24.3 正多边形和圆（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

第24章 圆 九年级数学上册同步精品课堂（人教版） 人教版 数学 九年级 上册 BY YUSHEN BY YUSHEN 24.3 正多边形和圆 BY YUSHEN BY YUSHEN 情境引入 观看下面的视频，试着想一想，日常生活中，还有哪些正多边形形状的物体，或利用正多边形组成的美丽图案? BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 回顾：什么叫做正多边形？ 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形. 正多边形 各边相等 各角相等 缺一不可 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考：正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？ BY YUSHEN BY YUSHEN 正三角形 正四边形 正五边形 正六边形 正八边形 图形 轴对称图形 中心对称图形 结论 新知探究 正 n 边形都是轴对称图形，都有 n 条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形. √ × √ √ √ × √ √ √ √ BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 已知⊙O 的半径为 2 cm，如何画圆的内接正三角形？ O 正三角形的中心角是多少？ 120 ° A B （1）任意画出一条半径OA； （2）用量角器画一个等于120°的圆心角，对应 ； （3）在圆上截取与 相等的 ； 用什么方法在圆上截取相等的弧呢？ ①用量角器依次画出相等的圆心角； ②用圆规依次截取该圆心角所对弧的等弧. O BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 已知⊙O 的半径为 2 cm，画圆的内接正三角形． 120 ° A O C B （1）任意画出一条半径OA； （2）用量角器画一个等于120°的圆心角，对应 ； （3）在圆上截取与 相等的 ； （4）顺次连接各点得正△ABC. 等分圆周 用量角器画圆心角∠BOC=120° 120 ° BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 已知⊙O 的半径为 2 cm，画圆的内接正三角形． 120 ° A C B （1）任意画出一条半径OA； （2）用量角器画一个等于120°的圆心角，对应 ； （3）在圆上截取与 相等的 ； （4）顺次连接各点得正△ABC. 等分圆周 O 用圆规截取 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 刚才我们度量的是圆心角，还能度量哪个角来等分圆周呢？ 120 ° A C B 30 ° 30 ° 可用量角器或30°的三角板度量，使∠OAB=∠OAC=30°. 通常度量的是圆心角 O BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 试着算出正四边形、正五边形的圆心角. · A B C D O · A B C D E O 90° 72° 正多边形的中心角 你能借助刚才的正五边形画一个五角星吗？ · A B C D E O 等分圆周可以设计很多美丽的图案，你还能设计出哪些图案？ BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 用等分圆周的方法作正多边形的一般步骤 （1）任意画一个圆和一条半径； （2）算出该正多边形的中心角的度数，用量角器画出一个圆心角（中心角），获得该圆心角所对的弧； （3）用圆规在圆上依次截取相等的弧，得到圆的等分点； （4）顺次连接各分点得到正多边形. 使用工具：量角器，圆规 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考：借助圆画一个边长为1.5 cm的正六边形. E F C D A B 分析：如何确定所画圆的半径？ O 中心角 半径R . 60° 1.5 cm 中心角 △OEF为等边三角形 正六边形的边长等于半径 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 把圆分成n（n≥3）等份：依次连接各分点所得的多边形一定是 ，这个正n边形是这个圆的 ，这个圆是这个正n边形的 . 正n边形 内接正n边形 外接圆 O BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 O A B C D E R r 正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心 外接圆的半径叫做正多边形的半径 内切圆的半径叫做正多边形的边心距 正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.每个中心角都等于 O BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 完成下面的表格. 正多边形的边数 内角 外角 中心角 3 4 6 n 60° 120° 120° 90° 90° 90° 120° 60° 60° 正多边形的外角=中心角 各边相等 各角也相等 正多边形的特征 弦相等 圆周角相等 弧相等 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 圆中的元素和正多边形有什么关系呢？ E F C D O 中心角 半径R 边心距r . A B 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 正多边形的每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 一个上、下底面为全等正六边形的礼盒，高为10 cm，上、下底面正六边形的边长为12 cm，如果用彩色胶带按如图(1)所示的方式包扎礼盒，所需胶带的长度至少为 cm. 图(1) 图(2) 72+60 解：胶带包括上、下底面各3段，侧面6段，上、下底面中的每段胶带的长度至少都等于图(2)中OC长度的2倍. 由该六边形是正六边形，易得OB=AB=12cm，BC= AB= 6cm. 在Rt∆OBC中，由勾股定理得OC= =6cm， ∴上、下底面每段胶带的长至少为12 cm， ∴所需胶带的长度至少为6×12 +6×10=(72+60)(cm). BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例2 有一个亭子，它的地基是半径为 4 m 的正六边形，求地基的周长和面积 (面积保留小数点后一位 ). 抽象成 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例2 利用勾股定理，可得边心距 亭子地基的面积 4 m O A B C D E F M r 解：连接 OB，过点 O 作 OM⊥BC 于 M. 在 Rt△OMB 中，OB = 4，MB = 亭子地基的周长 l = 6×4 = 24 (m)， 有一个亭子，它的地基是半径为 4 m 的正六边形，求地基的周长和面积 (面积保留小数点后一位 ). BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 O B C r R P . 圆内接正多边形常用辅助线 连半径，得中心角 1 2 作边心距，得直角三角形 F A D E 由勾股定理得 R r BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 正多边形的边数 边长 半径 边心距 周长 面积 3 2 4 2 6 2 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例3 如图，已知点 O 是正六边形 ABCDEF 的对称中心，G，H 分别是 AF，BC 上的点，且 AG = BH． (1) 求∠FAB 的度数； (1) 解：∵ 六边形 ABCDEF 是正六边形， ∴∠FAB = . BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例3 (2) 证明：连接 OA、OB. ∵ OA = OB， ∴∠OAB =∠OBA. ∵∠FAB =∠CBA， ∴∠OAG =∠OBH. ∴△AOG≌△BOH (SAS). ∴ OG = OH． 又∵ AG = BH， 如图，已知点 O 是正六边形 ABCDEF 的对称中心，G，H 分别是 AF，BC 上的点，且 AG = BH． (2) 求证：OG = OH． BY YUSHEN BY YUSHEN 归纳总结 正多边形的性质 正多边形的 有关概念 正多边形的 有关计算 添加辅助线的方法： 连半径，作边心距 中心 半径 边心距 中心角 正多边形的对称性 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 A 1．如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE， CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是（　　） A．144° B．130° C．129° D．108° 2.如图，正五边形 ABCDE 内接于⊙O， 则∠ADE 的度数是 （ ） A．60° B．45° C．36° D．30° · A B C D E O C BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 3.下列命题正确的是(　 　) 　A．各边相等的多边形是正多边形 　B．各角相等的多边形是正多边形 　C．既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形 　D．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形 4. 如图，正三角形ABC的外接圆的半径为R，则边长为_____，边心距为______，面积为________． D BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 5.要用圆形铁片截出边长为4 cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要 cm. 6.已知一个正六边形的边心距为 cm，则这个正六边形的周长为 cm. 12 7.在同一个圆中，圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为 . BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 A B C D E F P 8.如图，正六边形ABCDEF的边长为 ，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和是多少？ ∴点P到各边距离之和为：3BD=3×6=18． 解：过P作AB的垂线，分别交AB、DE于H、K，连接BD，作CG⊥BD于G. G H K ∴P到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和均为HK的长. ∵六边形ABCDEF是正六边形 ∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF， ∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°， ∴∠CBD=∠BDC=30°，BD∥HK，且BD=HK. ∵CG⊥BD， ∴BD=2BG=2×BC×cos∠CBD=6. BY YUSHEN BY YUSHEN $$