精品解析：陕西省西安市曲江第一中学2024-2025学年九年级上学期数学期中考试题

西安市曲江第一中学2024—2025学年第一学期 九年级数学期中试题 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”，据此求解即可．熟练掌握一元二次方程的定义判断是解题的关键． 【详解】解：A、是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、最高次是3次，不是2次，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； D、当时，该方程中未知数的最高次数不是2，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了优异的成绩，奥运会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，它的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据从左边看得到的图形是左视图，即可得出答案． 【详解】解：由左视图的定义知该领奖台的左视图如下： ． 故选：D． 3. 如图，已知直线，直线分别交，，于点A、B、C，过点B的直线分别交，于点D，E．如果，，，则的长为（ ） A. 2.4 B. 3 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．根据，得，再代入数据进行计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ， ∴， 故选：D． 4. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象分布在第二、四象限 B. 当时，随的增大而减小 C. 图象经过点 D. 若点，在图象上，且，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性及反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 分别根据反比例函数的图象及图象上点的坐标特点、反比例函数的增减性对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、∵， ∴图象在第一、三象限，故本选项错误； B、当时，y随x的增大而减小，故本选项正确； C、∵当时，， ∴图象不经过点，故本选项错误； D、∵图象在第一、三象限，在每一支上，y随x的增大而减小， ∴当时，，故本选项错误； 故选：B． 5. 一个不透明的箱子里装有个球，其中红球3个，这些球除颜色不同其余都相同，每次搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验发现，摸到红球的频率稳定在0.3附近，则可以估算出的值为（ ） A. 3 B. 5 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，根据红球的个数除以总数等于频率，求解即可． 【详解】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.3， ∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为0.3， ∴， ∴， 经检验是原方程的解． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，解分式方程，解答此题的关键是利用红球的个数除以总数等于频率． 6. 如图，某学校计划在一个长80米，宽36米的长方形场地上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分学生种植实习地，若使每块种植地的面积都为260平方米，求道路的宽度．设道路宽度为x米，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．设道路宽度为x米，根据种植地的总面积为260平方米列方程即可． 【详解】解：设道路宽度为x米， 根据题意得，， 故选：A． 7. 如图，矩形中，E是的中点，将沿直线折叠后得到，延长交于点F，若，，则的长为（　　） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据E是的中点以及翻折的性质可以求出，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可证得，设，表示出，，然后在中，利用勾股定理列式进行计算即可得解． 【详解】解：∵E是的中点， ∴， ∵沿直线折叠后得到， ∴，， ∴， ∵在矩形中， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，，即， 解得：， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折变换的性质，熟记矩形的性质和翻折变换的性质，根据勾股定理列出方程是解题的关键． 8. 已知如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB，交CB的延长线于G，连接GF，若AD⊥BD．下列结论：①DE∥BF；②四边形BEDF是菱形；③FG⊥AB；④S△BFG=．其中正确的是（　　） A. ①②③④ B. ①② C. ①③ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【详解】解：①∵在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点， ∴四边形DEBF为平行四边形，∴DE∥BF 故①正确； ②由①知四边形DEBF为平行四边形， ∵AD⊥BD E为边AB的中点， ∴DE=BE=AE， ∴四边形BEDF是菱形 故②正确； ③∵AG∥DB AD∥BG AD⊥BD， ∴AGBD为矩形， ∴AD=BG=BC，要使FG⊥AB， 则BF=BC=BG，不能证明BF=BC， 即FG⊥AB不恒成立， 故③不正确； ④由③知BC=BG， ∴S△BFG=． ∵F为CD中点， ∴S△FCG=S平行四边形ABCD， ∴S△BFG=， 故④正确． 故选择D． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 若，则的值为__． 【答案】 【解析】 【分析】设则a=2k，b=3k(k为不等于0的实数)，代入式子计算化简即可． 