第26章概率初步 单元测试 2024-2025学年沪科版数学九年级下册

第26章概率初步 综合素质评价 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 1．二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季(立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨)，夏季(立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑)，秋季(立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降)，冬季(立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒)，若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为(　　) A. B. C. D. 2．下列事件中属于必然事件的有(　　) ①检查生产流水线上的一个产品，是合格品； ②三条线段组成一个三角形； ③a是实数，则|a|＞0； ④367个人中至少有2个人生日相同． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3. 从1，2，3，4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程ax2＋3x＋c＝0有实数根的概率为(　　) A. B. C. D. 4．如图，公园里的方桌旁有4个圆凳，甲、乙、丙、丁4人随机坐到这4个圆凳上，则甲坐在乙对面的概率为(　　) A. B. C. D. 5．用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若一个转盘的指针指向红色，另一个转盘的指针指向蓝色，则可配得紫色，配得紫色的概率为(　　) A. B. C. D. 6．假期同学们去张大爷的鲢鱼塘参观，小刚同学问张大爷：“您的鱼塘里大约有多少尾鲢鱼啊？”张大爷笑着说：“前段时间我往鱼塘放入150尾鲤鱼，后来我打捞几次发现，每次打捞的鱼中鲤鱼的频率稳定在0.02左右，你自己算算鱼塘里有多少尾鲢鱼吧！”那么张大爷的鱼塘里大约有鲢鱼(　　) A．7 350尾 B．7 500尾 C．7 650尾 D．7 800尾 7．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，现从P1，P2，P3，P4四个点中任选一个，则能使△ABP与△ABC全等的概率是(　　) A. B. C. D．1 8．甲、乙两名同学在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出的统计图如图所示，符合这一试验结果的可能是(　　) A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上 B．从一个装有只有颜色不同的2个白球和1个红球的不透明袋子中随机取一球，取到红球 C．抛一枚1元钱的硬币，出现正面朝上 D．从标有数字1到10的十张只有所标数字不同的纸牌中随机抽取一张，所标数字是2的倍数 9．小明同学拿了A，B，C，D四把钥匙去开教室前、后门的锁，其中A钥匙只能开前门，B钥匙只能开后门，C，D无法打开门，则任意取出一把钥匙能够一次打开教室门的概率是(　　) A. B. C．1 D. 10．《周易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白点(1，3，5，7，9)为阳数，黑点(2，4，6，8，10)为阴数，现从阳数和阴数中各取1个数，则取出的2个数之和是5的倍数的概率是(　　) A. B. C. D. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11．一组线段长度分别为1，2，2，3，任取三条，恰好能组成等腰三角形的概率是 ________． 12．已知函数y＝(3k＋1)x＋5(k为常数)，若从－3≤k≤3中任取k值，则得到的函数是具有性质“y随x的增大而减小”的一次函数的概率为________． 13．将一些棱长为1的小正方体用胶水粘合成一个如图所示的积木，但其内部是中空的，且内部留出尽可能大的空心空间，然后将该积木表面涂上颜色后，又按照粘合处把积木拆开成一个个棱长为1的小正方体，再把这些小正方体装在一个不透明的塑料袋中．如果从塑料袋中随意摸出一个小正方体，那么摸出的小正方体恰好只有一面涂了颜色的概率是________． 14. 在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，正方形边上的整点称为边整点，如图，从内向外作的第一个正方形有4个边整点，第二个正方形有8个边整点，第三个正方形有12个边整点，…，按此规律继续作下去，若从内向外共作了5个这样的正方形，那么其边整点共有________个，这些边整点落在函数y＝的图象上的概率是________． 三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15．已知一只不透明的箱子中装有除颜色外其余完全相同的红、黄、蓝色球，共50个，从中任意摸出一个球，摸到红、蓝色球的概率分别为0.2和0.5. (1)试求黄色球的数量； (2)若向箱中再放进a个红色球，这时从箱子中任意摸出一球是红色球的概率为，求a的值． 16．小明在上学的路上要经过多个路口，每个路口都设有红、黄、绿三种信号灯，假设在各路口遇到信号灯是随机的，互相之间无影响． (1)如果有2个路口，求小明在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率；(请用“画树状图”或“列表”的方法写出分析过程) (2)如果有n个路口，则小明在每个路口都没有遇到红灯的概率是________． 四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17．将形状、大小完全相同，分别标有数字－2，0，1，2的四张卡片反面朝上，摆放在桌面上．先随机不放回地抽取一张，记下数字为x，然后在剩下的三张卡片中随机抽取一张，记下数字为y. (1)计算x＋y的结果为0的概率． (2)甲、乙两名同学做一个游戏，其规则是：若x，y满足xy＞0，则甲胜；若x，y满足xy＜0，则乙胜．这个游戏规则公平吗？请说明理由． 18. 如图是“飞行棋”棋盘的一部分，其游戏规则如下： 在某局游戏的过程中，一枚棋子刚好停在A处． (1)掷1次骰子，移动后该棋子到D处的概率是____________________； (2)掷2次骰子，求移动后该棋子恰好到E处的概率． 五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19．某研发机构新培育了一种玉米种子，在相同条件下该种玉米种子发芽的试验结果如图所示． 根据试验结果回答下列问题． (1)估计这种玉米种子发芽的概率是________(精确到0.1)． (2)如果该种玉米种子发芽后的成秧率为90%，那么在相同条件下种10 000粒该种玉米种子大约可得到多少棵玉米秧苗？ 20．有六张完全相同的卡片，分A、B两组，每组三张，在A组的卡片上分别画上“√”“×”“√”，在B组的卡片上分别画上“√”“×”“×”，如图①所示． (1)若将卡片无标记的一面朝上摆在桌上，再分别从两组卡片中随机各抽取一张，求两张卡片上的标记都是“√”的概率(请用画树状图法或列表法求解)． (2)若把A、B两组卡片无标记的一面对应粘贴在一起得到3张卡片，其正、反两面的标记如图②所示，将卡片正面朝上摆放在桌上，并用瓶盖盖住标记． ①若随机揭开其中一个盖子，看到的标记是“√”的概率是多少？ ②若揭开盖子，看到的卡片正面标记是“√”后，猜想它的反面也是“√”，求猜对的概率． 六、(本题满分12分) 21．西西正参加电视台组织的智力竞答节目，只要答对最后两道单选题就能顺利通关，每道单选题都有A、B、C三个选项．这两道题西西都不会，只能在A、B、C三个选项中随机选一项． (1)西西答对第一道单选题的概率是________． (2)若西西可以使用“求助”(每使用一次“求助”可以让主持人去掉一个错误选项)，但是他只有两次“求助”机会，现有两种方案可供西西选择： 方案一：在第一道题中一次性使用两次“求助”机会； 方案二：每道题各使用一次“求助”机会． 请你用画树状图或者列表的方法帮助西西分析哪种方案更有利(三个选项中正确项用“√”表示，错误项用“×”表示)． 七、(本题满分12分) 22．为了解中考体育科目训练情况，现从全市九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试(把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格)，并将测试结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题： (1)本次抽样测试的学生人数是________；图①中∠α的度数是________，并把图②中的条形统计图补充完整； (2)若全市九年级有学生35 000名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的学生有多少名； (3)测试老师想从4名同学(分别记为E、F、G、H，其中E为小明)中随机选择两名同学了解平时训练情况，请用列表或画树状图的方法求出选中小明的概率． 八、(本题满分14分) 23. 某校九年级数学兴趣小组组织一次数学活动．在一座由三道环形成的数字迷宫的每个入口处都标记着一个数，要求进入者把自己看成数字“1”，进入时必须乘入口处的数，并将结果带到下一个入口，依次累乘下去，在通过最后一个入口时，只有乘积是5的倍数，才可以进入迷宫中心，获得奖励，现让小军从最外环任意一个入口进入． (1)小军能进入迷宫中心的概率是多少？请画出树状图进行说明． (2)小组两名组员小张和小李商量做一个小游戏，以猜测小军进迷宫的结果比胜负．游戏规则如下：小军如果能进入迷宫中心，小张和小李各得1分；小军如果不能进入迷宫中心，则他在最后一个入口处所得乘积是奇数时，小张得3分，所得乘积是偶数时，小李得3分．得分大者获胜．你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请在第二道环入口处的两个数中改变其中一个数使游戏公平． (3)在(2)的游戏规则下，让小军从最外环入口任意进入10次，最终小张和小李的总得分之和不超过28分，请问小军至少进入迷宫中心几次？ 答案 一、1.D　【点拨】从二十四个节气中选一个节气，共有24种等可能的结果，抽到的节气在夏季的有6种， 所以抽到的节气在夏季的概率为＝. 故选D. 2. B　【点拨】①检查生产流水线上的一个产品，是合格品，是随机事件； ②三条线段组成一个三角形，是随机事件； ③a是实数，则|a|＞0，是随机事件； ④367个人中至少有2个人生日相同，是必然事件． 综上，属于必然事件的有1个．故选B. 3. D　【点拨】若关于x的一元二次方程ax2＋3x＋c＝0有实数根， 则Δ＝32－4ac≥0， 解得ac≤. 画树状图如图： 由树状图可知，一共有12种等可能的结果，其中使ac≤的结果有2种， ∴关于x的一元二次方程ax2＋3x＋c＝0有实数根的概率为＝. 故选D. 4. C　【点拨】如图，设甲坐在圆凳④上，把其他三个圆凳分别记为①、②、③， 画树状图如图： 共有6种等可能的结果，其中甲坐在乙对面的结果有2种，∴甲坐在乙对面的概率为＝. 故选C. 【点方法】先确定甲的位置，再把其他三个圆凳分别标记，画树状图，共有6种等可能的结果，其中甲坐在乙对面的结果有2种，最后由概率公式求解即可．) 5. D　【点拨】根据两个转盘的形状，可将A转盘的红色部分平均分成2份，B转盘的蓝色部分平均分成2份，画树状图如图： 共有9种等可能的结果，其中两个转盘分别转到红色和蓝色的结果有5种， ∴配得紫色的概率为. 故选D. 【点易错】转盘中红色区域与蓝色区域所占面积不同，其中A转盘红色占，蓝色占；B转盘蓝色占，红色占.) 6 .A　【点拨】设张大爷的鱼塘里大约有x尾鲢鱼， 根据题意，得＝0.02. 解得x＝7 350， 经检验，x＝7 350是方程的解． 故选A. 【点方法】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值可视为概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．) 7. B　【点拨】要使△ABP与△ABC全等，点P可以是P1，P2两个点中的任意一个， ∴从P1，P2，P3，P4四个点中任选一个，能使△ABP与△ABC全等的概率是＝. 故选B. 8. B　【点拨】由题图可知，该结果出现的频率稳定在左右． A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的概率为，故此选项不符合题意； B．从一个装有只有颜色不同的2个白球和1个红球的不透明袋子中随机取一球，取到红球的概率为，故此选项符合题意； C．抛一枚1元钱的硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意； D．从标有数字1到10的十张只有所标数字不同的纸牌中随机抽取一张，所标数字是2的倍数的概率为，故此选项不符合题意． 故选B. 【点方法】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率约为0.33，分别计算四个选项的概率，约为0.33的即为正确答案． 9. D　【点拨】画树状图如图： 共有8种等可能的结果，一次打开教室门的结果有2种，即A钥匙开前门和B钥匙开后门， ∴能够一次打开教室门的概率为＝. 故选D. 10. A　【点拨】列表如下： 阴数 2 4 6 8 10 阳 数 1 (1，2) (1，4) (1，6) (1，8) (1，10) 3 (3，2) (3，4) (3，6) (3，8) (3，10) 5 (5，2) (5，4) (5，6) (5，8) (5，10) 7 (7，2) (7，4) (7，6) (7，8) (7，10) 9 (9，2) (9，4) (9，6) (9，8) (9，10) 共有25种等可能的结果，其中取出的2个数之和是5的倍数的结果有(1，4)，(3，2)，(5，10)，(7，8)，(9，6), 共5种， ∴取出的2个数之和是5的倍数的概率是＝. 故选A. 二、11.　【点拨】根据题意分析可得，从4条长度分别为1，2，2，3的线段中任取三条有4种取法，能组成等腰三角形，即取到两条长度为2的线段的取法有2种，故其概率是. 12. 　【点拨】当3k＋1＜0，即k＜－时，y随x的增大而减小，又∵－3≤k≤3， ∴－3≤k＜－， ∴得到的函数是具有性质“y随x的增大而减小”的一次函数的概率为＝. 故答案为. 13.　【点拨】由图可知，组成积木的小正方体，前、后两面有6×5×2＝60(个)， 左、右两面还有2×5×2＝20(个)， 上、下两面还有4×2×2＝16(个)， ∴小正方体的个数是60＋20＋16＝96(个)， 只有一面涂了颜色的小正方体有4×3×2＋2×3×2＋2×4×2＝24＋12＋16＝52(个)， ∴P(只有一面涂了颜色)＝＝. 故答案为. 14. 60；　【点拨】由题意知第一个正方形有1×4个边整点， 第二个正方形有2×4个边整点， 第三个正方形有3×4个边整点， 则第四个正方形有4×4个边整点， 第五个正方形有5×4个边整点， 所以边整点共有 4＋8＋12＋16＋20＝60(个)， 这些边整点落在函数y＝的图象上的有(1，4)，(4，1)，(2，2)，(－1，－4)，(－4，－1)，(－2，－2)，共6个， 所以这些边整点落在函数y＝的图象上的概率是＝. 三、15.【解】(1)∵摸到红、蓝色球的概率分别为0.2和0.5， ∴摸到黄色球的概率为1－0.2－0.5＝0.3， ∴黄色球的数量为50×0.3＝15(个)． (2)由题意得，(50＋a)＝50×0.2＋a， 解得a＝10. 16.【解】(1)画树状图如图： 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中到第二个路口时第一次遇到红灯的结果有2种， 所以到第二个路口时第一次遇到红灯的概率为. (2)　【点拨】易知小明在第1个路口没有遇到红灯的概率为，到第2个路口还没有遇到红灯的概率为＝2，…. 以此类推，到第n个路口都没有遇到红灯的概率为n. 四、17.【解】(1)画树状图如图： 共有12种等可能的结果，其中x＋y的结果为0的结果有2种， 所以x＋y的结果为0的概率为＝. (2)不平公，理由如下： 由(1)得共有12种等可能的结果，其中xy＞0的结果有2种，所以甲胜的概率为＝； xy＜0的结果有4种，所以乙胜的概率为＝. 因为≠， 所以这个游戏规则不公平． 18.【解】(1)【点拨】由题意知，掷1次骰子，当点数为4时，移动后该棋子到D处． ∵掷1次骰子，点数为4的概率是， ∴掷1次骰子，移动后该棋子到D处的概率是. (2)列表如下： 第1次 1 2 3 4 5 6 第2次 1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6) 2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6) 3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6) 4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6) 5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6) 6 (6，1) (6，2) (6，3) (6，4) (6，5) (6，6) 共有36种等可能的结果，其中移动后该棋子恰好到E处的结果有(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，共5种， ∴移动后该棋子恰好到E处的概率为. 【点技巧】本题等可能的结果共36种，数量较多，且两步操作即可完成，故选择用列表法列举，使书写过程整洁美观． 五、19.【解】(1)0.9　【点拨】由图可知，随着试验粒数增加，这种玉米种子发芽的频率逐渐稳定在0.9附近，故估计这种玉米种子发芽的概率是0.9. (2)10 000×0.9×90%＝8 100(棵)，∴种10 000粒该种玉米种子大约可得到8 100棵玉米秧苗． 20. 【解】(1)列表如下： A组 √ × √ B组 √ (√，√) (×，√) (√，√) × (√，×) (×，×) (√，×) × (√，×) (×，×) (√，×) 共有9种等可能的情况，两张卡片上的标记都是“√”的情况有2种， ∴两张卡片上的标记都是“√”的概率为. (2)①∵三张卡片上正面的标记有三种可能，分别为“√”“×”“√”， ∴随机揭开其中一个盖子，看到的标记是“√”的概率是. ②∵正面标记为“√”的卡片，其反面标记情况有两种可能，分别为“√”“×”， ∴猜想反面也是“√”，猜对的概率是. 六、21.【解】(1)　【点拨】∵第一道单选题有3个选项， ∴西西答对第一道单选题的概率是. (2)如果在第一道题中一次性使用两次“求助”机会，则西西一定能答对第一道题，而他能答对第二道题的概率为，∴此时西西能通关的概率为； 如果每道题各使用一次“求助”机会， 画树状图如图： 由树状图可知，等可能的情况有4种，西西能通关的有1种，∴此时西西能通关的概率为. ∵＞，∴第一种方案更有利． 七、22.【解】(1)40；54° C级的学生人数是40－6－12－8＝14. 补全条形统计图如图①. (2)根据题意得，35 000×＝7 000(名)． 答：估计不及格的学生有7 000名． (3)画树状图如图②： 共有12种等可能的情况，选中小明的有6种， ∴P(选中小明)＝＝. 八、23.【解】(1)画树状图如图． 共有12种等可能的情况，能进入迷宫中心的有4种， ∴小军能进入迷宫中心的概率是＝. (2)不公平．理由如下： 由(1)中树状图可知，P(乘积是5的倍数)＝， P(乘积是非5的倍数的奇数)＝＝， P(乘积是非5的倍数的偶数)＝＝. ∵≠，∴不公平． 可将第二道环入口处的数4改为任意一个奇数． (3)设小军进入迷宫中心x次，则 2x＋3(10－x)≤28， 解得x≥2. ∴小军至少进入迷宫中心2次． ( 12 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$