精品解析：吉林省长春市长春净月高新技术产业开发区慧泽学校2024一2025学年九年级上学期期中考试数学试题

东北师范大学附属中学净月校区慧泽学校 2024—2025学年九年级期中考试（数学）学科试题 考试时间：120分钟 总分：120分 一．选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列函数中，属于二次函数的是 （        ） A. B. C. D. 2. 中国信通院预计未来2~3年内将实现5G的个人终端应用和数字内容的创新突破，预计2025年全球5G移动用户数将突破23000000000户，数据23000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 4. 二次函数y＝(x－2)2＋3的最小值是( ) A. 3 B. 2 C. －2 D. －3 5. 已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列三角函数表示正确的是（　　） A. sinA＝ B. tanA＝ C. cosA＝ D. tanB＝ 7. 二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ）　　 A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 8. 已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中错误是（　　） A. a﹣b+c＞0 B. abc＞0 C. 4a﹣2b+c＜0 D. 2a﹣b＝0 二．填空题（每小题3分，共18分） 9. 计算：___________． 10. 若点在抛物线上，则_______． 11. 已知二次函数的表达式为，则该二次函数的对称轴为直线________． 12. 将抛物线向下平移4个单位，那么得到抛物线的解析式为______． 13. 如图，月洞门为中国古典建筑中常见的过径门，因圆形如月而得名．某地园林中有一个圆弧形门洞，高为，地面入口宽为，则该门洞的半径为______m． 14. 小狗跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系． 对某只小狗一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行测量，得到以下数据： 水平距离x 0 1 2 竖直高度y 0 根据上述数据，回答问题： 在小狗起跳点前方处有一条小溪，若小狗跳跃能跃过小溪，则可预估小溪的宽度未超过_____m． 三．解答题（共78分） 15. 计算：． 16. 如图，已知抛物线 经过两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线解析式； （2）观察图象：当时，直接写出y的取值范围_______． 17. 如图，为的直径， 点 C、D 是的三等分点， ，求 的度数． 18. 以下各图均是由边长为1的小正方形组成的 网格， 的顶点均在格点上．利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． （1）在图①中，点D为的边的中点，在边上找一点E，连接，使 的面积为面积的 ； （2）在图①中，连接，则 _______； （3）在图②中，在的边上找一点F，连接，使 ． 19. 中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献，为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位，经测量， ，是一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．求其中一个停车位矩形的周长．（结果精确到．参考数据 ） 20. 某校准备开展“行走的课堂，生动的教育”研学活动，并计划从博物馆、动物园、植物园、海洋馆（依次用字母A，B，C，D表示）中选择一处作为研学地点，为了解学生的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图： （2）扇形统计图中A所对应的圆心角的度数为_______°； （3）该校共有1600名学生，请你估计该校有多少名学生想去海洋馆． 21. 小聪和小明沿同一条笔直的马路同时从学校出发到某图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是4千米，小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达图书馆，图中折线O-A-B-C和线段OD分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题： （1）小聪在图书馆查阅资料的时间为 分钟，小聪返回学校的速度为 千米/分钟； （2）请你求出小明离开学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数表达式； （3）若设两人在路上相距不超过0.4千米时称为可以“互相望见”，则小聪和小明可以“互相望见”的时间共有多少分钟？ 22. 数学课上，小明同学遇到了这样的一个问题：如图，点A、B、C、D在上，连结为的一条直径，过点A作交于点E．设． 【证明】老师说：利用所学习的“圆的知识”可以证明，请你帮助小明同学完成，的证明过程． 【应用】小明同学发现，利用可以解决如下问题： ①若则_____； ②若则的长为______． 23. 如图，在 中， ，点Q为的中点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向终点B运动，连接，以为底边向下作等腰直角，设点P 运动的时间为t秒． （1）求边的长． （2）用含 t的代数式表示的长． （3）当点 P 在运动时，将 分成的两部分图形中有一个是轴对称图形时，求这个轴对称图形的面积． （4）当点落到的一边的垂直平分线上时，直接写出t的值． 24. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线 （b是常数）经过点，点A、B均在抛物线上，横坐标分别为，过点A 作直线轴，过点 B 作直线 轴，两条直线相交于点C，连结． （1）求抛物线的解析式； （2）当 时，求 的值； （3）设点A 的纵坐标为，点B 的纵坐标为， 当时，求m的取值范围； （4）当的边与坐标轴有两个公共点时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东北师范大学附属中学净月校区慧泽学校 2024—2025学年九年级期中考试（数学）学科试题 考试时间：120分钟 总分：120分 一．选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列函数中，属于二次函数的是 （        ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的定义，解题的关键是正确理解形如y=ax2+bx+ca≠0的函数，叫做二次函数． 根据二次函数的定义进行判定求解． 【详解】解：、自变量的次数是次，故它不是二次函数，此项不符合题意； 、自变量在分母上，它不是整式，故它不是二次函数，此项不符合题意； 、自变量的次数是次，且不在分母上，故它是二次函数，此项符合题意； 、自变量的次数是次，故它不是二次函数，此项不符合题意． 故选：． 2. 中国信通院预计未来2~3年内将实现5G的个人终端应用和数字内容的创新突破，预计2025年全球5G移动用户数将突破23000000000户，数据23000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数． 【详解】， 故选：C． 3. 二次函数，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数图象开口向上，对称轴右侧y随x的增大而增大，和二次函数的顶点式判断对称轴位置即可． 【详解】解：∵， ∴函数图象开口向上且对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质及二次函数的顶点式，熟练掌握当抛物线开口向上时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大是解答本题的关键． 4. 二次函数y＝(x－2)2＋3的最小值是( ) A. 3 B. 2 C. －2 D. －3 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的性质解答即可． 【详解】二次函数y=（x-2）2+3， 当x=2时，最小值是3， 故选A． 【点睛】本题考查的是二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键． 5. 已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】根据半径求得直径的长，然后利用圆内最长的弦是直径作出判断即可． 【详解】解：∵圆的半径为6， ∴直径为12， ∵AB是一条弦， ∴AB的长应该小于等于12，不可能为14， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆内最长的弦是直径，难度较小． 6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列三角函数表示正确的是（　　） A. sinA＝ B. tanA＝ C. cosA＝ D. tanB＝ 【答案】C 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出BC的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算，再利用排除法求解即可． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4， ∴BC＝＝＝3， ∴sinA＝，故选项A错误； tanA＝，故选项B错误； cosA＝，故选项C正确； tanB＝，故选项D错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，熟记在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键． 7. 二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ）　　 A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是掌握二次函数的性质； 一元二次方程的根即为二次函数的图像与x轴的交点的横坐标，结合图像即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程的根即为二次函数的图像与直线x轴的交点的横坐标， 结合图像，可知二次函数的图像与x轴有两个不同的交点，即方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 8. 已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中错误是（　　） A. a﹣b+c＞0 B. abc＞0 C. 4a﹣2b+c＜0 D. 2a﹣b＝0 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象判断出a，b，c的正负关系，对称轴，顶点坐标等，再进行判断即可． 【详解】解：由图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞1，故A项正确，不符合题意； ∵抛物线开口向下，﹣＝﹣1，与y轴的交点为（0，1）， ∴a＜0，b＝2a＜0，c＝1＞0， ∴2a﹣b＝0，abc＞0，故B、D项正确，不符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点在原点和点（1，0）之间， ∴另一个交点在（﹣2，0）与（﹣3，0）之间， ∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故C项错误，符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是树立数形结合思想，结合二次函数图象的性质，准确进行推理判断． 二．填空题（每小题3分，共18分） 9. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值直接写出即可． 【详解】解：根据特殊角的三角函数值知：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题时牢记特殊角的三角函数值是关键． 10. 若点在抛物线上，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，代入计算即可． 根据点 在抛物线 上，则其坐标满足抛物线方程，代入 即可求出 ． 【详解】解：因为点在抛物线上， 故将 代入抛物线方程 ，得： 故 ． 故答案为：． 11. 已知二次函数的表达式为，则该二次函数的对称轴为直线________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的对称轴．根据二次函数图象的对称轴的公式，直接代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴该二次函数图象的对称轴为直线， 故答案为：． 12. 将抛物线向下平移4个单位，那么得到抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换．直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向下平移4个单位， 那么得到的抛物线的解析式为：，即． 故答案为：． 13. 如图，月洞门为中国古典建筑中常见的过径门，因圆形如月而得名．某地园林中有一个圆弧形门洞，高为，地面入口宽为，则该门洞的半径为______m． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理的应用，设半径为r，根据垂径定理可以列方程求解即可． 【详解】解：设圆的半径为r， 由题意可知，， 在中，，， ， 解得． 经检验：是方程的解， 故答案为：． 14. 小狗跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系． 对某只小狗一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行测量，得到以下数据： 水平距离x 0 1 2 竖直高度y 0 根据上述数据，回答问题： 在小狗起跳点前方处有一条小溪，若小狗跳跃能跃过小溪，则可预估小溪的宽度未超过_____m． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．根据表中数据得出抛物线解析式；令，解方程求出x的值，即求出野兔的落地点与比较即可． 【详解】解：由，和，可知， 抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为. 当时，， ， 解得， 抛物线的解析式为， 令，则， 解得，（舍去）， ∴野兔落地点距离起跳点米， （米）， ∴小溪的宽度不超过米． 故答案为：． 三．解答题（共78分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．先进行开方，特殊角的三角函数值和零指数幂的运算，再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 16. 如图，已知抛物线 经过两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线解析式； （2）观察图象：当时，直接写出y的取值范围_______． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查求二次函数的解析式，二次函数函数值的范围： （1）直接利用两点式写出函数解析式即可； （2）观察图象，可知当时，取最大值，顶点处取最小值，即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵抛物线 经过两点， ∴解析式为：； 【小问2详解】 ∵， 观察图象可知：当时，取最大值0，顶点处取最小值， ∵， ∴当时，函数有最小值为：， ∴当时，y的取值范围． 故答案为：． 17. 如图，为的直径， 点 C、D 是的三等分点， ，求 的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，先求出，根据点C、D是的三等分点，求出的度数是，即 【详解】解： 为的直径， 点 C、D 是的三等分点 的度数是 故答案为 18. 以下各图均是由边长为1的小正方形组成的 网格， 的顶点均在格点上．利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． （1）在图①中，点D为的边的中点，在边上找一点E，连接，使 的面积为面积的 ； （2）在图①中，连接，则 _______； （3）在图②中，在的边上找一点F，连接，使 ． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） （3） 如图，即为所求； 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，即可． （2）根据网格的特点，得到，勾股定理求出的长，利用正切的定义求出的值即可； （3）取的中点，取的中点，连接，即可． 【小问1详解】 解：由作图可知：是的中位线， ∴， ∴， ∴， 即：的面积为面积的； 【小问2详解】 解：由图可知：， 则，， ∴； 【小问3详解】 解：由作图可知：， ∴． 【点睛】本题考查网格作图，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，以及网格的特点，是解题的关键． 19. 中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献，为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位，经测量， ，是一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．求其中一个停车位矩形的周长．（结果精确到．参考数据 ） 【答案】一个停车位矩形的周长约为． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质以及30度所对的直角边是斜边的一半，勾股定理，先根据矩形性质得，结合，得出，，再根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：∵停车位是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴， 则， 即一个停车位矩形的周长约为． 20. 某校准备开展“行走的课堂，生动的教育”研学活动，并计划从博物馆、动物园、植物园、海洋馆（依次用字母A，B，C，D表示）中选择一处作为研学地点，为了解学生的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图： （2）扇形统计图中A所对应的圆心角的度数为_______°； （3）该校共有1600名学生，请你估计该校有多少名学生想去海洋馆． 【答案】（1） 补全条形统计图如图： （2）54 （3）640名 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图，样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件、利用数形结合的思想解答问题． （1）用的人数除以求得本次调查的学生总数，进而得出组的人数，画出统计图即可； （2）用乘“”所占比例可以求得“”部分所占圆心角的度数； （3）用1600乘样本中所占比例即可． 【小问1详解】 解：总人数：（人）， 组人数：人； 【小问2详解】 解：所对应的圆心角的度数为：， 故答案为：54； 【小问3详解】 解：去海洋馆：（人）， 答：该校约有640名学生想去海洋馆． 21. 小聪和小明沿同一条笔直的马路同时从学校出发到某图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是4千米，小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达图书馆，图中折线O-A-B-C和线段OD分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题： （1）小聪在图书馆查阅资料的时间为 分钟，小聪返回学校的速度为 千米/分钟； （2）请你求出小明离开学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数表达式； （3）若设两人在路上相距不超过0.4千米时称为可以“互相望见”，则小聪和小明可以“互相望见”的时间共有多少分钟？ 【答案】(1）20，0.2；（2）s=t；（3）分钟. 【解析】 【分析】（1）由函数图象的数据可以求出小聪在图书馆查阅资料的时间为20分钟，由速度=路程÷时间就可以得出小聪返回学校的速度； （2）设小明离开学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数表达式为y=kx，由待定系数法求出其解即可； （3）分类讨论，当小聪、小明同时出发后，在小聪到达图书馆之前,当小聪、小明在相遇之前及当小聪、小明在相遇之后，分别求出来即可． 【详解】（1）由题意，得 小聪在图书馆查阅资料的时间为20分钟． 小聪返回学校的速度为4÷20=0.2千米/分钟． 故答案为20，0.2； （2）设小明离开学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数表达式为s=kt，由题意，得 4=60k， 解得：k=． ∴所求函数表达式为s=t． （3）小聪、小明同时出发后，在小聪到达图书馆之前，两人相距0.4千米时，0.4÷（0.2-）=3； 当小聪从图书馆返回时：设直线BC的解析式为s=k1t+b，由题意，得 ， 解得： ∴直线BC的函数式为：s＝−t+12． 当小聪、小明在相遇之前，刚好可以“互相望见”时，即两人相距0.4千米时，(−t+12)- t=0.4，解得t=； 当小聪、小明在相遇之后，刚好可以“互相望见”时，即两人相距0.4千米时，t-(−t+12)=0.4，解得t=． ∴所以两人可以“互相望见”的时间为：-=3（分钟） 综上可知，两人可以“互相望见”的总时间为3+3=6（分钟）． 