精品解析：福建省福州第三中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

福州三中2024—2025学年第一学期期中考 高一数学试卷 命题：高一数学集备组 审卷：高一数学集备组 第Ⅰ卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 5. 异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 当，时，，则实数的最大值为（ ） A. 9 B. 8 C. 4 D. 1 8. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则（ ） A. 0 B. 2024 C. 4051 D. 8102 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得满分，部分选对得部分分． 9. 已知函数的值域为集合A，函数的定义域为集合，则（ ） A. B. C. D. 10. 关于的不等式的解集为或，则（ ） A. B. C. D. 不等式的解集为 11. 已知正实数x，y，z满足，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共20分，把答案填在相应横线上． 12. 计算______． 13. ，，则实数的取值范围是______． 14. 已知函数的图象关于轴对称，则______；当时，，则实数的取值范围为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 16. 已知函数，． （1）当时，，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小关系． 17. 弗里热是年巴黎奥运会和残奥会的吉祥物．企业结合市场部的调研报告，决定设计限量款周边并在年月进行销售．经产品评估，生产此限量款周边的固定成本为万元，每生产（单位：千件）限量款周边，需可变成本万元，其中，．市场调研可知，当生产千件限量款周边时，可变成本为万元． （1）求生产万件限量款周边所需的平均成本； （2）已知每千件周边定价万元，且销路畅通供不应求．当产量为多少千件时，企业所获得的利润最大?最大利润是多少? 18. 已知定义在上的函数，，对，，都有，且当时，． （1）求的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明单调性； （3）若，求关于的不等式的解集． 19. 已知是定义在上的奇函数． （1）求的值； （2）解关于的方程； （3）若存在区间（），使得函数在上的值域为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州三中2024—2025学年第一学期期中考 高一数学试卷 命题：高一数学集备组 审卷：高一数学集备组 第Ⅰ卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的含义即可得到答案. 【详解】，则. 故选：C. 2. 若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式及其性质逐项判断即可. 【详解】对A，因为，所以，所以不等式两边同时除以得：，故A错误； 对B，由，若，则，故B错误； 对C，因为，所以不等式两边同时同时乘以得：，故C正确； 对D，因为，所以不等式两边同时乘以得：，故D错误. 故选：C. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，分别检验充分性与必要性即可. 【详解】时，不成立，“”不是“”的充分条件； 时，有且，，即，得， 故“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数单调性，结合二次函数值域求出值域. 【详解】依题意，，当且仅当时取等号，而函数在R上单调递减， 则，所以函数的值域为. 故选：B 5. 异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】初始状态设为，变化后为，根据，的关系代入后可求解． 【详解】设初始状态为，则，， 又，，即， ，，，，． 故选：D． 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合指数幂的运算，代入和即可判断. 【详解】当时，； 当时，； 由图象可得A正确. 故选：A. 7. 当，时，，则实数的最大值为（ ） A. 9 B. 8 C. 4 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】分析可得，利用基本不等式运算求解最值即可. 【详解】因为当，时，，可得， 又因为， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以实数的最大值为9. 故选：A. 8. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则（ ） A. 0 B. 2024 C. 4051 D. 8102 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数的图象的对称中心，再利用对称性求出函数值的和. 【详解】依题意，， 显然，即函数是奇函数， 因此函数的图象的对称中心为，即， 所以 . 故选：D 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得满分，部分选对得部分分． 9. 已知函数的值域为集合A，函数的定义域为集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意求得，，结合集合见关系以及集合间的运算逐项分析判断即可. 【详解】因为，则，所以； 令，可得，所以集合； 可得，，故A正确，B错误； 且，， 可得，，故C错误，D正确； 故选：AD. 10. 关于的不等式的解集为或，则（ ） A. B. C. D. 不等式的解集为 【答案】AB 【解析】 【分析】由题意可知不等式对应的二次函数的图像的开口方向，和4是方程的两根，再结合韦达定理可得，，则得到符号即判断AB；直接代入D，得到不等式，解出即可判断，计算得，从而判断选项C． 【详解】对A，由题意可知，A选项正确； 对B，是方程的两根， ，则，则，故B正确； 对C，则，C选项错误； 对D，不等式即为，即，解得或，D选项错误． 故选：AB． 11. 已知正实数x，y，z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】令，利用指数式与对数式互化表示出，再逐项计算、判断作答. 【详解】是正实数，令，则，， 对于A，，A错误； 对于B，因为，则，B正确； 对于C，因为，则，即， 因此，即有，C正确； 对于D，， 因此，D正确. 故选：BCD 【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用. 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共20分，把答案填在相应横线上． 12. 计算______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数换底公式及运算法则计算即得. 【详解】原式. 故答案为：5 13. ，，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数单调性即可得到答案. 【详解】当时，，则数的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知函数的图象关于轴对称，则______；当时，，则实数的取值范围为______． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】利用偶函数的性质求出，再利用单调性，结合恒成立问题求出范围. 【详解】由函数的图象关于轴对称，得函数是偶函数， 则，即，解得，， ，，；，，， ，因此函数是偶函数，所以； 函数在上单调递增， 而当时，，则， 解得或，因此或， 所以实数的取值范围为或. 故答案为：；或 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由一元二次不等式的求解和集合的运算求解即可； （2）讨论当时和，当时由集合间的包含关系求解即可； 【小问1详解】 由可得，所以， 当时，， 所以. 【小问2详解】 若，则， 当时，即，解得； 当时，，解得， 综上，. 16. 已知函数，． （1）当时，，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小关系． 【答案】（1） （2）当时；当时，；当时，. 【解析】 【分析】（1）讨论和，当时，结合二次函数的性质求解即可； （2）作差，利用“穿针引线”法求解即可； 【小问1详解】 当时，恒成立； 当时，由二次函数的性质可得，解得； 综上实数的取值范围为. 【小问2详解】 ，， ， 令可得或1或， 又，所以当时；当时，；当时，. 17. 弗里热是年巴黎奥运会和残奥会的吉祥物．企业结合市场部的调研报告，决定设计限量款周边并在年月进行销售．经产品评估，生产此限量款周边的固定成本为万元，每生产（单位：千件）限量款周边，需可变成本万元，其中，．市场调研可知，当生产千件限量款周边时，可变成本为万元． （1）求生产万件限量款周边所需的平均成本； （2）已知每千件周边定价万元，且销路畅通供不应求．当产量为多少千件时，企业所获得的利润最大?最大利润是多少? 【答案】（1）万元 （2）产量为千件时利润最大，最大利润为万元. 【解析】 【分析】（1）结合题意求出即可； （2）由基本不等式求解即可； 【小问1详解】 由题意可得，，解得， 所以当时，平均成本为（元）. 【小问2详解】 设当产量为千件时，企业所获得的利润最大， 最大利润为， 当且仅当即时取等号，此时最大利润为万元. 18. 已知定义在上的函数，，对，，都有，且当时，． （1）求的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明单调性； （3）若，求关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2）在上单调递增，证明如下： 因为，，都有，即， 在R上任取且，则，所以，则. 又， 所以函数在上单调递增. （3）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据所给关系式利用赋值法计算可得； （2）构造，根据函数单调性定义证明； （3）依题意可得，结合（2）的单调性得到，即，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【小问1详解】 因为，，都有且， 所以，则， ，则， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不等式即， 即， 即， 又函数在上单调递增，所以不等式等价于， 即，又，所以不等式等价于， 当，即时，不等式等价于，所以不等式的解集为； 当，即时，解得，即不等式的解集为； 当，即时，解得，即不等式的解集为； 综上可得，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19. 已知是定义在上的奇函数． （1）求的值； （2）解关于的方程； （3）若存在区间（），使得函数在上的值域为，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质求出并验证即可. （2）换元解方程，再解指数方程即可. （3）探讨函数的单调性，结合已知构造方程，再利用一元二次方程实根分布求出范围. 【小问1详解】 由是定义在上的奇函数，得，解得， 所以，，即是奇函数， 所以. 【小问2详解】 令，则方程化为，即， 解得或，由（1）知， 当时，，即，解得，； 当时，，即，无解， 所以原方程的解为. 【小问3详解】 由（1）知，函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，依题意得，，即， 令，因此是方程，即的两个不等的正根， 于是，解得， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $