第26章 反比例函数（知识点及常考题型专题复习）2024-2025学年人教版数学九年级下册

第26章 反比例函数 知识点一 反比例函数的概念 概念：一般地，形如 （k为常数且k≠0）的函数，称为反比例函数；其中x是自变量，y是函数 自变量x的范围：x≠0 变形：还可以写成y＝kx－1和xy＝k（k≠0）的形式 k：是比例系数，|k|越大，曲度越小，离原点越远 小试牛刀 1．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（　　） A．y＝4x B．＝3 C．y＝﹣ D．y＝x2﹣1 2．下列函数中，不是反比例函数的是（　 　） A．y＝ B．y＝3x－1 C．y＝ D．xy＝ 3．若点A（a，b）在反比例函数的图像上，则代数式ab﹣4的值为（ ） A．0 B．－2 C．2 D．－6 4．下列问题情景中的两个变量成反比例函数关系的是（     ） A．汽车沿公路从A地驶往B地所需时间t与平均速度v B．圆的周长C与半径r C．圆的面积S与半径r D．电阻不变，电流强度I与电压U 5．正比例函数与反比例函数的图象或性质的共有特征之一是（     ） A．函数值y随x的增大而增大 B．图象在第一、三象限都有分布 C．图象与坐标轴有交点 D．图象经过点（2，1） 6．若函数是反比例函数，则m＝（ ） A．m＝－2 B．m＝1 C．m＝2或m＝1 D．m＝－2或m＝－1 知识点二 反比例函数的图象和性质 ❶反比例函数图象 · 双曲线，既是轴对称图形（对称轴y＝x和y＝－x），又是中心对称图形，对称中心是原点（0，0）. · 有两个分支：分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称 · 与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交． ❷反比例函数图象的画法 列表：取较为代表性的x值及对应函数值y； 描点：以x为横坐标，y为纵坐标，描出相应各点； 连线：按横坐标由小到大顺序把各点用平滑曲线连接起来 ❸反比例函数的图象与性质★ 解析式 图像 k＞0 k＜0 性质 ①图像位于一、三象限 ②每个象限内，y随x的增大而减小 ①图像位于二、四象限 ②每个象限内，y随x的增大而增大 对称 若点（a，b）在反比例函数的图象上，则点（－a，－b）也在此图象上； 故反比例函数的图象关于原点对称 小试牛刀 1．函数的图像位于（      ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．下列说法正确的是（　　） ①反比例函数中自变量x的取值范围是； ②点在反比例函数的图象上； ③反比例函数的图象，在每一个象限内，y随x的增大而增大． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（2，－4），若点（4，n）在反比例函数图象上，则n＝（    ） A．﹣8 B．﹣4 C．﹣ D．﹣2 5．若点，，都在反比例函数图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 6．已知点（﹣2，a），（2，b），（3，c）在函数y＝（k＞0）的图象上，则正确的是（　　） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a 7．若点，在反比例函数图象上，且，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 8．y＝（x＞0）的图象经过点A（2，m），AB⊥y轴．当C在x轴正半轴上运动时△ABC的面积为（　　） A．3 B．6 C．12 D．先变大后减小 9．如图，A（2，1），B（7，1）；将直角三角板ABC沿x轴正方向平移，点B对应点刚好落在反比例函数的图像上，则点C平移的距离（   ） A．3 B．5 C．7 D．10 10．如图，菱形OABC中点A坐标为（﹣3，4），函数的图象经过点B，则k＝（ ） A．－12 B．－27 C．－32 D．－36 11．如图，平行于x轴的直线与函数，的图象分别相交于A，B两点，A在B的右侧，C为x轴上一动点，若的面积为4，则＝（ ） A．8 B． C．4 D． 知识点三 反比例函数解析式的确定——待定系数法 ★步骤： ①设出反比例函数的解析式： ②找出图像上一点的坐标P（x0，y0）； ③将P（x0，y0）的坐标带入，求出k的值； ④写出解析式 小试牛刀 1．ABCO中，O（0，0），A（3，1），B（1，2），的图象经过OABC的顶点C，则k＝___________． 知识点四 反比例函数中k的几何意义★ ❶设P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴，PB⊥y轴，则矩形PBOA的面积是． ❷△PAO和△PBO的面积都是． ❸由双曲线对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则：． 小试牛刀 1．如图，点A在反比例函数上，AB⊥x轴，C是OB中点，若△AOC的面积为2，则k＝（     ） A．4 B．8 C．12 D．16 2．