河南省濮阳市第三中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

濮阳市第三中学教育集团2024—2025学年（上）期中考试 九年级数学 一、选择题（30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 方程是关于x的一元二次方程 B. 方程的常数项是4 C. 当一次项系数为0时，一元二次方程总有非零解 D. 若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根 3. 如图所示，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. O到的距离相等 4. 已知是方程的两个根，则代数式的值是（　　） A. 10 B. 17 C. 26 D. 33 5. 已知是直径为10的圆的一条弦，则的长度不可能是（ ） A. 2 B. 5 C. 9 D. 11 6. 下列函数属于二次函数的是(　　) A. y＝(x－3)2－x2 B. y＝ C. y＝2x2＋x＋1 D. y＝ 7. 如图，将绕点逆时针方向旋转得，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，的半径交弦于点，，，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 9. 下列关于抛物线的判断中，正确的是（ ） A. 形状与抛物线相同 B. 对称轴是直线 C. 当时，随的增大而增大 D. 该抛物线与轴没有交点 10. 已知中，，，直角的顶点是中点，两边，分别交，于点，，给出以下结论： ①； ②和可以分别看作由和绕点顺时针方向旋转得到的； ③是等腰直角三角形； ④． 其中始终成立的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（15分） 11. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是___． 12. 二次函数的部分图象如图所示，当时，x的取值范围是______． 13. 如图，是的内接四边形，为直径，，则的度数为_____． 14. 已知点，是以为直径的半圆的上的点且，半径，则扇形的面积为______． 15. 如图1，有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点顺时针旋转后得到矩形，连接，，．把与剪去，将绕点顺时针旋转得到，边交于点（如图2），设旋转角为，当为等腰三角形时，的度数为______． 三、解答题（75分） 16. 用适当的方法解下列方程 （1） （2） （3） （4） 17. 如图，是的弦，，垂足为C，交于点D，点E在上． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 18. 有一台电脑感染了某种病毒，经过两轮传播后共有台电脑被感染． （1）求每轮传播中平均一台电脑会感染几台电脑； （2）若病毒得不到控制，四轮感染后，被感染的电脑是否超过台？ 19. 如图，中，，，是上一动点（与、不重合），将绕点逆时针方向旋转至，连接． （1）求证：； （2）点在移动的过程中，四边形是否能成为特殊四边形？若能，请指出点的位置并证明你的结论；若不能，请说明理由． 20. 如图点A、B、D、E在上，弦、的延长线相交于点C．若是的直径，D是的中点，过D作的垂线，垂足为F． （1）求证：是圆O的切线； （2）若，，求圆O的直径． 21. 施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点距离地面高度为米，宽度为米．现以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系（如图所示）． （1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （2）隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为米，该双车道能否同时并行两辆宽米、高米的特种车辆？请通过计算说明； 22. 已知：三角形ABC内接于⊙O，过点A作直线EF. (1)如图1，AB为直径，要使得EF是⊙O的切线，只需保证∠CAE=∠_____，并证明之； (2)如图2，AB为⊙O非直径的弦，(1)中你所添出的条件仍成立的话，EF还是⊙O的切线吗？若是，写出证明过程；若不是，请说明理由并与同学交流. 23. 如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上．设，当时，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当为何值时，矩形的周长有最大值，最大值是多少； （3）保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点，，且直线平分矩形的面积时，直接写出抛物线平移的距离． 濮阳市第三中学教育集团2024—2025学年（上）期中考试 九年级数学 一、选择题（30分） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】B 二、填空题（15分） 【11题答案】 【答案】且 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】##20度 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】或 三、解答题（75分） 【16题答案】 【答案】（1） （2） （3） （4） 【17题答案】 【答案】（1） （2）17 【18题答案】 【答案】（1）每轮传播中平均一台电脑会感染台电脑； （2）若病毒得不到控制，四轮感染后，被感染的电脑超过台． 【19题答案】 【答案】 (1)证明：∵绕点逆时针方向旋转至， ∴，， 而，， ∴， ∴， ∴； （2）点为的中点时，四边形能成为正方形. 理由如下：当点为的中点时，而，， ∴，即， 由得， 而， ∴， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴四边形能成为正方形． 【20题答案】 【答案】（1） 证明：连结，如图， ∵是的中点，而， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴是圆的切线； （2）5 【21题答案】 【答案】（1） （2）能同时并行两辆宽米、高米的特种车辆 【22题答案】 【答案】 （1）ABC，证明如下： ∵AB为⊙O直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠BAC+∠ABC=90°， 若∠CAE=∠ABC， ∴∠BAC+∠CAE=90°， 即∠BAE=90°，OA⊥AE.， ∴EF为⊙O的切线； (2)如图2，连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD， ∴∠ADC=∠ABC， ∵AD为⊙O的直径， ∴∠DAC+∠ADC=90°， ∵∠CAE=∠ABC=∠ADC， ∴∠DAC+∠CAE=90°， ∴∠DAE=90°， 即OA⊥EF，EF为⊙O的切线. 【23题答案】 【答案】（1）抛物线的函数表达式为； （2）当时，矩形的周长有最大值，最大值为； （3）4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $期中考试数学答案 一、单选题 1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是() 米心 2.下列说法正确的是（) A.方程ax+bx+c=0是关于x的一元二次方程 B.方程3x2=4的常数项是4 C.当一次项系数为0时，一元二次方程总有非零解 D.若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根 3.如图所示，已知在O0中，BC是直径，B=DC,则下列结论不一定成立的是() A.∠AOB=∠COD B.OA=OB=AB C.AB=CD D.O到AB,CD的距离相等 4.已知，为是方程x2-5x-4=0的两个根，则代数式+的值是() A.10 B.17 C.26 D.33 5.已知AB是直径为10的圆的一条弦，则AB的长度不可能是() A.2 B.5 C.9 D.11 6.下列函数属于二次函数的是( ) Ay=-2-xB.y=是 C.y=2x2+x+1D.y=Vx2+1 7.如图，将△AOB绕点O逆时针方向旋转60°得△COD,若∠AOB=20°，则∠AOD的度 数是() 试卷第1页，共6页 D 60 209 B A.50° B.40° C.30° D.20 8.如图，OO的半径OC交弦AB于点D,AD=DB,OD=3,CD=2,则AB的长为() D A.3 B.4 C.6 D.8 9.下列关于抛物线y=-x2-2x+3的判断中，正确的是() A.形状与抛物线y=-2x2相同 B.对称轴是直线x=-1 C.当x>-2时，y随x的增大而增大 D.该抛物线与x轴没有交点 I0.已知△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE,PF 分别交AB,AC于点E,F,给出以下结论： ①EF=AP; ②△APF和△CPF可以分别看作由△BPE和△APE绕点P顺时针方向旋转90°得到的； ③△EPF是等腰直角三角形： ④SABc=2S四边形AEPF· 其中始终成立的有( A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 二、填空题 11.若关于x的方程(k+1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 试卷第2页，共6页 12.二次函数y=m2+bx+c的部分图象如图所示，当y>0时，x的取值范围是 13.如图，ABCD是OO的内接四边形，AD为直径，∠C=110°，则∠ADB的度数为 14.已知点C,D是以AB为直径的半圆的上的点且∠COD=50°，半径AO=3,则扇形COD 的面积为 C D 15.有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形 AMEF(如图1)，连结BD、MF,若此时他测得∠ADB=30°.小红同学用剪刀将△BCD与 △MEF剪去，与小亮同学探究.他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB,D1,AD交FM于 点K(如图2)，设旋转角为B(0°<B<90),当△AFK为等腰三角形时，则旋转角B的度数 图1 图2 试卷第3页，共6页 三、解答题 16.用适当的方法解下列方程 (1)(x+3)(x-1)=5 (2)x2-x-2=0 (3)(x-3)2-9=0 (4)3x(x-2)=2(2-x) 17.如图，AB是OO的弦，OD⊥AB,垂足为C,交OO于点D,点E在⊙O上. (1)若∠AOD=56°，求∠DEB的度数： (2)若DC=2,AB=16,求OA的长. 18.有一台电脑感染了某种病毒，经过两轮传播后共有25台电脑被感染. (1)求每轮传播中平均一台电脑会感染几台电脑： (2)若病毒得不到控制，四轮感染后，被感染的电脑是否超过600台？ 19.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC,D是AB上一动点（与A、B不重合），将CD 绕C点逆时针方向旋转90°至CE,连接BE. (1)求证：∠EBC=∠A; (2)D点在移动的过程中，四边形CDBE是否能成为特殊四边形？若能，请指出D点的位 置并证明你的结论；若不能，请说明理由、 20.如图点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O的直径， D是BC的中点，过D作AC的垂线，垂足为F, 试卷第4页，共6页 (1)求证：DF是圆O的切线： (2)若AE:AO=6:5,DF=2,求圆O的直径. 21.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点P距离地面高度为8米，宽度 OM为16米.现以点O为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）. 0 M ()求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围： (2)隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行 两辆宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明； 22.己知：三角形ABC内接于⊙0，过点A作直线E旺 (1)如图1，AB为直径，要使得EF是⊙O的切线，只需保证∠CAE=∠，并证明之； (2)如图2，AB为⊙0非直径的弦，(1)中你所添出的条件仍成立的话，EF还是⊙0的切线 吗？若是，写出证明过程；若不是，请说明理由并与同学交流 0 图1 图2 23.如图，抛物线y=ax(x-10)过点O(0,0),E(10,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上（点 B在点A的左侧)，点C,D在抛物线上.设B(t,O),当t=2时，BC=4. 试卷第5页，共6页 B (1)求抛物线的函数表达式： (2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值是多少： (3)保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个 交点G,H,且直线GH平分矩形ABCD的面积时，直接写出抛物线平移的距离. 试卷第6页，共6页 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 D D D C 0 B 1.A 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义直接判断即可. 【详解】 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故正确： 既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故错误； 是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误： 不是轴对称图形，是中心对称图形，故错误： 故选：A 【点睛】此题考查轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的定义是：如果一个图形沿着一 条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形：中心对称图形的定义是： 如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形就是中心对称图形. 2.D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的有关概念，解题的关键是理解一元二次方程的有关 概念.根据一元二次方程的有关概念进行分析即可 【详解】解：A.对于方程a2+bx+c=0,若a=0,则该方程不是关于x的一元二次方程， 故说法错误； B.方程3x2=4整理为一般形式为3x2-4=0,其常数项是-4，故说法错误； C.当一次项系数为0时，该方程不一定有解，故说法错误： D.若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根，说法正确. 故选：D. 3.B 【分析】根据圆心角，弧，弦之间的关系，即可进行判断。 答案第1页，共15页 【详解】解：A、AB=DC,∴.∠AOB=∠COD,故A成立，不符合题意； B、当∠AOB=60°时，OA=OB=AB,故B不成立，符合题意： C、AB=DC,∴AB=CD,故C成立，不符合题意： D、在△ABO和ACDO中， AO=DO BO=CO, AB=CD ∴.△ABO2ACDO(SSS), ∴O到AB,CD的距离相等， 故D成立，不符合题意； 故选：B. 【点睛】本题主要考查了圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是掌握在同圆或等圆中， 如果两个圆心角，两条弧，两条弦中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相 等 4.D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，利用根 与系数的关系得到x1+x2=5,xx2=-4,再利用完全平方公式得到x2+x=(x+x2)-2x2, 然后利用整体代入的方法计算；对于一元二次方程+bx+c=0(a≠0)，若x,x,是该方程 的两个实数根，则x+x三-名，出=9 a 【详解】解：，，飞是方程x2-5x-4=0的两个根， .x1+x3=5,x1x2=-4, ∴x+=(5+5)}-2x6=-2×(4=33, 故选：D。 5.D 【分析】根据圆中最长的弦为直径求解， 【详解】解：因为圆中最长的弦为直径， 所以弦长≤10. 答案第2页，共15页 .AB的长度不可能是11： 故选：D 【点睛】本题考查了圆的认识，在本题中，圆的弦长的取值范围0<1≤10. 6.C 【分析】对各项进行整理后，根据二次函数的定义条件判断即可. 【详解】解：A,经整理后的y=-6x+9,是一次函数，不是二次函数： B,分母中含有自变量，不是二次函数： C,符合二次函数的一般式形式，是二次函数： D,被开方数中含有自变量，不是二次函数： 故选择C. 【点睛】本题考查了二次函数的定义. 7.B 【分析】本题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题，根据旋转得到∠BOD=60°，结合 ∠AOB=20°，即可得出结果，熟练掌握旋转的性质是解题的关键， 【详解】解：，'△AOB绕点O逆时针方向旋转60°得△COD, ∴.BOD=60°， 又，∠AOB=20°， ..∠AOD=∠BOD-∠AOB=60°-20°=40°， 故选：B. 8.D 【分析】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考 查了勾股定理. 己知：AD=BD,在Rt△OBD中，OD=OC-CD=3,利用勾股定理得到BD=4,所以 AB=2BD=8」 【详解】解：AD=BD, .半径OC⊥AB于点D, 在Rt△OBD中，OD=OC-CD=3, BD=VOB2-0D2=V52-32=4, .AB=2BD=8, 答案第3页，共15页 故选D 9.B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，熟练掌握以上知识 点是解题的关键.根据二次函数的性质对各选项分析判断即可求解. 【详解】解：A、抛物线y=-x2-2x+3与抛物线y=-2x二次项系数绝对值不相等，所以形 状不同，故该选项错误； b-2 B、该抛物线对称轴为x= 2a2×(-1) 1,故该选项正确： C、该抛物线的对称轴为x=-1,开口向下，所以当x<-1时，y随x的增大而增大，故该选 项错误； D、因为y=-x2-2x+3=-(x+1)+4,顶点坐标为(-1,4)，开口向下，所以与x轴有交点， 故该选项错误； 故选：B. 10.B 【详解】，AB=AC,∠BAC=90°， ∴，△ABC为等腰直角三角形， .