第24章圆 单元测试 2024-2025学年沪科版数学九年级下册

第24章圆 综合素质评价 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 1. 第33届夏季奥林匹克运动会由法国巴黎举办，于当地时间2024年7月26日开幕，8月11日闭幕．下面的图案是巴黎奥运会的部分运动图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　) 2．如图，AB是⊙O的直径，若∠CDB＝60°，则∠ABC的度数等于(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 3．在平面直角坐标系中，以点(－3，4)为圆心，3为半径的圆(　　) A．与x轴相离，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相交 C．与x轴相切，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离 4．如图，A，B，C是⊙O上的点，且∠ACB＝140°.在这个图中，画出下列度数的圆周角：40°，50°，80°，140°，仅用无刻度的直尺就能画出的圆周角的度数有(　　) A．40°，50°，80° B．40°，80°，140° C．50°，80°，140° D．40°，50°，140° 5．如图，点A，B，C在半径为5的⊙O上，AB＝6，则cosC的值为(　　) A. B. C. D. 6．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O外一点，CB，CD分别与圆相切于点B，D，点E是上任意一点，连接AE，DE，若∠C＝70°，则∠AED＝(　　) A．50° B．40° C．25° D．35° 7．如图，在△ABC中，AB＋AC＝BC，AD⊥BC于点D，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则的值为(　　) A. B. C. D. 8. 如图，已知AB∥MN，以AB为弦的⊙O与MN相切于点P，直径PQ交AB于点E，连接PA，PB，C是上一点，连接AC交PB于点D，连接BC，则下面结论不一定成立的是(　　) A．∠APQ＝∠BPQ B．PA＝PB C．若AC为直径，PA＝4，AC＝10，则BC＝6 D．若AC平分∠PAB，PA＝10，BC＝6，则AC＝ 9. 同一平面内，存在点P使得点P到⊙O上点的最远距离为5，则⊙O的半径r的取值范围是(　　) A．r>5 B．2.5＜r＜5 C．0＜r≤2.5 D．0＜r≤5 10． 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是以A为圆心，2为半径的圆上一动点，连接CE，AE，点P为CE的中点，连接BP，AP，若AC＝a，BD＝b，则BP的最大值为(　　) A.＋1 B.＋1 C. D.＋1 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11．一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示的方式摆放，边AB与直线l重合，AB＝12 cm.现将该三角板绕点B顺时针旋转，使点C的对应点C′落在直线l上，则点A经过的路径长至少为________cm.(结果保留π) 12．如图，在半径为1的⊙O中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°，90°，120°，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是________． 13．如图，AB为直径，点C，D，E都在半圆O上，若AE＝DE＝x，CB＝CD＝x，AB＝2y，则y与x之间的函数关系为________________． 14．如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处(不与点A重合)，连接CB，CD，AD，CD与直径AB交于点E.若AD＝ED，则∠B＝________度，的值等于 ________． 三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15．如图，在△OAB中，OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，将△OAB绕点O逆时针旋转角α(0°＜α＜90°)得到△OA′B′，连接A′A ，A′B. (1)当α＝30°时，求A′B的长度； (2)当A′A＝A′B时，求α的度数． 16．如图，在10×10的网格图中，△ABC的三个顶点都在格点上． (1)在网格图中画出△ABC的外接圆圆O，并在网格图中标出圆心O的位置； (2)在网格图中画出把线段AC绕点C按逆时针方向旋转90°后得到的线段CD，判断点D是否落在圆O上，若点D落在圆O上，直接写出的长． 四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17．如图，用一个半径为12 cm，面积为48π cm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)． (1)求扇形圆心角的度数； (2)求圆锥的高h. 18. 某数学兴趣小组探究只用一张矩形纸条和刻度尺能否测量出一次性纸杯杯口的直径．小聪同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴在杯口上，纸条的边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽3.5 cm，AB＝3 cm，CD＝4 cm.请你帮忙计算纸杯杯口的直径． 五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19．如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，点D为的中点，过点D作DE⊥AB于点F，交AC于点G，交⊙O于点E. (1)求证：GA＝GD； (2)若AC＝12，AF＝3，求圆的半径长． 20．如图，点C为△ABD外接圆上的一动点(点C不在弧BAD上，且不与点B，D重合)，∠ACB＝∠ABD＝45°. (1)求证：BD是该外接圆的直径； (2)连接CD，猜想AC，BC，CD三条线段满足什么样的等量关系，并证明． 六、(本题满分12分) 21. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D. (1)求证：AC是⊙D的切线； (2)求证：AB＋BE＝AC； (3)若BE＝8，且BD∶DC＝3∶5，求AD的长． 七、(本题满分12分) 22．【例题学习】 小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，发现一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这类题目称为“隐圆问题”，这类题目主要有两种类型： ①类型一，“定点＋定长”型：如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝44°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数． 解：若以点A(定点)为圆心，AB(定长)为半径作辅助圆⊙A，则点C，D必在⊙A上，∠BAC是⊙A中所对的圆心角，而∠BDC是所对的圆周角，从而容易得到∠BDC＝22°. ②类型二，“定角＋定弦”型：如图②，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，求线段CP长的最小值． 解：易知∠ABC＝90°，∴∠ABP＋∠PBC＝90°.∵∠PAB＝∠PBC，∴∠PAB＋∠ABP＝90°， ∴∠APB＝90°(定角)，∴点P在以AB(定弦)为直径的圆上． 如图②，取AB的中点O，以OA长为半径作⊙O，连接OC交⊙O于点P，此时线段PC长最小． ∵点O是AB的中点，∴OA＝OB＝3， 在Rt△BCO中，∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3， ∴OC＝＝5，∴PC＝OC－OP＝5－3＝2，∴线段PC长的最小值为2. (1)【问题解决】如图③，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点(点P不与点B，C重合)，连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC长的最小值为________． (2)【问题拓展】如图④，在正方形ABCD中，AD＝4，动点E，F分别在边DC，CB上移动，且满足DE＝CF.连接AE和DF，交于点P. ①请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由； ②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路 径长． 八、(本题满分14分) 23．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD交于点E.已知⊙O的半径为3，CD＝3，∠AEB＝75°. (1)求∠CBD的度数； (2)求AB的长； (3)当△EBC的面积最大时，求BE＋CE的值． 答案 一、1.C　2.A　3.A　4.D　 5.B　【点拨】如图所示， 作直径AD，连接BD， 则∠ABD＝90°. ∵AD＝2×5＝10，AB＝6， ∴BD＝＝8. ∵∠D＝∠C，∴cos C＝cos D＝＝. 6.D　【点拨】如图，连接BD， ∵CB，CD分别切圆于点B，D， ∴CB＝CD，∴∠CBD＝∠CDB. ∵∠C＝70°， ∴∠CBD＝×(180°－70°)＝55°. ∵AB是圆的直径，且CB切圆于点B， ∴∠ABC＝90°， ∴∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝90°－55°＝35°， ∴∠AED＝∠ABD＝35°. 7.A　8.D 9.D　【点拨】如图①，当点P在圆内时， 即2.5＜r≤5； 　 如图②，当点P在圆上时，2r＝5，即r＝2.5； 如图③，当点P在圆外时，即0＜r＜2.5， 综上所述，0＜r≤5，故选D. 10.B　【点拨】如图，连接OP， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO＝AC＝a，BO＝DO＝BD＝b. ∵点P为CE的中点， ∴OP∥AE，且OP＝AE＝1， ∴随着点E的运动，点P的运动轨迹是以O为圆心、1为半径的圆， ∴当B，O，P三点共线时，BP的值最大，为BO＋OP＝＋1.故选B. 二、11.8π　12. 　13y＝x 　14.36； 三、15.【解】(1)∵将△OAB绕点O逆时针旋转角α(0°＜α＜90°)得到△OA′B′，OA＝OB，α＝30°， ∴A′O＝AO＝OB，∠AOA′＝30°. ∵∠AOB＝90°，∴∠A′OB＝60°， ∴△A′OB是等边三角形，∴A′B＝BO＝2. (2)在△A′OB和△AOA′中， ∴△A′OB≌△AOA′， ∴∠BOA′＝∠AOA′＝∠AOB＝45°， ∴α＝45°. 16 .【解】(1)圆O和圆心O的位置如图所示． (2)线段CD如图所示．点D落在圆O上，的长为π. 四、17.【解】(1)设扇形圆心角为n°， ∵扇形铁皮的半径为12 cm，面积为48π cm2， ∴＝48π，解得n＝120， ∴扇形圆心角的度数为120°. (2)设底面圆半径为r cm， 根据题意得2πr＝，解得r＝4. ∴h＝＝＝8(cm)． ∴圆锥的高h为8 cm. 18. 【解】如图，设纸杯杯口所在圆的圆心为O，过点O作MN⊥AB于点N，交CD于点M，连接OD，OB， 则MN＝3.5 cm，BN＝AB＝×3＝1.5 (cm)， ∵CD∥AB，∴MN⊥CD， ∴DM＝CD＝×4＝2 (cm)， 设OM＝x cm，则ON＝MN－OM＝(3.5－x) cm. ∵OM2＋MD2＝OD2，ON2＋BN2＝OB2，OD＝OB， ∴OM2＋MD2＝ON2＋BN2， ∴x2＋22＝(3.5－x)2＋1.52， 解得x＝1.5，即OM＝1.5 cm， ∴OD＝＝＝2.5 (cm)， ∴纸杯杯口的直径为2.5×2＝5 (cm)． 五、19.(1)【证明】如图，连接AD，BD， ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°， ∴∠DAB＋∠ABD＝90°. ∵DE⊥AB，∴∠AFD＝90°， ∴∠DAB＋∠ADE＝90°， ∴∠ADE＝∠ABD. ∵D是的中点，∴＝， ∴∠DAC＝∠ABD， ∴∠ADE＝∠DAC，∴GA＝GD. (2)【解】如图，连接OE. ∵DE⊥AB，∴DF＝EF，＝. ∵＝， ∴＝，∴＋＝＋，即＝， ∴CA＝DE＝12，∴EF＝DE＝6， 设OA＝OE＝x， 在Rt△OEF中，OE2＝EF2＋OF2， 即x2＝62＋(x－3)2，解得x＝， ∴圆的半径长为. 20. (1)【证明】∵弧AB＝弧AB，∴∠ADB＝∠ACB. 又∵∠ACB＝∠ABD＝45°， ∴∠ABD＝∠ADB＝45°， ∴∠BAD＝90°， ∴BD是该外接圆的直径． (2)【解】猜想：AC＝BC＋CD. 证明：如图，把△ACD绕点A顺时针旋转90°得到△AEB， 则AC＝AE，BE＝CD，∠CAE＝90°，∠ABE＝∠ADC. ∵∠ABC＋∠ADC＝180°， ∴∠ABC＋∠ABE＝180°， ∴点E在CB的延长线上， ∴CE＝BC＋BE＝BC＋CD. ∵AE＝AC，∠EAC＝90°， ∴△ACE为等腰直角三角形， ∴易得CE＝AC，∴AC＝BC＋CD. 六、21.(1)【证明】如图，过点D作DF⊥AC于点F， ∵∠B＝90°，∴AB⊥BC. ∵AD平分∠BAC，DF⊥AC， ∴BD＝DF. ∵BD为⊙D的半径， ∴DF为⊙D的半径， ∴AC是⊙D的切线． (2)【证明】在Rt△BDE和Rt△FDC中， ∴Rt△BDE≌Rt△FDC(HL)， ∴EB＝FC. 易得AB＝AF，∴AB＋EB＝AF＋FC， 即AB＋BE＝AC. (3)【解】由(2)可知，BD＝DF，CF＝BE＝8， ∵BD∶DC＝3∶5，∴DF∶DC＝3∶5， 在Rt△CDF中，由勾股定理可知，DF＝6，DC＝10， ∴易得DF∶CF＝3∶4，BC＝BD＋CD＝16. ∵∠CFD＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C， ∴△CDF∽△CAB， ∴DF∶CF＝AB∶CB＝3∶4. ∵BC＝16，∴AB＝12， 在Rt△ABD中，由勾股定理可得AD＝6. 七、22.【解】(1)2 (2)①AE＝DF，AE⊥DF， 理由：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°. 在△ADE和△DCF中， ∴△ADE≌△DCF(SAS)， ∴AE＝DF，∠DAE＝∠FDC. ∵∠ADE＝90°，∴∠ADP＋∠FDC＝90°， ∴∠ADP＋∠DAE＝90°，∴∠APD＝180°－90°＝90°， ∴AE⊥DF. ②如图②，连接AC，BD交于点O， ∵点P在运动中保持∠APD＝90°， 当点E位于点D处时，点P也与点D重合；当点E位于点C处时，点P与点O重合， ∴点P的运动路径是以AD为直径的圆上的弧DO， ∴点P的运动路径长为＝π. 八、23.【解】(1)如图①，连接OC，OD. ∵⊙O的半径为3，CD＝3， ∴OC＝OD＝CD＝3， ∴△OCD是等边三角形， ∴∠COD＝60°. ∵∠CBD＝∠COD，∴∠CBD＝30°. (2)如图②，连接OA，OB， 则OA＝OB＝3. ∵∠CBD＝∠CAD，∠CBD＝30°， ∴∠CAD＝30°. ∵∠AEB＝∠CAD＋∠ADB＝75°， ∴∠ADB＝45°， ∴∠AOB＝2∠ADB＝90°， ∴易得AB＝OA＝3. (3)如图③，过点E作EF⊥BC于点F. ∵∠ACB＝∠ADB＝45°，∴∠CEF＝45°， ∴易得EF＝CF，∴CE＝EF. ∵∠CBD＝30°，EF⊥BC， ∴BE＝2EF＝2CF， ∴BF＝＝CF， ∴BC＝(＋1)EF， ∴S△EBC＝BC·EF＝(＋1)·EF2. ∵EF>0， ∴当EF的值最大时，△EBC的面积最大． ∵⊙O的半径为3，∴BC≤6， ∴(＋1)EF≤6，∴EF≤， 即EF≤3－3，∴EF的最大值为3－3， 此时BE＝2EF＝6－6，CE＝EF＝3－3， ∴BE＋CE＝×(6－6)＋×(3－3)＝18－6＋6－6＝12. 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