【详解】解：设 则a=2k，b=3k(k为不等于0的实数)，代入式子中， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是比例的性质和代数式的值，解题的关键是正确理解比例的性质． 10. 已知关于的方程，若该方程的一个根为 ，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，解一元一次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的解的概念是解题的关键．将代入方程，得出关于的一元一次方程，求解即可得出的值． 【详解】解：将代入方程，得： ， 解得：， 故答案为：． 11. 校园里一片小小的树叶蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么叶片的长度为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，根据题意，易得：，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 12. 如图，点A是反比例函数图象上的一点，过A作轴于点B，点D为x轴正半轴上一点且，连接交y轴于点C，连接．若的面积为4，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意证明，由，得到，设，由的面积为4，则，进而得到，再根据反比例函数k的几何意义即可求出． 【详解】解：轴， ， ， ， ， 设，则，， 的面积为4， ，即， ，则， ， ， 点A是反比例函数图象上， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数系k的几何意义，相似三角形的判定与性质，关键是根据三角形的面积求出的值． 13. 如图，在矩形中，E，F分别是边上的动点，P是线段的中点，，G，H为垂足，连接．若，则的最小值是_____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；连接，由勾股定理求出，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后证四边形是矩形，得，当A、P、C三点共线时，最小，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵P是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当A、P、C三点共线时，最小， ∴的最小值是7， 故答案为：7． 三、解答题（共12小题，计81分） 14. 用配方法解方程：x2﹣4x+1=0 【答案】， 【解析】 【分析】先利用配方法得到（x-2）2=3，然后利用直接开平方法解方程． 【详解】解：x2-4x+4=3 （x-2）2=3 x-2=± 所以x1=2+，x2=2-． 15. 选择适当的方法解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．移项、提公因式，利用因式分解法求解即可． 【详解】解：移项，并整理得：， 因式分解，得：， 即：或， 解得：，． 16. 在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧画出放大后的； （2）直接写出点，，的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2），，． 【解析】 【分析】本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）根据位似图形的性质得到点，，的对应点，，，即可求解； （2）根据位似图形的性质，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，，，． 17. 如图，已知在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连接AM，请用尺规作图法，在AM上求作一点P，使得△DPA∽△ABM（不写做法保留作图痕迹） 【答案】 如图所示，点P即为所求作的点． 【解析】 【详解】【分析】根据尺规作图的方法过点D作AM的垂线即可得． 【详解】略 【点睛】本题考查了尺规作图——作垂线，熟练掌握作图的方法是解题的关键． 18. 如图，在菱形中，过点作的垂线，垂足为，延长到点，使，连接．求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：四边形是菱形， 且， ， ， 即， . ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定以及矩形的判定，根据菱形的性质得到且，得到，证明四边形是平行四边形，再根据矩形的判定，即可解题． 【详解】略 19. 小华一家暑假来西安旅游，通过网上查阅，小华初步打算在下面几个博物馆中选择参观：陕西省历史博物馆（A），秦始皇帝陵博物院（B）， 西安碑林博物馆（C），陕西考古博物馆（D），西安博物院（E）． （1）若妈妈随机选择1个博物馆，则他们家去陕西省历史博物馆的概率是________ （2）若爸爸决定选两个博物馆参观，请用列表或画树状图的方法，求他们去陕西考古博物馆的概率？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式求解可得； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式求解可得． 【小问1详解】 解：妈妈随机选择1个博物馆，则他们家去陕西省历史博物馆的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下：     A B C D E A B C D E 由表可知，共有20种等可能结果，其中他们去陕西考古博物馆的等可能结果有8种， ∴他们去陕西考古博物馆的概率为． 20. 关于的一元二次方程． （1）试判断该方程根的情况； （2）若，是该方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】（1）方程有两个不相等的实数根 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式： （1）根据一元二次方程根的判别式判断即可； （2）首先根据根与系数的关系得到，，然后整体代入求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴方程有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：∵，是该方程的两个实数根， ∴， ， ∴ ， 解得：． 