∠B=∠C=45°， ,P点为BC的中点， .AP⊥BC,AP平分∠BAC,AP=BP=CP, ,∠EP℉=90°， .∠BPE=∠APF, 在ABPE和△APF中 ∠B=∠APF PB=PA ∠BPE=∠APF .BPE=APF, ,∴，BE=AF,PE=PF, ∴△PEF为等腰直角三角形，所以③正确： .EF=√2PE, 而当PE⊥AB时，AP=√2PE, 答案第4页，共15页 所以①错误； ,PB=PA,PE=P℉，∠BPA=∠APF=90°， ,aPBE绕点P顺时针旋转90°可得到△PAF, 同理可得△PAE绕点P顺时针旋转90°可得到△PCF, 所以②正确： .'ABPE =APF, S.BPE=S.APF .S四边形AEPF=SABP+S.APF=SAPE+SP阳E=SABC, ∴.SABC=2S四边形AEPF 所以④正确. 故选B 点睛：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段 的夹角等于旋转角：旋转前后图形全等.也考查了等边三角形的性质和勾股定理的逆定理.也 考查的等腰直角三角形的性质，会利用全等三角形的知识解决线段相等的问题， 11.k<0且k≠-1 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，△>0，方程有两个不相等是实数根；△=0， 方程有两个相等的实数根；△<0，方程有没有实数根.据此列不等式求解即可. 【详解】解：：方程(k+1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根， .△=(-2)-4(k+1)>0,k+1≠0， 解得：k<0且k≠-1， 故答案为：k<0且k≠-1. 12.-5<x<3 【分析】首先根据对称轴和与x轴的一个交点确定另一个交点的坐标，然后根据其图象确定 自变量的取值范围即可. 【详解】解：.抛物线y=2+bx+c的对称轴为直线x=-1,与x轴的一个交点坐标为(3,0)， .与x轴的另一个交点坐标为(-5,0)， .y>0时，x的取值范围为：-5<x<3, 答案第5页，共15页 故答案为：-5<x<3. 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴求得 另一个交点坐标，难度不大， 13.20°/20度 【分析】此题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，三角形内角和定理.注意掌握数形 结合思想的应用 由AD是直径，可得∠ABD=90°，又由圆内接四边形的性质得到∠A=180°-∠C=70°，根据 三角形内角和定理，即可求得答案。 【详解】解：AD是直径， ∴.∠ABD=90°， 又，ABCD是OO的内接四边形，∠C=110°， .∠A=180°-∠C=70°， .∠ADB=180°-∠A-∠ABD=20° 故答案为：20°. 4 【分析】本题主要考查扇形面积公式， 根据扇形面积公式S魔形三 ,即可求解 360 【详解】解：S扇形= .32=5π 50 360 4 5 故答案为：4元· 15.60°或15 【分析】结合旋转的性质分情况讨论即可求得答案 【详解】当AK=FK时，∠KAF=∠F=30°， 则∠BAB1=180°-∠B1AD1-∠KAF=180°-90°-30=60°， 即B=60°： ②当AF=FK时，∠FAK=75°， ∠BAB1=90°-∠FAK=15°， 即β=15， ,B的度数为60°或15°， 答案第6页，共15页 故答案为60°或15°， 【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质以及运用分类讨论思想是解本题的关 键 16.(1)1=-4,x2=2 (2)5=-1,6=2 (3)x=0,x3=6 0-2%=月 【分析】本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配 方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法， (1)首先整理成一般形式，再用因式分解法解方程即可： (2)方程为一般形式，左边的多项式利用十字相乘法分解因式，然后利用两数相乘积为0， 两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解。 (3)用直接开平方法解方程即可： (4)移项，提取公因式(x-2),即可得到(x-2)(3x+2)=0,再解两个一元一次方程即可. 【详解】(1)(x+3)(x-1)=5: x2+2x-8=0 (x+4)(x-2)=0 .x1=-4,x2=2; (2)x2-x-2=0; (x+1)(x-2)=0 .x+1=0,x-2=0 ∴.x=-1,62=2: (3)(x-3)2-9=0: (x-3)2=9 x-3=±3 答案第7页，共15页 5=0,6=6 (4)3x(x-2)=2(2-x) 3x(x-2)=-2(x-2) (x-2)(3x+2)=0 x-2=0,3x+2=0 =2,玉=-2 17.(1)28° (217 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于 这条弧所对的圆心角的一半，也考查了垂径定理和勾股定理 (1)先根据垂径定理得到D=BD,然后利用图周角定理得到∠D58=∠A0D; (2)根据垂径定理得到AC=BC=8,然后利用勾股定理计算出OA即可. 【详解】(1)解：，OD⊥AB, :AD=BD, 又∠AOD=56°， ∠DB-540n-3x56-28: 2 （2)解：，OD⊥AB,AB=16, AC-BC-1AB-8 设OA=x,则OD=OA=x, .CD=2, .0C=x-2, .OD L AB, ∴.AC2+OC2=OA2, .82+(x-2)}=x2, ∴.x=17, ∴.0A=17 18.(1)每轮传播中平均一台电脑会感染4台电脑： 答案第8页，共15页 (2)若病毒得不到控制，四轮感染后，被感染的电脑超过600台. 【分析】(1)设每轮传播中平均一台电脑会感染x台电脑，由经过两轮传播后共有25台电 脑被感染建立方程求出其解即可： (2)根据题意求出经过四轮传播后被感染的电脑台数即可： 此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意得等量关系建立方程是解题的关键. 【详解】(1)解：设每轮传播中平均一台电脑会感染x台电脑， 根据题意得：x+1+x(x+1)=25, 解得：x=4,2=-6(舍去)， 答：每轮传播中平均一台电脑会感染4台电脑： （2),经过两轮传播后共有25台电脑被感染， ∴.经过三轮传播后被感染的电脑台数为：25+25×4=125， 经过四轮传播后被感染的电脑台数为：125+125×4=625>600， ∴，若病毒得不到控制，四轮感染后，被感染的电脑超过600台. 19.(I)见解析(2)D点为AB的中点时，四边形CDBE能成为正方形 【分析】(1)CD绕C点逆时针方向旋转90°至CE,根据旋转的性质得CE=CD,∠ECD=90°， 而∠BCA=90°，AC=BC,得∠ECB=∠DCA,则△ECB≌△DCA,得到∠EBC=∠A: (2)当D点为AB的中点时，而∠C-90°，AC=BC,则CD⊥AB,即∠CDB=90°，由(1) 得∠EBC=∠A,而∠CBA=∠A=45°，得到四边形CDBE为矩形，由CD=CE,得到四边形 CDBE能成为正方形 【详解】(I),CD绕C点逆时针方向旋转90°至CE, ∴.CE=CD,∠ECD=90°， 而∠BCA=90,AC=BC, .∠ECB=∠DCA, .AECB=△DCA, ∴.∠EBC=∠A: (2)当D点为AB的中点时，四边形CDBE能成为正方形. 理由如下： 当D点为AB的中点时，而∠C=90°，AC=BC, 答案第9页，共15页 ∴.CD⊥AB,即∠CDB=90, 由(I)得∠EBC=∠A, 而∠CBA=∠A=45°， .∠EBA=90°， ∴.四边形CDBE为矩形， 又CD=CE, ∴.四边形CDBE能成为正方形. 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对 应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了等腰三角形的性质、三角形全等的 判定与性质以及正方形的判定方法. 20.(1)证明见解析；（2)5. 【分析】(1)连结AD、OD,如图，先证明OD为△BAC的中位线，根据三角形中位线性 质得OD∥AC,由于DF LAC,则OD LDF,于是根据切线的判定定理得DF是圆O的切线： (2)作OH⊥AE于H,如图，易得四边形OHFD为矩形，得到OH=DF=2,设AE-6x,则 AO=5x,根据垂径定理得到AH-EH=AE=3x,在Rt△AOH中利用勾股定理得到OH=4x, 则4x2,解得x),然后计算10x即可 【详解】(1)证明：连结AD、OD,如图， D是BC的中点， 而OA=OB, .OD为△BAC的中位线， ..OD//AC, :DF⊥AC, .OD L DF, DF是圆O的切线： (2)解：作OH⊥AE于H,如图，则四边形OHFD为矩形， 答案第10页，共15页 .OH=DF=2, ,AE:AO=6:5, ,设AE=6x,AO=5x, OH⊥AE, A班=EHAE=3x 在RIAAOH中，，OA=5x,AH=3x, ∴.OH=VOA2-AH=4x, ·4x=2,解得x=2: 1 ∴AB=2OA=10x=5, 即圆O的直径为5. 【点睛】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要 证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可，也 考查了勾股定理。 2L.0y=5x+2x(0≤xs16) (2)能同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的实际应用. (1)根据题意，可得点M及抛物线顶点P的坐标，待定系数法求解析式即可求解： (2)由题知，当x=9时，y=207，, 2 2,而爱>5，即可得出结论 32 【详解】(1)解：依题意：抛物线形的公路隧道，其高度为8米，宽度OM为16米，现在O 点为原点， .点M(16,0),顶点P(8,8), 设抛物线的解析式为y=m2+bx, 64a+8b=8 把点M(16,0),点P(8,8)代入得： 256a+16b=0' 1 a=- 解得 8, b=2 1 ,抛物线的解析式为y=- 二x2+2x, 8 答案第11页，共15页 .OM=16,M(16,0), .自变量x的取值范围为：0≤x≤16 (2)解：当x=8-25-1=9时，y= 1 ) 9207 83 +2×232 >5, 故能同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆. 22.(1)ABC,证明见解析；（2)证明见解析： 【分析】(1)需要∠CAE=∠ABC,根据直径推出∠CAB+∠B=90°，推出∠EAC+∠CAB=90°， 根据切线判定推出即可： (2)作直径AD,连接CD,推出∠D=∠B=∠EAC,求出∠EAC+∠CAD=90°，根据切线的 判定推出即可， 【详解】（1)ABC,证明如下： ,AB为⊙0直径， .∠ACB=90°， .∠BAC+∠ABC=90°， 若∠CAE=∠ABC, .∠BAC+∠CAE=90, 即∠BAE=90°，OA⊥AE., EF为⊙O的切线： (2)如图2，连接AO并延长交⊙0于点D,连接CD, ∴.∠ADC=∠ABC, ,AD为⊙O的直径， .∴.∠DAC+∠ADC=90°， ,∠CAE=∠ABC=∠ADC, ∴∠DAC+∠CAE-90°， ∴∠DAE=90°， 即OA⊥EF,EF为⊙O的切线. 答案第12页，共15页 图2 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形的内角和定理等，熟练掌握相关性质 与定理、正确添加辅助线是解题的关键注意：经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的 切线，直径所对的圆周角是直角.。 23.(1)抛物线的函数表达式为y=4r,r: (2)当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为41 (3)4. 【分析】(1)由点E的坐标设抛物线的交点式，再把点C的坐标((2，-4).代入计算可得： (2)由抛物线的对称性得AB=OB=t,据此知AB=I0-21,再由x=t时BC=-t, 421 根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得： (3)连接AC,BD相交于点P,连接OC,取OC的中点O,连接P9,根据直线GH平分 矩形ABCD的面积，得到直线GH过点P,由平移的性质可知，四边形OCHG是平行四边形， 根据平行四边形的性质得到PQ=CH,根据矩形的性质得到点P是AC的中点，求得 PQ=01,于是得到结论. 【详解】(1)解：，当t=2时，BC=4, ∴.点C的坐标为(2，-4)， .将点C坐标代入y=x(x-10),得：2a(2-10)=4, 1 解得：a=4 ∴抛物线的函数表达式为：y= 2t, (2)解：由抛物线的对称性得AE=OB=t, .AB=10-2t, 当=时，点C的纵坐标为：子-多， 4 ∴，矩形ABCD的周长=2(AB+BC) 答案第13页，共15页 -o-20+（到 =-1+t+20 2 =-+ 2 0 :当1=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为)： 41 (3)解：如图，连接AC,BD相交于点P,连接OC,取OC的中点O,连接P9, t=2, ∴.B(2,0), .A(8,0), BC=4, .C(2,-4), ,直线GH平分矩形ABCD的面积， 直线GH过点P, 由平移的性质可知，四边形OCHG是平行四边形， .PO=CH, ,四边形ABCD是矩形， ∴点P是AC的中点， .P(5,-2), 0=24 OA=8,CH=P0=10A=4, 2 ∴，抛物线向右平移的距离是4个单位. 答案第14页，共15页 【点睛】本题考查二次函数图象与性质，待定系数法求解析式，二次函数的平移，矩形的性 质等知识，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及平移变换的性质 等知识点 答案第15页，共15页