝AD＝8， DC＝AB＝6， ∴∠DEC＋∠EDC＝90°，∴∠OEB＝∠EDC. ∵OB＝OE， ∴∠OEB＝∠DBC，∴∠EDC＝∠DBC， ∴cos∠EDC＝＝cos∠DBC＝， ∴＝，∴DE＝. 七、22. 【解】(1)20；90°　【点拨】该校一共有的班级数为6÷30%＝20(个)，在扇形统计图中，参加夏令营的学生人数为5名的班级数所对应的扇形圆心角的度数是360°×＝90°. (2)参加夏令营的学生人数为2名的班级数为20－5－6－5－2＝2(个)， 将条形统计图补充完整如图． (3)把参加夏令营的学生人数为2名的其中一个班级的学生记为A、B，另一个班级的学生记为C、D， 画树状图如图： 共有12种等可能的结果，其中所选的两名学生恰好来自同一个班级的结果有4种， ∴所选的两名学生恰好来自同一个班级的概率为＝. 八、23.(1)【证明】∵点E在△ABP的外接圆上， ∴四边形ABPE内接于圆， ∴∠AEP＋∠B＝180°， ∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°， ∴∠AEP＝90°， 又∵EA＝EP，∴△PAE是等腰直角三角形． (2)【解】DE＝PF. 理由如下：如图，延长FE交AD于点H， ∵EF⊥BC，BC∥AD， ∴EH⊥AD， ∴∠AHE＝∠EFP＝90°， ∴∠EAH＋∠AEH＝90°. ∵∠AEP＝90°， ∴∠PEF＋∠AEH＝90°， ∴∠EAH＝∠PEF， 又∵EA＝EP，∴△EAH≌△PEF， ∴AH＝EF，EH＝PF. ∵AD＝DC＝HF，∴AH＋HD＝EF＋HE， ∴HD＝HE＝PF，∴DE＝HE＝PF. (3)【解】由(2)知DE＝PF. ∵DE＝4，∴PF＝2． ∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝∠HDC＝90°， ∵EH⊥AD，∴∠EHD＝∠C＝∠HDC＝90°， ∴四边形HDCF是矩形，∴FC＝HD＝PF＝2， ∴PC＝PF＋FC＝4． ∵点P是BC的三等分点， ∴BC＝3PC＝12或 BC＝PC＝6． 【点方法】本题为考查圆的综合题，同时也考查了等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定和性质，解答本题需要我们熟练运用各部分的知识，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来. ( 7 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$