21. 在一个周末晚上，甲和乙两位同学借鉴课本中《海岛算经》所学的测量方法，利用灯光下的影子长来测量一路灯高度．如图，在一水平的人行道路上，当甲走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是，然后甲从出发沿方向继续向前走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是．已知甲同学直立时的身高为，求路灯离地面的高度． 【答案】路灯离地面的高度为 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，设，，由题意得出，推出，，由相似三角形的性质列式计算即可得出答案． 【详解】解：设，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 解得：， ∴路灯离地面的高度为． 22. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施．经市场调查发现，如果每件童装降价元，那么平均可多售出件，设每件童装降价元． （1）每天可销售______件，每件盈利_______元；（用含的代数式表示） （2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利元． 【答案】（1）， （2）元或元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用（营销问题），列代数式，因式分解法解一元二次方程等知识点，理解题意找到题目中蕴含的等量关系并列方程求解是解题的关键． （1）根据“销售量原销售量因价格下降而增加的数量”、“每件利润实际售价进价”列式即可； （2）根据“总利润每件利润销售数量”，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：当每件童装降价元时，每天可销售件，每件盈利元， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据题意可得： ， 解得：，， 答：每件童装降价元或元时，平均每天盈利元． 23. 如图，在四边形中，，交于点F．点E在上，且． （1）求证：； （2）若．求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先证出，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）先根据相似三角形的性质可得，再证出，然后根据相似三角形的性质即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 24. 西安市某校为进一步预防“新型冠状病毒”，对全校所有的教室都进行了“熏药法消毒”处理，已知该药物在燃烧释放过程中，教室内空气中每立方米的含药量与燃烧时间之间的函数关系如图所示，其中当时，y是x的正比例函数，当时，y是x的反比例函数，根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）求当时，y与x的函数关系式； （2）药物燃烧释放过程中，若空气中每立方米的含药量不小于的时间超过30分钟，即为有效消毒，请问本题中的消毒是否为有效消毒？ 【答案】（1） （2）本题中的消毒是有效消毒 【解析】 【分析】（1）设y与x的函数关系式为，根据点，利用待定系数法即可得； （2）根据（1）的结果，求出时，y的值，由此即可得A点的坐标，利用待定系数法求出所在直线的表达式，再求出时x的值，由此即可得． 【小问1详解】 解：设y与x的函数关系式为， 将点代入得：， 解得， 则当时，y与x的函数关系式为． 【小问2详解】 解：对于反比例函数， 当时，， 则点A的坐标为． 设所在直线的表达式为， 将点代入得：，解得， 则所在直线的表达式为， 将代入得：， 解得， 将代入得：， 解得， ∵， ∴本题中的消毒是有效消毒． 【点睛】本题考查了反比例函数和正比例函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． 25. 已知四边形，点E、F、G、H分别在边、、、上． （1）如图1，四边形是正方形，，求证； （2）如图2，矩形中，，，，求的值； （3）如图3，四边形中，，，，点E、F分别在线段、上，且，求的值． 【答案】（1） 证明：如图，过点作于点，过点作于点，设、交于点，、交于点，、交于点，、交于点， ， 四边形是正方形， ，， 四边形是矩形，四边形是矩形， 且，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，过点作于点，设、交于点，、交于点，、交于点，、交于点，可得，利用正方形的性质可证得四边形和是矩形，于是可得，，利用直角三角形的两个锐角互余可得，，于是可得，进而可证得，于是有，据此即可得出答案； （2）过点作交于点，作交延长线于点，设、交于点，、交于点，由矩形的性质可得，，进而可证得四边形和是平行四边形，于是可得，，易得，由平行线的性质可得，，于是可得，进而可得，由等式的性质可得，于是可证得，则有，由于，，于是可得答案； （3）过点作交延长线于点，过点作交于点，连接，易证得四边形是矩形，于是可得，，，利用可证得，于是可得，进而可证得，于是可得，则，，，根据勾股定理可得，于是可得，解方程即可求得，则，过点作于点，过点作于点，于是可证得，因而可得，又可证得四边形和是矩形，于是可得，，利用即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作交于点，作交延长线于点，设、交于点，、交于点， 四边形是矩形， ，，，，， 即，， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ； 【小问3详解】 解：如图，过点作交延长线于点，过点作交于点，连接， ， 四边形是矩形， ，，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ，， ， ， ， 解得：或， ， ， ， ， 过点作于点，过点作于点， ， 由（1）可知：， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形，四边形是矩形， ，， ． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，两直线平行同位角相等，直角三角形的两个锐角互余，等式的性质，全等三角形的判定与性质（、），等式的性质，平行四边形的判定与性质，利用邻补角互补求角度，两直线平行同旁内角互补，相似三角形的判定与性质，勾股定理，因式分解法解一元二次方程，垂线段最短等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形或相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安市曲江第一中学2024—2025学年第一学期 九年级数学期中试题 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了优异的成绩，奥运会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，它的左视图是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，已知直线，直线分别交，，于点A、B、C，过点B的直线分别交，于点D，E．如果，，，则的长为（ ） A. 2.4 B. 3 C. 4 D. 4. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象分布在第二、四象限 B. 当时，随的增大而减小 C. 图象经过点 D. 若点，在图象上，且，则 5. 一个不透明的箱子里装有个球，其中红球3个，这些球除颜色不同其余都相同，每次搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验发现，摸到红球的频率稳定在0.3附近，则可以估算出的值为（ ） A. 3 B. 5 C. 10 D. 12 6. 如图，某学校计划在一个长80米，宽36米的长方形场地上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分学生种植实习地，若使每块种植地的面积都为260平方米，求道路的宽度．设道路宽度为x米，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，矩形中，E是的中点，将沿直线折叠后得到，延长交于点F，若，，则的长为（　　） A. 1 B. 2 C. D. 8. 已知如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB，交CB的延长线于G，连接GF，若AD⊥BD．下列结论：①DE∥BF；②四边形BEDF是菱形；③FG⊥AB；④S△BFG=．其中正确的是（　　） A. ①②③④ B. ①② C. ①③ D. ①②④ 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 若，则的值为__． 10. 已知关于的方程，若该方程的一个根为 ，则的值为____． 11. 校园里一片小小的树叶蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么叶片的长度为______． 12. 如图，点A是反比例函数图象上的一点，过A作轴于点B，点D为x轴正半轴上一点且，连接交y轴于点C，连接．若的面积为4，则k的值为______． 13. 如图，在矩形中，E，F分别是边上的动点，P是线段的中点，，G，H为垂足，连接．若，则的最小值是_____． 三、解答题（共12小题，计81分） 14. 用配方法解方程：x2﹣4x+1=0 15. 选择适当的方法解方程：． 16. 在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧画出放大后的； （2）直接写出点，，的坐标． 17. 如图，已知在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连接AM，请用尺规作图法，在AM上求作一点P，使得△DPA∽△ABM（不写做法保留作图痕迹） 18. 如图，在菱形中，过点作的垂线，垂足为，延长到点，使，连接．求证：四边形是矩形． 19. 小华一家暑假来西安旅游，通过网上查阅，小华初步打算在下面几个博物馆中选择参观：陕西省历史博物馆（A），秦始皇帝陵博物院（B）， 西安碑林博物馆（C），陕西考古博物馆（D），西安博物院（E）． （1）若妈妈随机选择1个博物馆，则他们家去陕西省历史博物馆的概率是________ （2）若爸爸决定选两个博物馆参观，请用列表或画树状图的方法，求他们去陕西考古博物馆的概率？ 20. 关于的一元二次方程． （1）试判断该方程根的情况； （2）若，是该方程的两个实数根，且，求的值． 21. 在一个周末晚上，甲和乙两位同学借鉴课本中《海岛算经》所学的测量方法，利用灯光下的影子长来测量一路灯高度．如图，在一水平的人行道路上，当甲走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是，然后甲从出发沿方向继续向前走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是．已知甲同学直立时的身高为，求路灯离地面的高度． 22. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施．经市场调查发现，如果每件童装降价元，那么平均可多售出件，设每件童装降价元． （1）每天可销售______件，每件盈利_______元；（用含的代数式表示） （2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利元． 23. 如图，在四边形中，，交于点F．点E在上，且． （1）求证：； （2）若．求的度数． 24. 西安市某校为进一步预防“新型冠状病毒”，对全校所有的教室都进行了“熏药法消毒”处理，已知该药物在燃烧释放过程中，教室内空气中每立方米的含药量与燃烧时间之间的函数关系如图所示，其中当时，y是x的正比例函数，当时，y是x的反比例函数，根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）求当时，y与x的函数关系式； （2）药物燃烧释放过程中，若空气中每立方米的含药量不小于的时间超过30分钟，即为有效消毒，请问本题中的消毒是否为有效消毒？ 25. 已知四边形，点E、F、G、H分别在边、、、上． （1）如图1，四边形是正方形，，求证； （2）如图2，矩形中，，，，求的值； （3）如图3，四边形中，，，，点E、F分别在线段、上，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $