山西省大同市2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

2024—2025 学年度第一学期高一年级期中教学质量监测 数学答案解析 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.答案：A 解析：由题设得   2 3 A B  ， ，故选 A. 2.答案：D 解析：对于 A,不等式 3 0 2 0 x x      的解集为，所以 y 不是 x 的函数； 对于 B,当 0x  时，有两个 y 与 x 对应，所以 y 不是 x 的函数； 对于 C,当 1x  时，有两个 y 与 x 对应，所以 y 不是 x 的函数； 对于 D,满足 y 与 x 的一一对应，所以 y 是 x 的函数．故选 D. 3.答案：C 解析：因为 1 2y x 在  0 ， 上是增函数，所以 1 1 2 2a b ； 因为 1 y c x   在  0 ， 上是减函数，所以 1 1 c c a b    ； 当 0c  时， 2 2ac bc ，所以 C不成立； 因为     22 0 2 2 b aa a b b b b       ；所以 2 2 a a b b    .故选 C. 4.答案：D 解析：由已知函数图像可知，有一段时间该同学离家距离保持不变，结合选项可知只有 D 中的路线符合要求. 故选 D. 5.答案：C 解析：全称量词命题的否定为存在量词命题，所以该命题的否定为 “ 2 , 1 0x R x x     ”．故选 C. 6.答案：B 解析：当 x ≤ 0 时，f (x)＝(x－a)2，f (0)是 f ( x)的最小值，所以 a ≥ 0， 当 x > 0 时，f (x)＝x＋ 1 x ＋a ≥ 2＋a，当且仅当 x＝1 时等号成立，要满足 f (0)是 f (x) 的最小值，需 2＋a ≥ f (0)＝a2，即 a2－a－2≤0，解得－1≤ a ≤2. 所以 a 的取值范围是 0 ≤ a ≤2.故选 B. 7.答案：A 解析：荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必须积跬步，故“积跬步”是 “至千里”的必要不充分条件.故选 A. 8.答案：B 解析：由  1 4m n n  得 4 1 1 m n   ，又   4 1 16 4 4 8 m n m n m n m n n m             ，因为 0 , 0m n  ， 所以原式 16 8 16 m n n m    ，当且仅当 16m n n m  ，即 8 , 2m n  时等号成立.故选 B. 二、选择题：本题共 2 小题，每小题 6 分，共 12 分，在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有错选的得 0 分。 9.答案：BC 解析：若 2, 1x y  ，而 1 2 Z ，故整数集不是“紧密集合”，A错误； 根据“紧密集合”的性质，知实数集是“紧密集合”，B正确； 集合 1 , 0 , 1 是“紧密集合”，故“紧密集合”可以是有限集，C正确； 集合 1 , 0 , 1 是“紧密集合”，当 1 , 1x y   时， 2x y A   ，D错误． 故选 BC. 10.答案：ACD 解析： 对于 A，由已知可得函数  f x 在区间  1 b， 上单调递增，由 2 2 2b b b   ，解得 2b  或 1b  (舍去)，所以 b＝2，A正确； 对于 B，若存在跟随区间   , a b  a b ，因为函数在单调区间上单调递减，则由     f a b f b a    ，解得 1 5 2 a b    或 1 5 2 a b    ，不满足 a b ，故不存在，B 不正确； 对于 C，由已知得，函数在定义域上单调递减，若存在跟随区间   , a b  1 a b   )， 则有     f a b f b a    ，即 1 1 b m a a m b         ，两式作差得， 1 1a b a b     ，即   1 1a b a b a b      ，又 1 a b   ，所以 1 1 1a b    ，易得 0 1 1 1a b     ，所以 1 1 1m a b a a       ，设 1a t  ，由于 1 1 1 1b a a      ，所以 1 0 1 2 a   ，即 1 0 , 2 t       ， 则 2m t t  ，解得 1 0 4 m   ，C正确； 对于 D，若函数存在 3倍跟随区间，设定义域为   , a b ，值域为  3 , 3a b ，当 1a b  时，易得函数在定义域上单调递增，则 , a b 是方程 2 1 3 2 x x x   的两个不 相等的实数根，解得 0x  或 4x   ，故存在定义域为  4 , 0 使得值域为  12 , 0 ，D正确．故选 ACD. 三、填空题：本题共 2 小题，每小题 4 分，共 8 分。 11．答案：  6 , 10 解析：设    2 0f x ax bx a   ， 由     1 1 f a b f a b       ,得         1 1 1 2 1 1 1 2 a f f b f f              所以      2 4 2 3 1 1f a b f f      ,又     1 1 2 3 1 4 f f       ，所以    6 3 1 1 10f f    ， 即  2f  的取值范围是  6 , 10 ． 12．答案： 3 1, 1x x x     解析: 令    g x xf x ，又 f(x)为 R 上的奇函数， 所以 g(x)为 R 上的偶函数，且  0 0g  ， 又对任意  1 2 , 0,x x   ，当 1 2x x 时，都有      1 2 1 2 2 1 0 f x f x x x x x         ， 即相当于      1 1 2 2 1 2 1 2 0 x f x x f x x x x x        ， 所以 g(x)在  0, 上单调递减， 又  2 2f  ，所以    2 2 2 4g f  ， 所以不等式    1 1 4x f x   ， 即 g(x＋1)＞g(2)，所以 1 2x   ，即 3 1x   ， 又  0 0g  ，所以      1 1 1g x x f x    中，要满足    1 2g x g  成立， 还需 1 0x  ，即 1x   所以 3 1x x   且 1x   . 四、解答题：本题共 5 小题，共 48 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 13．（8分） 解析： (1)     3 2 3 2 2 2 2 10 10 10 8 9 3 m n m n       …………(4分) (2) 因为 2 3xa  ，所以 3xa  ， 又     3 3 3 3 x xx x x x x x a aa a a a a a         ，所以     3 3 3 3 3 3 7 1 3 3 3 x x x x a a a a         . …………(8分) 14．（8分） 解析： （1）因为  4 10f  ，所以  4 4 2 4 10f     ，即 4 2  ，所以 1 2   ………(2 分) （2）由于   1 2 2 2f x x x x x    ，所以其定义域为  0, ， …………(3分) 又  f x 在  0, 上是增函数. …………(4分) 由    1f m f m   可得 0 1 0 1 m m m m          ， 解得 1 1 2 m  ， …………(7 分) 所以实数m的取值范围为 1 , 1 2       . …………(8分) 15．（8分） 解析： (1) 当 a＝-2时，函数 f (x)＝(x＋1)2－1，x∈[-2,2]，所以函数 f (x)的最大值为 f(2)=8， 最小值为 f(-1)=-1. …………(2分) (2) f (x)的对称轴为直线 2 a x  ； ① 当 2 2 a   ，即 4a   时，此时  f x 在  2 , 2 上单调递增，所以当 2x   时函 数取得最小值   4 2g a a  ； …………(4 分) ② 当 2 2 a  ，即 4a  时，此时  f x 在  2 , 2 上单调递减，所以当 2x  时函数取 得最小值   4 2g a a  ； …………(6 分) ③ 当 2 2 2 a    ，即 4 4a   时，此时  f x 在  2 , 2 上先减后增，所以函数在 2 a x  时取得最小值，即   2 4 a g a   . …………(8 分) 16．（12分） 解析： (1) 因为对于任意 x1 ,x2∈D,都有 f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，所以令 x1＝x2＝1， 得    1 2 1f f ，所以 f(1)＝0． …………(2 分) (2) f(x)为偶函数． …………(3 分) 证明如下：f(x)的定义域关于原点对称， 令 x1＝x2＝-1，有 f(1)＝f(-1)＋f(-1)，所以     1 1 1 0 2 f f   ． 令 x1＝-1，x2＝x，有 f(-x)＝f(-1)＋f(x)， 所以    f x f x  ，所以 f(x)为偶函数． …………(7分) (3) 依题设有 f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知 f(x)是偶函数， 所以 f(x－1)＜2等价于 f(|x－1|)＜f(16)， …………(9分) 又 f(x)在(0，＋∞)上是增函数， 所以 0＜|x－1|＜16， 解得－15＜x＜17且 x≠1， 所以 x 的取值范围是    15 , 1 1 , 17 ． …………(12 分) 17．（12分） 解析： (1)对于函数模型：(Ⅰ)   1 10 15 f x x  ， 用验证条件③时，当 x＝30时，f(x)＝12，而 6 5 x  ， 即   5 x f x  不恒成立，故不符合公司要求； …………(2 分) 对于函数模型：(Ⅱ)   2 6f x x  ， 当 x∈[25,1600]时，条件① f(x)是增函数满足， 所以   max 2 1600 6 80 6 74 90f x       ，满足条件②； 对于条件③，记    2 6 25 1600 5 x g x x x     ， 则       21 5 1 25 1600 5 g x x x      ， 因为  5 , 40x ，所以当 5x  时，     2 max 1 5 5 1 1 0 5 g x        ， 所以   5 x f x  恒成立，即条件③也成立． 故函数模型(Ⅱ)   2 6f x x  符合公司要求． …………(6分) (2) 因为 a≥2，所以函数   10f x a x  符合条件①， 由函数   10f x a x  符合条件②， 得 1600 10 40 10 90a a    ，解得 a≤ 5 2 ； …………(8分) 由函数   10f x a x  符合条件③， 得 10 5 x a x   对  25 , 1600x 恒成立， …………(9分) 即 10 5 x a x   对  25 , 1600x 恒成立． 因为 10 2 2 5 x x   ，当且仅当 10 5 x x  ， 即 50x  时等号成立，所以 2 2a  ， …………(11 分) 综上所述，实数 a 的取值范围是 5 2 , 2       . …………(12 分) 大同市2024一2025学年度第一学期期中高一年级教学质量监测 数学 。大过小绿店当 注意事项： 1,答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑如需玫动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm 黑色笔迹签字笔写在答题卡上. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 中节 5.本试卷共4页，满分100分，考武时间90分钟。=1 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.设集合A={x-2<x<4},B={2,3,4,5,6},则A∩B A.{2,3} B.{2} C.{3,4} D.{2,3,4} 2.下列关于x,y的关系中，y是x的函数的是 A.y=√x-3+2-x B.y=9x [2x (x21)】 2 34 C.y= D 1-2x(x≤1) y 0 6 11 3.设b>a>0,c∈R,则下列不等式中不正确的是 A. B. 1 a-e>b-c C.ae2>be2 D. a+2、a b+2b 4.如图是某高一学生晨练时离家距离()与行走时间)之间的函数关系的图像.若用黑点 表示该学生家的位置，则该同学散步行走的路线可能是 高一数学试卷第1页共4页 A B. D. 5.命题“xeR,x2-x+1>0”的否定是 A.x∈R,x2-x+1≤0 B.VxER,x-x+1<0 C.3xER,x-x+150 D.3reR,x2-x+1<0 (x-a)）,xs0 6.设f(x)= 若f(o)是∫(x)的最小值，则a的取值范围为 x+二+a,x>0 A.-1,2] B.[0,2] C.[1,2] D.[-1,0] 7.荀子曰“故不积跬步，无以至千里：不积小流，无以成江海，”这句来自先秦时期的名 言闸述了做事情如果不去一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理。由此可得“积鞋 步”是“至千里”的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.已知正实数m,n满足m(n-)=4n,则m+4切的最小值是 士字避的隆，雪 A.25 B.16 C.18 D.8 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分 9.若集合A具有以下性质：①集合中至少有两个元素：②若{x,y}三A,则y,x+y∈A, 且当x≠0时，上∈A.这样的集合A被称为“紧密集合”，以下说法正确的是 A.整数集是“紧密集合” B.实数集是“紧密集合” C.“紧密集合”可以是有限集 一出得 D.若集合A是“紧密集合”，且xy∈A,则x-y∈A 高一数学试卷第2页共4页 10.一般地，若函数f(x)的定义域为[a,b】,值域为[a,],则称[a,]为f(x)的“k 倍跟随区间”：若函数的定义域为[a,b小，值域也为[a,b小，则称[a,b)为f(x)的“跟 随区间”，下列结论正确的是 A,若[1，b]为f(x)=x2-2x+2的跟随区间，则b=2 B.函数∫(x)=1+上存在跟随区间 C。若函数)=m-中存在跟随区间，则m(名，0 D.二次函数/()=-子x+x存在“3倍跟随区间 三、填空题：本题共2小题，每小题4分，共8分 11.已知二次函数y=f(x)的图像过原点，且1≤f(-1)≤2,3≤f)≤4，则一2)的取值 范围是 12.已知f(x)为R上的奇函数，f(2)=2,若对任意x,x2∈(0，+∞)，当，>x时，都有 传-./0，则不等式++4的解集为 四、解答题：本题共5小题，共48分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 13.(8分) 1)已知10=2,10=3，求10学的值： 4正小国，祖8中米 (2)已知a2=3,求+a a+a的值. 的的板形生，先表石万 14.(8分) 已知函数f(x)=x“+2x(a≠0)，且f(4)=10. (1)求a的值： (2)若∫(m)>f(-m+),求实数m的取值范围， 高一数学试卷第3页共4页 15.(8分) 装高棋华2+9市大 设函数f(x)=x2-ar,xe[-2,2] (1)当a=-2时，求函数f(x)的最大值和最小值： (2)若函数的最小值为g(a),求g@.送 兴港意主 16.(12分) 函数f(x)的定义域为D={xk0,且满足对于任意x,x∈D,有()=f(x)+f(x) (1)求f包)的值： (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论： (3)如果f(4)=1,∫(x-1)<2,且f(x)在(0，+)上是增函数，求x的取值范围. 在中，为个出的出出利回含，什花士儿小8学辞法回 为证日型型种战 17.(12分) 某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案，要求奖金y(单位：万元)随投 资收益x(单位：万元)的增加而增加，奖金不超过90万元，同时奖金不超过投资收益的 20%.即假定奖励方案模拟函数为y=f(x)时，该公司对函数模型的基本要求是：当 xe[25,1600]时，①f()是增函数：②(x)s90恒成立：③f(x)s恒成立. （1)现有两个奖励函数模型：()f)-方+10：（山）/)=2G-6.试分析这两 个函数模型是否符合公司要求？ (2)已知函数f(x)=a√-10(a≥2)符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值 范围 高一数学试卷第4页共4页