精品解析：福建省厦门市湖里中学2024-2025学年上学期八年级数学期中质量检测卷

湖里中学2024－2025学年上学期期中考试 八年级数学试卷 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分．每小题有四个选项，其中有且只有一个选项正确．） 1. 已知三角形两边的长分别是2和5，则此三角形第三边的长可能是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的第三边大于两边之差小于两边之和即可判断． 【详解】设三角形的第三边为m． 由题意：5-2＜m＜5+2， 即3＜m＜7， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握基本知识． 2. 正八边形的外角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了多边形的外角和，熟记多边形的外角和是是解题的关键．根据多边形的外角和都是即可得解． 【详解】解： 多边形的外角和都是， 正八边形的外角和为． 故选：B． 3. 下列计算正确的是（　　） A. x2+x＝x3 B. （﹣3x）2＝6x2 C. 8x4÷2x2＝4x2 D. （x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2 【答案】C 【解析】 【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 【详解】解：A.x2+x不能合并，故选项A错误； B.，故选项B错误； C.8x4÷2x2＝4x2，故选项C正确； D.（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣4y2，故选项D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查的是合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，平方差公式，掌握以上知识是解题的关键． 4. 如图，若，四个点B、E、C、F在同一直线上，，，则的长是（　　） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等解题即可． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∵． 故选：A． 5. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的性质，根据直角三角形中两个锐角互余求解即可，也是解题关键． 【详解】解：． 故选D． 6. 下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】解：A．不符合平方差公式的结构，不能用平方差公式分解因式，不符合题意； B．，故能用平方差公式分解因式，符合题意； C．不符合平方差公式的结构，不能用平方差公式分解因式，不符合题意； D．不符合平方差公式的结构，不能用平方差公式分解因式，不符合题意． 故选B． 7. 的三条高如图所示，边上的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形高的定义即可求解． 【详解】解：根据题意可得边上的高是， 故选D． 【点睛】本题考查了三角形高的定义（从三角形一个端点向它的对边所在的直线作一条垂线，三角形顶点和垂足之间的线段称三角形这条边上的高），灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 8. 如图，在中，交边于点．设的重心为，若点在线段上，则下列结论正确的是（ ） A. 平分 B. C. D. 的周长等于的周长 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形重心的定义．掌握三角形重心为三边中线的交点是解题关键．根据三角形重心的定义可知为中线，即可选择． 【详解】解：因为的重心为，点在线段上， 所以，故C符合题意； 不一定平分，不一定垂直，只有当时的周长等于的周长， 所以A、B、D都不符合题意． 故选C． 9. 下列图形阴影部分的面积能够直观地解释的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 根据完全平方公式的几何背景，结合面积之间的和差关系进行判断即可． 【解答】解：选项A中的阴影部分的面积可以用来解释， 故选：A． 10. 如图，两面镜子的夹角为，当光线经过镜子后反射，，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，平角的定义，掌握三角形内角和为和平角为是解题关键．根据，得出，根据，，得出，即可的解． 【详解】解：如图， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选A． 二．填空题（共6小题，第一小题每空2分，其余每小题4分，满分24分） 11. _______；_______． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】本题考查零指数幂，单项式乘单项式，根据零指数幂的定义和单项式乘单项式法则计算即可，也是解题关键． 【详解】解：，． 故答案为：1，． 12. 若，，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查同底数幂除法，利用同底数幂的除法法则，将转化为，再代入已知条件求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：3． 13. 已知三项式x2+1+是一个完全平方式，但是其中一项看不清了，你认为这一项应该是__________________（写出一个你认为正确的答案）. 【答案】2x或(-2x)（任选一个即可） 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：(x±1)2= x2+1±2x， 所以这一项应该是：2x或（-2x）， 故答案为2x或(-2x)（任选一个即可）. 【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 14. 如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，若S△ABD＝15，则CD＝______． 【答案】3 【解析】 【分析】过点D作DE⊥AB，根据三角形面积得出DE=3，再由角平分线的性质即可得出结果． 【详解】解：过点D作DE⊥AB，如图所示， ∵AB=10，S△ABD＝15， ∴， 解得：DE=3， ∵AD平分∠BAC， ∴CD=DE=3， 故答案为：3． 【点睛】题目主要考查角平分线的性质，理解题意作出相应辅助线，运用角平分线的性质是解题关键． 15. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解后，计算即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 16. 在直角三角形中，,过点C的直线为l，，，垂足分别为E、F，，则___________. 【答案】5或1 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键.根据垂直的定义得到，根据同角的余角相等得到，由已知即可证明，进一步即可得到答案. 【详解】解：如图1， ∵，，垂足分别为E、F， ∴， ∴， ∵在直角三角形中，, ∴， ∴， ∴， 又∵, ∴， ∴， ∴； 如图2， ∵，，垂足分别为E、F， ∴， ∴， ∵在直角三角形中，， ∴， ∴， ∴， 又∵, ∴， ∴， ∴； 故答案为：5或1 三．解答题（共7小题，共86分） 17. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键： （1）利用提公因式法进行因式分解即可； （2）先利用乘法公式进行计算，合并同类项后，再用完全平方公式法因式分解即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式． 18. 如图，点C是线段的中点，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵点C是线段的中点， ∴， 在与中， ∴． 【解析】 【分析】先证明，然后得到，利用证明两个三角形全等即可． 【详解】略 【点睛】本题考查的是平行线的性质，全等三角形的判定，掌握“利用证明两个三角形全等”是解本题的关键． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，7 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值，掌握整式的混合运算是解题关键．根据整式的混合运算法则即可化简，再将代入化简后的式子求值即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 20. 若（且是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： （1）如果，求的值； （2）如果，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握幂的相关运算法则，正确的列出方程是解题的关键： （1）先将等式左边化为底数为2的同底数幂的运算，根据题干给的结论得到关于的方程，进行求解即可； （2）逆用积的乘方法则，再根据题干给的结论进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，公园有一条“Z”字形道路ABCD，其中AB∥CD，在E，M，F处各有一个小石凳，E、F分别在AB、CD上，且BE=CF，M为BC的中点，请问三个小石凳是否在一条直线上？说出你推断的理由． 【答案】 三个小石凳在一条直线上． 证明如下：如图，连接EM，MF， ∵M为BC中点， ∴BM=MC. 又∵AB∥CD， ∴∠EBM=∠FCM. 在△BEM和△CFM中， BE=CF，∠EBM=∠FCM，BM=CM， ∴△BEM≌△CFM(SAS)， ∴∠BME=∠CMF， 又∠BMF+∠CMF=180∘， ∴∠BMF+∠BME=180∘， ∴E，M，F在一条直线上. 【解析】 【分析】根据题意可以转化为证明,也就需要证明这两个角所在的三角形全等.围绕已知,找全等的条件. 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的应用;关键是要把题目的问题转化为证明角相等,进而借助线段BC得到结论,说明E,M,F在一条直线上. 22. 如图，在中， （1）尺规作图：作出，使得，其中点在线段上，点在点上方； （2）判断线段与的关系，并说明理由． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） ，，理由如下： 设交于点， 由（1）知：，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上：，． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，尺规作图—作一条线段等于已知线段，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）以为圆心，的长为半径画弧，交于点，分别以为圆心，和的长为半径画弧，两弧的交点即为点； （2）设交于点，作图可知，全等三角形的性质得到，，，进而求出，得到即可． 【小问1详解】 解：由作图可知：， ∴； 【小问2详解】 略 23. 【教材原题】观察图①，用等式表示下图中图形的面积的运算为______． 【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为______． 【应用】（1）根据图②所得的公式，若，，则______． （2）若x满足，求的值． 【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，，直接写出种草区域的面积和． 【答案】[教材原题] ；[类比探究] ； [应用]（1）90；（2）5；[拓展]12 【解析】 【分析】[教材原题]由题意知，； [类比探究]由题意知，； [应用]解：（1）将，代入，计算求解即可； （2）由题意知，，根据，计算求值即可； [拓展]由题意知，，，，由，可得，由，，可得，计算求出的值，根据种草区域的面积和为，计算求值即可． 【详解】[教材原题]解：由题意知，， 故答案为：； [类比探究]解：由题意知，， 故答案为：； [应用]解：（1）， 故答案为：90； （2）解：由题意知，， ∴， 故答案为：5； [拓展]解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴，解得，， ∴种草区域的面积和为， ∴种草区域的面积和为12． 【点睛】本题考查了完全平方公式在几何中的应用，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 24. 综合与实践 【结论发现】三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论探究】（1）如图1，在中，点是内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程； *请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】（2）如图2，在中，．延长至，延长至．已知的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于，求的度数； 【变式拓展】（3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状．