专题04 函数的零点 本学期实际应用题 （九大题型+优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（沪教版2020必修第一册，上海专用）

专题04 函数的零点 本学期实际应用题 （九大题型+优选提升题） “二分法”求函数的零点 1．（22-23高一上·上海浦东新·期末）用“二分法”求方程在区间内的实根，首先取区间中点进行判断，那么下一个有根区间是 ； 【答案】 【分析】根据二分法和零点存在性定理分析求解. 【解析】令，则， ∵， 故下一个有根区间是. 故答案为：. 2．（23-24高一上·上海·期末）若函数在区间的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下： 那么方程的一个近似解为 （精确到0.1） 【答案】 【分析】根据题意，由表格中的数据，结合二分法的规则，由近似解的要求分析，即可求解. 【解析】由表格中的数据，可得函数的零点在区间之间， 结合题设要求，可得方程的一个近似解为. 故答案为：. 3．（22-23高一上·上海松江·期末）函数的零点，对区间利用一次“二分法”，可确定所在的区间为 . 【答案】 【分析】根据二分法的定义求解. 【解析】设，则， 取区间的中点为，， 所以可确定所在的区间为， 故答案为: . 4．（22-23高一上·上海闵行·期末）已知函数的表达式为，用二分法计算此函数在区间上零点的近似值，第一次计算、的值，第二次计算的值，第三次计算的值，则 ． 【答案】 【分析】根据二分法的定义即可求解. 【解析】依题意， 因为， 所以， ， 所以，所以零点所在的区间为； 故第二次计算的值时，， 所以， 所以，所以零点所在的区间为； 故第三次计算的值时，. 故答案为：. 5．（21-22高一上·上海嘉定·期末）函数的零点为 .（精确到0.1） 【答案】 【分析】由零点有且，结合在上递增，利用二分法求零点所在区间，进而确定零点近似值. 【解析】令，则，且， 而在上递增，且，增长速度逐渐变快， 又，，即函数零点在区间内， 若，则，故函数零点在区间，即内， 若，则，故函数零点在区间，即内， 若，则，故函数零点在区间，即内， 若，则，故函数零点在区间，即内， 若，则，故函数零点在区间，即内， 所以. 故答案为： 求函数的零点 6．（21-22高一上·上海金山·期末）函数的零点为 . 【答案】 【分析】先求出函数的定义域，通过解方程，再检验可得出答案. 【解析】由定义域为 由，即，可得 解得或 又时，不满足方程 时满足条件. 故答案为： 7．（22-23高一上·上海浦东新·期末）函数的零点为 ． 【答案】或4 【分析】直接令解方程即可. 【解析】令， 得，解得或4 故答案为：或4. 8．（20-21高一上·上海黄浦·期末）若指数函数的图象经过点，则函数的零点为 . 【答案】 【解析】设（且），由可求得的值，然后解方程即可得解. 【解析】设（且），则，解得，， 解方程，即，可得，解得. 因此，函数的零点为. 故答案为：. 零点存在定理 9．（23-24高一上·上海·期末）方程的根，，则 ． 【答案】2020 【分析】将方程的根问题转化函数的零点所在区间求解，由，利用零点存在性定理可得. 【解析】设，. 因为， 且， 所以，又在单调递减， 由零点存在性定理可得，在有唯一零点. 即方程的根，即. 故答案为：. 10．（22-23高一上·上海松江·期末）函数的零点所在的区间为（    ） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4） 【答案】A 【分析】计算选项中区间端点对应函数值的正负，再利用零点存在定理来判断. 【解析】，， ，， ， ， 由零点存在定理结合函数在上单调递增，所以零点所在的区间为（0，1）. 故选：A. 零点个数、求和 11．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，则该函数的所有零点的和是 ． 【答案】 【分析】令，求出零点后相加即可. 【解析】令，解得， 函数的所有零点的和为. 故答案为：. 12．（23-24高一上·上海·期末）函数的零点个数为 . 【答案】2 【分析】由题意可知：函数的零点个数为与的交点个数，结合图象分析求解. 【解析】令，则， 可知函数的零点个数为与的交点个数， 在同一坐标系内作出与的图象， 由图可知与有2个交点，即函数的零点个数为2. 故答案为：2. 13．（23-24高一上·上海虹口·期末）设，则函数的所有零点之和为 ． 【答案】 【分析】画出函数图象。利用对称性即可求解. 【解析】由一元二次函数的图象和性质可知函数的图象如图所示， 根据图象可知共有个零点，且个零点关于对称， 所以零点之和为， 故答案为： 根据零点求参数或取值范围 14．（23-24高一上·上海浦东新·期末）若函数的零点个数为1，则 ． 【答案】4 【分析】由二次函数零点个数有，即可求参数. 【解析】由二次函数性质及零点个数知：，则. 故答案为：4 15．（19-20高一上·上海浦东新·期末）函数在上恰有一个零点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】将，转化为在上恰有一个零点，利用数形结合法求解. 【解析】由，可得在上恰有一个零点， 作出函数在上的图象，如图所示： 因为， 故答案为：或 【点睛】本题主要考查函数的零点，还考查了数形结合的思想，属于基础题. 16．（20-21高一上·上海金山·期末）已知函数在区间上的图像是一段连续的曲线，且有如下的对应值表： 1 2 3 4 5 6 -3.25 -7.9 2 4.16 -1 9.8 设函数在区间上零点的个数为，则的最小值为 . 【答案】3 【分析】根据函数零点存在定理，判断函数值的符号，即可判断函数零点个数． 【解析】解：由题意，因为，，， 所以根据函数零点存在性定理，在区间（2，3）和（4，5）及（5，6）内至少有一个零点， 故函数在区间上的零点至少有3个，即的最小值为3， 故答案为：3． 17．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，若函数存在零点，则实数的取值范围是 . 【答案】. 【分析】根据题意，利用指数函数和一次函数的图象与性质，结合函数零点的概念，列出关系式，即可求解. 【解析】由题意，当时，，根据指数函数的性质，可得， 所以函数在上没有零点； 要使得函数存在零点，即上函数存在零点， 当时，为单调递减函数， 要使得函数存在零点，则满足， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 18．（20-21高一上·上海普陀·期末）若函数有唯一零点，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据偶函数的性质，可得，解得，然后分情况验证. 【解析】解： 是偶函数 根据偶函数的性质，可得，，解得 当时，此时，有唯一零点； 当时，此时，也有唯一零点； 故时有唯一零点. 故答案为： 19．（20-21高一上·安徽滁州·阶段练习）已知函数有最小值，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】函数有最小值，所以求出，则有，代入求出的取值范围. 【解析】当时，的最小值为． 当时，要使存在最小值，必有，解得． ，． 故答案为：. 【点睛】本题考查分段函数求函数值的范围，属于中档题. 易错点睛：（1）分段函数是一个函数，只有一个最值； （2）分段函数已知函数值求自变量的取值，要分段讨论. 20．（23-24高一上·上海·期末）设函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】依题意化简可得存在唯一的正整数，使得，再根据函数单调性数形结合列式求解即可. 【解析】，因为，故则，则存在唯一的正整数，使得. 又为增函数，故，则，即，解得，即实数的取值范围是. 故答案为： 题型6 公共点、交点、实数解等问题 21．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，，若函数和的图象有且仅有1个公共点，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】依题意有且仅有一根，即，分别考虑该不等式为一次与二次方程的情况，结合二次方程两根关系与对数的定义域列式求解即可. 【解析】依题意有且仅有一根，即，得，即. 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 当且时，，，， 若是原方程的根，当且仅当，即， 若是原方程的根，当且仅当，即， 故当是原方程的根，不是原方程的根，则，无解， 当是原方程的根，不是原方程的根，则，解得. 综上有实数的取值范围是. 故答案为： 22．（23-24高三上·上海虹口·期末）设，若关于x的方程有3个不同的实数解，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】 根据题意分类讨论，转化为二次函数问题直接求解即可. 【解析】当时，方程可化为，即， 则或（舍）； 当时，方程可化为； 要使原方程有三个根，则时有一根，时有两根， 则且，解得且， 所以实数a的取值范围为 【点睛】 方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 23．（23-24高三上·安徽合肥·期中）已知函数，，若函数有6个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】画出的图象，结合图象及的零点个数，得到的两个不等零点，从而得到不等式组，求出实数的取值范围. 【解析】画出的图象如下：    因为最多两个零点， 即当，或时，有两个不等零点， 要想有六个零点，结合函数图象，要和分别有3个零点， 则且， 即的两个不等零点， 则要满足，解得， 故实数的取值范围为 故答案为： 24．（22-23高一上·上海奉贤·期末）设函数，其中，其中，若函数的图象与直线有4个交点，则实数b满足的条件是 ． 【答案】，且， 【分析】判断函数的奇偶性，从而可作出函数的大致图象，结合函数的图象与直线的交点情况，列出相应不等式，即可求得答案.， 【解析】对于函数，当时，，则； 当时，，则； 当时，， 即满足，为奇函数； 由于，故在R上单调递减， 则当时，为增函数，则， 若，则，则对于，定义域为R，且为偶函数， 此时其图象大致为：    此时，函数的图象与直线有2个交点，不符合题意； 故，此时的图象如图示：    要使得函数的图象与直线有4个交点， 需满足，解得，且， 故实数b满足的条件是，且， 故答案为：，且 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是要明确函数的图象情况，数形结合，得到相应不等式，求解答案. 题型7 不等式的实际应用 25．（20-21高一上·上海闵行·期末）垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值，具有社会、经济、生态等几方面的效益，某地街道呈现东西，南北向的网格状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点，若以互相垂直的两条街道为坐标轴建立平面直角坐标系，现有下述格点，，，，，为垃圾回收点，请确定一个格点（除回收点外） 为垃圾集中回收站，使这6个回收点沿街道到回收站之间路程的和最短 【答案】 【解析】首先表示横轴和纵轴方向的距离和，再根据含绝对值三角不等式求最值. 【解析】设格点的坐标为，则，， 根据含绝对值三角式可知 横轴方向距离和， ， 此时的最小值是14，此时三个等号成立的条件是，所以时，的最小值是， 纵轴方向的距离和， 此时的最小值是9，三个等号成立的条件是 ，即或， 当时，此时格点位置是，是垃圾回收点，舍去，所以，此时格点坐标是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题是具有实际应用背景的习题，本题的关键是正确理解题意，并能转化为横轴距离和纵轴距离，利用含绝对值三角不等式求最值. 26．（21-22高一上·上海浦东新·期末）商品批发市场中，某商品的定价每天随市场波动，甲乙两名采购员在每月的同一天去该市场购买同一种商品，甲每次购买公斤，乙每次购买元（，互不相等），该方案实施2次后 的购买方案平均价格更低.（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【分析】设每次购买时商品的价格分别为元/公斤、元/公斤，可将甲乙2次购买的平均价格用，表示出来，再用基本不等式比较即可得答案. 【解析】设每次购买时商品的价格分别为元/公斤、元/公斤， 则甲的平均价格为：；乙的平均价格为：， 因为，所以；, （当且仅当时取“=”号）， 所以（当且仅当时取“=”号），故乙的平均价格更低， 故答案为：乙. 题型8 函数，指数、对数函数及运算的实际应用 27．（23-24高一上·上海奉贤·期末）在有声世界，声强级是表示声强度相对大小，其值为（单位：（分贝）），定义为.其中，为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值．声强级的声强度是声强级的声强度的 倍. 【答案】100 【分析】根据题意结合对数运算可得答案. 【解析】由题意可得：，解得， 所以. 故答案为：100. 28．（22-23高一上·上海杨浦·期末）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过分钟后物体的温度可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数，.现有的物体，放在的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是，则 分钟后温度首次低于（保留到整数部分）. 【答案】 【分析】代入数据计算得到，再次代入数据得到，根据，得到答案. 【解析】根据题意：，解得； ，即，即，即， ，，故. 故答案为： 29．（22-23高一上·上海青浦·期末）在不考虑空气阻力的情况下火箭的最大速度v（单位：m/s）和燃料的质量M（单位：kg），火箭（除燃料外）的质量m（单位：kg）满足（e为自然对数的底）．当燃料质量M为火箭（除燃料外）质量m的 倍时，火箭的最大速度可以达到8000m/s（结果精确到0.1）． 【答案】53.6 【分析】由已知函数式解方程可得． 【解析】由得， ，，， 故答案为：53.6. 30．（23-24高一上·上海·期末）为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润（单位：万元）与生产线运转时间（单位：年）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为（    ）年． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】表示出平均利润，然后利用基本不等式求最值以及最值的成立条件. 【解析】平均利润为， 当且仅当，即时取最大值. 故选：A. 31．（22-23高一上·上海奉贤·期末）在有声世界里，声强级是表示声强度相对大小的指标，其值y[单位：dB（分贝）]定义为，其中I为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值．则声强级为60dB时的声强度是声强级为50dB时的声强度的（    ）倍． A．10 B．100 C．1.2 D．12 【答案】A 【分析】根据题意，得到可得，两式相减得，即可求解. 【解析】由题意知，声强级是表示声强度相对大小的指标值的定义为， 可得， 两式相减得， 即，解得， 所以声强级为dB时的声强度是声强级为dB时的声强度的倍． 故选：A. 32．（22-23高一上·上海徐汇·期末）香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大数据传输速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．根据香农公式，若当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据新定义结合对数运算求解即可 【解析】由题意可知， 故选：C. 题型9 解答题（含分段函数的实际应用） 33．（22-23高一上·上海静安·期末）已知函数． (1)请说明该函数图象是由函数的图象经过怎样的平移得到的； (2)已知函数的一个零点为3，求函数的另一个零点． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据函数平移变换即可得到答案. （2）首先根据题设得到得到，再求函数另一个零点即可. 【解析】（1）向左平移2个单位得到， 再向上平移1个单位得到. （2）， 因为函数的一个零点为3，所以，解得. 所以， 令，解得. 所以函数的另一个零点为. 34．（21-22高一上·上海杨浦·期末）设函数，其中. (1)若函数是偶函数，求实数的值； (2)若，记，求证：函数在上有零点. 【答案】(1)0 (2)证明见解析 【分析】（1）根据求出，在验证时，为偶函数即可； （2）利用结合零点存在性定理即可证明. 【解析】（1）若函数是偶函数，则，即， 所以或，所以， 此时，，满足为偶函数， 所以. （2）因为, 所以，， 因为，所以，， 所以，， 所以当时，恒成立， 故函数在上有零点. 35．（21-22高一上·上海金山·期末）某科技公司研究表明：该公司的市场占有率与每年研发经费（单位：亿元）满足关系式：，其中为实常数. (1)若时，该公司市场占有率不低于，则每年研发经费至少需要多少亿元？ (2)若时，求该公司市场占有率的最大值. 【答案】(1)至少需要亿元； (2). 【分析】（1）由已知可得出，整理得出，解此不等式即可得出结论； （2）化简函数解析式为，利用基本不等式可求得该公司市场占有率的最大值. 【解析】（1）解：当时，，由，可得， 解得，即每年的研发经费至少需要亿元. （2）解：当时，， 当且仅当时，等号成立， 因此，若时，该公司市场占有率的最大值为. 36．（23-24高一上·上海·期末）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现，某水果的产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，且施用肥料及其它成本总投入为元．已知这种水果的市场售价大约10元/千克，且生产的水果都能售出．记该水果利润为（单位：元）．（利润销售额成本） (1)写出利润（元）关于施用肥料x（千克）的关系式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当施用肥料为3千克时，该水果利润最大，最大利润是400元 【分析】（1）根据题目信息直接写出表达式即可； （2）根据分段函数性质，结合二次函数和基本不等式分别求解最大值并比较即可. 【解析】（1）由已知， 又， 所以， 整理得 （2）当时，， 所以当时，， 当时， ， 当且仅当，即时等号成立，， 因为，所以的最大值为400， 故当施用肥料为3千克时，该水果的利润最大，最大利润是400元 37．（22-23高一下·上海黄浦·期末）由于突发短时强降雨，某中学地下车库流入大量雨水．从雨水开始流入地下车库时进行监测，已知雨水流入过程中，地下车库积水量（单位：）与时间（单位：）成正比，小时后雨停，消防部门立即使用抽水机进行排水，此时与的函数关系式为（为常数），如图所示．    (1)求关于的函数表达式； (2)已知该地下车库的面积为，当积水深度小于等于时，师生方可入内，那么从消防部门开始排水时算起，至少需要经过几个小时以后，师生才能进入地下车库？ 【答案】(1)； (2)小时以后 【分析】（1）如图，该曲线是正比例函数和指数型函数连接而成，利用它们都经过求解； （2）当时，解不等式即可得到进入车库的最快时间点. 【解析】（1）由图可知，当时，； 当时，， ∵图象经过点，∴，解得， 故. （2）令， 即，解得， ∵消防部门从时开始排水，故至少需要个小时以后，师生才能进入地下车库． 38．（23-24高一上·上海松江·期末）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力，某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元/件）关于第天的函数关系近似满足（为常数，且），日销售量（单位：件）关于第天的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 90 95 100 95 90 已知第10天的日销售收入为459元. (1)求的值； (2)给出以下四种函数模型：①;② ；③ ；④. 请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量关于第天的变化关系，并求出该函数的解析式： (3)设该工艺品的日销售收入为函数（单位：元），求该函数的最小值. 【答案】(1)1 (2)选择模型②， (3)441 【分析】（1）根据题意直接代入求值即可； （2）根据题中几个函数模型的相关概念直接选择合适的模型，通过代入求值即可得到函数表达式； （3）通过讨论和的最小值并比较即可. 【解析】（1）因为第10天的日销售收入为459元， 所以，解得 （2）由表可知，随的增加先增加后减小， 模型①③④均为单调函数，所以②模型符合题意， 所以代入，解得， 所以 （3）由（1）知，， 由（2）知，， 所以， 所以， 当时，， 当且仅当，即时取等号， 当时，在单调递减， 所以， 因为，所以函数的最小值为441 39．（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知定义在上的奇函数的表达式为(且). (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性（只需写出结论）；若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)已知，若函数有且仅有两个零点，求实数的取值范围； 【答案】(1)3 (2)在单调递增；实数的取值范围为 (3) 【分析】（1）利用奇函数性质求出再检验即可； （2）利用定义法判断函数单调性，结合奇函数的性质和函数单调性解不等式，转化为函数最值问题再求解即可； （3）利用换元法转化为在有两个不相等的实根，结合二次函数相关知识求解即可. 【解析】（1）因为定义在上的奇函数的表达式为(且)， 所以，得， 此时， 则符合题意， 所以实数的值为3 （2）在单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，且， 所以， 所以，所以在单调递增； 由，即， 因为是定义在上的奇函数，所以， 因为在单调递增，所以， 所以存在，使得成立， 因为对称轴为， 所以当时，取得最小值， 所以，即实数的取值范围为 （3）由题意得，令， 即， 令，则在有两个不相等的实根， 所以，解得， 所以实数的取值范围为 一、填空题 1．（21-22高一上·上海徐汇·期末）设，若存在使得关于x的方程恰有六个解，则b的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出f(x)的图像，当时，，当时，.令，则，则该关于t的方程有两个解、，设＜，则，.令，则，据此求出a的范围，从而求出b的范围． 【解析】当时，， 当时，， 当时，， 则f(x)图像如图所示： 当时，，当时，． 令，则， ∵关于x的方程恰有六个解， ∴关于t的方程有两个解、，设＜， 则，， 令，则， ∴且， 要存在a满足条件，则，解得． 故答案为：． 2．（23-24高一上·上海虹口·期末）设，若实数满足：，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，根据图象可得，整理可得，结合二次函数分析求解. 【解析】作出的图象，如图所示， 令，由图可知：， 且，解得， 则， 因为，则，可得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】易错点睛：利用数形结合求方程解应注意两点 1.讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解． 2.正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合． 二、单选题 3．（22-23高一上·上海松江·期末）关于函数，给出下列两个结论： ①方程一定有实数解； ②如果方程（为常数）有解，则解的个数一定是偶数. 则（    ） A．①正确，②正确 B．①错误，②错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】C 【分析】由函数解析式可推出是偶函数，在上单调递增，在上单调递减，结合图形判断各项的正误. 【解析】令，解得，可知的定义域为， 且，所以函数是偶函数， 当时，则， 因为在上单调递增，且恒成立，所以在上单调递减， 当时，则， 因为在上单调递减，且恒成立，所以在上单调递增， 可得的函数图象如下：    对于①：方程根的个数即为函数与的交点个数， 由图象可得：当时，函数与函数的图像一定有交点， 由对称性可知，当时，函数与函数的图像也一定有交点，故①正确； 对于②：当时，方程只有1个解，故②错误； 故选：C. 【点睛】关键点睛：根据函数解析式确定单调区间，奇偶性，进而结合图象判断各项的正误，注意一次函数的性质和函数对称性的应用. 4．（22-23高一上·上海徐汇·期末）关于x的方程，给出下列四个命题，其中假命题的个数是（    ）． ①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根； A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】分别取、、、计算对应方程的解后可得正确的选项. 【解析】取，则即为， 故，解得，故①正确. 取，则即为，故， 解得，或，故②正确. 取，则即为， 故，或解得，或，或，故③正确. 取，则即为， 故或， 解得，或，或，或，故④正确. 故选：A 【点睛】本题考查复合方程的解的个数的讨论，解题关键点是根据复合方程的性质将其转化为简单方程的解，本题属于较难题. 5．（22-23高一上·上海奉贤·期末）数学上，常用表示不大于x的最大整数．已知函数，则下列四个命题： ①函数在定义域上是奇函数； ②函数的零点有无数个； ③函数在定义域上的值域是； ④不等式解集是． 以上四个命题正确的有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】举例即可说明①错误；令，结合函数的定义，即可判断②；作差法得出，进而得出.根据取值的特殊性，即可判断③；由不等式可得，根据定义即可判断④. 【解析】设， 对于①，易知，， 所以，. 故函数在定义域上不是奇函数.故①错误； 对于②，由可得，，. 根据函数的定义可得，.故②正确； 对于③，易知. 因为恒成立， 所以，所以. 综上所述，. 所以，，即， 所以，. 但是根据定义可知，只能取整数， 所以的值域为内的部分离散的数，而不能取遍内的所有实数.故③错误； 对于④，因为， 所以由可得， ，，所以. 根据函数的定义可知，，所以不等式解集是．故④错误. 综上所述，②正确. 故选：B. 三、解答题 6．（23-24高一上·上海奉贤·期末）定义：给定函数，若存在实数、，当、、有意义时，总成立，则称函数具有“性质”. (1)判别函数是否具有“性质”，若是，写出、的值，若不是，说明理由； (2)求证：函数（且）不具有“性质”； (3)设定义域为的奇函数具有“性质”，且当时，，若对，函数有5个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)是， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意代入整理得，取系数为0 即可得解； （2）根据题意代入整理得，取值解即可判断； （3）根据题意分析函数的对称性和周期性，根据题意结合奇偶性可知与在内有2个不同的交点，数形结合处理问题. 【解析】（1）函数具有“性质”， 因为，且， 则，整理得， 可得，解得， 所以函数是否具有“性质”，此时. （2）假设函数（且）具有“性质”， 则，则，解得， 整理得，则， 取，可得，解得； 取，可得，解得； 显然，即对任意，不存在实数、使得恒成立， 假设不成立，所以函数（且）不具有“性质”. （3）具有“性质”，则，可知关于点对称， 可得，即 又因为为定义域为的奇函数，则， 可得，即函数的周期为2， 令，则， 由题意可得：与在内有5个不同的交点， 注意到为奇函数，可知为与的一个交点， 由对称性可知：与在内有2个不同的交点， 作出在内的图象， 当过时，可得； 当过时，可得； 当过时，可得； 结合图象可知：实数的取值范围为. 【点睛】易错点睛：利用数形结合求方程解应注意两点 1.讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解； 2.正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合． ( 34 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 函数的零点 本学期实际应用题 （九大题型+优选提升题） “二分法”求函数的零点 1．（22-23高一上·上海浦东新·期末）用“二分法”求方程在区间内的实根，首先取区间中点进行判断，那么下一个有根区间是 ； 2．（23-24高一上·上海·期末）若函数在区间的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下： 那么方程的一个近似解为 （精确到0.1） 3．（22-23高一上·上海松江·期末）函数的零点，对区间利用一次“二分法”，可确定所在的区间为 . 4．（22-23高一上·上海闵行·期末）已知函数的表达式为，用二分法计算此函数在区间上零点的近似值，第一次计算、的值，第二次计算的值，第三次计算的值，则 ． 5．（21-22高一上·上海嘉定·期末）函数的零点为 .（精确到0.1） 求函数的零点 6．（21-22高一上·上海金山·期末）函数的零点为 . 7．（22-23高一上·上海浦东新·期末）函数的零点为 ． 8．（20-21高一上·上海黄浦·期末）若指数函数的图象经过点，则函数的零点为 . 零点存在定理 9．（23-24高一上·上海·期末）方程的根，，则 ． 10．（22-23高一上·上海松江·期末）函数的零点所在的区间为（    ） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4） 零点个数、求和 11．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，则该函数的所有零点的和是 ． 12．（23-24高一上·上海·期末）函数的零点个数为 . 13．（23-24高一上·上海虹口·期末）设，则函数的所有零点之和为 ． 根据零点求参数或取值范围 14．（23-24高一上·上海浦东新·期末）若函数的零点个数为1，则 ． 15．（19-20高一上·上海浦东新·期末）函数在上恰有一个零点，则实数a的取值范围是 ． 16．（20-21高一上·上海金山·期末）已知函数在区间上的图像是一段连续的曲线，且有如下的对应值表： 1 2 3 4 5 6 -3.25 -7.9 2 4.16 -1 9.8 设函数在区间上零点的个数为，则的最小值为 . 17．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，若函数存在零点，则实数的取值范围是 . 18．（20-21高一上·上海普陀·期末）若函数有唯一零点，则实数的值为 . 19．（20-21高一上·安徽滁州·阶段练习）已知函数有最小值，则的取值范围为 ． 20．（23-24高一上·上海·期末）设函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是 题型6 公共点、交点、实数解等问题 21．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，，若函数和的图象有且仅有1个公共点，则实数的取值范围是 22．（23-24高三上·上海虹口·期末）设，若关于x的方程有3个不同的实数解，则实数a的取值范围为 ． 23．（23-24高三上·安徽合肥·期中）已知函数，，若函数有6个零点，则实数的取值范围为 . 24．（22-23高一上·上海奉贤·期末）设函数，其中，其中，若函数的图象与直线有4个交点，则实数b满足的条件是 ． 题型7 不等式的实际应用 25．（20-21高一上·上海闵行·期末）垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值，具有社会、经济、生态等几方面的效益，某地街道呈现东西，南北向的网格状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点，若以互相垂直的两条街道为坐标轴建立平面直角坐标系，现有下述格点，，，，，为垃圾回收点，请确定一个格点（除回收点外） 为垃圾集中回收站，使这6个回收点沿街道到回收站之间路程的和最短 26．（21-22高一上·上海浦东新·期末）商品批发市场中，某商品的定价每天随市场波动，甲乙两名采购员在每月的同一天去该市场购买同一种商品，甲每次购买公斤，乙每次购买元（，互不相等），该方案实施2次后 的购买方案平均价格更低.（填“甲”或“乙”） 题型8 函数，指数、对数函数及运算的实际应用 27．（23-24高一上·上海奉贤·期末）在有声世界，声强级是表示声强度相对大小，其值为（单位：（分贝）），定义为.其中，为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值．声强级的声强度是声强级的声强度的 倍. 28．（22-23高一上·上海杨浦·期末）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过分钟后物体的温度可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数，.现有的物体，放在的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是，则 分钟后温度首次低于（保留到整数部分）. 29．（22-23高一上·上海青浦·期末）在不考虑空气阻力的情况下火箭的最大速度v（单位：m/s）和燃料的质量M（单位：kg），火箭（除燃料外）的质量m（单位：kg）满足（e为自然对数的底）．当燃料质量M为火箭（除燃料外）质量m的 倍时，火箭的最大速度可以达到8000m/s（结果精确到0.1）． 30．（23-24高一上·上海·期末）为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润（单位：万元）与生产线运转时间（单位：年）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为（    ）年． A．7 B．8 C．9 D．10 31．（22-23高一上·上海奉贤·期末）在有声世界里，声强级是表示声强度相对大小的指标，其值y[单位：dB（分贝）]定义为，其中I为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值．则声强级为60dB时的声强度是声强级为50dB时的声强度的（    ）倍． A．10 B．100 C．1.2 D．12 32．（22-23高一上·上海徐汇·期末）香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大数据传输速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．根据香农公式，若当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型9 解答题（含分段函数的实际应用） 33．（22-23高一上·上海静安·期末）已知函数． (1)请说明该函数图象是由函数的图象经过怎样的平移得到的； (2)已知函数的一个零点为3，求函数的另一个零点． 34．（21-22高一上·上海杨浦·期末）设函数，其中. (1)若函数是偶函数，求实数的值； (2)若，记，求证：函数在上有零点. 35．（21-22高一上·上海金山·期末）某科技公司研究表明：该公司的市场占有率与每年研发经费（单位：亿元）满足关系式：，其中为实常数. (1)若时，该公司市场占有率不低于，则每年研发经费至少需要多少亿元？ (2)若时，求该公司市场占有率的最大值. 36．（23-24高一上·上海·期末）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现，某水果的产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，且施用肥料及其它成本总投入为元．已知这种水果的市场售价大约10元/千克，且生产的水果都能售出．记该水果利润为（单位：元）．（利润销售额成本） (1)写出利润（元）关于施用肥料x（千克）的关系式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果利润最大？最大利润是多少？ 37．（22-23高一下·上海黄浦·期末）由于突发短时强降雨，某中学地下车库流入大量雨水．从雨水开始流入地下车库时进行监测，已知雨水流入过程中，地下车库积水量（单位：）与时间（单位：）成正比，小时后雨停，消防部门立即使用抽水机进行排水，此时与的函数关系式为（为常数），如图所示．    (1)求关于的函数表达式； (2)已知该地下车库的面积为，当积水深度小于等于时，师生方可入内，那么从消防部门开始排水时算起，至少需要经过几个小时以后，师生才能进入地下车库？ 38．（23-24高一上·上海松江·期末）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力，某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元/件）关于第天的函数关系近似满足（为常数，且），日销售量（单位：件）关于第天的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 90 95 100 95 90 已知第10天的日销售收入为459元. (1)求的值； (2)给出以下四种函数模型：①;② ；③ ；④. 请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量关于第天的变化关系，并求出该函数的解析式： (3)设该工艺品的日销售收入为函数（单位：元），求该函数的最小值. 39．（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知定义在上的奇函数的表达式为(且). (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性（只需写出结论）；若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)已知，若函数有且仅有两个零点，求实数的取值范围； 一、填空题 1．（21-22高一上·上海徐汇·期末）设，若存在使得关于x的方程恰有六个解，则b的取值范围是 ． 2．（23-24高一上·上海虹口·期末）设，若实数满足：，则的取值范围是 ． 二、单选题 3．（22-23高一上·上海松江·期末）关于函数，给出下列两个结论： ①方程一定有实数解； ②如果方程（为常数）有解，则解的个数一定是偶数. 则（    ） A．①正确，②正确 B．①错误，②错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 4．（22-23高一上·上海徐汇·期末）关于x的方程，给出下列四个命题，其中假命题的个数是（    ）． ①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根； A．0 B．1 C．2 D．3 5．（22-23高一上·上海奉贤·期末）数学上，常用表示不大于x的最大整数．已知函数，则下列四个命题： ①函数在定义域上是奇函数； ②函数的零点有无数个； ③函数在定义域上的值域是； ④不等式解集是． 以上四个命题正确的有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 三、解答题 6．（23-24高一上·上海奉贤·期末）定义：给定函数，若存在实数、，当、、有意义时，总成立，则称函数具有“性质”. (1)判别函数是否具有“性质”，若是，写出、的值，若不是，说明理由； (2)求证：函数（且）不具有“性质”； (3)设定义域为的奇函数具有“性质”，且当时，，若对，函数有5个零点，求实数的取值范围. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$