精品解析：甘肃省兰州市天庆实验中学2024-2025学年上学期八年级数学期中试卷

2024-2025 学年第一学期八年级数学期中考试卷 一、选择题：(本题满分36分，共有12道小题，每小题3分) 1. 下列各数中，不是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在下列四组数中，属于勾股数的是（ ） A. B. 3，4，5 C. 2，8，10 D. 1，， 4. 下列函数：①；②；③；④．其中一次函数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知：点与点关于轴对称，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 6. 若成立，则的值可以是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 3 7. 估算的值是在（） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 8. 若点，点是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 平面直角坐标系中，已知函数的图象经过点，则该函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论中，正确的有（　　） ①△ABC的三边长分别为a，b，c，若b2+c2＝a2，则△ABC是直角三角形； ②在Rt△ABC中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10； ③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形； ④若三角形的三边长之比为1：2：，则该三角形是直角三角形． A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 11. 有一个安装有进出水管的30升容器，水管单位时间内进出的水量是一定的，设从 某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，得到水量y(升) 与时间x(分)之间的函数关系如图所示．根据图象信息给出下列说法： ①每分钟进水5升；②当4≤x≤12时，容器中水量在减少； ③若12分钟后只放水，不进水，还要8分钟可以把水放完； ④若从一开始进出水管同时打开需要24分钟可以将容器灌满． 以上说法中正确的有(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点P，如图所示，若正方形的面积为28，，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：(本题满分12分，共有4道小题，每小题3分) 13. 若点在y轴上，则______． 14. 已知，则的算术平方根是_________． 15. 已知关于x的函数是正比例函数，则 ___________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，将矩形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点C恰好落在边上的点F处，若点D的坐标为，则点E的坐标为______． 三、解答题：（本大题共12小题，满分72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．） 17. 计算： 18. 计算： 19. 计算： 20. 实数，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简： 21. 某条道路的限速规定：轿车速度不得超过．如图，一辆轿车在该道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到距离路面检测仪A正前方的点C处．后，测得轿车行驶到点B，与检测仪之间的距离为，这辆轿车是否违章？请说明理由． 22. 已知与成正比例，当时，． （1）求出y与x的函数关系式； （2）试判断点是否在此函数图象上，说明理由． 23. 如图，在平面直角坐标系中，如图所示． （1）在图中作出关于 y轴的对称图形，并直接写出的坐标； （2）求出的面积． 24. 已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是 的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根 25. 某电信公司手机的类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须交月租费12元，另外，通话费按0.2元/min计． （1）写出每月应缴费用（元）与通话时间之间的关系式； （2）某手机用户这个月通话时间为，他应缴费多少元？ （3）如果该手机用户本月预缴了150元的话费，那么该用户本月可通话多长时间？ 26. 某体育馆在暑假期间推出“全民健身”优惠活动，设置两种套餐： 套餐一：按照运动次数收费； 套餐二：先交会员费，再将每次运动收费打折． 设运动次数为x，所需费用为y元，y与x之间的函数关系图象如图． （1）分别求出套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式； （2）去体育馆健身多少次时，两种套餐费用一样？费用是多少？ （3）小马准备300元去该体育馆办理套餐，选择哪种套餐划算？请说明理由． 27. 如图，A，B两个工厂位于一段直线形河的异侧，A厂距离河边，B厂距离河边，经测量，现准备在河边某处（河宽不计）修一个污水处理厂E． （1）设，请用x的代数式表示的长； （2）为了使两厂的排污管道最短，污水厂E的位置应怎样来确定？此时需要管道多长？ （3）根据（1）（2）中的规律和结论，请模仿图1在网格中（图2）构图并得出代数式的最小值为 ． 28. 如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点． （1）求B、C两点的坐标． （2）若点是第一象限内的直线上的一个动点，则当点A运动到什么位置（求出点A 的坐标）时，的面积是3． （3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025 学年第一学期八年级数学期中考试卷 一、选择题：(本题满分36分，共有12道小题，每小题3分) 1. 下列各数中，不是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，熟知无理数的定义是解题的关键：初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等． 【详解】解：由无理数的定义可知，B、C、D三个选项中的数都是无理数，A选项中的数是不是无理数， 故选：A． 2. 在平面直角坐标中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】横坐标小于0，纵坐标大于0，则这点在第二象限． 【详解】解：，， 在第二象限， 故选：B． 【点睛】本题考查了点的坐标，解题的关键是掌握四个象限内坐标的符号：第一象限：，；第二象限：，；第三象限：，；第四象限：，． 3. 在下列四组数中，属于勾股数的是（ ） A. B. 3，4，5 C. 2，8，10 D. 1，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数问题，若三个正整数满足两较小的数的平方和等于最大数的平方，那么这三个数是勾股数，据此求解即可． 【详解】解：A、这组数都不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； B、∵， ∴3，4，5是勾股数，符合题意； C、∵， ∴2，8，10不是勾股数，不符合题意； D、1，，这组数不都是正整数，故1，，不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 4. 下列函数：①；②；③；④．其中一次函数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的定义，理解和掌握一次函数的定义及表示形式是解题的关键． 一般地，形如是常数，且的函数，叫做一次函数，其中是自变量，当时，一次函数也叫正比例函数，仍是一次函数，由此即可求解． 【详解】解：根据一次函数的定义得，①是正比例函数；②，③，是一次函数， ④不是一次函数， 故一次函数共有3个， 故选：C． 5. 已知：点与点关于轴对称，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用关于轴对称点的性质得出，的值，进而求出即可． 【详解】点与点关于轴对称， ，， 解得：，， 则 故选：D． 【点睛】此题主要考查了关于轴对称点的性质，利用横纵坐标的关系得出参数的值是解题关键． 6. 若成立，则的值可以是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式需满足被开方数大于等于零，然后根据题意二次根式的性质列不等式求解即可． 本题主要考查二次根式的概念及性质、一元一次不等式组的解法，关键是根据二次根式的概念列出不等式组即可． 【详解】解：∵成立， ∴且且， 解得：， ∴的值可以是0． 故选：B 7. 估算的值是在（） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】C 【解析】 【分析】先估算出的取值范围，再得出的取值范围． 【详解】解：∵， 的值是在5和6之间； 故选：C． 【点睛】这道题主要考查了二次根式的估算，关键是要理解算术平方根与平方互为逆运算． 8. 若点，点是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据的，得出随的增大而减小进而分析得出答案．此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确掌握一次函数增减性是解题关键． 【详解】解：一次函数中，， 随的增大而减小， ∵点，点是一次函数图象上的两个点，且 ， 故选：B． 9. 平面直角坐标系中，已知函数的图象经过点，则该函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由a＞0判断出一次函数图像的走势，再由b＜0判断出图像与y轴的交点，最后由经过点（1，3）判断出正确图像． 【详解】解：∵a＞0， ∴y随x的增大而增大； ∵b＜0， ∴图像与y轴交于负半轴，故A项，C项不符合题意． ∵图象经过点P（1，3）． 故D项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查一次函数解析式中k、b的含义，熟练运用此含义是解题的关键． 10. 下列结论中，正确的有（　　） ①△ABC的三边长分别为a，b，c，若b2+c2＝a2，则△ABC是直角三角形； ②在Rt△ABC中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10； ③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形； ④若三角形的三边长之比为1：2：，则该三角形是直角三角形． A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理、勾股定理和三角形内角和逐个判断即可． 【详解】解：①△ABC的三边长分别为a，b，c，若b2+c2＝a2，则△ABC是直角三角形，选项说法正确； ②在Rt△ABC中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10或2，选项说法错误； ③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，根据三角形内角和是可得，，，则△ABC是直角三角形，选项说法正确； ④若三角形的三边长之比为1：2：，设三边分别为x，2x，，根据勾股定理的逆定理即可得到该三角形是直角三角形，选项说法正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理和三角形内角和，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键． 11. 有一个安装有进出水管的30升容器，水管单位时间内进出的水量是一定的，设从 某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，得到水量y(升) 与时间x(分)之间的函数关系如图所示．根据图象信息给出下列说法： ①每分钟进水5升；②当4≤x≤12时，容器中水量在减少； ③若12分钟后只放水，不进水，还要8分钟可以把水放完； ④若从一开始进出水管同时打开需要24分钟可以将容器灌满． 以上说法中正确的有(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象可以得到单独打开进水管4分钟注水20升，而同时打开放水管，8分钟内放进10升水，据此即可解答． 【详解】解：①每分钟进水=5升，则命题正确； ②当4≤x≤12时，y随x的增大而增大，因而容器中水量在增加，则命题错误； ③每分钟放水5-=5-1.25=3.75升， 则放完水需要=8（分钟），故命题正确； ④同时打开进水管和放水管，每分钟进水=1.25升，则同时打开需要将容器灌满需要的时间是=24（分钟），命题正确． 故选C． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，正确理解图象中表示的实际意义是关键． 12. 我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点P，如图所示，若正方形的面积为28，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，先证明，则，设，，根据勾股定理建立方程求出；再根据图形面积之间的关系，证明两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，再由中间正方形面积等于大正方形面积减去4个全等的直角三角形的面积列式计算即可． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴， 设， ∵， ∴， 中，由勾股定理得：， ∴， ∴，即， 设交于点M，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∵ ， ∴的值是； 故选：A． 二、填空题：(本题满分12分，共有4道小题，每小题3分) 13. 若点在y轴上，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系坐标轴上点的坐标特征．x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0． 【详解】解：∵点在y轴上， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 已知，则的算术平方根是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解不等式组，求一个数的算术平方根，先根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于求出x的值，进而求出y的值，再根据算术平方公式的定义即可求出答案． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根是， 故答案为:． 15. 已知关于x的函数是正比例函数，则 ___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，一般地，形如（其中a是常数且）的函数叫做正比例函数，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的函数是正比例函数， ∴， ∴， 故答案为：3． 16. 如图，在平面直角坐标系中，将矩形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点C恰好落在边上的点F处，若点D的坐标为，则点E的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，坐标的意义，得到， ，根据勾股定理，得到，，设，则，根据勾股定理解答即可． 【详解】解：∵长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点C恰好落在边上的点F处，点D的坐标为， ∴，， ，轴， ∴，， 设， 则，， ∴， 解得， 故， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共12小题，满分72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算算术平方根和立方根，再计算乘法，最后计算减法即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 18. 计算： 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以2，接着把方程两边同时开方，再解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或． 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先根据完全平方公式和平方差公式计算减号前面的式子，再根据二次根式的混合计算法则计算减号后面的式子，最后计算减法即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 20. 实数，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，实数与数轴，立方根；先由数轴得出，则，，再化简，然后合并同类项，即可作答． 【详解】解：由数轴得，， 则，， 故 ． 21. 某条道路的限速规定：轿车速度不得超过．如图，一辆轿车在该道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到距离路面检测仪A正前方的点C处．后，测得轿车行驶到点B，与检测仪之间的距离为，这辆轿车是否违章？请说明理由． 【答案】 这辆轿车违章，理由如下： 由题意得，， ∴， ∴汽车的速度为， ∵， ∴这辆轿车违章． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先利用勾股定理求出的长，进而求出汽车的速度，再与70比较即可得到结论． 【详解】略 22. 已知与成正比例，当时，． （1）求出y与x的函数关系式； （2）试判断点是否在此函数图象上，说明理由． 【答案】（1） （2） 解：不在． 理由如下：∵时，， ∴点不在函数的图象上． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，需要两组，的值．也考查了一次函数的性质．熟练掌握一次函数的性质是本题的关键． （1）根据正比例函数的定义，设，然后把已知的对应值代入求出，从而得到与的函数关系式； （2）根据一次函数图象上点的坐标特征进行判断． 【小问1详解】 解：设， 把，代入得， 解得，∴， ∴y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 略 23. 如图，在平面直角坐标系中，如图所示． （1）在图中作出关于 y轴的对称图形，并直接写出的坐标； （2）求出的面积． 【答案】（1） 如图所示： ∴ （2） 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换，三角形的面积，正确得出对应点位置、掌握关于坐标轴对称的坐标特征（关于轴对称点的坐标：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于轴对称点的坐标：纵坐标不变，横坐标互为相反数）是解题的关键． （1）直接利用关于轴对称点的性质得出对应点位置，再依次连接，进而得出答案； （2）利用所在长方形面积减去周围三角形面积即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积为：． 24. 已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是 的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，根据立方根和算术平方根求原数，无理数的估算，化简二次根式： （1）根据立方根和算术平方根的定义列出关于a、b的方程求出a、b的值，再根据无理数的估算方法求出c的值即可； （2）根据（1）所求先求出的值，再根据平方根的定义即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵的立方根是3， ∴， ∴； ∵的算术平方根是4， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴的平方根为． 25. 某电信公司手机的类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须交月租费12元，另外，通话费按0.2元/min计． （1）写出每月应缴费用（元）与通话时间之间的关系式； （2）某手机用户这个月通话时间为，他应缴费多少元？ （3）如果该手机用户本月预缴了150元的话费，那么该用户本月可通话多长时间？ 【答案】（1） （2）应缴费36元 （3）该用户本月可通话690 【解析】 【分析】本题考查了列函数关系式和求自变量和函数值，正确理解收费标准，列出函数解析式是关键． （1）根据每月应缴的费用是月租费通话费，即可写出解析式； （2）在解析式中，令，求得的值即可； （3）在解析式中令，求得即可． 【小问1详解】 ； 答：每月应缴费用（元与通话时间之间的关系式为， 【小问2详解】 当时，（元； 答：他应缴费36元． 【小问3详解】 当时，， 解得：． 答：该用户本月可通话690． 26. 某体育馆在暑假期间推出“全民健身”优惠活动，设置两种套餐： 套餐一：按照运动次数收费； 套餐二：先交会员费，再将每次运动收费打折． 设运动次数为x，所需费用为y元，y与x之间的函数关系图象如图． （1）分别求出套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式； （2）去体育馆健身多少次时，两种套餐费用一样？费用是多少？ （3）小马准备300元去该体育馆办理套餐，选择哪种套餐划算？请说明理由． 【答案】（1）套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式分别为：，； （2）去体育馆健身10次时，两种套餐费用一样，费用为200元； （3）300元去该体育馆办理套餐，选择套餐二更划算． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是待定系数法求一次函数表达式． （1）设套餐一函数表达式为，设套餐二函数表达式为，根据图像，分别代入即可作答； （2）根据图像，套餐一和套餐二的交点处，两种套餐费用一样，即，进而计算即可； （3）分别求出300元的套餐一和套餐二的健身次数，进而比较即可． 【小问1详解】 解：设选择套餐一时，y关于x的函数表达式为， 由题意，得， 解得， ∴， 设选择套餐二时，y关于x的函数表达式为， 把点和点分别代入， 即， 解得， ∴， ∴套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式分别为：，； 【小问2详解】 解：根据题意，当时，两种套餐费用一样， 即：， 解得， 此时， ∴去体育馆健身10次时，两种套餐费用一样，费用为200元； 【小问3详解】 解：办套餐一时，， 解得， 办理套餐二时，， 解得， ∵， ∴300元去该体育馆办理套餐，选择套餐二更划算． 27. 如图，A，B两个工厂位于一段直线形河的异侧，A厂距离河边，B厂距离河边，经测量，现准备在河边某处（河宽不计）修一个污水处理厂E． （1）设，请用x的代数式表示的长； （2）为了使两厂的排污管道最短，污水厂E的位置应怎样来确定？此时需要管道多长？ （3）根据（1）（2）中的规律和结论，请模仿图1在网格中（图2）构图并得出代数式的最小值为 ． 【答案】（1） （2）连接，交于点E，此时即为污水厂E的位置； （3）构图如下： 最小值为5； 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，两点之间线段最短． （1）根据，则，根据勾股定理计算即可． （2）连接，交于点E，此时即为污水厂E的位置；过点B作，交的延长线于点F，利用勾股定理计算即可． （3）根据（1）（2）中的规律和结论，构图后求解即可． 【小问1详解】 ∵，，，， ∴， ∴，， 故． 【小问2详解】 连接，交于点E，此时即为污水厂E的位置； 过点B作，交的延长线于点F， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． 【小问3详解】 构图如下：，，，， ∴， 则， 根据题意，得当D，E，A三点共线时，取得最小值， ∴． 故答案为：5． 28. 如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点． （1）求B、C两点的坐标． （2）若点是第一象限内的直线上的一个动点，则当点A运动到什么位置（求出点A 的坐标）时，的面积是3． （3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）分别令x与y为0求出对应y与x的值，即可求出B、C两点的坐标； （2）根据三角形面积公式，可得的值，将代入直线，得到，即可确定出A的坐标； （3）在②成立的情况下，x轴上存在一点P，使是等腰三角形，分，，三种情况讨论． 【小问1详解】 解：直线与x轴、y轴分别交于B、C两点， 令，得到，即； 令，得到，即； 【小问2详解】 解：点是第一象限内的直线上，且， 由（1）知， ， ， 当时，， ； 【小问3详解】 解：在（2）成立的情况下，x轴上存在点P，使是等腰三角形， 设， ， ，，， 分三种情况考虑： 当时，即， 解得：或， 点P的坐标为或； 当时，即， 整理得：， 解得：， 点P的坐标为； 当时，即， 即， ， 解得：（舍去，不符合题意）或， 点P的坐标为； 综上，P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查一次函数综合，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $