第六章反比例函数培优训练 2024—2025学年北师大版数学九年级上册

第六章反比例函数培优训练北师大版2024—2025八年级上册秋季 一、反比例函数与相似三角形的综合 例1．如图，Rt△AOB中，∠AOB=90°，点A在双曲线y=（x＜0）上，点B在双曲线y=（x＞0）上． （1）若k=﹣2，求的值； （2）若∠OAB=30°，求k的值． 练习1.如图，矩形OABC顶点A、C分别在x、y轴上，双曲线分别交BC、AB于点D、E，连接DE并延长交x轴于点F，连接AC．下列结论： ①DE∥CA； ②S四边形ACDF＝k； ③若BD＝2CD，则AE＝2BE； ④若点E为DF的中点，且S△AEF＝3，则k＝12； 其中正确的有 　 　．（填写所有正确结论的序号） 练习2.如图，一次函数y＝k1x+b的图象过点A（0，3），且与反比例函数y＝的图象相交于B、C两点．若AB＝BC，则k1•k2的值为　 　． 练习3.如图，等边△OAB和等边△AFE的一边都在x轴上，双曲线y＝（k＞0）经过边OB的中点C和AE的中点D．已知等边△OAB的边长为4． （1）求该双曲线所表示的函数解析式； （2）求等边△AEF的边长． 练习4.如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（﹣1，2），AB⊥x轴于点E，正比例函数y＝mx的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，P两点． （1）求m，n的值与点A的坐标； （2）求证：△CPD∽△AEO； 练习5.如图，直线y＝ax+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y＝（x＞0）相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC＝2，点A的坐标为（﹣2，0）． （1）求双曲线的解析式； （2）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于H，当以点Q、C、H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标． 练习6.如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA，AB，且OA＝AB＝2． （1）求k的值； （2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，求的值． 二、反比例函数与一次函数的综合 例2．已知双曲线y＝（x＞0），直线l1：y﹣＝k（x﹣）（k＜0）过定点F且与双曲线交于A，B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），直线l2：y＝﹣x+． （1）若k＝﹣1，求△OAB的面积S； （2）若AB＝，求k的值； （3）设N（0，2），P在双曲线上，M在直线l2上且PM∥x轴，求PM+PN最小值，并求PM+PN取得最小值时P的坐标．（参考公式：在平面直角坐标系中，若A（x1，y1），B（x2，y2）则A，B两点间的距离为AB＝） 练习1.如图，直线AC和BC的解析式分别是y＝x+1和y＝﹣+，AC与BC相交于点C，CD⊥y轴于点D，反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线BC相交于点C和E，点P是x轴上一个动点． （1）求反比例函数的解析式； （2）根据函数图象，请直接写出当＞﹣+时x的取值范围； （3）当以点B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出此时点P的坐标． 练习2.如图，一次函数y＝﹣x+的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，过点A作x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1． （1）求反比例函数的解析式； （2）在x轴上求一点P，使|PA﹣PB|的值最大，并求出其最大值和P点坐标． 练习3.如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（﹣3，n），B（2，3）． （1）求反比例函数与一次函数的函数表达式； （2）请结合图象直接写出不等式kx+b≥的解集； （3）若点P为x轴上一点，△ABP的面积为10，直接写出点P的坐标． 三、反比例函数与特殊三角形存在性问题 例1.已知：一次函数y＝﹣2x+10的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象相交于A，B两点（A在B的右侧）． （1）当A（4，2）时，求反比例函数的解析式及B点的坐标； （2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）当A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）时，直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另一点C，连接BC交y轴于点D．若＝，求△ABC的面积． 练习1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（﹣2，0），且∠ACO＝45度． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）求点B的坐标； （3）在x轴上求点E，使△ACE为直角三角形．（直接写出点E的坐标） 练习2.如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方． （1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积； （2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形； （3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由． 练习3.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，D是BC的中点，过点D的反比例函数图象交AB于E点，连接DE．若OD＝5，CD=4． （1）求过点D的反比例函数的解析式； （2）求△DBE的面积； （3）x轴上是否存在点P使△OPD为直角三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 四、反比例函数中的面积问题 例4.如图，在平面直角坐标系xOy中，梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，过点A的双曲线y＝的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D，交边BC于点E． （1）填空：双曲线的另一支在第　 　象限，k的取值范围是　 　； （2）若点C的坐标为（2，2），当点E在什么位置时，阴影部分的面积S最小？ （3）若＝，S△OAC＝2，求双曲线的解析式． 练习1.如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数y＝（k＞0，x＞0）图象上，点P是函数y＝（k＞0，x＞0）图象上异于点B的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点E、F．设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S． （1）点B的坐标是 　 　，k＝　 　； （2）当S＝，求点P的坐标； （3）求出S关于m的函数关系式． 练习2.如图，点M、N是反比例函数的图象上的两个动点，过点M作MP⊥y轴、过点N作NQ⊥x轴，分别交反比例函数的图象于点P、Q，连接PN、QM．设点M的横坐标为m（m＞0），点N的横坐标为n（n＜0）． （1）若m＝3，求MP的长； （2）若MP＝NQ，求mn的值； （3）①求△MNP的面积（用含m、n的代数式表示）； ②点P、Q到直线MN的距离是否相等？并说明理由． 练习3.如图1，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，1），射线AB与反比例函数图象交于另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC＝75°，AD⊥y轴，垂足为D． （1）求k的值； （2）求直线AC的解析式； （3）如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC相交于点N，连接CM，求△CMN面积的最大值． 五、反比例函数中的实际应用 例5.教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y（℃）与和通电时间x（min）成反比例关系．直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程，设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（min）的关系如图所示，回答下列问题： （1）分别求出当0≤x≤8和8≤x≤a时，y与x之间的函数表达式； （2）求出图中a的值； （3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他要在什么时间段内接水？ 学科网（北京）股份有限公司 $$