重庆市第三十七中学校2024-2025学年八年级上学期半期考试数学试题

试卷第 1页，共 8页 重庆市第三十七中学校初 2023 级 2024-2025 学年度（上）期期中测试 数学试卷 (本卷共 26 题，满分 150 分，120 分钟完卷) 一、单选题 1．如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ） A． ( 1, 2)  B． ( 2,3) C． (2,0) D． (2, 3) 2．下列函数中， y是 x的一次函数的是（ ） A． 2y x= B． 3y  C． 4y x  D． 1 2y x  3．下列各组数中互为相反数的是（ ） A．3和  23 B． 3 和 3 27 C．  23  和 3 D． 3 和 3 27  4．已知直角三角形的两条直角边长分别是 6和 8，下列说法正确的是（ ） A．该三角形的斜边长为 100 B．该三角形的周长为 25 C．该三角形的斜边长为 10 D．三角形的面积为 48 5．已知点 A的坐标为  1,2 ，直线 AB x∥ 轴，且 6AB  ，则点 B的坐标为（ ） A．  5,2 或  4,2 B．  6,2 或  4,2 C．  7, 2 或  5,2 D．  1,7 或  1, 3 6．小明在处理一组数据“12，12，28，15，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该 数据在 20 30 之间，则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（ ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 试卷第 2页，共 8页 7．如图，分别以 Rt ABC 的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若斜边 6AB  ，则图中阴 影部分的面积为 ( ) A．6 B．9 C．12 D．18 8．如图，在Rt ABC△ 中， 90C  ， 4cmAC  ， 3cmBC  ， 平分 CAB 交 BC于点D， 点M ，N分别是 AC和 边上的动点，则MN NC 的最小值为（ ） A． B． 2 C． 5 2 D． 12 5 9．甲、乙两车从A地出发，匀速驶往 B地．乙车出发 1h后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲 车先到达 B地并停留 30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段 表示从开始到相遇止，两车之间的距离 y（ km）与甲车行驶的时间 x（ h）的函数关系的 图象，则（ ） A．甲车的速度是 120 km /h B．A , B两地的距离是 360 km C．乙车出发 4.5 h时甲车到达 B地 D．甲车出发 4.5 h最终与乙车相遇 试卷第 3页，共 8页 10．对实数 x y、 定义一种新运算，规定：  , 2x y ax bxy   （其中 a b、 均为非零常数）， 这里等式右边是通常的四则运算，例如：  5 7 5 5 7 2a b      ， ．若  2,3 5  ，  4,4 2  ，则下列结论正确的个数为（ ） （1） 13 2 a b  ， ； （ 2）若  , 3d d d  ，则  , 6d d   ； （3）若  , 6p q   ，则 p q、 有且仅有3组正整数解； （ 4）如果    , ,nx y ny x  ，那么 0n  或 x y ； A． 4个 B．3个 C． 2个 D．1个 二、填空题 11．在直角坐标系中，直线 2 1y x  不经过第 象限． 12．若  3,2P  ，则点 P到 y轴的距离为 ． 13．如图，在△ABC中， 90ACB  ，CD AB 于D，且 13AB  ， 12BC  ，则CD长 为 ． 14．已知  2| 2 | 1 1 0a b c      ，则 a b c  的平方根为 ． 15．已知一组数据 a1，a2，a3，……，an的方差为 3，则另一组数 a1+1，a2+1，a3+1，……， an+1的方差为 ． 16．已知关于 x的一次函数 1 2y kx k   经过定点，则该定点坐标是 ． 17．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直 角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为 m， n（m n ）．若小正方形面积为 5，  2 21m n  ，则大正方形面积为 ． 试卷第 4页，共 8页 18．对于一个三位自然数 m，将各个数位上的数字分别乘以 3后，取其个位数字，得到三个 新的数字 , ,x y z，我们对自然数 m规定一个运算：   2 2 2F m x y z   ，例如： 136m  ，其 各个数位上的数字分别乘以 3后，再取其个位数字分别是：3,9,8，则   2 2 2136 3 9 8 154F     ．则  432F  ；若已知两个三位数 p=a4a,q=2b2，（ ,a b为 整数，且 2 5,2 5a b    ），若 p q 能被 7整除，则  F p q 的最大值是 ． 三、解答题 19．计算： (1) 148 3 12 24 2     (2) 2(7 4 3)(7 4 3) (3 5 1)    20．已知5 2a  的立方根是 3，3 2b  的平方根是 4 ，求 2a b 的平方根． 试卷第 5页，共 8页 21．作图题： 如图，在平面直角坐标系中，  2,3A ，  3,1B ，  2, 1C   ． (1)在图中作出△ABC关于 x轴的对称图形 1 1 1A BC△ ，并写出点 1A， 1B ， 1C 的坐标． (2)在 y轴上画出点 P，使 PA PB 最小．（不写作法，保留作图痕迹） (3)求△ABC的面积． 22．2024年 4月 25日，神舟十八号载人飞船计划成功发射，激发了同学们的爱国热情．某 校为了解七、八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，对七、八年级学生进行了测试．现 从七、八年级各随机抽取了 15名学生的测试成绩进行了以下数据的整理与分析： 【数据收集】 七年级：68，70，72，73，78，82，83，84，85，85、89，92，93，96，98； 八年级：56，69，73，77，79，82，85，88，88，88，90，90，93，93，94； 【数据分析】 年级 平均数 中位数 众数 七年级 83 a 85 八年级 83 88 b 试卷第 6页，共 8页 根据以上信息，解答下列问题： (1)a ______，b  ______； (2)请推断哪个年级的测试成绩较好，并说明理由（写出一条理由即可）； (3)测试成绩在90 100x  分的学生可以获得奖励，若该校七年级有 600名学生，八年级有 660名学生，估计七、八年级可以获得奖励的学生总人数为多少？ 23．某校有一块形状为正方形的绿地，其边长为  50 2 米，现在要在正方形绿地内修建 四个大小、形状相同的矩形花坛，每个花坛的长为  7 1 米、宽为  7 1 米，除去修建花 坛的地方，其他地方全部修建成通道． (1)求通道的总面积； (2)若要在通道上铺设造价为 8元/平方米的地砖，如果要铺完整个通道，那么购买地砖需要 花费多少元？（参考数据： 2 1.41 。最终结果结果保留一位小数） 24．如图，直线 1 3 2 y x  与 x轴相交于点 A，与 y轴相交于点 B． 试卷第 7页，共 8页 (1)求△AOB的面积； (2)若 C为 y轴上一点，且△ABC的面积是12，求点 C的坐标； (3)若 P是 x轴上一点，且 AB AP ，求 P的坐标． 25．在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为 5 ， 10 ， 13，求这个三角形的面积． 小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为 1），再在网格 中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图 1所示．这样不需求 △ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）△ABC的面积为多少？ （2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为 5 ， 2 2， 17 ，请利用图 2的正方形网格（每个小正方形的边长为 1）画出相应的△ABC，并求面积？ （3）若△ABC三边的长分别为 2 216m n ， 2 29 4m n ， 2 22 m n （m>0，n>0，且 m≠n， 则这三角形的面积是_____．（用含m， n的式子表示，此小问直接写出答案） 试卷第 8页，共 8页 26．【模型建立】 （1）如图 1，等腰直角△ABC中， 90ABC  ， BC BA ，直线 ED经过点 B，过点A作 AD ED 于点D，过点C作CE ED 于点 E，求证： CEB ≌ BDA△ ． 【模型应用】 （2）如图 2，已知直线 1 : 3 3l y x  与 x轴交于点A，与 y轴交于点 B，将直线 1l 绕点A顺时 针旋转 45至直线 2l ，求直线 2l 的函数表达式； （3）直线 2 4y x   与 y轴交于点C，点 P是 x轴上的动点，平面内有一点 ( , 2)D a a  ．试 探究 CPD△ 能否成为等腰直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点D的坐标，若不 能，请说明理由 答案第 1页，共 18页 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C C C B D D C A 1．D 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征是解题的 关键． 根据第四象限点的坐标特征 ( , )  ，即可解答． 【详解】解：如图，小手盖住的点的坐标可能为 (2, 3) ， 故选：D． 2．D 【分析】本题考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一次函数 的定义：  0y kx b k   ，进行判断即可． 【详解】解：A、 2y x= ，未知数最高次不是 1 次，不符合题意一次函数的解析式形式，故 不符合题意； B、没有未知数，不符合题意一次函数的解析式形式，故不符合题意； C、不符合题意一次函数的解析式形式，一次函数解析式右边应为整式，故不符合题意； D、是一次函数，故符合题意． 故选：D． 3．C 【分析】本题考查了实数的相反数，根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“ ”号，化 简各项数字后再判断求解即可． 【详解】解：A、由 2( 3) 3  ，得 3 和 2( 3) 不互为相反数，故 A 选项不符合题意； B、由 3 27 3   ，得 3 和 3 27 不互为相反数，故 B 选项不符合题意； C、由  2 33    ，得  23  和 3 互为相反数，故 C 选项符合题意； D、由 3 27 3    ，得 3 和 3 27 3    不互为相反数，故 D 选项不符合题意； 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边的平 答案第 2页，共 18页 方． 根据勾股定理求出斜边的长度，即可判断 A、C，结合三角形的面积公式和周长公式，即可 判断 B、D． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别是 6 和 8， ∴斜边长为 2 26 8 10  ，故 A 不正确，C 正确； ∴该三角形的周长为 6 8 10 24   ，故 B 不正确； ∴该三角形的面积 1 6 8 24 2     ，故 D 不正确； 故选：C． 5．C 【分析】本题考查了坐标与图形，根据直线 AB x∥ 轴得出点 B 的纵坐标为 2 ，再结合 6AB  ， 分两种情况点 B在点 A 的左边时，点 B在点 A 的右边时，分别求解即可得解． 【详解】解：∵直线 AB x∥ 轴，点 A 的坐标为  1,2 ， ∴点 B的纵坐标为 2 ， ∵ 6AB  ， ∴点 B在点 A 的左边时，横坐标为1 6 5   ，点 B 在点 A 的右边时，横坐标为1 6 7  ， ∴点 B 的坐标为  7, 2 或  5,2 ， 故选：C． 6．B 【分析】本题考查了平均数，众数，中位数，方差．关键是运用平均数，众数，中位数，方 差的定义，比较各量是否变化．根据平均数，众数，中位数，方差定义，判断四个数据中只 改变一个数据，各统计量的是否变化． 【详解】解：一组数据“12，12，28，15，■”，该数据■在 20 30 之间， 四个数据的和随数据■的变化而变化，所以平均数是变化的，选项 A 错误． 中位数是 15，不变，选项 B 正确． 众数也变化，选项 C 错误． 因为平均数改变，方差随着改变，选项 D 错误． 故选：B． 7．D 答案第 3页，共 18页 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和勾股定理的应用．根据勾股定理可得 2 2 2AH HC AC  ，从而可得 2 2 1 2 AH AC ， 21 4ACH S AC ，同理 21 4BCF S BC ， 21 4ABE S AB ，再根据 2 2 2AC BC AB  ，代入求值即可． 【详解】解：标记字母如图： ∵ ACH 为直角三角形，  2 2 2AH HC AC  ， 又∵ AH HC ，  2 21 2 AH AC ，  2 21 1 1 2 2 4ACH S AH HC AH AC    ， 同理， 2 1 4BCF S BC ， 21 4ABE S AB ， 在 Rt ABC△ 中， 2 2 2AC BC AB  ， AB 6， 所以阴影部分的面积为 ACH BCF ABES S S    2 2 21 1 1 4 4 4 AC BC AB    2 2 214 AC BC AB   21 2 4 AB  21 2 AB 21 6 2   18 ． 故选：D． 8．D 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，，勾股定理，作点 M 关于 AD对称的点M ， 使得 AM AM  ，连接 NM ，可得点M 在 AB上，MN MN  ，则当M N C、 、 三点共线， 答案第 4页，共 18页 且M C AB ⊥ 时，M N NC  有最小值，即MN NC 有最小值，最小值为CM 的长，利用勾 股定理求出 2 2 5cmAB AC BC   ，再由等面积法求出CM 的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，作点 M 关于 AD对称的点M ，使得 AM AM  ，连接NM ， ∵ 平分 CAB ， ∴点M 在 AB上，MN MN  ， ∴ NN CNC NM M    ， ∴当M N C、 、 三点共线，且M C AB ⊥ 时，M N NC  有最小值，即MN NC 有最小值，最 小值为CM 的长， ∵在 Rt ABC△ 中， 90C  ， 4cmAC  ， 3cmBC  ， ∴ 2 2 5cmAB AC BC   ， ∵ 1 1 2 2ABC S BC AC AB CM    △ ， ∴ 1 13 4 5 2 2 CM      ， ∴ 12 5 CM   ，即MN NC 的最小值是 12 5 ， 故选：D． 9．C 【分析】分析两车之间的距离 y （ km）与甲车行驶的时间 x（ h）的函数关系的图象，从 图中找到关键信息点进行求解． 【详解】点 (0,60) 中可知，乙 1 小时行驶了 60 km ,可求乙的速度 60 /km h 点 (1.5,0) 中可知，1.5h后，甲追上乙，可求甲的速度 100 /km h 点  ,80b 中可知，甲到 B地，且甲乙相差 80 km ,可以算 3.5b  点  ,c a 中可知，休息 30 分钟，可求 4c  ， 50a  点  ,0d 中可知，甲乙再次相遇， 54 16 d   A，甲车的速度是 120 /km h，错 答案第 5页，共 18页 B，已知甲 3.5 h后到达 B 地，且甲速度为 100 /km h，所以 A,B 两地为 350 km，错 C，甲车 3.5 h到达 B 地，乙车比甲车早出发 1 h，所以是 4.5 h，对 D，从上中  1.5,0 和  ,0d 可知，甲出发 1.5h和 54 16 h 与乙车相遇，错 【点睛】本题考查两车相遇问题，最大的难点在于会识图，从图中找到关键信息点． 10．A 【分析】本题考查了实数的新定义运算，根据新定义运算法则逐项判断即可求解，理解新定 义运算是解题的关键． 【详解】解：∵  2,3 5  ，  4,4 2  ， ∴ 2 6 2 5 4 16 2 2 a b a b         ， 解得 3 1 2 a b      ，故（1）正确； ∴   1, 3 2 2 x y x xy    ， 若  , 3d d d  ， 则   21, 3 2 3 2 d d d d d      ， ∴ 2 4d  ， ∴ 2d   ， ∴  , 3 6d d d    ，故（ 2 ）正确； 若  , 6p q   ， 则   1, 3 2 6 2 p q p pq      ， ∴ 6 8p pq  ， ∴ 8 6 p q   ， ∵ p q、 为正整数， ∴ 6 1q  或 2 或 4 ，即 5q  或 4 或 2 ， 此时 8P  或 4 或 2 ， ∴ p q、 有且仅有 3组正整数解，故（ 3）正确； 答案第 6页，共 18页 如果    , ,nx y ny x  ， 则 1 13 2 3 2 2 2 nx nxy ny nxy       ， ∴ 3 3 0nx ny  ， ∴   0n x y  ， ∴ 0n  或 0x y  ， 即 0n  或 x y ，故（ 4 ）正确； 综上，结论正确的个数有 4 个， 故选： A ． 11．四 【分析】本题考查一次函数的性质，根据直线解析式和一次函数的性质，可以得到该直线经 过哪几个象限，不经过哪个象限． 【详解】解： 2 1y x ∵ ， 2 0k   ， 1 0b   ， 该直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故答案为：四、 12．3 【分析】本题考查了点的坐标．根据平面直角坐标系中点到 y 轴的距离等于其横坐标的绝对 值即可求出答案． 【详解】解：∵点 P 的坐标为  3,2 ， ∴点 P 到 x 轴的距离为 2 2 ，到 y 轴的距离为 3 3  ． 故答案为：3． 13． 60 13 / 84 13 【分析】本题考查勾股定理，等积法的应用．熟练掌握勾股定理是解题关键．根据勾股定理 可求出 5AC  ，再根据等积法求解即可． 【详解】解：∵ 90ACB  ， 13AB  ， 12BC  ， ∴ 2 2 5AC AB BC   ． ∵ 1 1 2 2ABC S AC BC AB CD    ， ∴ AC BC AB CD   ，即 5 12 13CD  ， 答案第 7页，共 18页 ∴ 13 60 CD ． 故答案为： 60 13 ． 14． 2 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为零，则它们都为零，求平方根；由非 负数的性质求得 2 1 1a b c= = =-， ， 的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵ 2| 2 | 0 ( 1 00 ) 1a b c    ， ， ，且 2| 2 | ( 1) 1 0a b c      ， ∴ 2 0 1 0 1 0a b c- = - = + =， ， ， ∴ 2 1 1a b c= = =-， ， ， ∴ 4a b c   ， ∵4 的平方根是 2 ， ∴ a b c  的平方根为±2． 故答案为： 2 ． 15．3 【分析】设数据 a1，a2，a3，……，an 的平均数为 x，则可求得 a1+1，a2+1，a3+1，……， an+1 的平均数，根据数据 a1，a2，a3，……，an 的方差为 3，即可求得另一组数据 a1+1， a2+1，a3+1，……，an+1 的方程． 【详解】设数据 a1，a2，a3，……，an 的平均数为 x，即 1 2 3 1 ( )na a a a xn      ， 则此组数据的方差为 2 2 2 21 2 3 1 ( ) ( ) +( ) + +( ) 3na x a x a x a xn        … ； ∵a1+1，a2+1，a3+1，……，an+1 的平均数为： 1 2 3 1 2 3 1 1( 1 1 1 1) ( ) 1 1n na a a a a a a a xn n                  ， 所以此数据的方差为： 2 2 2 2 1 2 3 1 ( 1 1) ( 1 1) +( 1 1) + +( 1 1)na x a x a x a xn               … 2 2 2 2 1 2 3 1 ( ) ( ) +( ) + +( )na x a x a x a xn        … 3 故答案为：3． 【点睛】本题考查了求一组数据的方差，已知一组数据的方差，则每个数据加上同一个常数 后所得新数据的方差不变，平均数是原数据的平均数加上这个常数，这实质是方差与平均数 答案第 8页，共 18页 的性质，熟练掌握平均数与方差的计算公式是解题的关键． 16．  2,1 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，由关于 x的一次函数 1 2y kx k   整理 得  1 2 2 1y kx k k x      ，令 2 0x   ，求出 y 的值即可，熟练掌握知识点的应用是解题 的关键． 【详解】解：由关于 x的一次函数  1 2 2 1y kx k k x      ， 令 2 0x   ，则 1y  ， ∴一次函数的图象必经过一个定点  2,1 ， 故答案为：  2,1 ． 17．13 【分析】根据题意，得 2 2m n 是大正方形大的面积，小正方形的面积为  2 5m n  ，结合 公式  2 21m n  ，计算 2 2m n 即可． 本题考查了弦图中公式变形计算，熟练掌握公式变形，弦图的几何意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得  2 5m n  ，  2 21m n  ， ∴ 2 22 5m mn n   ， 2 22 21m mn n   ∴ 2 2 21 5 13 2 m n    ． 故答案为：13． 18． 121 144 【分析】本题考查了数的十进制，数的整除，根据新定义计算，可得  432F 的值；先用 a、 b的解析式表示 p q ，再根据整除的性质列出关于 a、b的关系式从而求得 a、b的值，最 后根据 ( )F m 的定义求出结果，关键在于数的代数表达式，明白三位数的表达式为 100 10a b c  即可根据定义运算． 【详解】解： 432 的各个数位上的数字分别 3 倍后再取个位数字分别是：2，9，6，   2 2 2432 6 9 2 121F     ； ∵ 4 100 40 101 40p a a a a a      ， 2 2 2 100 10 2 202 10q b b b       ， 答案第 9页，共 18页 ∴    101 40 202 10 101 10 242 7 15 35 4 3 3p q a b a b a b a b               ∵ p q 能被 7 整除， ∴ 4 3 3a b   是 7 的倍数 ∵ ,a b为整数，且 2 5,2 5a b    ， ∴ 17 4 3 3 4a b      ， ∴ 4 3 3 7a b     或 14 ， ∴ 4 4 3 ab   或 11 4 3 ab   ， ∵ ,a b均为整数， ∴ 4, 4a b= = 或 5, 3a b  ∴ 545, 232p q  或 444, 242p q  ， ∴ 777p q  或 686p q  ， ∴当 777p q  ， 2 2 2( ) 1 1 1 3F p q     ， 当 686p q  ， 2 2 2( ) 8 4 8 144F p q     ， ( )F p q  的最大值为 144． 故答案为：121，144． 19．(1) 4 6 (2) 6 5 45 【分析】（1）利用二次根式的乘除法则运算即可得； （2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可得． 【详解】（1）解：原式= 148 3 12 2 6 2     = 16 6 2 6  = 4 6 （2）解：原式= 49 48 (45 6 5 1)    =1 46 6 5  = 6 5 45 【点睛】本题考查了二次根式的计算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握这些 答案第 10页，共 18页 知识点． 20． 4 【分析】本题考查了平方根、立方根．熟练掌握这两个定义是解题的关键．如果一个数的平 方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根；如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立 方根． 根据立方根、平方根的定义求出 a、b的值，再计算 2a b ，最后求平方根即可． 【详解】解：∵ 5 2a  的立方根是 3， ∴ 5 2 27a   ． ∴ 5a  ． ∵ 3 2b  的平方根是 4 ， ∴ 3 2 16b   ． ∴ 6b  ． ∴ 2 2 5 6 16a b     ． 而 16 的平方根是 4 ， 所以 2a b 的平方根是 4 ． 21．(1)图见解析， 1A  2, 3 ， 1B  3, 1 ， 1C  2,1 (2)见解析 (3)6 【分析】本题考查的是作图-轴对称变换，熟知关于 x 轴对称的点的坐标特点是解答此题的 关键． （1）分别作出各点关于 x 轴的对称点，再顺次连接即可；根据各点在坐标系中的位置写出 各点坐标即可； （2）作点 A 关于 y 轴的对称点 A，连接 A B 交 y 轴于点 P，点 P 即为所求； （3）利用割补法即可得到三角形的面积． 【详解】（1）解：如图所示， 1 1 1A BC△ 即为所求； 1A 的坐标  2, 3 ，  1 3, 1B  ，  1 2,1C  ； （2）解：如图所示，点 P即为所求； 答案第 11页，共 18页 （3）解： 1 13 2 3 2 6 2 2ABC ABD BCD S S S           ． 22．(1)84,88 (2)八年级的成绩较好，理由见解析 (3)估计七、八年级可以获得奖励的学生总人数为 380 人 【分析】本题考查求中位数和众数，利用样本估计总体： （1）根据中位数和众数的确定方法，求出 ,a b的值即可； （2）利用中位数和众数进行分析即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【详解】（1）解：七年级位于中间位置的数据为：84 ， ∴ 84a  ， 八年级出现次数最多的数据为：88 ， ∴ 88b  ； 故答案为：84,88 ； （2）解：八年级的成绩较好，理由如下： 两个年级的平均数相同，八年级的中位数和众数均比七年级高，所以八年级的成绩较好． （3）解： 4 5600 660 380 15 15     （人）； 答：估计七、八年级可以获得奖励的学生总人数为 380 人． 23．(1)  230 20 2 m (2) 465.6 元 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算的实际应用， 答案第 12页，共 18页 （1）由题意得正方形绿地的面积为 2( 50 2) ，然后用正方形面积减去 4 个矩形的面积即可 计算出通道的面积； （2）根据“通道上要铺上造价为 8 元 / 平方米的地砖”即可求出购买地砖需要的花费 根据题意求出通道的面积是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，通道的总面积为：     250 2 4 7 1 7 1    50 4 4 50 4 6      230 20 2 m  （2）由（1）小问可知：通道的总面积为：  230 20 2 m 购买地砖需要花费：  8 30 20 2 240 160 2 240 160 1.41 465.6        （元） 24．(1)9 (2)点 C 的坐标为  0, 1 或 (0 )7， (3)点 ( 6 3 5,0)P   或 ( 6 3 5,0)P   【分析】（1）先求出点 A ，点 B坐标，由三角形的面积公式可求解； （2）由三角形的面积公式可求解； （3）由勾股定理可求 AB的长，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线 1 3 2 y x  与 x轴相交于点 A ，与 y轴相交于点 B， 点 ( 6,0)A  ，点 (0,3)B ， 6AO  ， 3BO  ， AOB 的面积 1 9 2 AO BO    ； （2）解：设点 (0, )C y ， ABC∵ 的面积是 12，  1 12 2 OA BC   ，  1 6 | 3 | 12 2 y    ， 1 1y   ， 2 7y  ， 答案第 13页，共 18页 点C坐标为 (0, 1) 或 (0,7)； （3）解： 6AO ∵ ， 3BO  ， 2 2 36 9 3 5AB OA OB      ， 3 5AB AP   ， 点 ( 6 3 5,0)P   或 ( 6 3 5,0)  ． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式，勾股定理等知识， 解答此题的关键是熟知一次函数与坐标轴的交点坐标的求法． 25．（1）3.5；（2）图见解析， 3ABCS △ ；（3） 5ABCS mn△ 【分析】本题考查了勾股定理及收纳教学面积求法，根据题意正确画出 ABCV 是解题的关键． （1）利用恰好能覆盖 ABCV 的边长为 3 的小正方形的面积减去三个小直角三角形的面积即 可解答； （2）根据题目中所给的构图法构造出符合所给数据的三角形，然后用（1）的方法求出格点 三角形的面积即可； （3）根据题目中所给的构图法构造出符合所给数据的三角形，然后用（1）的方法求出格点 三角形的面积即可． 【详解】解：（1） 1 1 13 3 3 1 2 1 3 2 3.5 2 2 2ABC S             ， 故答案为：3.5； （2）∵    2 2 25 5 4 1 2 1     ， ∴ 5 可以看作是两直角边长分别为 2 和 1 的直角三角形斜边长， 同理： 2 2 可以看作是两直角边长都是 2 的直角三角形斜边长， 17 以看作是两直角边长 是 4 和 1 的直角三角形斜边长，于是可以构造出格点三角形，如图 ABCV 即为所求， 1 1 12 4 4 1 2 1 2 2 3 2 2 2ABC S             ， 故答案为：3； 答案第 14页，共 18页 （3）∵    2 22 2 2 2 216 16 4m n m n m n     ， ∴ 2 216m n 可以看作是两直角边长分别为 m 和 4n的直角三角形斜边长， 同理： 2 29 4m n 可以看作是两直角边长分别是 3m和 2n的直角三角形斜边长， 2 22 m n 可以看作是两直角边长是 2m和 2n的直角三角形斜边长，于是可以构造出格点三角形，如图 ABCV 即为所求， ∴ 1 1 13 4 4 3 2 2 2 5 2 2 2ABC S m n m n m n m n mn           △ ． 故答案为： 5mn． 26．（1）见解析；（2） 1 1 2 2 y x  ；（3） ( 1, 3)  或 (4, 2) 或 ( 4, 6)  或 (1, 1) 【分析】本题考查一次函数综合应用，待定系数法，全等三角形判定与性质，等腰直角三角 形性质及应用等； （1）由CE ED ，AD ED ，得 90CEB BDA   ，又 90ABC  ，可得 CBE BAD  ， 根据 AAS 可证 CEB BDA ≌ ； （2）过点 B作CB AB 交 2l 于点C，过点 B作平行于 x轴的直线 ,l 过点 A 、点C分别作直 线 l的垂线，垂足分别为D、 E，由将直线 1l 绕点 A 顺时针旋转 45至直线 2l ，可得 45BAC  ， ABC 是等腰直角三角形，即可得  AASCEB BDA ≌ ，有CE BD ， BE AD ，求出  1,0A ，  0, 3B  ，可得点C 的坐标为  3, 2  ，用待定系数法得直线 2l 的 函数表达式为 1 1 2 2 y x  ； （3）求出  0,4C ，设  ,0P m ，又  , 2D a a  ，分当 P、D、C为直角顶点时，根据全等三 角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明： CE ED∵ ， AD ED ， 90CEB BDA   ， 答案第 15页，共 18页 90ABC  ∵ ， 180 90 90ABD CBE      ， 90ABD BAD   ∵ ， CBE BAD  ， 在 CEB 和 BDA 中， CEB BDA CBE BAD CB BA         ，  AASCEB BDA ≌ ； （2）解：如图，过点 B作CB AB 交 2l 于点C ，过点 B作平行于 x轴的直线 l，过点 A 、点 C 分别作直线 l的垂线，垂足分别为D、 E， ∵将直线 1l 绕点 A 顺时针旋转 45至直线 2l ， 45BAC  ， 90CBA  ∵ ， ABC 是等腰直角三角形， AB CB  ， 同（1）可得，  AASCEB BDA ≌ ， CE BD  ， BE AD ， ∵直线 1l ： 3 3y x  与 x轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B，  1,0A ，  0, 3B  ， 1CE BD   ， 3BE AD  ， 点C 的坐标为 ( 3 ， 2) ， 设 2l 的函数表达式为 y kx b  ，将  3, 2C   ，  1,0A 代入 y kx b  得： 答案第 16页，共 18页 2 3 0 k b k b        ， 解得： 1 2 1 2 k b        ， 直线 2l 的函数表达式为 1 1 2 2 y x  ； （ 3）解： CPD 能成为等腰直角三角形，理由如下： 在 2 4y x   中，令 得 4y  ，  0,4C ， 设  ,0P m ，又  , 2D a a  ， 当 P为直角顶点时，过D作DH x 轴于 H ，如图： 90HDP HPD CPO   ∵ ， 90DHP POC     ，DP CP ，  AASDHP POC ≌ ， DH OP  ， 4PH OC  ，  ( 2) 4 a m m a       ， 解得 1 3 a m     ，  1, 3D   ； 当D为直角顶点时，过D作 RS x∥ 轴交 y 轴于 R ，过 P 作PS RS 于S ，如图： 答案第 17页，共 18页 同理可得  AASCDR DPS ≌ ， DR PS  ，CR DS ，  ( 2) 4 ( 2) a a a m a         ， 解得 1 6 a m    ，  1, 1D  ； 当C为直角顶点， P在 x轴负半轴时，过D作DT x 轴于T ，如图： 90PCO OCD CDT   ∵ ， 90COP DTC     ， DP CP ，  AASCOP DTC ≌ ， OP CT  ， 4OC DT  ，  4 ( 2) 4 m a a       ， 解得 4 2 a m     ，  4,2D ； 当C为直角顶点， P在 x轴正半轴时，过D作DW y 轴于W ，如图： 答案第 18页，共 18页 同理可得  AASCDW PCO ≌ ， 4DW OC   ，CW OP ，  4 4 ( 2) a a m       ， 解得 4 10 a m     ，  4, 6D   ； 综上所述，当点D的坐标为  1, 3  或  4, 2 或  4, 6  或  1, 1 时， CPD 为等腰直角三角 形．