【点睛】本题考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的关系的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 22. 数学课上，小明同学遇到了这样的一个问题：如图，点A、B、C、D在上，连结为的一条直径，过点A作交于点E．设． 【证明】老师说：利用所学习的“圆的知识”可以证明，请你帮助小明同学完成，的证明过程． 【应用】小明同学发现，利用可以解决如下问题： ①若则_____； ②若则的长为______． 【答案】 证明：是的直径， ， ， ， ， ， ， ． 应用：①；②10 【解析】 【分析】（证明）：证明，从而证明即可； （应用）：①运用相似三角形面积比等于相似比的平方，即为相似比，从而得解； ②先利用求出，再用勾股定理求，利用相似三角形的性质可求出，再利用得解； 【详解】证明：略 应用：①， ， ， 中，， 故答案为：． ②∵，， ∴， 则， ， ，即， ， ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，圆周角定理等知识，掌握相似三角形的判定是解题的关键． 23. 如图，在 中， ，点Q为的中点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向终点B运动，连接，以为底边向下作等腰直角，设点P 运动的时间为t秒． （1）求边的长． （2）用含 t的代数式表示的长． （3）当点 P 在运动时，将 分成的两部分图形中有一个是轴对称图形时，求这个轴对称图形的面积． （4）当点落到的一边的垂直平分线上时，直接写出t的值． 【答案】（1）10 （2） （3）或3或 （4）或 【解析】 【分析】（1）勾股定理求出的长即可； （2）根据路程等于速度乘以时间求出的长，再根据线段的和差关系表示出即可； （3）根据将 分成的两部分图形中有一个是轴对称图形，得到为等腰三角形，分三种情况进行讨论求解即可； （4）分两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 由题意，得：， ∴； 【小问3详解】 ∵将 分成的两部分图形中有一个是轴对称图形， ∴为等腰三角形， ∵点Q为的中点， ∴ ①当时，过点作， 则：， ∴； ②当时，过点作，则， ∴， ∴ ③当时，过点作，则：， ∵，， ∴， ∴； 【小问4详解】 ①当点落在的中垂线上时，如图： ∵点为的中点， ∴点在的中垂线上，设为的中垂线， 则：， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设，则：， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴； ②当点落在的中垂线上时，如图，过点作， 则：， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上：或． 【点睛】本题考查勾股定理，列代数式，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，解直角三角形等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线 （b是常数）经过点，点A、B均在抛物线上，横坐标分别为，过点A 作直线轴，过点 B 作直线 轴，两条直线相交于点C，连结． （1）求抛物线的解析式； （2）当 时，求 的值； （3）设点A 的纵坐标为，点B 的纵坐标为， 当时，求m的取值范围； （4）当的边与坐标轴有两个公共点时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）5 （3）或 （4）或或或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与三角形的综合题，涉及待定系数法求函数解析式，锐角三角函数，解不等式组，难度较大，正确理解运动状态，找出临界点是解题的关键． （1）把代入求出，即可得到抛物线的解析式； （2）先求出，则由即可求解； （3）可求，，则，那么①当，化简不等式得，则或，解得：或无解，故得解集为，化简得，则或，那么或，故的解集为；②当时，同理可求的解集为，因此的解集为：或； （4）分类讨论，找出几种临界状态，画图分析即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线 （b是常数）经过点， ∴把代入，得 解得， ∴； 【小问2详解】 解：如图： ∵点A、B均在抛物线上，横坐标分别为， ∴当时，， 把分别代入，得，， ∴， ∵过点A作直线轴，过点 B 作直线轴，两条直线相交于点C， ∴，， 则； 【小问3详解】 解：∵点A、B均在抛物线上，横坐标分别为，， ∴，， ∵， ∴， ∴①当， 化简不等式得， ∴或， 解得：或无解， ∴得解集为， 化简得， ∴或 ∴或， ∴的解集为； ②当时， 同理可求的解集为， ∴的解集为：或， 综上所述：当时，求m的取值范围为：或； 【小问4详解】 解：①当，则， ∴点A在第二象限，点B、C在第一象限，符合题意，如图： 随着m的增大，直至，此时在轴上，那么与轴有无数个交点，不符合题意，如图： ②当，点在第四象限，点在第一象限，符合题意，如图： 随着m的增大，当点与点重合时，此时的边与坐标轴只有1个交点，则， ∴，如图： ∴符合题意，则； 随着m的增大，当点重合之后，点在点的右侧，如图： 当与重合时，则，此时在轴上，那么与轴有无数个交点，不符合题意，如图： ③∴时，符合题意，如图： 随着m的增大，当点与点重合，此时，则，则边与轴有无数个交点，不符合题意，如图： ∴符合题意，则， ④当，则，点在第二象限，点在第一象限，符合题意，如图： ， 综上所述：当的边与坐标轴有两个公共点时，或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $