2.2二次函数的图像与性质同步练习2024-2025学年北师大版数学九年级下册

2.2二次函数的图像与性质 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．抛物线的开口方向（   ） A．向左 B．向右 C．向上 D．向下 2．约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点是关于x的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④．则正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．抛物线上的一个点是(      ) A． B． C． D． 4．二次函数的最大值是（    ） A．3 B．0 C．1 D． 5．二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 1 m n 1 下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，抛物线交轴于，两点，与轴的交点在，之间（包含端点），抛物线对称轴为直线，有以下结论：①；②；③；④（为实数）；⑤方程必有两个不相等的实根．其中结论正确有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣1、3，则下列结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③3a+2c＞0；④对于任意x均有ax2﹣a+bx﹣b≥0，正确个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．若二次函数y＝-x2+px+q的图像经过A（，n）、B（0，y1）、C（，n）、D（，y2）、E（，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（　） A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y3＜y1 9．将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得到的抛物线为（    ） A． B． C． D． 10．已知二次函数，其中k，m为常数，下列说法正确的是(   ) A．若，则二次函数y的最小值大于0 B．若，则二次函数y的最小值小于0 C．若，则二次函数y的最小值小于0 D．若，则二次函数y的最小值大于0 11．二次函数的部分图象如图，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③方程有实数根；④若点、、在该函数图象上，则；⑤，其中正确结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 12．如图，二次函数的图象与y轴交于点，其对称轴是直线，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 二、填空题 13．抛物线的顶点在第四象限，则的取值范围是 ． 14．已二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表： … -1 0 1 2 3 4 … … 10 5 2 1 2 5 … 若，两点都在该函数的图象上，当＝ 时，＝. 15．函数的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ． 16．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论： ①、同号；②当和时，函数值相等；③；④当时，x的值只能取0．其中正确的是 （将所有正确结论的序号都填入）    17．已知二次函数，（为常数）当时，函数值的最大值为2，则的值是 ． 三、解答题 18．我们知道： （1）观察以上结果，可以发现： ； ； （2）若点P（m,n)在抛物线上，且n>0，试化简： 19．已知抛物线y=x2﹣2x﹣3 （1）求出该抛物线顶点坐标． （2）选取适当的数据填入表格，并在直角坐标系内描点画出该抛物线的图象． x … … y … … 20．如图一个五边形的空地ABCDE，，，，已知，，，，准备在五边形中设计一个矩形的休闲亭MNPQ，剩下部分设计绿植．设计要求，，矩形MNPQ到五边形ABCDE三边AB，BC，CD的距离相等，都等于，延长QM交AE与H，．    （1）五边形ABCDE的面积为________； （2）设矩形MNPQ的面积为，求y关于x的函数关系式； （3）若矩形MNPQ休闲亭的造价为每平方米0.5万元，剩下部分绿植的造价为每平方米0.1万元，求总造价的最大值． 21．已知二次函数（为常数）． (1)若该函数的图像经过点，则 ①的值为______； ②当时，的取值范围为______． (2)当时（其中，为实数，），的取值范围为．直接写出，的值或取值范围． (3)当时，的最小值为，求的值． 22．某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出32件．他想采用提高售价的办法来增加利润，减少库存，经试验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件． (1)设销售单价提高x元（x为正整数），写出每天销售量y（个）与x（元）之间的函数关系式； (2)当售价定为多少元时，每天的利润为140元？ (3)假设这种商品每天的销售利润为w元，商人为了获得最大利润，应将该商品每件售价定为多少元？最大利润是多少元． 23．证明：无论a取任何实数值时，抛物线是通过一个定点，而且这些抛物线的顶点都在一条确定的抛物线上． 24．如图，在中，．点D为线段上一动点（不与点A，C重合），把线段绕点B顺时针旋转后并延长为原来的2倍得到线段，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)已知，设，在点D的运动过程中，的面积S是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C D C C B A A B 题号 11 12 答案 B D 1．D 【分析】根据二次函数的性质即可解决问题． 【详解】∵，, ∴抛物线开口向下， 故选:D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 2．C 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，“黄金函数”，“黄金点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题．先根据题意求出m，n的取值，代入得到a，b，c的关系，再根据对称轴在的右侧即可求解． 【详解】解：∵点是关于x的“黄金函数”上的一对“黄金点”， ∴A，B关于原点对称， ∴，， ∴，， 代入 得 ， ∴， ∴①②正确，符合题意， ∵该函数的对称轴始终位于直线的右侧， ∴， ∴， ∴， ∴④正确，符合题意， ∵， ∴，， 当时，， ∵， ∴， ∴，即，③错误，不符合题意． 综上所述，结论正确的是①②④． 故选：C． 3．C 【分析】把各点的横坐标代入函数式，比较纵坐标是否相符，逐一检验． 【详解】A、x=2时，=16≠-8，点（2，-8）不在抛物线上； B、x=2时，=16≠-2，点（2，-2）不在抛物线上； C、x=-2时，=0，点（-2，0）在抛物线上； D、x=-2时，=0，点（-2，-8）不在抛物线上． 故选C． 【点睛】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系． 4．D 【分析】根据二次函数的性质，时，有最大值k； 【详解】解：∵， ∴当时，最大值为； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质；掌握二次函数的性质是解题的关键． 5．C 【分析】根据表格中数据，可以求出抛物线的对称轴，再根据对称性即可得到大小关系． 【详解】解：由表格可以得到：抛物线对称轴为， ∵ ∴ 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键． 6．C 【分析】根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由图象及题意可知，，根据对称轴为直线得， ∴， ∴，故①错误； 抛物线交轴于， ∴， ∴，故②正确； ∴， ∵点在，之间， ∴， ∴， ∴，故③正确； 当时，该抛物线有最高点，即最大值是， 当时，则有， ∴，即（为实数）；故④错误； 关于方程，， ∵， ∴，， ∴， ∴方程必有两个不相等的实根，故⑤正确； 综上所述：②③⑤正确，故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 7．B 【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线与x轴的交点问题和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝1，即﹣＝1，所以b＝﹣2a＜0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；利用b＝﹣2a可对②进行判断；由于x＝﹣1时，y＝0，所以a﹣b+c＝0，则c＝﹣3a，3a+2c＝﹣3a＜0，于是可对③进行判断；根据二次函数性质，x＝1时，y的值最小，所以a+b+c≤ax2+bx+c，于是可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线与x轴的交点的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1，即﹣＝1， ∴b＝﹣2a＜0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴abc＞0，所以①错误； ∵b＝﹣2a， ∴2a+b＝0，所以②正确； ∵x＝﹣1时，y＝0， ∴a﹣b+c＝0，即a+2a+c＝0， ∴c＝﹣3a， ∴3a+2c＝3a﹣6a＝﹣3a＜0，所以③错误； ∵x＝1时，y的值最小， ∴对于任意x，a+b+c≤ax2+bx+c， 即ax2﹣a+bx﹣b≥0，所以④正确． 故选B． 【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知各系数与二次函数图像的关系. 8．A 【分析】利用A点与C点为抛物线上的对称点得到对称轴为直线x=2，然后根据点B、D、E离对称轴的远近求解． 【详解】∵二次函数y＝-x2+px+q的图像经过A（，n）、C（，n）， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵点D（，y2）的横坐标： ，离对称轴距离为， 点E（，y3）的横坐标： ，离对称轴距离为, ∴B（0，y1）离对称轴最近，点E离对称轴最远， ∴y3＜y2＜y1． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标特征满足其解析式，根据抛物线上的对称点坐标得到对称轴是解题的关键． 9．A 【分析】根据左加右减，上加下减的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得到的抛物线为：， 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象的平移规律，熟练掌握二次函数的图象的平移规律是解题的关键． 10．B 【分析】本题考查二次函数最值的求法．将函数解析式化为顶点式，根据选项进行判断即可． 【详解】解：∵，且， ∴当时，函数最小值为， 则当时，则二次函数的最小值小于0． 故选：B． 11．B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由对称轴为直线可得即可判断①；根据当时，即可判断②；根据抛物线图象得出，从而得出即可判断③；根据点离对称轴的距离即可判断④；根据二次函数的最值为得到对任意数都有，，即可判断⑤，熟练掌握二次函数的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：函数对称轴为直线， ， ， ，故①正确，符合题意； 由图可得：当时，， ，故②错误，不符合题意； 抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ，， ， ， 方程有实数根，故③正确，符合题意； ，，，， ，故④错误，不符合题意； 由图可得：当时，最大， 对任意数都有，， ，即，故⑤正确，符合题意； 综上所述，正确的有①③⑤，共3个， 故选：B． 12．D 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，二次函数的对称性，先根据对称性求出点也在改二次函数图象上，再根据函数图象即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的图象与y轴交于点，其对称轴是直线， ∴点也在改二次函数图象上， ∴由函数图象可知，当时，或， ∴不等式的解集是或， 故选：D． 13． 【分析】根据抛物线顶点坐标公式，用m表示出抛物线的顶点坐标，再由已知条件得出，抛物线顶点横坐标大于0，纵坐标小于0，从而解得m的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， 又∵抛物线， ∴，，， ∴抛物线的顶点为． ∵抛物线的顶点在第四象限， ∴， 化简得，解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标公式，以及平面直角坐标系中具体象限的点坐标的特征，一元二次不等式的解法，正确运用上述基础知识是解题的关键． 14． 【详解】试题分析：根据表中的对应值得到x=1和x=3时函数值相等，则得到抛物线的解析式为直线x=2，由于y1=y2，所以A（m，y1），B（m+1，y2）是抛物线上的对称点，则2-m=m+1-2，然后解方程即可． 试题解析：∵x=1时，y=2；x=3时，y=2， ∴抛物线的解析式为直线x=2， ∵A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，y1=y2， ∴2-m=m+1-2， 解得m=1．5． 考点：二次函数图象上点的坐标特征． 15． 向上 y轴 （0，0） 【分析】牢记二次函数的图象的性质即可得到答案． 【解答】解：二次函数的， 图象开口向上，对称轴是轴，顶点坐标是； 故答案为：上，轴，． 16．②③/③② 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，解答本题关键是掌握二次函数系数符号的确定．①根据图象开口向上可知，而对称轴，由此可以判定①； ②根据对称轴，知和关于直线对称，从而得到它们对应的函数值相等； ③把，代入函数，求得，，解方程组即可求出的值； ④根据图象可得当时，的值有两个． 【详解】解：①由图象开口向上，则， 对称轴， ， 、异号，故此选项不合题意； ②对称轴为直线， 直线和直线关于直线对称， 它们对应的函数值相等，故此选项符合题意； ③由，整理得，故此选项符合题意； ④由图象可得当时，的值有两个，故此选项不合题意． 故答案为：②③． 17．或 【分析】本题主要考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解题的关键． 将二次函数配方成顶点式，分、和三种情况，根据的最大值为2，结合二次函数的性质求解可得． 【详解】解：， ①若，当时，， 解得：； （舍去）； ②若，当时，， 解得：； ③若，当时，， 解得：或（舍， 的值为或， 故答案为：或． 18．(1)a,-a;(2)-m+1 【分析】(1)根据题目和二次根式的性质可直接得出结果； （2）由点P（m,n)在抛物线上可得，由n>0得据此推出 m-1即可求解. 【详解】（1）当a0时，，当a时，； （2）∵点P（m,n)在抛物线上， ∴ ∵n>0， ∴ ∴ ,∴ ∴m-1 ∴ . 故答案为：(1)a,-a;(2)-m+1. 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，抛物线上点的坐标特点. 19．（1）（1，﹣4）；（2）见解析 【详解】试题分析：（1）直接利用配方法求出二次函数的顶点坐标即可； （2）利用描点法画出二次函数的图象． 解：（1）y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4， 故该抛物线顶点坐标为：（1，﹣4）； （2）如图所示： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 … ． 考点：二次函数的图象；二次函数的性质． 20．（1）115；（2）；（3）总造价的最大值为24. 3万元． 【分析】（1）将五边形补全为一个矩形，然后利用矩形面积减去三角形的面积得出结果； （2）利用根据图中的数据，将PQ，MQ用含x的式子表达出来，然后求解即可； （3）根据（2）的关系式，得出，当时，即可得出最大值. 【详解】解：（1）如图示，    五边形ABCDE的面积为： ； （2）由题意可以得：， （3）设总造价为w（万元） ∴ ∴当时w最大值， 答总造价的最大值为24. 3万元． 【点睛】本题主要考查函数模型的建立和应用，主要涉及了用解析法解决平面问题，矩形面积公式，二次函数法求最值，以及数形结合的思想． 21．(1)①；②或 (2)； (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，二次函数与不等式，借助函数图像，利用数形结合的思想是解题的关键． （1）①将点代入函数解析式中，即可求解；②依据题意，令，，分别求出自变量的范围即可求解； （2）依据题意可得抛物线上横坐标为，的两点关于对称轴对称，从而求出值，进而得到二次函数的解析式，再根据自变量的取值范围是，可求出值，最后根据抛物线的顶点求出的范围； （3）先把抛物线化为顶点式，由时，的最小值为，可分两种情况讨论：①当时，在处取得最小值；②当时，在顶点处取得最小值，求的最小值即可求解． 【详解】（1）①二次函数（为常数）经过点， ， ， 故答案为：； ②由①知， 当时，则， 解得：或， 当时，则， 解得：， ， 当时，的取值范围有两部分， 或， 故答案为：或； （2）由题意得的取值只有一段，可知抛物线上横坐标为，的两点关于对称轴对称， ， ， ， 时，有最小值， ， 当或时，，；    （3）， 抛物线的对称轴为， ①当时，在处取得最小值， 即， 解得；    ②当时，在顶点处取得最小值，    即， 解得：， ， ， 综上所述，或． 22．(1) (2)当售价定为元时，每天的利润为140元 (3)当售价为 元时，利润最大为． 【分析】（1）设售价单价提高元时，利用每天的销售量会减少4件即可列出函数关系式； （2）售价为元，每天的利润为140元，根据题意列方程即可得到结论； （3）根据题中等量关系为：利润（售价进价）售出件数，根据等量关系列出函数关系式，将函数关系式配方，根据配方后的方程式即可求出的最大值． 【详解】（1）解：设售价单价提高元，则 ； （2）解：由题可知售价为元， 即， 解得，， 故售价为：或， 需要减少库存，并且每提高1元，销售量会减少4件， 故售价定为10元， 当售价定为元时，每天的利润为140元； （3）解：， 当时，最大值为， 故售价为， 当售价为 元时，利润最大为． 【点睛】本题考查的是二次函数的应用，熟知利润（售价进价）售出件数是解答此题的关键． 23．见解析 【分析】将抛物线解析式按照含a的项和不含a的项整理，令含a的项系数为0，可求此时x、y的值，即定点坐标；将抛物线解析式整理为顶点式，可确定顶点坐标，令顶点横坐标为x，纵坐标为y，消去a，可得出x、y的关系式，判断关系式为抛物线解析式即可． 【详解】证明：， 当时，， 即无论a取任何实数时，已知抛物线总通过点M， 又， 故抛物线的顶点坐标为， 即，消去a得， ， 这条曲线是一条抛物线，即原抛物线的顶点都在一条确定的抛物线上． 【点睛】本题考查了抛物线上定点坐标的求法，顶点坐标的求法及顶点坐标满足的关系式，需要灵活掌握． 24．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)20 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，二次函数的最值问题： （1）由旋转的性质可得，进而推出，再证明即可证明； （2）由相似三角形的性质得到，则，即可证明； （3）由相似三角形的性质得到，由勾股定理求出，则，进而得到，则当时，有最大值，最大值为20． 【详解】（1）证明：由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为20． 学科网（北京）股份有限公司 $$