A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S1+S2＝（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，反比例函数y＝，过点A作ABCD，若ABCD面积为6，则k=（    ） A．1 B．3 C．6 D．－6 4．如图，两个反比例函数y和y在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴，则△POB的面积为（     ） A．1 B．2 C．4 D．无法计算 5．如图，A，B是y＝在第一象限内图象上两点，且A，B两点横坐标分别是2和4，则△OAB面积是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 6．如图，反比例函数y＝，作AB⊥x轴．若△ABC的面积为4，则k=（　　） A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8 7．函数y＝kx与y＝－的图象交于A、B两点，AC⊥y轴，交的图象于点C，则△ABC的面积为（        ） A．2 B．4 C．6 D．8 知识点五 正比例函数与反比例函数的关系★ · 正比例函数（关于原点对称）与反比例函数（关于原点对称）的两个交点也关于原点对称★ 联立 小试牛刀 1．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于A，B两点，若点A（1，2），则点B的坐标是（     ） A．（－1，2） B．（1，－2） C．（－1，－2） D．（2，1） 2．直线y＝k1x（k1≠0）与y＝（k2≠0）的图象交于M，N两点．若M（1，2），则N的坐标是（　　） A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣2，﹣1） 3．如图，正比例函数y1＝k1x与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，其中点A横坐标为1．当y1<y2时，x的取值范围是（    ） A．x<－1或x>1 B．－1<x<0或x>1 C．－1<x<0或0<x<1 D．x<－1或0<x<1 知识点六 反比例函数与一次函数的交点问题 1．小亮为求不等式>x+2解集，绘制了反比例函数y＝与一次函数y＝x+2图像，可得不等式解集为（     ） A．x<－3 B．x>1 C．－3<x<1 D．x<－3或0<x<1 2．平面直角坐标系中，直线y＝x+2与反比例函数的图像有唯一公共点，若直线y＝x+m与反比例函数的图像有2个公共点，则m的取值范围是（    ） A．m＞2 B．－2＜m＜2 C．m＜－2 D．m＞2或m＜－2 3．如图，反比例函数y＝（x＜0）与一次函数y＝x＋4的图象交于A、B两点的横坐标分别为－3，－1．则关于x的不等式＜x＋4（x＜0）的解集为（　　） A．x＜－3 B．－3＜x＜－1 C．－1＜x＜0 D．x＜－3或－1＜x＜0 4．一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 知识点七 反比例函数的综合应用 1．某药品首次用于临床试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时间函数关系如图所示（当时，y与x成反比）．血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间为（     ） A． B．3 C．4 D． 2．如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C，D．若点C的横坐标为5，BE＝3DE，则k＝（　　） A． B． C．3 D．5 3．如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象交于A（－1，m），B两点． （1）求反比例函数表达式；（2）将一次函数的图象沿y轴向下平移b个单位（b>0），使平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，求b的值． 4．如图，A（4，3）是反比例函数y＝上一点，AB∥x轴，截取AB＝OA（B在A右侧）． （1）求反比例函数y＝的表达式； （2）求B点坐标；（3）求△OAP的面积． 5．如图，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝（m≠0）交于点A（﹣，2），B（n，﹣1）． （1）求直线与双曲线的解析式．（2）点P在x轴上，如果S△ABP＝3，求点P的坐标． 6．如图，一次函数的图象与反比例函数的图像相交于A（1，2）、B（－2，n）两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足的x取值范围； （3）若点P在线段AB上，且，求点P的坐标． 7．如图，OABC中，OA＝，∠AOC＝45º，D是BC中点，反比例函数的图像经过点A，D。 （1）求k的值； （2）求点D坐标 8．四边形ABCD是矩形，点A在反比例函数第四象限的图像上，点B在反比例函数第一象限的图像上，AD＝，．（1）求点B坐标；（2）若点P在x轴上，，求直线BP解析式。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$