第三章圆同步练习2024-2025学年 北师大版数学九年级下册

第三章圆 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，是的直径，，分别与相切于点，点，若，，则的长为(   ) A．1 B．2 C． D． 2．如图，在中，为直径，为弦，点C为弧的中点，以点C为切点的切线与的延长线交于点E，连接交于点F， 若，，则的长度为（   ） A．3 B． C．4 D． 3．如图，正六边形螺帽的边长为2，则这个螺帽的面积是（    ）      A． B．6 C． D． 4．如图，AB为圆O的直径，BC为圆O的一弦，自O点作BC的垂线，且交BC于D点．若AB=16，BC=12，则△OBD的面积为何？（　　） A．6 B．12 C．15 D．30 5．一个正三角形和一个正六边形的面积相等，则它们的边长比为（　　） A．﹕1 B．﹕1 C．﹕1 D．﹕1 6．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，D是以点为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 7．如图，已知圆心角∠BOC＝120°，则圆周角∠BAC的大小是（ ） A．60° B．80° C．100° D．120° 8．如图，为的直径，，则（    ） A． B． C． D． 9．如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD是∠BAC的角平分线，且AD＝6，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，交AC于点F，将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高为（　　） A．2 B． C．4 D． 10．如图，PA 、PB是⊙O的切线，A、 B 为切点，OP交AB于点D，交⊙O于点C , 在线段AB、PA、PB、PC、CD中，已知其中两条线段的长，但还无法计算出⊙O直径的两条线段是（   ） A．AB、CD B．PA、PC C．PA、AB D．PA、PB 11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E，若CD＝，则图中阴影部分面积为（  　） A． B． C． D． 12．如图，切于，切于，交于，连接，下列结论中，错误的是（　　）．    A． B． C． D．以上都不对 二、填空题 13．如图，AB是⊙o的直径，CD是弦，若AB=10cm，CD=8cm ,那么A、B两点到直线CD的距离之和为 . 14．如图，直径的半圆，绕点B顺时针旋转，此时点A到了点，则图中阴影部分的面积的是 （结果保留）    15．能够重合的两个圆是 ． 注意： 1）半径 的两个圆是等圆； 2）同圆或等圆的半径 ． 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做 ． 注意： 1）等弧的长度一定 ； 2）长度相等的弧是等弧． 16．已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为 ． 17．如图，四边形和均为正方形，且点，，在半圆的弧上，点，，在半圆的直径上，点，，在一条直线上，若半圆的半径为，则阴影部分的面积为 ． 三、解答题 18．如图，为的切线，C为切点，D是上一点，过点D作，垂足为F，交于点E，连接并延长交于点G，连接，已知E为弧的中点．    (1)若的直径为10，求的长； (2)试探究出与之间的数量关系，并说明你的结论（用两种方法证明） 19．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，其中点、、、均为格点，过点，，的圆弧与线段交于点．仅用无刻度的直尺，按要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，确定所在圆的圆心． (2)在图②中的上，确定点，使． (3)若每个小正方形的边长均为1，则图②中的长为 ． 20．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽，为16米，拱高为4米． (1)求桥拱的半径； (2)若大雨过后，洪水泛滥到河面宽度为12米时，求水面涨高了多少？ 21．筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹筒，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿射线方向泻至水渠，水渠所在直线与水面平行．设筒车为，与直线交于P，Q两点，与直线交于B，C两点，恰有，连接． (1)求证：为的切线； (2)筒车的半径为，，．当水面上升，A，O，Q三点恰好共线时，求和的度数； (3)在（2）的条件下，直接写出筒车在水面下的最大深度（精确到．参考值：，）． 22．筒车是我国古代利用水利驱动的灌溉工具，如图所示 2，筒车按逆时针方向转动，每绕一圈需要，筒车与水面分别交于、，且． ，筒车的轴心距离水面的高度 长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，若以某个盛水筒 刚浮出水面时开始计算时间． (1)求筒车的半径； (2)盛水桶从刚浮出水面绕到离水面最高点时，求它走过的路径长： (3)拟修建接水槽，盛水桶绕至接水槽后自然翻落，水沿着接水槽流入农田． 所在直线与 相切，当盛水桶从浮出水面至绕到上用时时，求接水槽的长． 23．如图，为的直径，D为延长线上一点，过点D作的切线，切点为C，过点B作交的延长线于点E，连接． (1)求证：平分； (2)连接，交于点F，若，求的半径． 24．如图，是的外接圆，于，交于点， (1)求证：； (2)连结并延长交于点，延长交于，连结交于点，若平分， ①若，，求的长． ②连结，若，，求：关于的函数关系式及其定义域 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C A A B A D D D 题号 11 12 答案 C D 1．B 【分析】本题主要考查了圆周角定理、切线长定理、切线的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形，由切线长定理得出，结合推出是等边三角形，得到，，由切线的性质可得，从而得到，由圆周角定理可得，最后由余弦的定义可得，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，分别与相切于点，点， ， ， 是等边三角形， ，， 与相切于点， ， ， ， 是直径， ， ， ， 故选：B． 2．C 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，切线的性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，连接交于H，由切线的性质和垂径定理的推论得到，则由平行线分线段成比例定理得到，据此求出，则，再利用勾股定理求出答案即可． 【详解】解：如图所示，连接交于H， ∵是切线， ∴， ∵点C为弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．C 【分析】此题主要考查正多边形的计算问题，解题的关键是正确的构造直角三角形，然后求出长，然后求出面积即可． 【详解】解：设正六边形的中心是O，一边是，则，，过O作于，    如图，在中，，， ∴，， ∴． 这个正六边形的面积． 故选：C． 4．A 【详解】试题分析： ∵OD⊥BC， ∴BD=CD=BC=×12=6， 在Rt△BOD中，∵OB=AB=8，BD=6， ∴OD==2， ∴S△OBD=OD•BD=×2×6=6． 考点：垂径定理；勾股定理． 5．A 【分析】根据题意画出图形，分别设出边长并表示出面积后即可利用面积相等得到答案． 【详解】设正三角形的边长为a，则正六边形的边长为b； （1）过A作AD⊥BC于D，则∠BAD=30°， AD=AB•cos30°=a•=a， ∴S△ABC=BC•AD=×a×a=a2； （2）连接OA、OB，过O作OD⊥AB； ∵∠AOB==60°， ∴∠AOD=30°， OD=， ∴S△OAB=， ∴S六边形=6S△OAB=6×=， ∵S△ABC=S六边形 ∴a2= 解得：a：b=：1 故选A． 【点睛】本题考查了正三角形及正六边形的性质，解答此题的关键是根据题意画出图形，结合正多边形的性质解答． 6．B 【分析】根据抛物线解析式即可得出A点与B点坐标，结合题意进一步可以得出BC长为5，利用三角形中位线性质可知OE=BD，而BD最小值即为BC长减去圆的半径，据此进一步求解即可. 【详解】∵， ∴当时，， 解得：， ∴A点与B点坐标分别为：(，0)，(3，0)， 即：AO=BO=3， ∴O点为AB的中点，   又∵圆心C坐标为(0，4)， ∴OC=4， ∴BC长度=， ∵O点为AB的中点，E点为AD的中点， ∴OE为△ABD的中位线， 即：OE=BD， ∵D点是圆上的动点， 由图可知，BD最小值即为BC长减去圆的半径， ∴BD的最小值为4， ∴OE=BD=2， 即OE的最小值为2， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了抛物线性质与三角形中位线性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 7．A 【详解】试题分析：因为圆心角∠BOC＝120°，圆周角为圆心角的一半，则圆周角∠BAC是60° 考点：圆心角和圆周角的关系． 点评：在圆中，一段弧所对应的圆周角是其所对应的圆心角的一半． 8．D 【分析】题目主要考查圆周角定理和三角形内角和定理，根据题意得出，然后利用三角形内角和定理求解，再由圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵为的直径， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选D． 9．D 【分析】设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，解得，然后利用勾股定理计算这个圆锥的高h． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为r， 根据题意得，解得， 这个圆锥的高， 故选D． 【点睛】本题主要考查了圆锥的侧面展开图和弧长公式，解题的关键在于能够熟练掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 10．D 【详解】A、构造一个由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，根据垂径定理以及勾股定理即可计算； B、根据切割线定理即可计算； C、首先根据垂径定理计算AD的长，再根据勾股定理计算PD的长，连接OA，根据射影定理计算OD的长，最后根据勾股定理即可计算其半径； D、根据切线长定理，得PA=PB．相当于只给了一条线段的长，无法计算出半径的长． 故选D． 11．C 【分析】连接，于H，如图，根据切线的性质得到，则四边形为矩形，由矩形的性质得出，则，接着计算出，，然后利用扇形的面积公式，利用图中阴影部分面积进行计算． 【详解】解：连接，过O作于H，如图， ，， ， 与相切于点D， ， ∴四边形为矩形， ， 在中，， ， 在中， ， ，， ∴图中阴影部分面积． 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了扇形面积的计算． 12．D 【分析】连接，，根据切线长定理可得，再证明，问题得解． 【详解】连接，，如图，    ∵切于，切于， ∴，即是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴，即平分， ∴，即A、B、C三项都正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了切线长定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握切线长定理，是解答本题的关键． 13．6cm. 【详解】试题分析：过O作OG⊥CD于G，连接OC，如图所示， ∵OG⊥CD，CD=8cm，∴G为CD的中点，即CG=DG=4cm， 在Rt△OCG中，OC=AB=5cm，CG=4cm，根据勾股定理得：OG==3cm， 又AE⊥EF，OG⊥EF，BF⊥EF，∴AE∥OG∥BF，又O为AB的中点，∴G为EF的中点，即OG为梯形AEFB的中位线，∴OG=（AE+BF），则AE+BF=2OG=6cm．故答案为6cm． 考点：1．垂径定理；2．勾股定理；3．梯形中位线定理． 14． 【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积，旋转的性质，根据旋转的性质可得，再由 进行求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∴ ， 故答案为：． 15． 等圆 相等 相等 等弧 相等 【解析】略 16． 【分析】本题考查扇形面积公式，根据扇形面积公式直接代入求解即可得到答案． 【详解】解：∵一个扇形的面积是，弧长是， ∴， 解得：， 故答案为：． 17． 【分析】如图，设半圆圆心为O，连接OF、OD，作OH⊥AD于H，根据垂径定理可得DH=AH=AD，利用勾股定理可求出DH的长，进而根据勾股定理可求出GF的长，根据S阴影=S半圆-S正方形ABCD-S正方形ECGF，即可得答案． 【详解】如图，设半圆圆心为O，连接OF、OD，作OH⊥AD于H， ∵四边形和均为正方形， ∴∠ADC=90°，∠FGC=90°， ∵OH⊥AD， ∴DH=AH=AD，四边形CODH是矩形， ∴OC=DH ∵OD=， ∴DH2+OH2=OD2，即DH2+（2DH）2=5， 解得：DH=1，（负值舍去） ∴AD=2，OC=DH=1， 在Rt△OGF中，GF2+OG2=OF2， ∵CG=GF， ∴GF2+（OC+GF）2=5， 解得：GF=1或GF=-2（舍去）， ∴S阴影=S半圆-S正方形ABCD-S正方形ECGF=-22-12=， 故答案为： 【点睛】本题考查矩形的判定于性质、正方形的性质、垂径定理及勾股定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧；熟练掌握垂径定理是解题关键． 18．(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）根据角之间的关系和边之间的关系得是等边三角形，在中，根据含30度角的直角三角形的性质即可得； （2）方法一：由为等边三角形，可得，在中，根据直角三角形的性质得，即； 方法二：连接，过点O作，垂足为H，根据题意得，四边形是矩形，所以，根据等边三角形的性质得，根据边之间的关系得CE=OE，根据HL得，即可得，由此即可得． 【详解】（1）解：如图所示，连接．    ∵，点E为弧的中点， ∴，， ∵为的切线，C为切点， ∴， ∴， ∵，垂足为F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． ∵的直径为10， ∴， ∵是的直径， ∴， 在中，，， ∴， ∴； （2）解：，证明如下 证明：方法一：如图所示，    ∵， ∴， ∴． ∵， ∴为等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∴在中，， ∴， 即； 方法二：如图所示，连接，过点O作，垂足为H，    ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即DE=2EH， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握这些知识点． 19．(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3) 【分析】（1）如图，连接交格线于，由为直径，弦的垂直平分线与直径的交点为，则即为圆心； （2）取格点，连接与弧交于，由等腰三角形的性质可得：，则即为所求； （3）如图，连接，交格线于，证明，，可得，；再利用弧长公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接交格线于，则即为圆心， （2）如图，取格点，连接与弧交于，则即为所求； （3）如图，连接，交格线于， ∵，， ∴， ∴，， ∴，； ∴的长为． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理的应用，勾股定理的应用，垂径定理的应用，弧长的计算，利用网格的特点作图，掌握以上基础知识是解本题的关键． 20．(1)桥拱的半径是10米； (2)水面涨高了2米． 【分析】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于圆半径的方程． （1）设桥拱的半径是米，由垂径定理求出（米，而米，由勾股定理得到，求出； （2）由垂径定理求出的长，由勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】（1）解：如图，半径，， 设桥拱的半径是米， ， （米， 拱高为4米， 米， ， ， ， 桥拱的半径是10米； （2）解：， （米， （米， （米， （米， 水面涨高了2米． 21．(1)见解析 (2)， (3) 【分析】（1）连接并延长交于，根据为的直径可以得到，继而得到，根据，，即可得到，即可证明为的切线； （2）根据，解出，根据为的直径得到，进而得出，，又根据得出，故可得到； （3）过作交于，交于，于是在等腰中，根据锐角三角函数求出长，进而求出最大深度． 【详解】（1）证明：连接并延长交于，连接，如图1， 为的直径， ， ， 又， ， ， ， 是的半径， 为的切线； （2）解：如图2所示， ，， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：过作交于，交于，如图3， 为等腰直角三角形， ， ， ． 【点睛】本题主要考查圆的切线的判断，等腰三角形、圆周角定理，锐角三角函数，掌握公式定理并且灵活应用是解题的关键． 22．(1)筒车的半径为 (2) (3)接水槽的长米 【分析】本题考查了垂径定理的应用，弧长公式，解直角三角形的应用； （1）连接，根据垂径定理可得，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解； （2）由（1）可得，进而得出点运动的圆心角为，根据弧长公式，即可求解； （3）依题意，筒每秒钟转．延长交于点，连接，，过点作于点，过点作于点，得到是等腰直角三角形，进而利用勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：如图2中，连接． ∵，， ∴， 在中，，， ∴， 答：筒车的半径为； （2）由（1）可得， ∴ ∴盛水桶从刚浮出水面绕到离水面最高点时，它走过的路径长为； （3）由筒车⊙O按逆时针方向转动，每绕一圈需要，可得筒每秒钟转． 如图所示，延长交于点，连接，，过点作于点，过点作于点, ∵当盛水桶从浮出水面至绕到上用时， ∴， .∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵所在直线与 相切，即， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 答：接水槽的长米． 23．(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，切线的性质，平行线的判定和性质，直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的性质等等： （1）连接，根据是切线，推出，进而得出，即可求证平分； （2）连接，通过证明，推出，设的半径为r，则，，，通过证明，得出，列出方程求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分； （2）解：连接， ∵，， ∴， ∴， 则， 设的半径为r，则，，， ∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：（负值舍去）， ∴的半径为4． 24．(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）延长交于点，连接，可得，由得，再根据等角的余角相等即可证明结论； （2）①连接，结合（1）的结论先证明，进而可得，，得出是等腰三角形，由等腰三角形三线合一性质得，继而得到垂直平分，证明，，再利用，解三角形即可； ②利用角平分线性质和面积比得出，由，得出，继而求出，再根据比例性质即可得出函数解析式． 【详解】（1）证明：如图，延长交于点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， 由（1）得：， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，即点为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； ②如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴点到、的距离相等， 设点到、的距离为，点到的距离为， ∴， ∴， ∴， ∵是的外接圆，， ∴在中，， ∴， ∴关于的函数关系式为． 【点睛】本题考查直角所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，角平分线的性质，锐角三角函数的应用，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点．利用相似三角形的性质和平行线进行等面积变换是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$