第07讲 圆和圆的对称性（5考点4题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（北师大版）

第07讲 圆和圆的对称性 课程标准 学习目标 1.理解圆、弧、弦、圆心角的概念； 2.了解等圆、等弧的概念． 3.探索圆的轴对称性质． 1. 理解圆、等圆、等弧等概念，深刻认识圆中的基本概念； 2. 掌握点与圆的三种位置关系； 3.了解圆是中心对称图形和轴对称图形，并能确定圆的对称轴． 知识点一：圆的定义 如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 【即学即练】 1．战国时期的著作《墨经》中“……，一中同长也”描述的图形是（    ） A．等边三角形 B．正方形 C．正六边形 D．圆 【答案】D 【分析】本题考查了文学常识，战国时期墨家所著的《墨经》一书中记载：“圜（圆），一中同长也．”据此解答即可． 【详解】解：战国时期的著作《墨经》中“……，一中同长也”描述的图形是圆， 故选：． 2．如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（    ）    A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线 【答案】C 【分析】本题考查动点的移动轨迹，根据题意，易得重物移动的路径为一段圆弧． 【详解】解：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点的运动轨迹是以为圆心，为半径的一段圆弧， 故选：C． 知识点二：与圆有关的概念辨析 （1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. （2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧. （3）同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等. （4）等弧 在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 【即学即练】 3．下列说法，正确的是（   ） A．优弧大于劣弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．直径所对圆周角是直角 【答案】D 【分析】此题主要考查了圆的有关概念，熟练掌握相关概念是解决此题的关键. 根据圆的有关概念进行逐项辨析即可得解. 【详解】A、同圆或等圆中，优弧一定大于劣弧，故该选项错误； B、平分弦的直径，当被平分的弦是直径时，直径不垂直于弦，故该选项错误； C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故该选项错误； D、直径所对圆周角是直角，故该选项正确； 故选：D． 4．如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有共三条， 故选：B． 5．如图，点，，，点 ，， 以及点 ，， 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （      ）    A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 【答案】A 【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有，共2条． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了弦的定义，理解弦的定义是解决本题的关键． 6．已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】D 【分析】根据半径求得直径的长，然后利用圆内最长的弦是直径作出判断即可． 【详解】解：∵圆的半径为6， ∴直径为12， ∵AB是一条弦， ∴AB的长应该小于等于12，不可能为14， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆内最长的弦是直径，难度较小． 7．、是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的基本性质可直接进行求解． 【详解】∵圆中最长的弦为直径， ∴． ∴故选D． 【点睛】本题主要考查弦的概念，正确理解圆的弦长概念是解题的关键． 8．如图，下列说法正确的是（　　） A．线段，，都是的弦 B．线段经过圆心O，线段是直径 C． D．弦把圆分成两条弧，其中是劣弧 【答案】B 【分析】本题考查圆的相关定义，根据弦的定义对A进行判断；根据直径的定义对B进行判断；不能确定，则可对C进行判断；根据劣弧和优弧的定义对D进行判断． 【详解】解：A．线段，都是的弦，不是，所以A选项不符合题意； B．线段经过圆心O，线段是直径，所以B选项符合题意； C．当点D为的中点时，，所以C选项不符合题意； D． 为优弧，所以D选项不符合题意． 故选：B． 9．已知的半径为5，若点P在内，则 5（填“>”，“=”或“<”）． 【答案】 【分析】本题考查点与圆的关系，根据点与圆的三种关系即可判断得到答案．解题关键是熟知点与圆的三种关系． 【详解】解：∵的半径为5，点在内， ∴． 故答案为：． 10．如图，由点P引出的为的四条弦，其中最长的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆中最长的弦为直径，根据圆中最长的弦为直径进行作答即可． 【详解】解：由图可知，过圆心为直径， ∴最长， 故选：C． 11．下列说法中，正确的是（    ） A．半圆是弧，弧也是半圆 B．长度相等的弧是等弧 C．弦是直径 D．在一个圆中，直径是最长的弦 【答案】D 【分析】本题考查圆的基本概念辨析．根据弧：圆上两点及其所夹的部分；弦：连接圆上两点形成的线段，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故选项错误； B、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故选项错误； C、弦不一定是直径，故选项错误； D、在一个圆中，直径是最长的弦，故选项正确； 故选D． 12．下列结论不正确的是（    ） A．圆心也是圆的一部分 B．一个圆中最长的弦是直径 C．圆是轴对称图形 D．等弧所在的圆一定是等圆或同圆 【答案】A 【分析】根据圆的相关概念进行逐一判断即可． 【详解】解：A、圆心不是圆的一部分，圆指圆周，故本选项符合题意； B、一个圆中最长的弦是直径，故本选项不符合题意； C、圆是轴对称图形，过圆心的直线都是对称轴，故本选项不符合题意； D、等弧所在的圆一定是等圆或同圆，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查与圆相关的知识，熟练掌握概念是关键． 13．下列说法中正确的有 （填序号）． （1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧． 【答案】（1）（3）（4） 【分析】根据弦、等圆、等弧的定义分别分析即可． 【详解】解：（1）直径是圆中最大的弦，说法正确； （2）长度相等的两条弧一定是等弧，说法错误，在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧为等弧，不但长度相等，弯曲程度也要相同； （3）半径相等的两个圆是等圆，说法正确； （4）面积相等的两个圆是等圆，说法正确； （5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，除非这条弦是直径． 故答案为：（1）（3）（4）． 【点睛】本题考查了圆的有关概念，熟练掌握弦、等圆、等弧的定义是解题的关键． 14．下图中，点O是( )，线段是圆的( )，线段是圆的( )． 【答案】 圆心 半径 直径 【分析】本题主要考查了圆的基本概念，根据圆心、半径和直径的定义进行判断即可． 【详解】解：图中，点O是圆心，线段是圆的半径，线段是圆的直径． 故答案为：圆心；半径；直径． 15．如图所示，求证：直径是中最长的弦． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆的概念，在中，由三角形任意两边之和大于第三边有，结合，故大于，即可得出结论． 【详解】证明：如图，是中的任一直径，是圆内任意一条弦， 连接， 则， ∵， ∴， ∴直径是圆中最长的弦． 知识点三：圆的对称性 （1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心 （2）圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。 【即学即练】 16．将按照如图所示的方式分成面积相等的8个部分，若阴影部分的面积为2，则的面积为 ． 【答案】16 【分析】本题考查图形的面积，由图形可知按照如图所示的方式分成面积相等的8个部分，阴影部分占其中一份，即的面积是阴影部分的面积的八倍，据此数量关系计算即可． 【详解】解：按照如图所示的方式分成面积相等的8个部分，且阴影部分的面积为2， 的面积为， 故答案为：． 17．学校有一个圆形花坛，要求将它三等分，以便在上面种植三种不同的花，你认为下列所给图中符合设计要求的图案是 ．（将所有符合设计要求的图案序号填上） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了圆的基本性质，根据圆的旋转不变性即可解决． 【详解】解：∵要求将它三等分 ∴①是不正确的； ②和③都是首先把圆三等分， 根据圆的旋转不变性，在每一部分内做了相同的图形； ④是把圆六等分，每一种占其中的2份． ∴②③④符合要求． 故答案为：②③④ 18．如图，已知为的直径，，绕点旋转，，两点不与，重合． (1)求证：； (2)成立吗？为什么． 【答案】(1)证明见解析； (2)不成立，理由见解析． 【分析】（）直接利用弧度与圆心角的关系得出答案； （）利用三角形三边关系以及圆心角、弧、弦的关系得出即可； 此题主要考查了圆心角、弧、弦的关系以及三角形三边关系，正确把握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵为直径，， ∴， ∴； （2）不成立，理由： 如图，在上截取，则， 则，， 在中，， ∴． 知识点四：点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r 【即学即练】 19．已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外；②点在圆上；③点在圆内． 根据的半径和点到圆心的距离的大小关系判断即可． 【详解】解：根据题意可得：的半径为，点到圆心的距离为， ， ， 点P在圆内， 故选：A． 20．在平面直角坐标系中，已知点 ，若以原点O为圆心、5为半径画圆，则点 P与的位置关系是（     ） A．点P在上 B．点P在外 C．点P在内 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据点，得，恰好等于圆的半径，从而得到点P在圆上即可． 本题考查了两点间距离公式，点圆的位置关系，熟练掌握公式和点圆位置关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得点，得，恰好等于圆的半径，从而得到点P在圆上， 故选：A． 知识点五：圆心角、弧、弦之间的关系 （1）圆心角：顶点在圆心的角，两边都与圆相交的角，叫做圆心角； 定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等 【即学即练】 21．如图，是的直径，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，根据等边对等角求角度，熟练掌握在同圆或等圆中，等弧对等角是解题的关键．根据得出，利用平角的定义求出，根据等腰三角形的性质即可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 22．如图，点A、B、C、D在上，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆心角的性质，熟练掌握同弧所对的圆心角相等是解题的关键，连接，根据题意可得到，再根据，可得到，利用三角形内角和计算即可得到答案． 【详解】解：连接，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 23．如图所示，在中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，等腰三角形的判定和性质，根据等弧对等弦，得到，等角对等边求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：A． 24．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交于点D、点E，则弧的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．先利用互余计算出，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到，则根据三角形内角和定理可计算出，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴弧的度数为． 故答案为：． 25．如图，在中，C，D分别是半径，的中点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆的基本概念，全等三角形的判定与性质，先判断出，然后根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵C，D分别是半径，的中点， ∴，， 又， ∴， 又， ∴， ∴． 26．如图，D，E分别是的半径上的点，且，垂足分别为D，E，．求证：C是的中点． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，求出，根据得出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】证明：∵， ∴． 在和中， ∵ ∴， ∴， ∴，即C是的中点． 27．如图，，是的半径，且，弦分别经过，的中点D，E． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质． （1）根据弧与圆心角的关系，可得，又由点D，E分别是，的中点，可得，继而可证得，则可得； （2）由得到，推出，再得到，则． 【详解】（1）解：，理由如下， 证明：过点作直径，如图， ，，是的半径，， ， 点D，E分别是，的中点，， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 题型01求一点到圆上的点的最值 例：如图，正方形中，，点P为直线上的动点，连接、，Q为上一动点，连接，使，在点P运动过程中，的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】连接，取中点E，连接，，根据正方形的性质和勾股定理可求出，证明，可得出，等量代换得出，证明，得出，则点Q在以为直径的圆上运动，故当B、Q、E三点共线，且Q在线段上时，最小，最小值为，即可求解． 【详解】解：连接，取中点E，连接，， ∵，， ∴， ∴， ∵正方形中，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴点Q在以为直径的圆上运动， ∴当B、Q、E三点共线，且Q在线段上时，最小，最小值为， ∵E为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，圆的概念等知识，明确题意，添加合适辅助线，确定点Q在以为直径的圆上运动是解题的关键． 29．如图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点与动力装置相连（大小可变），点在轨道上滑动，并带动磨盘绕点转动，，．若磨盘转动过程中，则点到的最小距离为 ． 【答案】/60厘米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由当点运动到时，点到的距离最小，结合勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，当点运动到时，点到的距离最小， ， 由题意得：，，， ∴， 由勾股定理可得：， 故答案为：． 30．如图，边长为2的正方形的边的中点为，正方形所在平面内有一个到点的距离始终为1的动点，以为直角边作等腰直角，则斜边的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了正方形的性质、圆外一点到圆上点的距离的最值等知识， 先确定点位于以点为圆心，半径为1的圆上．连接交于点，延长交于点，则，进一步求解即可． 【详解】解：由题意可知，点位于以点为圆心，半径为1的圆上．如图，连接交于点，延长交于点，则， ∵边长为2的正方形的边的中点为， ∴ ∴， ∴， 由图可知，的最大值为，最小值为， ∵以为直角边作等腰直角， ∴斜边始终为的倍． 的最大值为，最小值为． 故答案为：， 31．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点为上一点，过点作，且，连接． （1）当点M为的中点时，的长为 ． （2）当点M在上移动时，的最小值为 ． 【答案】 4 【分析】（1）根据题意作图，可证，可得，由此即可求解； （2）作点关于轴的对称点，连接，，可得为等腰三角形，可得点在直线上运动，当时，的值最小，作轴，由（1）的证明方法可得，设，可得，，运用待定系数法求出直线的解析式，可得是等腰直角三角形，由此即可求解． 【详解】解：，， ，， ， ， （1）当是的中点，如图所示， ， ， 是等腰直角三角形，则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； 故答案为：4； （2）， ， ， 如图所示，作点关于轴的对称点，连接，， ， ， ，即是等腰三角形， 点在上运动时，始终是等腰三角形， 点在直线上运动， 当时，的值最小， 如图所示，过点作轴于点， 在和中， ， ∴， ，， 设，则， ，点，且， 设直线的解析式为， ， 解得，， 直线的解析式为：， 设直线与轴交于点，当时，， ， ， ， ， ，且， 是等腰直角三角形， ， 在中，， ， 的最小值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，待定系数法求解析式，轴对称等知识的综合运用，掌握全等三角形的判定和性质，一次函数图象的性质及运用是解题的关键． 32．如图①，在中，，，点在上（且不与点、重合）．在的外部作等腰，使，连接，过点作平行且相等于，连接、． (1)此时四边形为__________形；、的数量关系为___________． (2)将绕点逆时针旋转，当点在线段上时，如图②，连接． ①此时四边形为__________形； ②、的数量关系为__________，证明你的结论． (3)在绕点逆时针旋转一周的过程中，若，，线段长度的最大值为__________． 【答案】(1)平行四边； (2)①矩；②，证明见解析 (3) 【分析】（1）由且可得四边形是平行四边形，于是可得，进而可推出，由等腰直角三角形的性质可得，，利用等式的性质可推出，由于，于是利用勾股定理即可得出、的数量关系； （2）①由且可得四边形是平行四边形，由进而可得四边形是矩形；②连接，设交于点，利用可证得，于是可得，进而可证得是等腰直角三角形，于是利用勾股定理即可得出、的数量关系； （3）将沿向下翻折至，连接，记交于点，可证明，则，则点在以为圆心，为半径的圆上运动，由，得当点三点共线，且点为射线与的交点，此时取得最大值，由勾股定理得，则，故的最大值为． 【详解】（1）解：且， 四边形是平行四边形， ， 又， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 即：， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：平行四边，； （2）解：①矩形，理由如下： 且， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， 故答案为：矩； ②，证明如下： 如图，连接，设交于点， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 且， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 即：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：； （3）解：将沿向下翻折至，连接，记交于点， 由上得四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 由翻折得， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，， 同上可得， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∵， ∴当点三点共线，且点为射线与的交点，此时取得最大值，如图： ∵， ∴在等腰中，同上由勾股定理得， ∴， ∴的最大值为． 【点睛】本题主要考查了圆的定义，平行四边形的判定与性质，等式的性质，勾股定理，矩形的判定，等边对等角，三角形的内角和定理，两直线平行同位角相等，利用邻补角互补求角度，等角对等边，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质（）， 33．【概念认识】 对于平面直角坐标系中的图形和图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，将、两点间距离的最小值称为图形到图形的“最近距离”，记作．如图①，到正方形的“最近距离”就是点、之间的距离，即． 【概念理解】 如图②，在平面直角坐标系中，以为圆心，3为半径作圆． （1）若点的坐标为，则__________； （2）若点是轴上一点，，则__________； （3）将一次函数的图象记为图形，若，求的值． 【灵活运用】 （4）如图③，在平面直角坐标系中，已知点，，． 点是轴上的一点，设点的坐标为，以点为圆心，1为半径作圆．若，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）7；（2）2或4；（3）；（4）或或 【分析】（1）连接，交于，由勾股定理得，，由题意知，，求解作答即可； （2）分别以2，4为半径作的同心圆，与轴的交点依次为，由题意知，当时，或，然后作答即可； （3）当时，，即一次函数的图象与轴的交点为，记一次函数为直线，则，作于，作轴于，则，由勾股定理得，，由，可求，由勾股定理得，，则，将代入得，，计算求解即可； （4）记与轴的交点为，作于，使，由图可知，当时，；由，，，可知，，则，，由勾股定理得，，则，同理，右侧；由图可知，当时，；当时，；然后作答即可． 【详解】（1）解：如图，连接，交于， 由勾股定理得，， 由题意知，， 故答案为：7； （2）解：如图，分别以2，4为半径作的同心圆，与轴的交点依次为， 由题意知，当时，或， 故答案为：2或4； （3）解：当时，，即一次函数的图象与轴的交点为， 如图，记一次函数为直线，则，作于，作轴于， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 解得，， 由勾股定理得，， ∴， 将代入得，， 解得，， ∴的值为； （4）解：如图，记与轴的交点为，作于，使， 由图可知，当时，； ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 同理，右侧； 由图可知，当时，； 当时，； 综上所述，的取值范围为或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，圆，一次函数解析式，点到直线的距离，等腰三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论或 数形结合的思想是解题的关键． 题型02 过圆内一点最长的弦 例：如图，在四边形中，，则的最大值为 ．    【答案】8 【分析】本题考查直角三角形斜边中线等于斜边一半，四点共圆，取的中点O，则，即四点共圆，当是圆的直径时，其值最大为8． 【详解】解：取的中点O，连接，   ， ， 四点在以点O为圆心，为半径的同一个圆上， ∴当是圆的直径时，其值最大为8． 故答案为：8． 35．如图，已知线段，点P是平面内一点，且，则的周长最大值是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和圆的性质，以为弦，构造延长到Q，使得，连接，则，此时周长，结合为定值，当为直径时，即P为圆心时，为等边三角形，即，即可求得最小值． 【详解】解：如图：以为弦，构造延长到Q，使得，连接， 则，周长 ∵为定值， ∴当为直径时，即P为圆心时，为等边三角形， ∴， 则周长的最大值． 故答案为：12． 36．如图，已知矩形，，，点N是边上一点，且，将矩形绕A顺时针旋转（），得到矩形，点B的对应点是点E，点C的对应点是点F，点D的对应点是点G，连接．点M是的中点，连接，在旋转过程中，线段的最大值为 ． 【答案】 【分析】 连接，交于点，连接，，则，即点在以为圆心，以为半径的圆上运动，进而根据一点到圆上的距离即可求解． 【详解】连接，交于点O，连接，，过点作于点，连接， ∵是矩形， ∴， ∵点M是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点M在以为圆心，以为半径的圆上运动， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴ ∴，， ∵， ∴， 在中， ∴线段的最大值为 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线，勾股定理，圆的性质，掌握这些知识点灵活运用是解题关键． 37．如图，AB是半径为2的的弦，点C是上的一个动点，若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是 ．    【答案】2 【分析】如图，连接并延长，交圆于点D，连接，由中位线定理，得，点A为定点，C为动点，的最大值为直径长，即长．于是的最大值为． 【详解】解：如图，连接并延长，交圆于点D，连接， ∵点M，N分别是AB，BC中点， ∴． 点A为定点，C为动点，的最大值为直径长，即长． ∵是直径， ∴． ∴的最大值为． 故答案为：2    【点睛】本题考查中位线定理，圆的基本概念弦与直径；掌握中位线定理是解题的关键． 38．已知矩形，，，将矩形绕A逆时针旋转，得到矩形，点B的对应点是点G，点C的对应点是点F，点D的对应点是点E． (1)如图①，当时，连接，则的长= ； (2)如图②，当边经过点B时，连接，求的长； (3)如图③，连接，点P是的中点，连接，在旋转过程中，线段的最大值 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连接，，利用勾股定理得，结合旋转得和，即可求得答案； （2）连接，由旋转性质得，，，即可判定，得，由题意可知，进一步得，利用勾股定理得，即可求得；． （3）连接，交于点O，连接和，由矩形性质得，根据题意得是的中位线，可知点P是在以为圆心，以为半径的圆上运动， 当为直径时，即点P于点B重合时，最大； 【详解】（1）解：连接，，如图： ∵是矩形， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， 由旋转的性质得：， ∵ ∴， ∴． （2）连接，如图， 由旋转性质得，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，，则， 那么，解得． （3）连接，交于点O，连接和，如图， ∵是矩形， ∴， ∵点P是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点P是在以为圆心，以为半径的圆上运动，根据直径是圆中最长的弦可知， 当为直径时，即点P于点B重合时，最大，最大为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、旋转的性质、勾股定理和相似三角形的判定和性质，以及动点问题，圆的基础知识，解题的关键是利用旋转找到对应关系和添加辅助线． 题型03 利用点与圆的位置关系求解 例：已知点P在半径为r的内，且，则r的值可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】此题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系定理是解决问题的关键．根据点与圆的位置关系求解即可． 【详解】解：∵点P在半径为r的内，且， ∴， 比较四个选项，只有， 故选：D． 40．在同一平面内，点P在⊙O外，已知点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，培养学生分类的思想及对点到圆上最大距离、最小距离的认识． 点在圆外时，直径为最大距离与最小距离的差，即可求解． 【详解】解：由题意得，P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b， ∴圆的直径是，因而半径是， 故选：B． 41．在直角坐标平面内，点A的坐标为，点B的坐标为，圆A的半径为2．若点B在圆上，则a值为（　　） A．2或3 B．或3 C．或1 D．或2 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，正确理解点与圆的位置关系是解题的关键．根据点A的坐标和圆A的半径以及两点之间的距离即可求出答案． 【详解】，圆A的半径为2， ， ， 解得或3． 故选：B． 42．已知矩形中，，以点B为圆心r为半径作圆，且与边有唯一公共点，则r的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了点与圆的位置关系以及矩形的性质，勾股定理，由于根据点与圆的位置关系得到注意若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外； 当时，点在圆上，当时，点在圆内． 【详解】解：如图：连接,    ∵矩形中， ∵以点B为圆心作圆，与边有唯一公共点， ∴的半径r的取值范围是：， 故选：D． 43．如图，在中，，，，P为边上的一点，以P为圆心，长为半径作圆，则当点C在圆内，点A在圆外时，线段的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系、勾股定理，解题的关键是掌握点与圆的三种位置关系，如设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外；②点在圆上；③点在圆内．当点C在圆内，则，当经过点A时，则，，要使得点A在圆外，则，即可求解． 【详解】解：当点C在圆内， ∴， 当经过点A时，则， ∵， ∴此时， ∴要使得点A在圆外，则， ∴满足题意时，， 故选：A． 44．如图，已知是线段上的两点，，以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使两点重合成一点C，构成，设，若以点B为圆心，为半径作，使点M和点N都在外，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系、点与圆的位置关系、不等式组，比较基础．利用三角形的三边关系、点到圆心的距离与半径的关系分别列不等式，再求解即可． 【详解】解：在中， ， ， 解得：； ∵以点为圆心，为半径作圆，使点和点都在外， 且， ， ∴的取值范围是， 故选：B． 45．如图，在中，，，，点是上一点，且，点为上一动点，将沿翻折得到，连接，则的最小值为 【答案】6 【分析】本题主要考查最短距离问题，连接，由勾股定理求出，由折叠得，当三点共线时，值最小，从而可求出的最小值为6， 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， 在中，， 根据折叠得，， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， ∴当三点共线时，值最小， ∴的最小值为， 故答案为：6 46．如图，A，B为上两点，，C为上一动点（不与A，B重合），D为的中点．若的半径为2，则的最大值为 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查圆的定义及性质，能够通过性质得出点的轨迹是解题关键．取的中点E，连接，得到，即D是以点E为圆心，1为半径的圆上的一点，再求最值即可． 【详解】解：如图，取的中点E，连接，则，    ∵D为线段的中点， ∴是的中位线， ∴． ∴，即D是以点E为圆心，1为半径的圆上的一点． ∴求线段长度的最大值即是求点B与上的点的最大距离． 如图2，当点D在线段的延长线上时，线段的长度取得最大值，    ∵， ∴． ∴线段长度的最大值为． 故答案为：． 47．如图，在三角形中，，，，是高线，是中线． (1)以点A为圆心，3为半径作圆A，则点，，与圆A的位置关系如何？ (2)若以点A为圆心作圆A，使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求圆A的半径的取值范围？ 【答案】(1)点在圆A上，点在圆A内，在圆A外 (2) 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，掌握通过圆心与点的距离和半径的大小关系判断点与圆的位置关系是解题的关键； （1）先利用勾股定理计算出，再利用等面积法求出，然后根据点与圆的位置关系进行判断即可； （2）使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，根据，，可知，C必定在圆外，D必定在圆内，据此求出半径范围即可． 【详解】（1）解：，，， ， ， ， 半径， ， ，， 点在圆A上，点在圆A内，在圆A外； （2）解：使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，，，， ，即， 圆A的半径的取值范围为． 48．如图，二次函数的图象与轴分别交于点，（点在点的左侧），直线是对称轴．点在函数图象上，其横坐标大于4，连接，，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为． (1)求点，的坐标； (2)四边形能是一个菱形吗？若能，求出点的坐标；若不能，说明理由； (3)若以为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求的取值范围． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2)四边形不能是一个菱形．理由见解析 (3)长的取值范围为或或 【分析】（1）令，代入二次函数中即可求解． （2）假设四边形是菱形，则，进而得出即，过点作轴，垂足为，则，，勾股定理求得，这与相矛盾，即可得出结论； （3）利用配方法求出二次函数的对称轴，设出点坐标，求出点坐标，连接，则，求出，即以切线长为边长的正方形的面积为，过点作轴，垂足为，求出三角形的面积，进而得出半径，假设经过点，分两种情况：①当点在点的上方，②当点在点的下方，即可求解． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ，． 答：点的坐标为，点的坐标为． （2） 不能． 理由如下：由（1）知抛物线对称轴为 假设四边形是菱形，则 由，得， 即 过点作轴，垂足为，则， 由勾股定理得： 这与相矛盾 四边形不能是一个菱形． （3）， 对称轴为． 设， ， ， 连接，则， ， 即以切线长为边长的正方形的面积为， 过点作轴，垂足为， 则，， ， ． 假设经过点，则有两种情况： ①如图，当点在点的上方， ， ，解得或1， ， ． ②如图，当点在点的下方， ， 解得， ， ， 综上所述，或， 当不经过点时，长的取值范围为：或或． 答：长的取值范围为：或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，菱形的性质，正方形的性质，点与圆的位置关系；熟练掌握以上知识分类讨论，是解题的关键． 题型04 利用圆心角、弧、弦关系解决问题 例：如图，在中，是直径，，，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，由在同圆中等孤对的圆心角相等得，即可求解，解题的关键是掌握圆心角，弧，弦之间的关系定理． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：B． 50．如图，，，，是上的点，，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角，弦，弧之间的关系，根据圆心角，弦，弧之间的关系逐项排除即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴，不符合题意； 、不能保证，符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴， ∴，不符合题意； 故选：． 51．在中，若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，根据等弧对等角，进行判断即可． 【详解】解：取的中点，连接，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选C． 52．如图，中，弦，垂足为，为的中点，连接、、，交于，过作，垂足为，以下结论：①；②：③：④，其中一定成立的是　　    A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识，先根据题意得到，则，即可判断①；推出，进而证明，即可判断③；证明，得到，即可判断②，证明的度数的度数，得到的度数的度数，则，即可判断④． 【详解】解：为的中点， ， ∴，故①正确， ， ，， ， ，故③错误， ，， ， ，， ， ，故②正确， ， ， 的度数的度数， 的度数的度数， ，故④正确， 故选：B． 53．如图，的直径，半径，点在弧上，，，垂足分别为、，若点为的中点，弧的度数为 ．    【答案】/度 【分析】本题考查了矩形的性质，弧与圆心角的关系，等边三角形的性质与判定；连接，交于点，进而得出四边形是矩形，结合已知条件证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，交于点，      ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴ ∵点为的中点， ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴，即弧的度数为 故答案为：． 54．如图，是的直径，点，在上，于点，于点，．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定与性质，连接，，证明，可得，再根据弧、弦、圆心角的关系即可求证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：如图，连接，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 55．如图， ，是的两条直径，过点A作交于点，连结，，求证：． 【答案】见详解 【分析】连接，可得，再由得，，从而得出，则． 本题主要考查了圆的对称性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】证明：如图，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 56．如图，已知，交于点B，． (1)求的度数； (2)求弧的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是根据三角形内角和定理和三角形外角的性质解答． （1）连接，由，则，于是，而，得，由，根据，即可得到的度数． （2）由（1）得，由平角的定义得的度数，从而可求出弧的度数． 【详解】（1）解：连接，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， 而，得， ∴， 而， ∴， ∴． （2）解：由（1）得，， 又， ∴ ∴弧的度数为． 57．如图，以的顶点A为圆心，为半径作，分别交、于E、F两点，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若的度数为，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由平行四边形的性质可得，从而得出，，由等边对等角得出，从而得出，即可得证； （2）先求出，再由等边对等角结合三角形内角和定理得出，最后再由平行四边形的性质即可得解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵为的直径， ∴的度数为， ∵的度数为， ∴的度数为， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 58．如图，在中，半径，分别交弦于点E，F，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】本题考查圆心角、弦、弧的关系，全等三角形的判定和性质，连接半径构造全等三角形是解题的关键 （1）连接、，证明三角形全等即可； （2）只要证明即可； 【详解】（1）证明：连接、，如图示， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴． 59．如图，在中，点是优弧的中点，分别是上的点，且，弦分别过点． (1)求证：； (2)和的长度相等吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)和的长度相等，理由见解析 【分析】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）连接，只要证明即可解决问题； （2）欲证明，只要证明即可； 【详解】（1）证明：连接． 点是优弧的中点， ， ， ，， ，， ， ． （2）解：和的长度相等，理由如下， 分别连接，， ， ，， ， ，， ， ，， ， ． 和的长度相等． 60．如图，在扇形中，，，点、是弧上的动点（点在点的上方，点不与点重合，点不与点重合），且． (1)①请直接写出弧、弧和弧之间的数量关系； ②分别连接、和，试比较和的大小关系，并证明你的结论； (2)分别交、于点、． ①当点在弧上运动过程中，的值是否变化，若变化请说明理由；若不变，请求的值； ②当时，求圆心角的正切值． 【答案】(1)①；②，证明见解析； (2)①的值不变，；②或． 【分析】（1）①根据“同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等”即可得到答案； ②在弧上取点连接，使得，可得，根据角的和差关系可得，则，即可得到答案； （2）①证明，即可得到答案； ②过点在下方作，截取，连接、，证得，可得，进一步证得，则可得，由勾股定理和线段的和差关系可得，联立解得，过点N作于点F，则，利用勾股定理求得，，根据正切的概念计算即可． 【详解】（1）解：①，， ， ； ②．证明如下： 在弧上取点连接，使得， ； 、可得； ， ， ； ； ． （2）解：①的值不变，． ，， ； ，， ； ； ； ． ②如图， 过点在下方作，截取，连接、， ， ， ，， ； 又，， ， ， ； ，； 解得或； 过点N作于点F，则， ， ， ， 设，则， 当时， 在中，，即， 解得：， ； 当时， 在中，，即， 解得：， ． 【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 试卷第2页，共59页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！59 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 圆和圆的对称性 课程标准 学习目标 1.理解圆、弧、弦、圆心角的概念； 2.了解等圆、等弧的概念． 3.探索圆的轴对称性质． 1. 理解圆、等圆、等弧等概念，深刻认识圆中的基本概念； 2. 掌握点与圆的三种位置关系； 3.了解圆是中心对称图形和轴对称图形，并能确定圆的对称轴． 知识点一：圆的定义 如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 【即学即练】 1．战国时期的著作《墨经》中“……，一中同长也”描述的图形是（    ） A．等边三角形 B．正方形 C．正六边形 D．圆 2．如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（    ）   A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线 知识点二：与圆有关的概念辨析 （1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. （2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧. （3）同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等. （4）等弧 在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 【即学即练】 3．下列说法，正确的是（   ） A．优弧大于劣弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．直径所对圆周角是直角 4．如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，点，，，点 ，， 以及点 ，， 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （      ）    A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 6．已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 7．、是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．如图，下列说法正确的是（　　） A．线段，，都是的弦 B．线段经过圆心O，线段是直径 C． D．弦把圆分成两条弧，其中是劣弧 9．已知的半径为5，若点P在内，则 5（填“>”，“=”或“<”）． 10．如图，由点P引出的为的四条弦，其中最长的是（    ） A． B． C． D． 11．下列说法中，正确的是（    ） A．半圆是弧，弧也是半圆 B．长度相等的弧是等弧 C．弦是直径 D．在一个圆中，直径是最长的弦 12．下列结论不正确的是（    ） A．圆心也是圆的一部分 B．一个圆中最长的弦是直径 C．圆是轴对称图形 D．等弧所在的圆一定是等圆或同圆 13．下列说法中正确的有 （填序号）． （1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧． 14．下图中，点O是( )，线段是圆的( )，线段是圆的( )． 15．如图所示，求证：直径是中最长的弦． 知识点三：圆的对称性 （1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心 （2）圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。 【即学即练】 16．将按照如图所示的方式分成面积相等的8个部分，若阴影部分的面积为2，则的面积为 ． 17．学校有一个圆形花坛，要求将它三等分，以便在上面种植三种不同的花，你认为下列所给图中符合设计要求的图案是 ．（将所有符合设计要求的图案序号填上） 18．如图，已知为的直径，，绕点旋转，，两点不与，重合． (1)求证：； (2)成立吗？为什么． 知识点四：点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r 【即学即练】 19．已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定 20．在平面直角坐标系中，已知点 ，若以原点O为圆心、5为半径画圆，则点 P与的位置关系是（     ） A．点P在上 B．点P在外 C．点P在内 D．无法确定 知识点五：圆心角、弧、弦之间的关系 （1）圆心角：顶点在圆心的角，两边都与圆相交的角，叫做圆心角； 定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等 【即学即练】 21．如图，是的直径，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 22．如图，点A、B、C、D在上，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 23．如图所示，在中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 24．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交于点D、点E，则弧的度数为 ． 25．如图，在中，C，D分别是半径，的中点，求证：． 26．如图，D，E分别是的半径上的点，且，垂足分别为D，E，．求证：C是的中点． 27．如图，，是的半径，且，弦分别经过，的中点D，E． (1)求证：； (2)求证：． 题型01求一点到圆上的点的最值 例：如图，正方形中，，点P为直线上的动点，连接、，Q为上一动点，连接，使，在点P运动过程中，的最小值为 ． 29．如图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点与动力装置相连（大小可变），点在轨道上滑动，并带动磨盘绕点转动，，．若磨盘转动过程中，则点到的最小距离为 ． 30．如图，边长为2的正方形的边的中点为，正方形所在平面内有一个到点的距离始终为1的动点，以为直角边作等腰直角，则斜边的最大值为 ，最小值为 ． 31．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点为上一点，过点作，且，连接． （1）当点M为的中点时，的长为 ． （2）当点M在上移动时，的最小值为 ． 32．如图①，在中，，，点在上（且不与点、重合）．在的外部作等腰，使，连接，过点作平行且相等于，连接、． (1)此时四边形为__________形；、的数量关系为___________． (2)将绕点逆时针旋转，当点在线段上时，如图②，连接． ①此时四边形为__________形； ②、的数量关系为__________，证明你的结论． (3)在绕点逆时针旋转一周的过程中，若，，线段长度的最大值为__________． 33．【概念认识】 对于平面直角坐标系中的图形和图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，将、两点间距离的最小值称为图形到图形的“最近距离”，记作．如图①，到正方形的“最近距离”就是点、之间的距离，即． 【概念理解】 如图②，在平面直角坐标系中，以为圆心，3为半径作圆． （1）若点的坐标为，则__________； （2）若点是轴上一点，，则__________； （3）将一次函数的图象记为图形，若，求的值． 【灵活运用】 （4）如图③，在平面直角坐标系中，已知点，，． 点是轴上的一点，设点的坐标为，以点为圆心，1为半径作圆．若，请直接写出的取值范围． 题型02 过圆内一点最长的弦 例：如图，在四边形中，，则的最大值为 ．    35．如图，已知线段，点P是平面内一点，且，则的周长最大值是 ． 36．如图，已知矩形，，，点N是边上一点，且，将矩形绕A顺时针旋转（），得到矩形，点B的对应点是点E，点C的对应点是点F，点D的对应点是点G，连接．点M是的中点，连接，在旋转过程中，线段的最大值为 ． 连接，交于点，连接，，则，即点在以为圆心，以为半径的圆上运动，进而根据一点到圆上的距离即可求解． 37．如图，AB是半径为2的的弦，点C是上的一个动点，若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是 ．    38．已知矩形，，，将矩形绕A逆时针旋转，得到矩形，点B的对应点是点G，点C的对应点是点F，点D的对应点是点E． (1)如图①，当时，连接，则的长= ； (2)如图②，当边经过点B时，连接，求的长； (3)如图③，连接，点P是的中点，连接，在旋转过程中，线段的最大值 ． 题型03 利用点与圆的位置关系求解 例：已知点P在半径为r的内，且，则r的值可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 40．在同一平面内，点P在⊙O外，已知点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 41．在直角坐标平面内，点A的坐标为，点B的坐标为，圆A的半径为2．若点B在圆上，则a值为（　　） A．2或3 B．或3 C．或1 D．或2 42．已知矩形中，，以点B为圆心r为半径作圆，且与边有唯一公共点，则r的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 43．如图，在中，，，，P为边上的一点，以P为圆心，长为半径作圆，则当点C在圆内，点A在圆外时，线段的取值范围为（   ） A． B． C． D． 44．如图，已知是线段上的两点，，以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使两点重合成一点C，构成，设，若以点B为圆心，为半径作，使点M和点N都在外，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 45．如图，在中，，，，点是上一点，且，点为上一动点，将沿翻折得到，连接，则的最小值为 46．如图，A，B为上两点，，C为上一动点（不与A，B重合），D为的中点．若的半径为2，则的最大值为 ．    47．如图，在三角形中，，，，是高线，是中线． (1)以点A为圆心，3为半径作圆A，则点，，与圆A的位置关系如何？ (2)若以点A为圆心作圆A，使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求圆A的半径的取值范围？ 48．如图，二次函数的图象与轴分别交于点，（点在点的左侧），直线是对称轴．点在函数图象上，其横坐标大于4，连接，，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为． (1)求点，的坐标； (2)四边形能是一个菱形吗？若能，求出点的坐标；若不能，说明理由； (3)若以为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求的取值范围． 题型04 利用圆心角、弧、弦关系解决问题 例：如图，在中，是直径，，，则的度数为（） A． B． C． D． 50．如图，，，，是上的点，，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 51．在中，若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 52．如图，中，弦，垂足为，为的中点，连接、、，交于，过作，垂足为，以下结论：①；②：③：④，其中一定成立的是　　    A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 53．如图，的直径，半径，点在弧上，，，垂足分别为、，若点为的中点，弧的度数为 ．    54．如图，是的直径，点，在上，于点，于点，．求证：． 55．如图， ，是的两条直径，过点A作交于点，连结，，求证：． 56．如图，已知，交于点B，． (1)求的度数； (2)求弧的度数． 57．如图，以的顶点A为圆心，为半径作，分别交、于E、F两点，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若的度数为，求的度数． 58．如图，在中，半径，分别交弦于点E，F，且．求证： (1)； (2)． 59．如图，在中，点是优弧的中点，分别是上的点，且，弦分别过点． (1)求证：； (2)和的长度相等吗？请说明理由． 60．如图，在扇形中，，，点、是弧上的动点（点在点的上方，点不与点重合，点不与点重合），且． (1)①请直接写出弧、弧和弧之间的数量关系； ②分别连接、和，试比较和的大小关系，并证明你的结论； (2)分别交、于点、． ①当点在弧上运动过程中，的值是否变化，若变化请说明理由；若不变，请求的值； ②当时，求圆心角的正切值． 试卷第2页，共59页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$