2024年辽宁省新中考下二次函数最值问题探索题型专项练习

辽宁省新中考下二次函数最值问题探索题型专项练习 一、单选题 1．新定义：与被称为“同族二次函数”，若和是同族二次函数，则二次函数的开口方向和最值为（    ） A．开口向上，最小值为2018 B．开口向下，最大值为2018 C．开口向上，最小值为2019 D．开口向下，最大值为2019 2．阅读材料：坐标平面内，对于抛物线y＝ax2+bx（a≠0），我们把点（﹣，）称为该抛物线的焦点，把y＝﹣称为该抛物线的准线方程．例如，抛物线y＝x2+2x的焦点为（﹣1，﹣），准线方程是y＝﹣．根据材料，现已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）焦点的纵坐标为3，准线方程为y＝5，则关于二次函数y＝ax2+bx的最值情况，下列说法中正确的是（　　） A．最大值为4 B．最小值为4 C．最大值为3.5 D．最小值为3.5 二、填空题 3．用“描点法”画二次函数的图象时，列出了表格： x … 1 2 3 4 … … 0 0 3 … 那么该二次函数有最 （填“大”或“小”）值为 ． 4．用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了表格：那么该二次函数有最 （填“大”或“小”）值为 ． x 　… 　1 2 3 4 … y＝ax2+bx+c 　… 　0 -1 0 3 … 三、解答题 5．真实情境：课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出a＝－4，求二次函数的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表： a … －4 －2 0 2 4 … x … * 2 0 －2 －4 … y的最小值 … * －9 －3 －5 －15 … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取．x＝－a，就能得到y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．” （2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 6．阅读下面材料：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0），当m≤x≤n时，二次函数在何处取得最值？对此，我们可做如下探究：当a＞0时，观察图①到图④： （1）由图①可知，当x＝n时取最小值，当x＝m时取最大值，点离对称轴越近，函数值越小； （2）由图②、图③可知，当时取最小值，点离对称轴越近，函数值越小； （3）由图④可知，当x＝m时取最小值，当x＝n时取最大值，点离对称轴越近，函数值越小． 结论： ①当抛物线开口向上时，抛物线上的点，离对称轴越近，其对应的函数值越小； ②若对称轴在自变量的取值范围内，则二次函数在时取最小值； ③若对称轴不在自变量的取值范围内，则二次函数在离对称轴最近的点处取得最小值． 请结合以上结论，解决下列问题： （1）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣2，当﹣3≤x≤2时，此时函数的最大值和最小值； （2）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣2在m≤x≤m＋1的范围内有最小值2m，求出m的值； （3）二次函数y＝x2﹣2x﹣2，当m≤x≤n时，m≤y≤n（m≠n），求出此时的m，n的值． 7．课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出a＝－4，求二次函数的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表： a … －4 －2 0 2 4 … x … * 2 0 －2 －4 … y的最小值 … * －9 －3 －5 －15 … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取．x＝－a，就能得到y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．” （2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 8．下面是某数学兴趣小组对二次函数最值问题进行的探究活动： 已知抛物线与直线交于点． 任务一：求的值和直线的解析式； 任务二：当自变量的取值范围为时，求出函数的最大值和最小值； 任务三：将抛物线沿轴平移个单位长度，得到抛物线， 且当自变量满足时，的最小值为，求的值． 9．课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出，求二次函数的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表： a … 0 2 4 … x … * 2 0 … y的最小值 … * … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．” （2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 10．二次函数（a，b，c为常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … … 0 m n …    (1)该二次函数解析式为______，______，______； (2)请在给出的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)根据图象直接回答下列问题：①当______时，y有最______值（填“大”或“小”），该最值是______；②若该二次函数图象上有两点和，比较和的大小，其结果是：______；③当时，x的值为______；④当时，则y的取值范围是______. 11．已知抛物线（a，b，c是常数，）的对称轴为． (1)填空：b=________；（用含a的代数式表示） (2)若抛物线的顶点在x轴上，求的值； (3)若抛物线过点（−2，−2），当时，二次函数的最值是−2，求k的取值范围； (4)当a=−1时，若关于x的方程式在的范围内有解，求c的取值范围． 12．已知抛物线，，是常数，的对称轴为直线． (1)　　；（用含的代数式表示） (2)若抛物线的顶点在轴上，求的值； (3)若抛物线过点，当时，二次函数的最值是，求的取值范围； (4)当时，若关于的方程式在的范围内有解，求的取值范围，请借助函数图象解决问题． 13．已知二次函数的图象经过点．    (1)求这个二次函数的解析式，并画出其图象； (2)请说出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴及最值． 14．情境阅读：初三第一次考试10月份阶段评价马上来临，小明同学在数学复习时，再读了九年级上册书中“一元二次方程”的“数学活动”，重新思考了“活动围长方形”下图呈现的是“活动围长方形”的介绍及“小明发现”的内容： 请根据“小明发现”，分别应用一元二次方程和二次函数来解决以下问题： “能围出面积为的长方形吗？”（注：此题给出两种解决方法才能给满分） 活动  围长方形 小明发现，之前是根据一元二次方程的根的情况解决了这个问题，现在可以从二次函数最值角度解决…… 用一根的细绳围长方形 试一试，你能围出面积是的长方形吗？如果可以，计算它的长和宽，如果不可以，通过计算说明理由． 15．已知二次函数的图象经过点，，对称轴为直线． (1)直接写出　　　　，　　　　，　　　　； (2)当时，求二次函数的最值； (3)当时，二次函数的最小值为，求n的值． 16．若函数、满足，则称函数y是、的“融合函数”．例如，一次函数和二次函数，则、的“融合函数”为． （1）若反比例函数和一次函数，它们的“融合函数”过点，求的值； （2）若为二次函数，且，在时取得最值，是一次函数，且的“融合函数”为，当时，求函数的最小值（用含的式子表示）； （3）若二次函数与一次函数，其中且，若它们的“融合函数”与轴交点为、，求的取值范围． 17．二次函数（a，b为常数，）的图像经过点． (1)求该二次函数图像的对称轴（结果用含a的代数式表示） (2)若该函数图像经过点； ①求函数的表达式，并求该函数的最值． ②设是该二次函数图像上两点，其中是实数．若，求证： 18．（1）用配方法求二次函数的最值； （2）根据图中已知数据求中的值．    19．小明在学习时发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时的值均为3；当． 即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称． 倒如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于_______对称； (2)若关于的多项式关于对称，则_______，此时二次函数有最_______值为_______； (3)若关于的多项式关于对称，写出关于的方程的解为_______． 20．如图，抛物线经点，与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)定义：平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的点的距离，称为点到二次函数图象的垂直距离．如：点到二次函数图象的垂直距离是线段的长．已知点为抛物线对称轴上的一点，且在轴上方，点为平面内一点，当以为顶点的四边形是边长为4的菱形时，请求出点到二次函数图象的垂直距离． (3)在(2)中，当点到二次函数图象的垂直距离最小时，在为顶点的菱形内部是否存在点，使得之和最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 21．二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： 0 2 5 1 1 (1)填空： ①表中的________； ②二次函数有最________值； ③若点，、，是该函数图象上的两点，且，，试比较大小：_____； (2)求关于x的方程的根； (3)若自变量x的取值范围是，则函数值y的取值范围是________． 22．由于陕西省精准扶贫的措施科学得当，小颖家今年种植的甜瓜喜获丰收．小颖准备采取批发和零售两种渠道销售，批发价为元/千克．她通过市场调查获得了一组每日零销量（单位：千克）与零售价格（单位：元/千克）的数据，如下表所示：    (1)在图中的平面直角坐标系中描出表中数据所对应的点，再从我们学过的一次函数、二次函数和反比例函数中选出最符合实际的函数类型，求出与的函数表达式． (2)若小颖家第一批可采摘甜瓜千克，为了减少各项损耗，小颖准备将甜瓜以元/千克零售价零售天，再将剩余甜瓜全部以批发价售出．请你帮助小颖求出这批甜瓜全部售出后的总销售金额． 23．如图，二次函数的图像经过，两点. （1）求该函数的解析式； （2）若该二次函数图像与轴交于、两点，求的面积； （3）若点在二次函数图像的对称轴上，当周长最短时，求点的坐标. 24．如图，二次函数的图像与坐标轴交于点A（1， 0）和点C．经过点A的直线与二次函数图像交于另一点B，点B与点C关于二次函数图像的对称轴对称． （1）求一次函数表达式； （2）点P在二次函数图像的对称轴上，当△ACP的周长最小时，请求出点P的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 答案 C A 1．C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．根据“同族二次函数”的定义可求出a，b的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是同族二次函数， ∴， 解得：， ∴二次函数， ∴二次函数的开口方向向上，有最小值2019． 故选：C 2．A 【分析】利用抛物线的焦点和准线方程的定义得到，，通过解方程组得到，b=2或b=，则抛物线的解析式为或，然后根据二次函数的性质解决问题． 【详解】解：根据题意得，， 解得：，b＝2或b＝﹣2， ∴抛物线y＝ax2+bx（a≠0）的解析式为或， ∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣4）2+4，y＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+4）2+4， ∴二次函数y＝ax2+bx有最大值4． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时，对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时，对称轴在y轴右侧．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△=b2-4ac决定． 3． 小 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，关键是掌握二次函数的图象具有对称性．根据二次函数的最值为抛物线顶点坐标的纵坐标可得答案． 【详解】根据二次函数的对称性可得该二次函数有最小值，是． 故答案为∶小；． 4． 小 【分析】根据二次函数的最值为抛物线顶点坐标的纵坐标可得答案． 【详解】解：根据二次函数的对称性可得该二次函数有最小值，是， 故答案为：小；． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，解题的关键是掌握二次函数的图象具有对称性． 5．（1）①当a＝－4时，；②当时，y取得最小值，为－23；（2）合理，理由见解析；（3）正确，当时，y的最大值为 【详解】解：（1）①当a＝－4时，； ②当时，y取得最小值，为16－32－7＝－23； （2）合理， ∵，且1＞0，∴函数有最小值， 当时，y取得最小值， 故甲同学的说法合理； （3）正确， 当x＝－a时，， ∵，且－1＜0，∴y有最大值，当时，y的最大值为． 6．（1）函数最小值﹣3，函数最大值13；（2）m＝﹣1或m＝2＋；（3）无解 【分析】（1）求出y＝x2﹣2x﹣2对称轴x＝1，在﹣3≤x≤2内，即可得出x＝1时的值是最小值，|﹣3﹣1|＝4，|2﹣1|＝1，故x＝﹣3时，函数值为最大值； （2）分三种情况讨论：m＋1＜1、m≤1≤m＋1、m＞1，分别由最小值是2m列方程求出m即可； （3）分三种情况：m≤x≤n＜1、m≤x≤1≤n、1＜m≤x≤n，其中第二种又可分|n﹣1|＜|m﹣1|和|m﹣1|＜|n﹣1|两种情况，分别列方程组求解即可． 【详解】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3， ∴对称轴为直线x＝1，且﹣3≤1≤2 ∴当x＝1时，函数取最小值﹣3， 而|﹣3﹣1|＝4，|2﹣1|＝1，且4＞1， ∴当x＝﹣3时，函数取最大值13； （2）①当m＋1＜1，即m＜0时， x＝m＋1有最小值，且已知最小值是2m， ∴（m＋1）2﹣2（m＋1）﹣2＝2m， 解得：m1＝3（大于0，舍去），m2＝﹣1， ∴m＝﹣1， ②当m≤1≤m＋1，即0≤m≤1时， x＝1有最小值，且最小值是2m， ∴12﹣2×1﹣2＝2m，解得m＝﹣， ∴此时m无解， ③当m＞1时， x＝m有最小值，最小值是2m， ∴m2﹣2m﹣2＝2m， 解得m＝2＋或m＝2﹣（小于1，舍去）， ∴m＝2＋， 综上所述，二次函数y＝x2﹣2x﹣2在m≤x≤m＋1的范围内有最小值2m，则m＝﹣1或m＝2＋； （3）①当m≤x≤n＜1时， ∵m≤y≤n， ∴，两式相减并化简得：m＋n＝1有n＝1﹣m， 解得：m＝或m＝（大于1，舍去）， m＝时，n＝1﹣m＝（大于1，舍去） ∴此时无解， ②当m≤x≤1≤n时， 若|n﹣1|＜|m﹣1|，而m≤y≤n，此时x＝1取最小值m，x＝m取最大值n， ∴，解得  （|13﹣1|＞|﹣3﹣1|，舍去）， 若|m﹣1|＜|n﹣1|，同理x＝1取最小值m，x＝n取最大值n， ∴，解得或，（两个都不合题意舍去） ③当1＜m≤x≤n时，x＝m取最小值m，x＝n取最大值n， ∴， 解得或或或（均不合题意舍去）， 综上所述，二次函数y＝x2﹣2x﹣2，当m≤x≤n时，m≤y≤n（m≠n），无解． 【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图象与性质、根据题意分情况讨论求解． 7．（1）①当a＝－4时，；②当时，y取得最小值，最小值为－23； （2）甲同学的说法合理，解释见解析；（3）乙同学的猜想正确，当时，y的最大值为． 【详解】（1）①当a＝－4时，； ②当时，y取得最小值，为16－32－7＝－23； （2）合理， ∵，且1＞0，∴函数有最小值， 当时，y取得最小值， 故甲同学的说法合理； （3）正确， 当x＝－a时，， ∵，且－1＜0，∴y有最大值，当时，y的最大值为． 8．（1）， （2）当时，取最小值，最小值为；当时有最大值，最大值为8 （3）或 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）化为顶点式，利用二次函数的性质求解即可； （3）分抛物线向右平移m个单位长度和抛物线向左平移m个单位长度两种情况求解即可． 【详解】解：任务一：将代入抛物线， 得   设直线的解析式为，将代入，得 ∴直线的解析式为   任务二：由（1）可知抛物线解析式为， 抛物线开口向上， 当时，取最小值，最小值为； 当时有最大值，最大值为8； 任务三：若抛物线向右平移m个单位长度，则平移后抛物线解析式为 当时，最小值为 ，且当时， ，且 解得（舍去），， 若抛物线向左平移m个单位长度，则平移后抛物线解析式为， 当时，最小值为 ，且当时，， ，且 （舍去），， 综上所述，或 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的平移，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 9．（1）①；②当时，有最小值为（2）见解析（3）正确， 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）①把代入解析式，写出函数解析式即可；②将一般式转化为顶点式，进行求解即可； （2）将一般式转化为顶点式，根据二次函数的性质进行解释即可； （3）将一般式转化为顶点式，表示出的最大值，再利用二次函数求最值即可． 【详解】解：（1）①把代入，得： ； ∴； ②∵， ∴当时，有最小值为； （2）∵， ∵抛物线的开口向上， ∴当时，有最小值； ∴甲的说法合理； （3）正确； ∵， ∴当时，有最小值为， 即：， ∴当时，有最大值，为． 10．(1)，， (2)作图见解析 (3)①，小，；②<；③、5；④ 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，再分别把、代入求值即可； （2）利用五点法作图即可； （3）根据二次函数的图象与性质求解即可． 【详解】（1）解：将点、、代入得， ，解得， ∴该二次函数解析式为， 当时，， 当时，， 故答案为：，，； （2）解：函数图象如图所示； x 0 2 4 5 y 0 0    （3）解：①由图可得，当时，函数值有最小值，最小值为， 故答案为：，小，； ②由图象可得，抛物线对称轴为，抛物线开口向上， ∴抛物线上点离对称轴越远，函数值越大， ∵点离对称轴较远， ∴， 故答案为：<； ③当时，， ∵抛物线对称轴为， ∴，即， ∴当时，x的值为、5， 故答案为：、5； ④∵抛物线的对称轴为，开口向上， ∴y的最小值是 由图可得，当时，则y的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查画二次函数图象、用待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握用待定系数法求二次函数图象是解题的关键． 11．(1)4a (2)0 (3)−6≤k≤0 (4)−4≤c＜5 【分析】（1）根据题意可得，即可求解； （2）根据抛物线的顶点在x轴上，可得抛物线与x轴只有一个交点，从而得到16a2−4ac=0，进而得到c=4a，即可求解； （3）根据题意可得抛物线的顶点是（−2，−2），再由当k−2≤x≤k+4时，二次函数y=ax2+bx+c的最值是−2，可得，即可求解； （4）根据题意可得关于x的方程−x2−4x+c=0在−3＜x＜1的范围内有解，根据题意画出图象，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的，解得b=4a， 故答案为：4a； （2）解∶∵抛物线的顶点在x轴上， ∴抛物线与x轴只有一个交点， ∴Δ=b2−4ac=0， ∴16a2−4ac=0， ∵a≠0， ∴4a−c=0，即c=4a， ∴c−b=4a−4a=0； （3）解：∵抛物线过点（−2，−2），且对称轴为直线x=−2， ∴抛物线的顶点是（−2，−2）， ∵当k−2≤x≤k+4时，二次函数y=ax2+bx+c的最值是−2， ∴，解得：−6≤k≤0； （4）解：当a=−1时，b=−4， ∴抛物线y=−x2−4x+c， ∵关于x的方程式ax2+bx+c=0在−3＜x＜1的范围内有解，即关于x的方程−x2−4x+c=0在−3＜x＜1的范围内有解， c=x2+4x， 可以看作是抛物线y=x2+4x=（x+2）2−4与直线y=c在−3＜x＜1的范围内有交点， 当x=−2时，y=4−8=−4，x=1时，y=1+4=5， 如图所示，由图象得：c的取值范围：−4≤c＜5． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 12．(1)； (2)0； (3)； (4) 【分析】（1）由抛物线的对称轴公式；由对称轴，可以转化为用表示； （2）根据抛物线的顶点在轴上，可知抛物线与轴只有一个交点，所以△，可得，从而得的值； （3）由题意可知：抛物线的顶点是，根据最值是，可得不等式组：，可解答； （4）由时，可得，根据关于的方程在的范围内有解，则，看作是抛物线与直线在的范围内有交点，画抛物线在的范围内与有交点，可得结论． 【详解】（1）由题意得：抛物线的 解得， 故答案为：； （2）抛物线的顶点在轴上， △， ， ， ， ， ； （3）抛物线过点，且对称轴为直线， 抛物线的顶点是， 当时，二次函数的最值是， ，解得：； （4）当时，， 抛物线， 关于的方程式在的范围内有解，即关于的方程在的范围内有解， ， 可以看作是抛物线与直线在的范围内有交点， 当时，，时，， 如图所示，由图象得：的取值范围：． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数的性质、一元二次方程根与系数的关系、二次函数的最值等知识．在（4）中确定画抛物线y=x2+4x与直线y=c有交点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大． 13．(1)，图像见解析 (2)，y轴，最大值0 【分析】（1）直接将点的坐标代入求出关系式，再画出图像即可； （2）观察图像即可得出答案． 【详解】（1）将，代入，得 ． 所以二次函数的关系式为． 如图所示．    （2）观察图象可知二次函数的顶点坐标是，对称轴是y轴，开口向下有最大值0． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象和性质，画出图像，并能从图像中获取信息是解题的关键． 14．不能围出面积是的长方形，理由见解析 【分析】方法一：设长方形的长为，围成的面积为，可得，由二次函数的性质即可求解； 方法二：设长方形的长为，可得，根据根的判别式即可求解． 【详解】解：方法一：不能围出面积是的长方形，理由如下： 设长方形的长为，围成的面积为， 则， 整理得，， ∵， ∴当时，y取最大值，最大值为900， ∴用长度为长的细绳围成的长方形面积最大值为， ∴不能围出面积是的长方形； 方法二：不能围出面积是的长方形，理由如下： 设长方形的长为， 由题意得，， 整理得，， ∵， ∴方程无解， ∴不能围出面积是的长方形． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用、一元二次方程的实际应用，理解题意列方程和关系式是解题的关键． 15．(1)，， (2)时有最大值，时有最小值 (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的图形和性质，待定系数法求出二次函数是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的性质，结合得到当时取最小值； （3）根据题意分三种情况进行分类讨论，分别根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，， ， 解得， 二次函数为， 对称轴为直线， ， 故答案为：，，； （2）解：抛物线开口向上，对称轴为直线， 在内，当时有最大值， 当时有最小值； （3）解：抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，时有最小值，即， 解得或（舍去）； 当时，时有最小值，即． 解得或（舍去）； 当时，时有最小值，即， 解得（舍去）； 综上所述，的值为或． 16．（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据融合函数的定义求出，然后代入（1，5）求解即可； （2）设函数的解析式为，即可得到，则，然后求出，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）先求出，在由一元二次方程根与系数的关系得到，，根据，， 得到，，则，求出，即可得到． 【详解】解：（1）由题意得：反比例函数和一次函数，它们的“融合函数”的解析式为， ∵点（1，5）在函数图像上， ∴， ∴； （2）设函数的解析式为， 由题意得：， ∴， ∵在时，函数取得最值， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵函数的对称轴为，函数开口向上， ∴当时， 在处有最小值，最小值； 当时， 在处有最小值，最小值； 当时， 在处有最小值，最小值； ∴综上所述，； （3）由题意得：二次函数与一次函数的融合函数为， ∵它们的“融合函数”与轴交点为、， ∴，是一元二次方程的两根， ∴，， ∵，， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的应用，解题的关键在于能够准确理解题意． 17．(1) (2)①，最大值为3；②见解析 【分析】（1）首先将点代入表达式，然后利用对称轴公式求解即可； （2）①将点代入求出函数的表达式，然后转化成顶点式即可求出该函数的最值； ②首先根据得到，然后表示出利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）将点代入得，， ∴， ∴二次函数， ∴对称轴为； （2）①将代入得，， ∴解得， ∴二次函数， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴该函数的最大值为3； ②∵ ∴， ∴ ∵， ∴的最大值为， ∴． 【点睛】本题考查了根据对称性求对称轴，待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 18．（1）；（2），， 【分析】本题主要考查了配方法把二次函数一般式化为顶点式、三角函数值的求法．理解相关知识点是解题关键． （1）把二次函数用配方法把一般式化为顶点式，即可得到函数最值； （2）先求出，根据三角函数的定义即：为的对边比斜边，为的邻边比斜边，为的对边比邻边，可得答案． 【详解】解：（1）， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，二次函数有最小值． （2）∵，，， ∴在中， ∴，， 19．(1) (2)3；小；； (3) 【分析】（1）仿照题意利用配方法求解即可； （2）先利用配方法求出b的值，再根据二次函数的性质求解即可； （3）先对原整式因式分解进而得到当且仅当或时，整式的值为0，由此求出m的值，再解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的， ∴多项式关于对称， 故答案为：； （2）解：∵关于的多项式关于对称， ∴， ∴此时二次函数有最小值， 故答案为：3；小；； （3）解：∵ ， ∴当且仅当或时，整式的值为0， ∵关于的多项式关于对称， ∴和到的距离相等， ∴， ∴方程即为， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，二次函数的性质，解一元二次方程，因式分解的应用，正确理解题意是解题的关键． 20．(1)；(2)或；(3)的和最小值为． 【分析】（1）利用待定系数法列方程组求出a、b的值即可；（2）根据抛物线解析式可求出A、B两点坐标，即可得出对称轴解析式，分两种情况：当以AB为边时，EF//AB，由对称轴可得E点的横坐标，根据EF=AB=4即可得出F点的横坐标，根据菱形的性质求出EM的长，把F点横坐标代入抛物线解析式，根据点到二次函数图象的垂直距离的定义即可得出答案；当以AB为菱形对角线时，根据菱形的性质可得AB⊥EF，利用勾股定理可求出FM的长，进而可得F点坐标，把F点横坐标代入抛物线解析式，根据点到二次函数图象的垂直距离的定义即可得出答案；（3）由当时，点到二次函数图象的垂直距离最小，将绕点逆时针旋转到位置，连接，作于，根据AB=AF=BF可证明△ABF是等边三角形，根据旋转性质可知均为等边三角形，进而可得当共线时的和最短，在Rt△APN中，利用勾股定理求出AN的长即可得答案. 【详解】(1)∵抛物线过点， ∴ 解得 ∴解析式. (2)当时，由，得， 对称轴所在直线为，顶点坐标为， ∵抛物线与轴相交于点． ∴ ①若为菱形的边，如图1，则，且的横坐标为3 ∴的横坐标为7或-1， ∵， ∴ ∴或， 当， ∴点到二次函数图象的垂直距离为， 当x=-1时，y=×(-1)2-(-1)×3+=6， ∴点到二次函数图象的垂直距离为. ②若为对角线，如图2， ∵是菱形，， ∴EM=FM== ∴， 当x=3时，y=×32-3×3+=-2， ∴点到二次函数图象的垂直距离为=-2， 综上所述：点到二次函数图象的垂直距离为或-2. (3)当时，点到二次函数图象的垂直距离最小，如图3，将绕点逆时针旋转到位置，连接，作于， ∵AB=4，AF=BF=4， ∴△ABF是等边三角形， ∵将绕逆时针旋转到位置， ∴≌，且均为等边三角形， ∴， ∵， ∴当共线时的和最短，即最短值为的长． ∵， ∴且， ∴， ∴， 在中，， ∴的和最小值为． 【点睛】本题是对二次函数的综合考查，包括待定系数法求二次函数解析式，等边三角形的判定与性质、菱形的性质及旋转的性质，理解点到二次函数图象的垂直距离的定义是解题关键. 21．(1)①；②大；③ (2)， (3) 【分析】（1）①根据二次函数的对称性列式表示出对称轴解析式计算即可得解； ②根据图表数据有最大值； ③根据二次函数的增减性确定出、的取值范围即可得解； （2）利用待定系数法求出二次函数解析式，再令，解方程即可得解； （3）根据二次函数的性质分段求出的取值范围，即可得解． 【详解】（1）①根据对称性，对称轴为直线， 解得； 故答案为：； ②由表格可得y的值先增大再减小，故二次函数有最大值， 故答案为：大； ③时，， 时，， ； 故答案为：； （2）时，时，时， ， 解得， 所以，函数解析式为， 令，则， 即， 解得，， 即方程的根为，； （3）二次函数对称轴为直线， 当时，， 当时，， 当时，，为最大值， 所以，当时，， 当时，， 综上，时，． 故答案为： ． 22．(1)见详解， (2)元 【分析】（1）先描点，结合点的分布可知：一次函数是最符合实际的函数类型，再根据待定系数法即可求解； （2）根据（1）中的函数解析式先求出零售时每天的销售量，进而求出零售的总销售量，问题随之得解． 【详解】（1）描点如下：    结合点的分布可知：一次函数是最符合实际的函数类型， 设一次函数解析式为：， 根据表格数据得：， 解得：， 即一次函数解析式为：； （2）当时，， 则总的销售金额为：（元）， 答：总共的销售金额为元． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的应用，明确题意，结合图形判断出一次函数是最符合实际的函数类型，是解答本题的关键． 23．（1）；（2）6；（3） 【分析】（1）将M,N两点代入求出b,c值，即可确定表达式； （2）令y=0求x的值，即可确定A、B两点的坐标，求线段AB长，由三角形面积公式求解. （3）求出抛物线的对称轴，确定M关于对称轴的对称点G的坐标，直线NG与对称轴的交点即为所求P点，利用一次函数求出P点坐标. 【详解】解：将点，代入中得， ， 解得，， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）如图，当y=0时，， ∴x1=3,x2= -1, ∴A(-1,0),B(3,0), ∴AB=4, ∴S△ABM= . 即的面积是6. （3）如图，抛物线的对称轴为直线 ， 点关于直线x=1的对称点坐标为G(2，3), ∴PM=PG, 连MG交抛物线对称轴于点P，此时NP+PM=NP+PG最小，即周长最短. 设直线NG的表达式为y=mx+n, 将N(-2,-5),G(2,3)代入得， ， 解得， ， ∴y=2m-1, ∴P点坐标为(1,1). 【点睛】本题考查抛物线与图形的综合题，涉及待定系数法求解析式，图象的交点问题，利用对称性解决线段和的最小值问题，利用函数观点解决图形问题是解答此题的关键. 如图，二次函数y=-x²+bx+c的图像经过M(0,3)，N(-2,-5)两点. 24．（1）y=x-1；（2）P的坐标（2，1） 【分析】（1）先利用对称轴方程确定抛物线的对称轴是直线x=2，再利用抛物线的对称性确定点B的坐标（4，3），然后利用待定系数法求一次函数表达式； （2）连接AB交直线x=2于点P，如图，利用两点之间线段最短判断此时△ACP的周长最小，然后计算自变量为2对应的一次函数值即可得到满足条件的P的坐标． 【详解】（1）二次函数y=ax2-4ax+3的对称轴是直线x=-=2， 而点C的坐标为（0，3）， ∵点B与点C关于二次函数图象的对称轴对称． ∴点B的坐标（4，3）， 把A（1，0）和B（4，3）代入y=kx+b得 ，解得， ∴一次函数表达式为y=x-1； （2）连接AB交直线x=2于点P，如图， ∵点B与点C关于二次函数图象的对称轴对称． ∴PC=PB， ∴PC+PA=PB+PA=AB， ∴此时PC+PA的值最小，△ACP的周长最小， 当x=2时，y=x-1=2-1=1， ∴满足条件的P的坐标（2，1）． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路径问题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$