第08讲 垂径定理（2考点7题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（北师大版）

第08讲 垂径定理 课程标准 学习目标 探索并证明垂径定理:垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧． 1. 了解垂径定理的内容及证明； 2. 掌握从垂径定理的推论及证明； 3. 学会有关垂径定理的作图，会解有关实际应用题． 知识点一：垂径定理 如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧． 【即学即练】 1．如图，是的直径，于点．若，，则长是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理．由垂径定理得到，设，则，由勾股定理可建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．某地有一座四弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长），共高（弧的中点到弦的距离），则拱桥的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解一元一次方程等知识点，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 设拱桥的圆心为，连接、，设拱桥的半径为，由垂径定理可得，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求出拱桥的半径． 【详解】解：如图，设拱桥的圆心为，连接、， 设拱桥的半径为， 由题意可得：，，， 则， ， 在中，根据勾股定理，可得： ， 即：， 解得：， 故选：． 3．如图，在中，①分别以弦的端点A，B为圆心，适当等长为半径画弧，使两弧相交于点M；②作直线交于点N．若，则（　　） A．10 B．3 C．8 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图，作线段的垂直平分线，圆的基本知识，勾股定理，掌握这些知识点是关键；由作图知，垂直平分，则；由勾股定理即可求解． 【详解】解：由作图知，垂直平分， ∴； 在中，； 故选：D． 4．如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底都是圆球形．球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理、垂径定理，掌握勾股定理、垂径定理是正确解答的关键．根据勾股定理、垂径定理进行计算即可． 【详解】解：在中，，则， 由勾股定理得， ， 故答案为：． 5．如图，是的弦，半径于点，且，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．连接，根据垂径定理得出，设的半径为，在中，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】解；如图，连接， ∵， ∴， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：4． 6．如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 过点O作于E，连接，利用垂径定理，勾股定理求解即可． 【详解】解：过点O作于E，连接，如图， ，， ， ． 故答案为：． 7．如图，是的外接圆，于点D，交于点E，若，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由垂径定理得，，设半径为，由勾股定理得，求出即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， 设半径为，则， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得， ∴． 8．已知的半径为，弦，则上到弦所在直线的距离等于的点有 个． 【答案】4 【分析】过作半径于，连接，由垂径定理得到，由勾股定理求出，得到，即可得到上到弦所在直线的距离为1的点有4个．本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理，勾股定理求出的长． 【详解】解：如图，中，弦， 过作半径于，连接， ， ， ， ， 在上点到弦所在直线的距离为2， ∴在上有2个点到弦的距离为1 而在有两个点到弦所在直线的距离为1， 上到弦所在直线的距离为1的点有4个． 故答案为：4． 知识点二：垂径定理的推论 如果圆的直径平分弦(这条弦不是直径),那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧． 【即学即练】 9．下列说法：其中正确的说法有（   ） ①到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆； ②相等的弦所对的弧相等； ③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ④长度相等的弧所对的圆心角相等． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了圆相关定义，垂径定理，掌握圆的相关性质定理是解题的关键．根据圆相关定义，垂径定理，逐项分析判断即可求解． 【详解】①到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆，故①正确； ②同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，故②错误， ③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故③错误； ④同圆或等圆中，长度相等的弧所对的圆心角相等，故④错误． 故正确的是①， 故选：A． 10．如图，已知点A、B、C、D都在上，，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系，解题关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和垂径定理，可以得到，，，然后即可判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵， ∴，，故A正确；， ∴， , ∴，故B正确；, ∴，故C错误； ∵， ∴，故D正确； 故选：C． 11．如图，在中，直径与弦相交于点E，连接，若，，则的值是（     ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角函数的定义，垂径定理的推论，勾股定理，解题关键是掌握并灵活运用相关知识．根据垂径定理的推论结合题中条件易得，，在中利用勾股定理求出的长度，再根据正切的定义即可得解． 【详解】解： 是直径，， 垂径定理的推论得于E，， 在中，由勾股定理得， ， 故选：D． 12．如图，是的弦，半径经过的中点．若，则的大小为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，熟知等腰三角形的性质以及直角三角形的性质是解本题的关键．根据垂径定理的推理得，再利用三线合一及直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵半径经过的中点． ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 13．如图，点B，C在上，D为的中点，直径交于点E，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理的推论，勾股定理．连接，根据垂径定理的推论，得到，，利用勾股定理求出的长，进一步求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵点B，C在上，D为的中点，直径交于点E，， ∴，，， ∴， ∴； 故答案为：． 14．如图，是的两条弦，且于M，于N．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了垂径定理、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键． 连接．由垂径定理结合可得，再证明，最后根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】证明：如图：连接． ∵于M，于N． ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 题型01利用垂径定理求值 例：是的直径，过点作于点，延长交于点，若，的直径为10，则长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，作辅助线构建直角三角形是解答关键． 连接，根据题意易得，，进而求出的长度，再利用勾股定理求出的长度即可求解． 【详解】解：连接，如下图 是的直径，过点作于点，的直径为10， ，． ， ． 在中 ， ． 故选：D． 16．如图，是⊙O的弦的中点，是劣弧上一点，半径与线段交于点，已知，． (1)求线段的长； (2)当时，求的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，先根据垂径定理得出，，在中，根据勾股定理即可得出结论； （2）在中，设，则，，再根据勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）解：连接，如图所示： 过圆心，且是弦中点， ，， 在中，， ，，即 ； （2）解：在中，， ， 设，则，， ，即，则， 解得（舍，， ，． 在中，． 【点睛】本题考查圆综合，涉及垂径定理、勾股定理、解一元二次方程及三角函数定义等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 17．如图，是的直径，弦于点，已知，，则的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握相关知识是解答关键．连接，由垂径定理可得，设的半径为，则，在中，根据勾股定理列方程，即可求解． 【详解】解：连接， 是的直径，弦于点， ， ， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理可得：，即， 解得：， 故选：A． 18．如图，是的直径，是弦，于点E．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理得到，勾股定理求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵是的直径，是弦，于点E， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选B． 19．如图，已知的半径为，弦的长为，P是的延长线上一点，，则等（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，注意：垂直于弦的直径平分弦．过点O作于点C，根据垂径定理求出，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出即可． 【详解】过点O作于点C， 则 ，过圆心O， ， 在中，， ， ， 在中，， 故选：D． 20．如图，半径为的与轴交于点、，则点的横坐标为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，垂径定理等知识，过点A作与D，连接，根据点B和点C的坐标求出，再根据垂径定理求出，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：过点A作与D，连接, ,半径为5的与y轴交于点， ， 过圆心A， ， 由勾股定理得： ， 点的横坐标为3， 故选择：A． 21．已知：如图，是的直径，弦交于E点，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，直角三角形的性质，过O作于F，连接，根据垂直定义得出，即可求出，求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出，根据垂径定理得出，即可求出答案， 能熟记垂径定理是解此题的关键． 【详解】解：如图所示，过O作于F，连接， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵，过圆心O， ∴， ∴； 故答案为：． 22．如图，已知矩形的边经过圆心O，点E，F分别是边与⊙O的交点，，求⊙O的直径长． 【答案】5 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，连接，作于点G，易得四边形是矩形，推出；设⊙O的半径是，根据即可求解； 【详解】解：连接，作于点G， ∵矩形 ∴ ∴四边形是矩形， ∴， 设⊙O的半径是， 则， 在中，， 即， 解得：， 则⊙O的直径是5． 23．如图，，点，在射线上，以为直径作半圆，圆心为，半圆交射线于点，． (1)如图1，当时，若，求的长； (2)如图2，若，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，连接，根据垂径定理求得，进而勾股定理求得，根据含度角的直角三角形的性质，得出，进而即可求解； （2）连接，可得，根据已知条件证明是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作，连接， ∴， ∵为的直径， ∴， 在中， 又∵，即 ∴ ∴， （2）解：如图所示，连接， ∵ ∴ ∴， ∵， 设半径为，则， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即, ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型02利用垂径定理证明 例：如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的三线合一、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键． （1）先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据垂径定理可得，然后根据线段和差即可得证； （2）连接，设的半径为，则，，再根据垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：∵，于点， ∴， 又∵是的半径，， ∴， ∴， 即． （2）解：如图，连接， 设的半径为，则， ∵， ∴， ∵是的半径，，， ∴， 在中，，即， 解得， 所以的半径为． 25．已知：如图，在中，弦与相较于点，连结，． (1)求证：． (2)如果的半径为5，，． ①求的度数． ②求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①，②7 【分析】（1）根据，可得，即，即可证明； （2）①连接，证明，得到，再证明，得到，根据，即可求解；②过O作与F，由①易证是等腰直角三角形，根据垂径定理得到，设，则，，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：， ，即， ； （2）解：①连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②过O作与F， 由①得：， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设，则， ∵， ∴， ∵的半径为5， ∴， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，弧、弦，圆心角的关系，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握垂径定理，弧、弦，圆心角的关系，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 26．如图，已知直线交于，两点，是的直径，点为上一点，且平分，过点作，垂足为点，连接，过点作于点． (1)求证：四边形为矩形． (2)若的直径为，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、垂径定理、勾股定理等知识点，掌握相关几何结论是解题关键． （1）根据得，根据平分得推出，结合即可求解； （2）设，则．．根据即可求解； 【详解】（1）证明： 平分， ∴， ，, ， 四边形为矩形． （2）解： 四边形为矩形， ． ，设，则． 的直径为10， ． 在中，由勾股定理得． 即，解得． ，故舍去， ． ． ，由垂径定理知，为的中点， ． 27．如图，已知经过顶点A、B，交边于点D，交边于点E． (1)如果，求证：． (2)如果点A是弧的中点，，，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）由，可得，则，，进而可证； （2）如图，连接，连接并延长交于，连接，由点A是弧的中点，可得，，则，由，可求，设的半径为，则，，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，连接并延长交于，连接， ∵点A是弧的中点， ∴，， ∴， ∴， 解得，， 设的半径为，则，， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴的半径为5． 【点睛】本题考查了弧、圆周角、弦的关系，等角对等边，垂径定理，正弦，勾股定理等知识．熟练掌握弧、圆周角、弦的关系，等角对等边，垂径定理，正弦，勾股定理是解题的关键． 28．已知，内接于，为的直径，点为优弧的中点． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，过点作，垂足为．若，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查垂径定理的推论、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）延长交于，根据垂径定理的推论可得，即； （2）连接并延长交于，易得，进而可得，再证明，根据全等三角形的性质得到，然后在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如下图，延长交于， ∵点为优弧的中点， ∴， ∴，即； （2）解：连接并延长交于， 设的半径为， ∵点为优弧的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，可有， 即，解得， ∴的半径为． 29．如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)的半径是5． 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识； （1）由垂径定理得，根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差关系可得结论； （2）连接，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：，为的弦， ， ，， ， ， ； （2）解：如图，连接， ，为的弦， ，， ∴ 设的半径是， ∴， 解得， 的半径是5． 30．追本溯源 题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并解答题（2）． (1)如图1，，比较与的长度，并证明你的结论． 方法应用 (2)如图2，，是的两条弦，点，分别在，上，连接，，且，是的中点． ①求证：． ②若圆心到的距离为3，的半径是6，求的长． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理、勾股定理是解题的关键． （1）根据同圆或等圆中，弦、弧之间的关系得出即可； （2）根据勾股定理求出，再根据垂径定理即可求解． 【详解】（1）解：． 证明：， ， ，即． （2）解：①证明：是的中点， ． ， ， ， ， ． ②如图，过点作，是垂足，连接． 在中，，， ， ． 题型03利用垂径定理进行尺规作图 例：如图，在破残的圆形残片上，弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点，已知，． (1)求作此残片所在的圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求出（1）中所作圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂经定理的应用和基本作图，用到的知识点是线段垂直平分线的作法与性质、垂径定理、勾股定理的应用，基本作图需要熟练掌握． （1）在圆形残片上作弦的垂直平分线，交于点P，连接，以P为圆心，为半径的圆为所求残片的圆． （2）先设圆P的半径为r，根据和已知条件求出，，在中，根据，得出，求出r即可． 【详解】（1）解：作图如下， （2）解：设圆P的半径为r， ∵，，， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径为． 32．如图，在一圆形铁片上剪下一个弓形（阴影部分），请用尺规作图法找出劣弧的中点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】作图见解析． 【分析】此题考查了作图能力——作垂线，垂径定理，作线段的垂直平分线即可，掌握画图方法是解题的关键． 【详解】解：如图， 、分别以为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点， 连接，交于点； ∵，经过圆心， ∴， ∴点即为所求． 33．如图为一圆弧形钢梁，该钢梁的拱高为，跨径为． (1)作出该圆弧所在圆的圆心； (2)求这钢梁圆弧的半径长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查作图应用与设计作图，垂径定理，勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （）在上取一点，连接，作线段，的垂直平分线交于点，点即为所求； （）过点作于点交一点．连接．设，利用勾股定理构建方程求解； 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：过点作一点交一点，连接， 设， ， ， 在中，， ， ， 这钢梁圆弧的半径长为． 34．如图，已知线段，． (1)作使得线段，为的两条弦（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)在（1）中的上找出点，使得点到、两点的距离相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了复杂作图，线段垂直平分线的性质以及垂径定理的综合应用，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．解题时注意：垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （1）根据弦的垂直平分线经过圆心，先作出两条弦的中垂线，其交点即为圆心； （2）根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，即可得出点． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，点，即为所求； 35．某市一大型地下横截面为圆形的排污管道突然爆裂，为了使人们的生活不受影响，相关部门组织专业人员抢修．爆裂后的管道横截面如图所示，经测量得出管道内水面宽为米． (1)请利用尺规作图的方法找到管道横截面的圆心；（保留作图痕迹，不写作法） (2)为了保证安全作业，经过紧急排污处理后，水面下降米后的水面宽为米，请求出此时水面的最大深度． 【答案】(1)见解析； (2)水面的最大深度米． 【分析】本题主要考查了尺规作垂线，线段垂直平分线的性质，勾股定理，垂径定理，熟练掌握尺规作垂线，线段垂直平分线的性质，勾股定理是解题的关键． （1）在弧上取异于点的点，连接，分别作、的垂直平分线、相交于点，则点为所求； （2）过点作于点，交和圆弧于点，，由题意可得，米，，的长即为所求水面的最大深度，则，根据垂径定理得，，，进而在和中，利用勾股定理得，解得，从而即可求解． 【详解】（1）解：如图，点即可所求作的图形， （2）解：如图，过点作于点，交和圆弧于点，， 由题意可得，米，，的长即为所求水面的最大深度， ∴， ∵， ∴，，， 在和中，即，即， ∵， ∴， 解得， ∴，即此时水面的最大深度米． 36．在数学活动课上，顾老师提出了一个问题： 如图1，已知，在上作一点P，使． 小亮同学很快就给出了下列思路： 如图2，连接，作的垂直平分线交于点E，交于点F，再作的垂直平分线，交于P，交于点Q，则点P即为满足的点． 结合图2回答下列问题： (1)与是否相等?请说明理由； (2)小亮的做法是否正确?若正确，请说明理由；若不正确，请用无刻度直尺和圆规在图1中作出所求的点P． 【答案】(1)相等，理由见解析 (2)不正确，图见解析 【分析】本题考查垂径定理，尺规作图——线段垂直平分线的作法： （1）根据垂径定理的推论进行判断； （2）平分线段，而不是所对的弦，因此不能平分，可得小亮做法不正确，正确的作法应该是连接，作的垂直平分线，与的交点即为所求的点P． 【详解】（1）解：与相等， 理由：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． （2）解：不正确，作图如下． 37．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)，均为格点，且经过，两点，作出的中点； (2)，均为格点，且，，均在圆上，作出的中点； (3)，，，四点都在圆上，且，作出的中点； (4)，均是上的点，且，都在格线上，在圆上作一点，使得是的中点． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3)作图见解析； (4)作图见解析． 【分析】（）找中点，连接，交与点； （）先找出圆的圆心，然后由垂径定理即可； （）连接，交于一点，延长、交于一点，然后连接两交点，交与点； （）根据网格特征即可； 此题考查了无刻度直尺作图，解题的关键是熟练掌握垂径定理的应用． 【详解】（1）如图，找中点，连接，交与点， ∴点即为所求； （2）如图，先找出圆的圆心，然后由垂径定理即可， ∴点即为所求； （3）连接，交于一点，延长、交于一点，然后连接两交点，交与点， ∴点即为所求； （4）如图，已知图中， 延长交于点， ∴，根据网格作高的特点，作的高， ∴，延长交于点， 根据同弧所对的圆周角相等，则， ∴， ∴， ∴ ， ∴点即为所求． 38．请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．    (1)如图1，点是矩形边的中点，过点画矩形的一条对称轴交于； (2)如图2，△ABC和△DEF的顶点分别与小正方形的顶点重合，若△DEF是△ABC绕点O旋转得到的，请在图中画出旋转中心； (3)如图3，圆经过两个格点，以及格线上的点，作劣弧的中点；并在优弧上找一点，使得； 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）先连接交于点，再根据矩形的性质即可； （2）分别作，的垂直平分线交于点即可； （3）先连接交格线于点， 连接，再作直线交于点，交于点，然后作直线交于点，连接即可． 【详解】（1）解：如图 作法：1．连接交于点， 2．作直线交于点， 故直线即为所求． 证明：在矩形中， 点是矩形边的中点， ，即垂直平分； （2）解：如图 作法：1．连接，， 2．分别作，的垂直平分线交于点， 故点即为所求， 证明：点和点是对称点，点和点是对称点，四边形均为正方形， 垂直平分，垂直平分， 点为旋转中心； （3）解：如图 作法：  1．连接交格线于点， 连接， 2．作直线交于点，交于点， 3．作直线交于点，连接, 故点即为所求， 证明：过点作直线的垂线，垂足为点， ， ， ， ，即垂直平分， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，中心对称图形的性质，圆的基本性质，熟练运用以上知识作图是本题的关键． 题型04 垂径定理与圆的折叠 例：半圆形纸片的半径为，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．作交于，则，连接，根据勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：作交于，则，连接， 对折后半圆弧的中点M与圆心O重合， 则， 在中， ， ． 故选A． 40．如图，是的弦，，垂足为C，将劣弧沿弦折叠交于点D，，若，则的半径为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质等知识点，如图，延长交于E，连接，设，则，，利用折叠的性质得，则，再根据垂径定理得到，在中利用勾股定理得，然后求出x即可得到的半径，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，延长交于E，连接，设，则，， ∵劣弧沿弦折叠交于D， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 解得（负值舍去）， ∴， ∴的半径为5， 故答案为5． 41．如图，为的直径，且，弦于点，将沿翻折后交于点，若为中点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理以及圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键．连接，求出，再根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：连接， 为的直径，且， ， 为中点， ， 将沿翻折后交于点， 弦于点， ． 故答案为：． 42．如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则的长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的折叠问题，涉及垂径定理，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．过点O作，由折叠可得，运用勾股定理可求，再由垂径定理即可求解． 【详解】解：过点O作，如图所示，    ∵将半圆O沿弦所在的直线折叠，若恰好过圆心O， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∵，经过圆心， ∴， 故选：A． 43．如图，是的直径，将弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心O．若，则的半径长是（   ） A．6 B． C． D．6.25 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理和折叠的性质.过点作于点， 交于点，连接，根据折叠的性质得到垂直平分， 所以， 再判断为等边三角形得到，接着根据垂径定理得到， 然后证明是的中位线得到最后利用含度角的直角三角形三边的关系得到的长即可. 【详解】如图， 过点作于点， 交于点，连接， 如图， ∵沿弦折叠后，刚好经过圆心， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ， 又∵， ∴. 故选：A． 44．在弓形的学习中，某小组利用弓形纸片开展如下探索活动：已知，在图1所示的弓形纸片中（点为圆心），，弓高为． 【解决问题】求半径的长； 【探究思考】如图2，作弦，弦，点，分别是，的中点，连结，，记．当时，求的最大值； 【拓展研究】该小组将图1中的弓形纸片进行翻折，得到折痕（如图3）．其中，点，关于对称，连结交于点，连结，，，并延长交弧于点，交于点，使得．当点是半径的中点时，的长度为______．（直接写出答案） 【答案】（1）；（2）的最大值为；（3） 【分析】（1）如图所示，过点作，垂足为，交于点，设，则，在中，，建立方程，解方程，即可求解； （2）如图所示，连接，根据勾股定理表示出，设，则，进而根据二次函数的性质求最值，即可求解； （3）过点作于点，连接，，先证明在上；证明，得出，，进而证明，进而得出，在，中，勾股定理得出方程组，得出,进而证明，得出，即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，过点作，垂足为，交于点 ∴， 设，则 在中， ∴ 解得：， ∴ （2）如图所示，连接， ∵点，分别是，的中点， ∴， ∴，， ∴ ∵ 设，则 ∴ ∴的最大值为； （3）如图所示，过点作于点，连接，， ∵点，关于对称， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴在上； ∵点，关于对称， ∴，， ∴ ∴， ∵点是半径的中点，即 ∴， ∴，， ∵ ∴， 又 ∴， 又∵ ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，，则，， 在中，，即①， 在中，，即②； 联立①②解得：（负值舍去） ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型05 圆内两条平行弦 例：已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 【答案】B 【分析】由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解． 【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点O作于点E，交于点F．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是2； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点O作于点P，延长交于点Q．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是14． 综上可知AB与CD间的距离是2或14． 故选B． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题关键是分两种情况讨论，作辅助线构造直角三角形． 46．如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为 ． 【答案】 【分析】由于A、B两点关于MN对称，因而PA＋PC＝PB＋PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA＋PC的值最小，即BC的值就是PA＋PC的最小值． 【详解】解：连接BC，OB，OC，作CH垂直于AB于H． ∵AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F， ∴BE＝AB＝12，CF＝CD＝9， ∴，， ∴CH＝OE＋OF＝9＋12＝21， BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝12＋9＝21， 在Rt△BCH中，根据勾股定理得：， 即PA＋PC的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查垂径定理以及最短路径问题，灵活根据垂径定理确定最短路径是解题关键． 47．如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）依据垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得结论； （2）证明，由垂径定理可得结论． 【详解】（1）证明：如图，连接，    过点，为的中点， ． （2）证明：延长交于．   ，， ． 过点， ， 垂直平分， ． 【点睛】本题考查了垂径定理，灵活利用垂径定理及其推论是解题的关键． 48．如图，在中，是直径，弦． (1)在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧的中点P；(保留作图痕迹，不写作法) (2)如图2，在（1）的条件下连接、，若交弦于点Q ，的面积6，且，求的半径； 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）由圆的对称性，连接、交于点，连接并延长交于点即可； （2）连接，如图，根据垂径定理得到，，再利用三角形面积公式计算出，设的半径，则，，利用勾股定理得到，解方程即可． 【详解】（1）解：连接、，它们相交于点，连接并延长交于点，如图1， 点为所作； （2）连接，如图2， 点为劣弧的中点， ，， 的面积为6， ， 解得， 设的半径，则，， 在中，， 解得， 即的半径为10． 【点睛】本题考查了作图复杂作图，涉及垂径定理和勾股定理，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 题型06垂径定理的实际应用 例：如图2是根据图1中的石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，设所在圆的圆心为，拱顶为点，交于点，连接．当桥下水面宽时，． (1)求这座石拱桥主桥拱的半径； (2)有一条宽为，高出水面的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱桥？并说明理由． 【答案】(1)这座石拱桥主桥拱的半径为 (2)此渔船不能顺利通过这座桥 【分析】本题主题考查圆的基础知识，勾股定理的运用，掌握垂径定理，勾股定理的综合运用是解题的关键． （1）根据垂径定理可得，，，设主桥拱半径为，可得，根据勾股定理即可求解； （2）如图，设为该渔船的上端，连接，根据题意可求出的值，根据勾股定理可求出的值，再与矩形船的宽比较，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设主桥拱半径为，由题意可知，， ∴，， ∵， ∴， ∴，解得，， ∴这座石拱桥主桥拱的半径为． （2）解：此渔船不能顺利通过这座拱桥，理由如下， 如图，设为该渔船的上端，连接， ∵，船舱顶部为长方形并高出水面， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴此渔船不能顺利通过这座桥． 50．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是如图，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺10寸）．这根圆柱形木材的直径是（    ） A．6寸 B．寸 C．13寸 D．26寸 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可得，由垂径定理可得，设半径，则，然后根据勾股定理列出方程解之即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得， 是的半径， 设半径 则 在中：，即 解得： 木材的直径为寸 故选：D． 51．唐代李皋发明了“桨轮船”，他设计的桨轮船在船的舷侧或尾部装有带有桨叶的桨轮，通过人力踩动桨轮轴来推动船体前进．这种船的桨轮下半部浸入水中上半部露出水面，因其推进方式类似车轮，故又被称为“桨轮船”或“轮船”．如图，该桨轮船的轮子的横截面为，轮子被水面截得线段长为，轮子的吃水深度长为，则该桨轮船轮子半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理可得，设该桨轮船轮子的半径为，则，，在中，根据勾股定理即可列出方程，求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 题意可得， ∵过圆心，且， ∴， 设该桨轮船轮子的半径为，则，， ∵在中，， 即， 解得， ∴该桨轮船轮子半径为. 故选：C． 52．如图1，平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，可以轻度受热，如图2，它的截面图可以近似看作是由去掉两个弓形后与矩形组合而成的图形，其中，若的半径为25，，则该平底烧瓶的高度为（   ） A．20 B．40 C．60 D．80 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题关键．连接，过点O作，交于点E，交于点F，，利用垂径定理，得到，再利用勾股定理，，，即可求出平底烧瓶的高度． 【详解】如图，连接，过点O作，交于点E，交于点F， ∵， ∴， 且易知平分， ∵， ∴， 在和中，， 由勾股定理得，， ∴该烧瓶的高度为． 故选：D 53．一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形．由垂径定理求出的长，设，由勾股定理得到，求出x的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，过点O做于点N，交于点M， ∵， ∴， 连接，， ∴， ∵，． ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴纸杯的直径为． 故选：C． 54．如图，摩天轮的最高处A到地面l的距离是62米，最低处B到地面l的距离是2米．若游客从B处乘摩天轮绕一周需15分钟，则游客从B处乘摩天轮到地面l的距离是47米时至少需 分钟． 【答案】5 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，先根据摩天轮的最高处到地面的距离是62米，最低处到地面的距离是2米得出的长，进而求出的半径，再根据游客从处乘摩天轮到地面的距离是47米时、的长，证明为等边三角形，得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：摩天轮的最高处到地面的距离是62米，最低处到地面的距离是2米得出的长， ， ， 设当到点或点时游客从处乘摩天轮到地面的距离是47米，连接，，，，则， 处乘摩天轮到地面的距离是47米时， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ， ， 游客从处乘摩天轮绕一周需15分钟， 游客从处乘摩天轮到地面的距离是47米时最少需要（分钟）． 故答案为：5． 55．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，则直径长为 寸． 【答案】26 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，设寸，则寸，由垂径定理得到寸，再由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设寸，则寸， ，是直径， 寸， 在中，由勾股定理得， ， ， 寸， 故答案为：26． 56．如图所示，草坪边上有两条互相垂直的小路m，n，垂足为E，草坪内有一个圆形花坛，花坛边缘有A，B，C三棵小树．在不踩踏草坪的前提下测圆形花坛的半径，某同学设计如下方案：若在小路上P，Q，K三点观测，发现均有两树与观测点在同一直线上，从E点沿着小路n往右走，测得，米，米；从E点沿着小路m往上走，测得米，，则点C到小路n的距离为 米，该圆的半径长为 米． 【答案】 9 / 【分析】设圆心为O，过C作交n于F，延长交于D，结合题意和，可证四边形是平行四边形，四边形是矩形，和都是等腰三角形，根据平行四边形，矩形，等腰三角形的性质可以分别求出，，，，再证，得，解出，即可求出点C到小路n的距离，再求出长，在圆中由垂径定理和勾股定理可得，即可求出半径r． 【详解】如图， 设圆心为O，过C作交n于F，延长交于D， 由题意知，，A，P，B三点共线，A，C，Q三点共线， ， ，， ，，， ， ，，，， ，四边形是平行四边形， 米， ，， 米， 米， ，， ，， ， 四边形是矩形， 米， ，， 米， 米， ，， ， ， 米， 点C到小路n的距离为9米， 连接，， ， ， O，D，C三点共线， 四边形是矩形， 米， 米， 设半径为r，则，， 在中，， 则， 解得， 故答案为：9，． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，平行四边形与矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点，正确的添加辅助线是做题的关键； 57．某品牌太阳能热水器的实物图和截面示意图如图所示，支架与地面垂直，真空集热管与地面水平线夹角为，直线与都经过水箱截面的圆心O．已知，，则水箱内水面宽度为 ． 【答案】 【分析】取与的交点为点G，由题意得，，，从而可得，，根据直角三角形的性质可得，，设，则，，进而可得，，再利用，列方程求解即可． 【详解】解：取与的交点为点G， 由题意得，，， ∴，， ∴， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查直角三角形的性质、垂径定理、平行线的性质、解一元一次方程，熟练掌握直角三角形的性质和垂径定理是解题的关键． 58．如图1是护眼学习台灯，该台灯的活动示意图如图2所示．灯柱，灯臂绕着支点C可以旋转，灯罩呈圆弧形（即和）．在转动过程中，总是与桌面平行．当时，，，测得（点M在墙壁上，且）；当灯臂转到位置时，测得，则点E到桌面的距离为 ．若此时点C，F，M在同一条直线上，的最低点到桌面的距离为，则所在圆的半径为 ． 【答案】 38 39 【分析】本题考查了勾股定理的实际运用、相似三角形的性质与判定、垂径定理。解题关键是掌握相似三角形、勾股定理、垂径定理，并学会将实际问题转化为数学问题． 通过作平行线和垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出相应的边，再依次连接C，F，M，作，证，根据相似三角形对应边成比例可得所对的弦的长度，再利用垂径定理和勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， ，，， 延长，，则M、D、A在一条直线上，N、F、E、Q在一条直线上， ，，， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ∴， 即点E到桌面的距离为， 过点F作，垂足为P，则， ， ， ， 即， 解得， ， 如图3， 可得，， 设半径为r，则，， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得， 故答案为：38，39． 59．紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，图2是正确使用该工具时的示意图．如图3，为某紫砂壶的壶口，已知A、B两点在上，直线过点O，且于点D，交于点C．若，，求这个紫砂壶的壶口半径． 【答案】10 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是理解垂径定理构建关于半径r的等式．根据可得，再根据勾股定理构建关于半径r的等式求解即可． 【详解】解：设这个紫砂壶的壶口半径为r， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， 这个紫砂壶的壶口半径为， 60．某隧道口是圆弧形拱顶，圆心为，隧道口的水平宽为，离地面的高度，连接，拱顶最高处离地面的高度为，在拱顶的，处安装照明灯，且，离地面的高度均为． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)AO的长是 (2) 【分析】本题考查垂径定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． （1）设交于点、交于点，根据垂径定理求出；设，用含的代数式将表示出来，在中利用勾股定理列关于的方程并求解即可； （2）连接，根据题意可知，求出，从而求出，在中利用勾股定理求出，再利用垂径定理计算即可． 【详解】（1）解：如图，设交于点、交于点． 根据题意，得， ， ， 设， ，， ， ， 在中利用勾股定理，得， ， ， 的长是； （2）解：如上图，连接． ，离地面的高度均为， ， ，， ， ， 在中利用勾股定理，得， ． 61．高致病性禽流感是—种传染性极强的传染病． (1)养殖场有4万只鸡．假设有一只鸡得了禽流感，如果不采取任何措施，那么第二天将新增病鸡10只，到第三天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依此类推，请问到第四天，共有多少只鸡得了禽流感？到第几天，所有的鸡都会感染禽流感？ (2)为防止禽流感蔓延，防疫部门规定：离疫点3千米范围内为捕杀区，所有的禽类全部捕杀；离疫点3~5千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时对捕杀区和免疫区的村庄，道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路通过禽流感病区．如图所示，O为疫点，到公路的最短距离为1千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米？（结果保留根号） 【答案】(1)第四天共有只鸡得了禽流感；到第六天所有鸡都会被感染； (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，数字类的规律探索： （1）根据题意可得规律第n天新增只病鸡，据此求出第四天，第五天，第六天得了禽流感的鸡的数量即可得到答案； （2）过点O作于E，利用勾股定理求出，再利用垂径定理求出的值即可． 【详解】（1）解：第一天新增1只病鸡， 第二天新增10只病鸡， 第三天新增100只病鸡， ……， 以此类推，可知，第n天新增只病鸡， ∴第四天共有只鸡得了禽流感； 到第五天得禽流感病鸡数为只 到第六天得禽流感病鸡数为， ∴到第六天所有鸡都会被感染； （2）解：如图所示，过点O作于E， 由题意得，， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得 ， 由垂径定理可得， ∴， ∴这条公路在该免疫区内有． 62．如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，若，为水面截线，，为桌面截线，． (1)请在图1中画出线段，用其长度表示水面的最大高度（不要求尺规作图，不说理由），并直接写出的长； (2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少． 【答案】(1)图见解析， (2) 【分析】本题考查了垂径定理的应用，熟练掌握垂径定理的内容和正确作出辅助线是解题的关键． （1）由题意作出图形，由垂径定理和勾股定理即可得出答案； （2）作出垂径，由垂径定理和勾股定理可得出弦长，根据题意即可得出答案． 【详解】（1）解：， 如图，连接， 为圆心，，， ， ， ， 在中， ， ， 的长为； （2）过作，连接， 由题得，， 在中，， ， ， 水面截线减少了． 63．在一次数学建模活动课上，吴老师制作了一张简易的海域安全监测平面图，在图中标明了三个监测点的位置坐标，，，由三个监测点确定的圆形区域是安全警戒区域．（单位：海里） (1)某天海面上出现可疑船只，在监测点测得位于南偏东，，求在监测点测的方位是什么？ (2)当可疑船只由（1）中位置向正北方向航行时，是否会闯入安全警戒区域？请通过计算作答． 【答案】(1)南偏东60°， (2)不会闯入安全警戒区域，过程见解析． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、直线与圆的位置关系．垂径定理的应用； （1）过点C作轴于点D，设，则，解直角三角形求得x，进而求得； （2）由（1）知，根据三角函数的定义得到，过点C作轴于点G，过点作于点E，交于H，过点作于点F，则四边形是矩形，根据矩形的性质得到，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：过点C作轴于点D，    依题意，得，， 设，则， ∵， ∴， ∴， 在中， ，， ∴ ∵ ∴ 解得：，即 ∴ ∴ ∴ ∴监测点测的方位是南偏东60° （2）解：不会，计算如下： 由（1）知， ∵， ∴， ∴， 过点C作轴于点G，过点作于点E，交于H，    ∴， ∴， 过点作于点F， 则四边形是矩形， ∴， 由已知得，， ∵， ∴线段是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴直线与相离，C船不会闯入安全警戒区域． 64．如图，是一个圆弧形拱桥的截面示意图．点是拱桥的中点，桥下水面的宽度，点到水面的距离．点，均在上，，且，在点，处各装有一个照明灯，图中和分别是这两个灯的光照范围．两灯可以分别绕点，左右转动，且光束始终照在水面上．即，可分别绕点，按顺（逆）时针方向旋转（照明灯的大小忽略不计），线段，在上，此时，线段是这两灯照在水面上的重叠部分的水面宽度．    (1)求圆弧形拱桥所在圆的半径． (2)求照明灯距离水面的高度． (3)已知，在这两个灯的照射下，当整个水面都被灯光照到时，求这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度． 【答案】(1)圆弧型拱桥所在圆的半径为13米 (2)照明灯距离水面的高度为7米． (3)这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度为或． 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、等腰直角三角形、解直角三角形等知识点，正确作出作辅助线、构造直角三角形解决问题成为解题的关键． （1）设交于K，圆心为O，连接，，，过作于T，根据垂径定理可得，，然后运用勾股定理列方程求解即可； （2）根据题意得出，勾股定理求得的长，进而可得； （3）当整个水面都被灯光照到时，分①C与A重合，F与B重合，②当E与A重合，D与B重合两种情况分别画出图形，解直角三角形即可解答． 【详解】（1）解：如图：设交于K，圆心为O，连接，，，过作于T， ∵点点是拱桥的中点， ∴， ∴O，P，H共线，， 设半径为r，则， 在中，， ∴，解得：， ∴圆弧型拱桥所在圆的半径为13米． （2）解：如图：设交于K，圆心为O，连接，，，过作于T，则四边形是矩形， ∵，且， ∴， ∴， ， ， ∴，即照明灯距离水面的高度为7米． （3）解：当整个水面都被灯光照到时， ①如图：当C与A重合，F与B重合时， 由（2）可得 ， ∴， ∴， ∵，即， ∴是等腰直角三角形， ，即； ， 同理可得，即， ， 这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度为； ②如图：当E与A重合，D与B重合， ∵ ， ∴， ， ， ， 根据对称性可得∶， ∴， ∴这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度为． 综上所述，这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度为或． 题型07垂径定理与函数的综合 例：如图，在凸四边形中，为边的中点，，于点．若，设，，则关于的函数图象为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，二次函数关系式，中位线定理，勾股定理的应用，由为边的中点，，则，从而得知点在以为圆心，长度为半径的圆上，由垂径定理得出，，则，，再由中位线性质得，然后由勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵为边的中点，， ∴， ∴点在以为圆心，长度为半径的圆上， 如图， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴， 在和中， 由勾股定理得：，， ∴， ∴， 整理得：， ∴， ∵， ∴选项图象符合题意， 故选：． 66．某一公路双向隧道由一弧形拱与矩形组成，经测量得，．为了确定弧形拱的半径长度，某勒测队找到一根长的笔直杆子，直立杆子，调整杆子位置，使点落在上，点落在上，此时． (1)①如图是勒测队绘制的平面示意图，请你用直尺和圆规作出弧形拱所在圆的圆心（保留作图痕迹）． ②圆心到直线的距离是______．（直接写出答案） (2)求出弧形拱所在圆的半径． 【答案】(1)①作图见解析；②； (2)弧形拱所在圆的半径为． 【分析】（1）①画出两条线段的垂直平分线，交点即为圆心； ②过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接，， 证明四边形，是矩形，即可求解； （2）过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接，，设，则，，在中，，即，在中，，即，从而得到，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：在弧形拱上任取一点，连接，分别作、的垂直平分线，两直线的交点即为圆心，如图： ②如图，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接，，则， 由①可知，垂直平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵，，， ∴四边形，是矩形， ∴，， ∴， ∴圆心到直线的距离是， 故答案为：； （2）解：如图： 设，则，， 在中，，即， 在中，，即， ∵， ∴， 整理得：， 解得：， ∴， ∴弧形拱所在圆的半径为． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质等知识，解题的关键是找出弓形所在的圆心，画出半径，构造直角三角形，借助勾股定理解题． 67．某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当和确定时，有两种设计方案可供选择；①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米． (1)如图1，若设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，求此函数表达式； (2)如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径； (3)现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米．从以上两种方案中，任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由． 【答案】(1) (2)12.5米 (3)①若设计成抛物线型时，货船不能顺利通过该桥；②若设计成圆弧型时，货船能顺利通过该桥；理由见解析 【分析】（1）根据题意设抛物线的解析式为，将点代入，求出的值，即可确定函数的解析式； （2）设圆心为，连接交于点，连接，在中，，解得，即可求该圆弧所在圆的半径12.5米； （3）①若设计成抛物线型时，当时，，由米米，可知货船不能顺利通过该桥； ②若设计成圆弧型时，设米，过点作交弧于点，过点作交于点，连接，在中，，求出米，可得米，再由2.5米米，即可判断货船能顺利通过该桥． 【详解】（1）解： ， ，， ， ， 设抛物线的解析式为， ， 解得， 抛物线的解析式为， 即； （2）解：设圆心为，连接交于点，连接， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， 该圆弧所在圆的半径12.5米； （3）解：①若设计成抛物线型时，当时，， 米米， 货船不能顺利通过该桥； ②若设计成圆弧型时， 设米， 过点作交弧于点，过点作交于点，连接， 米， 在中，， ， 米， 米， 米， 米米， 货船能顺利通过该桥． 【点睛】本题考查二次函数的应用，垂径定理，勾股定理，熟练掌握二次函数的图象及性质，圆的性质，垂径定理，勾股定理是解题的关键． 68．利用以下素材解决问题． 问题驱动 十一假期时，我校初三年级进行了“我是桥梁专家——探秘桥洞形状”的数学活动，某小组探究的一座拱桥如图1，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽AB端点到拱顶点C距离，拱顶离水面的距离 设计方案 方案一：圆弧型 方案二：抛物线型 任务一 设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径． 设计成抛物线型，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数表达式． 任务二 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两种情况的桥梁． 【答案】任务一：方案一、；方案二、 任务二：方案一、货船能顺利通过；方案二、货船能顺利通过 【分析】任务一：方案一，设圆心为O，连接，根据，得，结合，知直线过点O，根据，得，得，得是等边三角形，得；方案二，根据顶点C坐标为，设桥拱的函数解析式为，将代入即可求解； 任务二：方案一，连接，设交于I，根据矩形性质得，得，得，结合半径为10得到，得，即可判断；方案二，当H点的横坐标为5时，，即可判断． 【详解】解：任务一：方案一，设圆的圆心为O，连接． ∵， ∴． ∵， ∴，直线过点O． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴． 故半径为． 方案二， ∵顶点C坐标为， ∴设桥拱的函数解析式为． ∵， ∴． 代入得． 解得． 故函数解析式为． 任务二： 方案一， 如图，连接，设交于I． 由上知， ∵矩形中，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 故货船能顺利通过． 方案二， 如图，∵， ∴H横坐标为5． ∴． 故货船能顺利通过． 【点睛】本题考查了二次函数和圆的实际应用．熟练掌握待定系数法示解析式，二次函数的图象和性质，弧弦的关系，垂径定理，等腰三角形性质，等边三角形减和性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理解直角三角形，矩形性质，是解题关键． 试卷第2页，共87页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 垂径定理 课程标准 学习目标 探索并证明垂径定理:垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧． 1. 了解垂径定理的内容及证明； 2. 掌握从垂径定理的推论及证明； 3. 学会有关垂径定理的作图，会解有关实际应用题． 知识点一：垂径定理 如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧． 【即学即练】 1．如图，是的直径，于点．若，，则长是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．某地有一座四弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长），共高（弧的中点到弦的距离），则拱桥的半径为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，①分别以弦的端点A，B为圆心，适当等长为半径画弧，使两弧相交于点M；②作直线交于点N．若，则（　　） A．10 B．3 C．8 D．6 4．如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底都是圆球形．球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为 ． 5．如图，是的弦，半径于点，且，，则的长为 ． 6．如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为 ． 7．如图，是的外接圆，于点D，交于点E，若，，则的长为 ． 8．已知的半径为，弦，则上到弦所在直线的距离等于的点有 个． 知识点二：垂径定理的推论 如果圆的直径平分弦(这条弦不是直径),那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧． 【即学即练】 9．下列说法：其中正确的说法有（   ） ①到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆； ②相等的弦所对的弧相等； ③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ④长度相等的弧所对的圆心角相等． A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，已知点A、B、C、D都在上，，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，在中，直径与弦相交于点E，连接，若，，则的值是（     ） A． B． C．1 D． 12．如图，是的弦，半径经过的中点．若，则的大小为 ． 13．如图，点B，C在上，D为的中点，直径交于点E，，，则的长为 ． 14．如图，是的两条弦，且于M，于N．求证：． 题型01利用垂径定理求值 例：是的直径，过点作于点，延长交于点，若，的直径为10，则长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 16．如图，是⊙O的弦的中点，是劣弧上一点，半径与线段交于点，已知，． (1)求线段的长； (2)当时，求的余弦值． 17．如图，是的直径，弦于点，已知，，则的半径为（   ） A． B． C． D． 18．如图，是的直径，是弦，于点E．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 19．如图，已知的半径为，弦的长为，P是的延长线上一点，，则等（   ） A． B． C． D． 20．如图，半径为的与轴交于点、，则点的横坐标为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 21．已知：如图，是的直径，弦交于E点，，，，则的长为 ． 22．如图，已知矩形的边经过圆心O，点E，F分别是边与⊙O的交点，，求⊙O的直径长． 23．如图，，点，在射线上，以为直径作半圆，圆心为，半圆交射线于点，． (1)如图1，当时，若，求的长； (2)如图2，若，且，求的值． 题型02利用垂径定理证明 例：如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 25．已知：如图，在中，弦与相较于点，连结，． (1)求证：． (2)如果的半径为5，，． ①求的度数． ②求的长． 26．如图，已知直线交于，两点，是的直径，点为上一点，且平分，过点作，垂足为点，连接，过点作于点． (1)求证：四边形为矩形． (2)若的直径为，且，求的长． 27．如图，已知经过顶点A、B，交边于点D，交边于点E． (1)如果，求证：． (2)如果点A是弧的中点，，，，求的半径． 28．已知，内接于，为的直径，点为优弧的中点． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，过点作，垂足为．若，求的半径． 29．如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 30．追本溯源 题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并解答题（2）． (1)如图1，，比较与的长度，并证明你的结论． 方法应用 (2)如图2，，是的两条弦，点，分别在，上，连接，，且，是的中点． ①求证：． ②若圆心到的距离为3，的半径是6，求的长． 题型03利用垂径定理进行尺规作图 例：如图，在破残的圆形残片上，弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点，已知，． (1)求作此残片所在的圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求出（1）中所作圆的半径． 32．如图，在一圆形铁片上剪下一个弓形（阴影部分），请用尺规作图法找出劣弧的中点．（不写作法，保留作图痕迹） 33．如图为一圆弧形钢梁，该钢梁的拱高为，跨径为． (1)作出该圆弧所在圆的圆心； (2)求这钢梁圆弧的半径长． 34．如图，已知线段，． (1)作使得线段，为的两条弦（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)在（1）中的上找出点，使得点到、两点的距离相等． 35．某市一大型地下横截面为圆形的排污管道突然爆裂，为了使人们的生活不受影响，相关部门组织专业人员抢修．爆裂后的管道横截面如图所示，经测量得出管道内水面宽为米． (1)请利用尺规作图的方法找到管道横截面的圆心；（保留作图痕迹，不写作法） (2)为了保证安全作业，经过紧急排污处理后，水面下降米后的水面宽为米，请求出此时水面的最大深度． 36．在数学活动课上，顾老师提出了一个问题： 如图1，已知，在上作一点P，使． 小亮同学很快就给出了下列思路： 如图2，连接，作的垂直平分线交于点E，交于点F，再作的垂直平分线，交于P，交于点Q，则点P即为满足的点． 结合图2回答下列问题： (1)与是否相等?请说明理由； (2)小亮的做法是否正确?若正确，请说明理由；若不正确，请用无刻度直尺和圆规在图1中作出所求的点P． 37．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)，均为格点，且经过，两点，作出的中点； (2)，均为格点，且，，均在圆上，作出的中点； (3)，，，四点都在圆上，且，作出的中点； (4)，均是上的点，且，都在格线上，在圆上作一点，使得是的中点． 38．请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．    (1)如图1，点是矩形边的中点，过点画矩形的一条对称轴交于； (2)如图2，△ABC和△DEF的顶点分别与小正方形的顶点重合，若△DEF是△ABC绕点O旋转得到的，请在图中画出旋转中心； (3)如图3，圆经过两个格点，以及格线上的点，作劣弧的中点；并在优弧上找一点，使得； 题型04 垂径定理与圆的折叠 例：半圆形纸片的半径为，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕的长为（   ） A． B． C． D． 40．如图，是的弦，，垂足为C，将劣弧沿弦折叠交于点D，，若，则的半径为 ． 41．如图，为的直径，且，弦于点，将沿翻折后交于点，若为中点，则 ． 42．如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则的长是（   ）    A． B． C． D． 43．如图，是的直径，将弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心O．若，则的半径长是（   ） A．6 B． C． D．6.25 44．在弓形的学习中，某小组利用弓形纸片开展如下探索活动：已知，在图1所示的弓形纸片中（点为圆心），，弓高为． 【解决问题】求半径的长； 【探究思考】如图2，作弦，弦，点，分别是，的中点，连结，，记．当时，求的最大值； 【拓展研究】该小组将图1中的弓形纸片进行翻折，得到折痕（如图3）．其中，点，关于对称，连结交于点，连结，，，并延长交弧于点，交于点，使得．当点是半径的中点时，的长度为______．（直接写出答案） 题型05 圆内两条平行弦 例：已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 46．如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为 ． 47．如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 48．如图，在中，是直径，弦． (1)在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧的中点P；(保留作图痕迹，不写作法) (2)如图2，在（1）的条件下连接、，若交弦于点Q ，的面积6，且，求的半径； 题型06垂径定理的实际应用 例：如图2是根据图1中的石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，设所在圆的圆心为，拱顶为点，交于点，连接．当桥下水面宽时，． (1)求这座石拱桥主桥拱的半径； (2)有一条宽为，高出水面的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱桥？并说明理由． 50．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是如图，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺10寸）．这根圆柱形木材的直径是（    ） A．6寸 B．寸 C．13寸 D．26寸 51．唐代李皋发明了“桨轮船”，他设计的桨轮船在船的舷侧或尾部装有带有桨叶的桨轮，通过人力踩动桨轮轴来推动船体前进．这种船的桨轮下半部浸入水中上半部露出水面，因其推进方式类似车轮，故又被称为“桨轮船”或“轮船”．如图，该桨轮船的轮子的横截面为，轮子被水面截得线段长为，轮子的吃水深度长为，则该桨轮船轮子半径为（    ） A． B． C． D． 52．如图1，平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，可以轻度受热，如图2，它的截面图可以近似看作是由去掉两个弓形后与矩形组合而成的图形，其中，若的半径为25，，则该平底烧瓶的高度为（   ） A．20 B．40 C．60 D．80 53．一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是（    ） A． B． C． D． 54．如图，摩天轮的最高处A到地面l的距离是62米，最低处B到地面l的距离是2米．若游客从B处乘摩天轮绕一周需15分钟，则游客从B处乘摩天轮到地面l的距离是47米时至少需 分钟． 55．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，则直径长为 寸． 56．如图所示，草坪边上有两条互相垂直的小路m，n，垂足为E，草坪内有一个圆形花坛，花坛边缘有A，B，C三棵小树．在不踩踏草坪的前提下测圆形花坛的半径，某同学设计如下方案：若在小路上P，Q，K三点观测，发现均有两树与观测点在同一直线上，从E点沿着小路n往右走，测得，米，米；从E点沿着小路m往上走，测得米，，则点C到小路n的距离为 米，该圆的半径长为 米． 57．某品牌太阳能热水器的实物图和截面示意图如图所示，支架与地面垂直，真空集热管与地面水平线夹角为，直线与都经过水箱截面的圆心O．已知，，则水箱内水面宽度为 ． 58．如图1是护眼学习台灯，该台灯的活动示意图如图2所示．灯柱，灯臂绕着支点C可以旋转，灯罩呈圆弧形（即和）．在转动过程中，总是与桌面平行．当时，，，测得（点M在墙壁上，且）；当灯臂转到位置时，测得，则点E到桌面的距离为 ．若此时点C，F，M在同一条直线上，的最低点到桌面的距离为，则所在圆的半径为 ． 59．紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，图2是正确使用该工具时的示意图．如图3，为某紫砂壶的壶口，已知A、B两点在上，直线过点O，且于点D，交于点C．若，，求这个紫砂壶的壶口半径． 60．某隧道口是圆弧形拱顶，圆心为，隧道口的水平宽为，离地面的高度，连接，拱顶最高处离地面的高度为，在拱顶的，处安装照明灯，且，离地面的高度均为． (1)求的长； (2)求的长． 61．高致病性禽流感是—种传染性极强的传染病． (1)养殖场有4万只鸡．假设有一只鸡得了禽流感，如果不采取任何措施，那么第二天将新增病鸡10只，到第三天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依此类推，请问到第四天，共有多少只鸡得了禽流感？到第几天，所有的鸡都会感染禽流感？ (2)为防止禽流感蔓延，防疫部门规定：离疫点3千米范围内为捕杀区，所有的禽类全部捕杀；离疫点3~5千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时对捕杀区和免疫区的村庄，道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路通过禽流感病区．如图所示，O为疫点，到公路的最短距离为1千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米？（结果保留根号） 62．如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，若，为水面截线，，为桌面截线，． (1)请在图1中画出线段，用其长度表示水面的最大高度（不要求尺规作图，不说理由），并直接写出的长； (2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少． 63．在一次数学建模活动课上，吴老师制作了一张简易的海域安全监测平面图，在图中标明了三个监测点的位置坐标，，，由三个监测点确定的圆形区域是安全警戒区域．（单位：海里） (1)某天海面上出现可疑船只，在监测点测得位于南偏东，，求在监测点测的方位是什么？ (2)当可疑船只由（1）中位置向正北方向航行时，是否会闯入安全警戒区域？请通过计算作答． 64．如图，是一个圆弧形拱桥的截面示意图．点是拱桥的中点，桥下水面的宽度，点到水面的距离．点，均在上，，且，在点，处各装有一个照明灯，图中和分别是这两个灯的光照范围．两灯可以分别绕点，左右转动，且光束始终照在水面上．即，可分别绕点，按顺（逆）时针方向旋转（照明灯的大小忽略不计），线段，在上，此时，线段是这两灯照在水面上的重叠部分的水面宽度．    (1)求圆弧形拱桥所在圆的半径． (2)求照明灯距离水面的高度． (3)已知，在这两个灯的照射下，当整个水面都被灯光照到时，求这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度． 题型07垂径定理与函数的综合 例：如图，在凸四边形中，为边的中点，，于点．若，设，，则关于的函数图象为（        ） A． B． C． D． 66．某一公路双向隧道由一弧形拱与矩形组成，经测量得，．为了确定弧形拱的半径长度，某勒测队找到一根长的笔直杆子，直立杆子，调整杆子位置，使点落在上，点落在上，此时． (1)①如图是勒测队绘制的平面示意图，请你用直尺和圆规作出弧形拱所在圆的圆心（保留作图痕迹）． ②圆心到直线的距离是______．（直接写出答案） (2)求出弧形拱所在圆的半径． 67．某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当和确定时，有两种设计方案可供选择；①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米． (1)如图1，若设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，求此函数表达式； (2)如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径； (3)现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米．从以上两种方案中，任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由． 68．利用以下素材解决问题． 问题驱动 十一假期时，我校初三年级进行了“我是桥梁专家——探秘桥洞形状”的数学活动，某小组探究的一座拱桥如图1，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽AB端点到拱顶点C距离，拱顶离水面的距离 设计方案 方案一：圆弧型 方案二：抛物线型 任务一 设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径． 设计成抛物线型，以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数表达式． 任务二 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两种情况的桥梁． 试卷第2页，共87页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！22 学科网（北京）股份有限公司 $$