已知． 【答案】 （1）证明：如图， ∵点E是内角平分线与外角的平分线的交点 ∴，， ∵，，， ∴， ∴； （2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形外角的性质及角平分线的定义，即可得到答案 （2）先推导出，再推导出，进而可以求解 （3）延长，交于点M，延长、交于点N，可得，进而即可求解 【详解】解：（1）略 （2）如图， ∵，、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于E、F， ∴， ∴； ∴； （3）延长，交于点M，延长、交于点N， 如图所示， ∵、平分 ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质，是解题关键． 25. 如图1，已知在四边形中，，点E、F分别是边上的点，连，． （1）直接写出、、三者之间的数量关系： ； （2）若，猜想线段、、三者之间有怎样的数量关系？并加以证明； （3）如图2，若点E、F分别是延长线上的点，且，其他条件不变时，猜想线段三者之间有怎样的数量关系？并加以证明 【答案】（1） （2） ． 证明：如图，延长到点，使，连接， ，， ， 在与中， ∵ ， ，， ， ， ， 在与中， ∵， ， ， 又， ． （3） ． 证明：如图，在线段上截取，使，连接． ，， ， 在与中， ∵ ， ，， ， ， ， 在与中， ∵， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）有，，即可求解； （2）延长到点，使，连接，证，得，，证，即可证明； （3）在线段上截取，使，连接．证，得，，证，即可证明； 【小问1详解】 ∵，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查三角形的全等证明综合应用，正确画出辅助线证构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖里中学2024－2025学年上学期期中考试 八年级数学试卷 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分．每小题有四个选项，其中有且只有一个选项正确．） 1. 已知三角形两边的长分别是2和5，则此三角形第三边的长可能是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 正八边形的外角和为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（　　） A. x2+x＝x3 B. （﹣3x）2＝6x2 C. 8x4÷2x2＝4x2 D. （x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2 4. 如图，若，四个点B、E、C、F在同一直线上，，，则的长是（　　） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 5. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 7. 的三条高如图所示，边上的高是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，交边于点．设的重心为，若点在线段上，则下列结论正确的是（ ） A. 平分 B. C. D. 的周长等于的周长 9. 下列图形阴影部分的面积能够直观地解释的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，两面镜子的夹角为，当光线经过镜子后反射，，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，第一小题每空2分，其余每小题4分，满分24分） 11. _______；_______． 12. 若，，则________． 13. 已知三项式x2+1+是一个完全平方式，但是其中一项看不清了，你认为这一项应该是__________________（写出一个你认为正确的答案）. 14. 如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，若S△ABD＝15，则CD＝______． 15. 计算：_______． 16. 在直角三角形中，,过点C的直线为l，，，垂足分别为E、F，，则___________. 三．解答题（共7小题，共86分） 17. 因式分解： （1）； （2）． 18. 如图，点C是线段的中点，，．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 若（且是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： （1）如果，求的值； （2）如果，求的值． 21. 如图，公园有一条“Z”字形道路ABCD，其中AB∥CD，在E，M，F处各有一个小石凳，E、F分别在AB、CD上，且BE=CF，M为BC的中点，请问三个小石凳是否在一条直线上？说出你推断的理由． 22. 如图，在中， （1）尺规作图：作出，使得，其中点在线段上，点在点上方； （2）判断线段与的关系，并说明理由． 23. 【教材原题】观察图①，用等式表示下图中图形的面积的运算为______． 【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为______． 【应用】（1）根据图②所得的公式，若，，则______． （2）若x满足，求的值． 【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，，直接写出种草区域的面积和． 24. 综合与实践 【结论发现】三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论探究】（1）如图1，在中，点是内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程； *请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】（2）如图2，在中，．延长至，延长至．已知的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于，求的度数； 【变式拓展】（3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状．已知． 25. 如图1，已知在四边形中，，点E、F分别是边上的点，连，． （1）直接写出、、三者之间的数量关系： ； （2）若，猜想线段、、三者之间有怎样的数量关系？并加以证明； （3）如图2，若点E、F分别是延长线上的点，且，其他条件不变时，猜想线段三者之间有怎样的数量关系？并加以证明 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $