精品解析：黑龙江省哈尔滨市德强学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024－2025年上学期期中学情检测九年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 的相反数是（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相反数的性质，互为相反数的两个数的和为0即可求解． 【详解】解：因为-+＝0， 所以-的相反数是． 故选：D． 【点睛】本题考查求一个数的相反数，掌握相反数的性质是解题关键． 2. 下列各点，在抛物线的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】该题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数顶点式． 根据二次函数的顶点坐标为，即可解答． 【详解】解：根据抛物线解析式为， 可得抛物线顶点为， 故在抛物线的图象上， 故选：B． 3. 中国土地面积约为，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：A． 4. 下列函数中属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义及表达式是解题的关键． 根据二次函数的一般式进行判定即可求解． 【详解】解：A、是二次函数，符合题意； B、是一次函数，不是二次函数，不符合题意； C、不是二次函数，不符合题意； D、是反比例函数，不是二次函数，不符合题意； 故选：A ． 5. 在反比例函数的图象的每一个分支上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ） A. k＞1 B. k＞0 C. k≥1 D. k＜1 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，当反比例函数的系数大于0时，在每一支曲线上，y都随x的增大而减小，可得k﹣1＞0，解可得k的取值范围． 【详解】解：根据题意，在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小， 即可得k﹣1＞0， 解得k＞1． 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大． 6. 在中，，下列选项中的关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据三角函数的定义即可作出判断． 【详解】解：在中，， ∴，，，，故A、B、C错误， ，故D正确， 故选：D． 7. 如图，交于交于D，A，B，以下结论错误的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理推论，熟记并灵活运用平行线分线段成比例定理及推论是解题关键． 根据平行线分线段成比例定理推论逐项判断即可得． 【详解】解：由平行线分线段成比例定理推论得：，则A项正确； 由得：， ∴，即， ∴，则B项正确，C项错误； 由得：， ∴，即， ∴，则D项正确； 故选：C． 8. 如图，在中，E在上，若，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由题意可得，，证明，则，可求，则，然后求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，经过坐标轴的O、C、D三点，、，是的一条弦，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，求角的正弦值，圆周角定理，先根据勾股定理解求出，进而求出，再根据圆周角定理得出，即可得出的值． 【详解】解：如图，连接， ，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 10. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列五个结论中： ①2a﹣b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＞0；⑤4a+2b+c＞0， 错误的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，利用图象将x=1，﹣1，2代入函数解析式判断y的值，进而对所得结论进行判断： 【详解】解：①∵由函数图象开口向下可知，a＜0，由函数的对称轴＜0得b＞0，∴2a﹣b＜0，①正确； ②∵a＜0，对称轴在y轴左侧，a，b同号，图象与y轴交于负半轴，则c＜0，∴abc＜0；②正确； ③当x=1时，y=a+b+c＜0，③正确； ④当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，④错误； ⑤当x=2时，y=4a+2b+c＜0，⑤错误； 故错误的有2个． 故选B． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数：中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须，即． 故答案为：． 12. 已知函数是二次函数，则m等于______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义得出且，求出即可．解题的关键是能熟记二次函数的定义即：表示形式为． 【详解】解：函数是二次函数， 且， 解得：． 故答案为：2． 13. 若反比例函数的图象经过第二、四象限，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数上中，当时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随的增大而增大是解答此题的关键． 根据图象经过第二、四象限得出k的取值范围即可． 【详解】解：反比例函数的图象经过第二、四象限， ， 故答案为：． 14. 抛物线的顶点的横坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由题意知，顶点坐标为，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，顶点坐标为， 故答案为：． 15. 半径为9的扇形的弧长，则扇形的面积为______．（保留π） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查扇形的面积公式，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 根据扇形面积公式可直接进行求解． 【详解】解：由题意得： 扇形的面积为； 故答案为：． 16. 将二次函数化为的形式为________. 【答案】； 【解析】 【分析】利用配方法整理即可得解； 【详解】解：（1）y=x2-2x+5=x2-2x+1+4 =（x-1）2+4， 故答案为：（x-1）2+4． 【点睛】本题考查了二次函数的三种形式的转化，二次函数的性质，熟练掌握配方法是解题的关键． 17. 如图,正方形ABCD内接于⊙O,点E在上,则∠BEC=_______°. 【答案】45 【解析】 【详解】连接OB、OC， ∵O是正方形外接圆的圆心， ∴∠BOC=90°， ∴∠BEC=∠BOC=45°． 18. 在矩形中，点E在直线上，，若，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、余弦值以及分类讨论等知识；分两种情况：①点E在边上时，根据题意求出，②点E在边的延长线时，根据题意求出，,即可得出答案． 【详解】解：分两种情况： ①点E在边上时， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴； ②点E在边的延长线时， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴； 故答案为：或． 19. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为_____． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，由图知，抛物线与x轴交于，代入求出m的值，再解方程即可． 【详解】解：由图知，抛物线与x轴交于点， 将代入，得， ∴， ∴原方程为， 解得：，． 故答案为：，． 20. 如图，在等边三角形中，D是上的点，连接，，P在上，连接，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查求角的正切值，等边三角形的性质以及勾股定理等知识，过点A作交的延长线于点H，求出，，过点A作于点G，求出，过点P作于点Q，运用等积关系得出，由勾股定理得出，再求出的正切值即可． 【详解】解：过点A作交的延长线于点H，如图， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴； 过点A作于点G， ∴即 ∴， 又, ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 又， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴， 过点P作于点Q， ∴ ∴ ∴； 在中，， ∴， 故答案为：． 三、解答题：（21题、22题每题7分，23、24题每题8分，25－27题每题10分，共60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中. 【答案】； . 【解析】 【分析】根据分式的运算法则把所给的分式化简，再求得x的值，代入计算即可. 【详解】原式 当 = 原式 【点睛】本题考查了分式的化简求值，根据分式的运算法则把所给的分式化为最简分式是解决问题的关键. 22. 如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，各个小正方形的顶点称之为格点，点、、、均在格点上，根据不同要求，选择格点，画出符合条件的图形： （1）在图1中，画一个以为一边的，使（画出一个即可）； （2）在图2中，画一个以为一边的，使，并直接写出线段的长． 【答案】（1） 如图1，为所作； ； （2）如图2，为所作， ． 【解析】 【分析】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． （1）利用网格特点，在水平格线上，为的正方形的对角线； （2）由于，则在含的直角三角形中，满足对边与邻边之比为即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：． 23. 为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制成图1和图2两幅尚不完整的统计图． （1）本次抽测的男生有________人，抽测成绩的众数是_________； （2）请你将图2中的统计图补充完整； （3）若规定引体向上5次以上（含5次）为体能达标，则该校350名九年级男生中估计有多少人体能达标？ 【答案】（1）50，5次； （2）如图； （3）该校350名九年级男生约有252人体能达标． 【解析】 【分析】（1）用4次的人数除以所占百分比即可得到总人数，人数最多的次数即为该组数据的众数； （2）用总人数减去其他各组的人数即可得到成绩为5次的人数； （3）用总人数乘以达标率即可得到达标人数． 【详解】（1）50，5次． （2）略 （3）（人）． 答：该校350名九年级男生约有252人体能达标． 【点睛】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；众数，本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 24. 如图，已知在矩形中，E是上一点，连接，将沿翻折，使B落到F处，延长交延长线于G． （1）求证：． （2）若，则的长为______． 【答案】（1） 证明：由折叠得：， ∵四边形是矩形， ， ， ， ． （2）6 【解析】 【分析】（1）证明，根据等角对等边可得：； （2）设，则，在中，由勾股定理列方程可得的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ， ，， ， 由折叠得：，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是翻折变换的性质、角的正切、等腰三角形的判定，矩形的性质和勾股定理的应用，解题的关键是掌握以上知识点． 25. 某市对一段全长2000米的道路进行改造．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，若每天修路比原计划提高效率，就可以提前5天完成修路任务． （1）求修这段路计划用多少天？ （2）有甲、乙两个工程队参与修路施工，其中甲队每天可修路120米，乙队每天可修路80米，若每天只安排一个工程队施工，在保证至少提前5天完成修路任务的前提下，甲工程队至少要修路多少天？ 【答案】（1）25 （2）10 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设原计划每天修米，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设甲工程队要修路天，则乙工程队要修路天，根据题意列出一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设原计划每天修米，由题意得， 解得， 经检验是原分式方程的解，且符合题意， 则（天） 答：修这段路计划用25天； 【小问2详解】 解：设甲工程队要修路天，则乙工程队要修路天， 根据题意得． 解得， 答：甲工程队至少要修路10天． 26. 如图，的外接圆是，点E是上一点，连接交于点D，． （1）如图1，求证： （2）如图2，点F是中点，连接并延长分别交于点G、H．求证： （3）如图3，在（2）的条件下，与交于点K，点G是中点，点G也是中点，若半径为，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，． ∴， ∴； （2） 证明：∵点F是中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据，，得，即得； （2）根据，得，结合，得，推出，即得； （3）过点O作于点M，连接，证明四边形是平行四边形，得到，得，得到，得到，得，证明，得，得，得，得， 即得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 过点O作于点M，连接， 则， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理，三角形外角性质，垂径定理推论，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度的直角三角形的判定和性质，是解题的关键． 27. 如图，平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，点在轴上，点在第四象限，连接、、、，． （1）求点的坐标． （2）若点的横坐标为，纵坐标设四边形的面积为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． （3）在的条件下，点在直线上，点的横坐标为，，，点在线段上，交轴于点，连接、、、，得到菱形，交轴于点，交于点，求值及的长． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设点的坐标为，，，由，得，解方程即可； （2），由点的坐标为，而，再由，代入即可化简结果； （3）过点作于点，设点的纵坐标为，由，得到，可求得，由，得，解得：或，则点的坐标为，过点作轴于点，过点作轴于点，证明，则，过点作轴于点，则，则，求出，，可证明，则，由，得，解得，而，故，则，那么，可求，则直线，故，而，同理可求直线，则，求出，那么． 【小问1详解】 解：设点的坐标为， 在中，，， ， 在中，，， ， ， ， 解得：， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：点的坐标为， ， 点的坐标为， ， ； 【小问3详解】 解：如下图所示，过点作于点， 设点的纵坐标为， ， ∴ ， 解得：， ， ， 整理得：， 解得：或， 点在第一象限， 点的坐标为， 过点作轴于点，过点作轴于点， ∵， ∴，而， ∴， ∵菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 过点作轴于点， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵菱形， ∴， ∴, ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 而， ∴， ∴， 设直线， 则， 解得：， ∴直线， 当时，则， 解得：， ∴， 而， 同理可求直线， 则， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，两点之间距离公式，待定系数法求一次函数解析式等知识点，难度大，综合性强，正确添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025年上学期期中学情检测九年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 的相反数是（　　） A. B. 2 C. D. 2. 下列各点，在抛物线的图象上的是（ ） A. B. C. D. 3. 中国土地面积约为，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 在反比例函数的图象的每一个分支上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ） A. k＞1 B. k＞0 C. k≥1 D. k＜1 6. 在中，，下列选项中的关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，交于交于D，A，B，以下结论错误的为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，E在上，若，则（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，经过坐标轴的O、C、D三点，、，是的一条弦，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列五个结论中： ①2a﹣b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＞0；⑤4a+2b+c＞0， 错误的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数：中，自变量x的取值范围是_____． 12. 已知函数是二次函数，则m等于______． 13. 若反比例函数的图象经过第二、四象限，则的取值范围是____________． 14. 抛物线的顶点的横坐标是______． 15. 半径为9的扇形的弧长，则扇形的面积为______．（保留π） 16. 将二次函数化为的形式为________. 17. 如图,正方形ABCD内接于⊙O,点E在上,则∠BEC=_______°. 18. 在矩形中，点E在直线上，，若，则______． 19. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为_____． 20. 如图，在等边三角形中，D是上的点，连接，，P在上，连接，若，则______． 三、解答题：（21题、22题每题7分，23、24题每题8分，25－27题每题10分，共60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中. 22. 如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，各个小正方形的顶点称之为格点，点、、、均在格点上，根据不同要求，选择格点，画出符合条件的图形： （1）在图1中，画一个以为一边的，使（画出一个即可）； （2）在图2中，画一个以为一边的，使，并直接写出线段的长． 23. 为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制成图1和图2两幅尚不完整的统计图． （1）本次抽测的男生有________人，抽测成绩的众数是_________； （2）请你将图2中的统计图补充完整； （3）若规定引体向上5次以上（含5次）为体能达标，则该校350名九年级男生中估计有多少人体能达标？ 24. 如图，已知在矩形中，E是上一点，连接，将沿翻折，使B落到F处，延长交延长线于G． （1）求证：． （2）若，则的长为______． 25. 某市对一段全长2000米的道路进行改造．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，若每天修路比原计划提高效率，就可以提前5天完成修路任务． （1）求修这段路计划用多少天？ （2）有甲、乙两个工程队参与修路施工，其中甲队每天可修路120米，乙队每天可修路80米，若每天只安排一个工程队施工，在保证至少提前5天完成修路任务的前提下，甲工程队至少要修路多少天？ 26. 如图，的外接圆是，点E是上一点，连接交于点D，． （1）如图1，求证： （2）如图2，点F是中点，连接并延长分别交于点G、H．求证： （3）如图3，在（2）的条件下，与交于点K，点G是中点，点G也是中点，若半径为，求的长． 27. 如图，平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，点在轴上，点在第四象限，连接、、、，． （1）求点的坐标． （2）若点的横坐标为，纵坐标设四边形的面积为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． （3）在的条件下，点在直线上，点的横坐标为，，，点在线段上，交轴于点，连接、、、，得到菱形，交轴于点，交于点，求值及的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $