第24章 圆（知识点及常考题型专题复习） 2024—2025学年人教版数学九年级上册

第24章 圆 【学习目标】 1．理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征； 2．了解切线概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线； 3．了解三角形内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆； 4．了解正多边形的概念，会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积； 知识网络 知识点一 圆的相关概念 一、圆的定义 · 圆：线段OA绕其一端点O旋转一周，另一端点A所形成的封闭曲线，叫做圆（描述性定义）. · 圆：到定点距离等于定长r的点的集合（集合性定义）. 圆心：固定的端点O 确定圆的位置 半径R：线段OA 确定圆的大小 表示：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O” 二、弦与弧 （一）弦：连接圆上任意两点的线段（如AC） 直径（最长的弦）：经过圆心的弦（如：AB≥AC） 【注】凡直径都是弦，但弦不一定是直径； （二）弧：圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧．例：\s\do ８(AC) (︵) ：读作“圆弧AC”或“弧AC” 半圆：圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆 劣弧：小于半圆的弧（如\s\do ８(AC) (︵)） 优弧：大于半圆的弧（用三个字母表示，如\s\do ８(ABC) (︵)） 【注】❶半圆是弧，而弧不一定是半圆；❷无特殊说明时，弧指的是劣弧；❸同圆或等圆时，优弧才>劣弧★ 等圆：能够重合的两个圆 ①半径相等（面积或周长相等）的两个圆是等圆 ②同圆或等圆的半径相等 等弧：同圆或等圆中，能够互相重合的弧 ①等弧的长度一定相等 ②长度相等的弧不一定是等弧 三、圆心角与圆周角 · 圆心角：顶点在圆心的角 · 圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角 小试牛刀 1．下列说法正确的有（ ） A．经过圆心的线段是直径 B．直径是同一个圆中最长的弦 C．长度相等的两条弧是等弧 D．弧分为优弧和劣弧 2．下列说法：①优弧一定比劣弧长；②面积相等的两个圆是等圆；③长度相等的弧是等弧； ④经过圆内的一个定点可以作无数条弦；⑤经过圆内一定点可以作无数条直径．错误的个数是（　　 ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧； ④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的有（　　 ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知⊙O中直径为4cm，点A，B在⊙O上，则AB的长不可能是（ ） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 5．如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有（　　 ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 6．下列图形中的角是圆周角的是（  ） A． B． C． D． 知识点二 圆的性质 一、圆的对称性 · 圆具有轴对称性：经过圆心的任一直线或任一条直径所在直线★都是它的对称轴 · 圆具有中心对称性：对称中心是圆心 小试牛刀 1．下列叙述中不正确的是（　　） A．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心 B．圆是轴对称图形，直径是它的对称轴 C．连接圆上两点的线段叫弦 D．圆上两点间的部分叫弧 二、圆的垂径定理 ❶垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧. ❷垂径定理的推论：平分（不是直径的★）弦的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧. ❸半径、半弦、弦心距之间的关系弦心距：圆心到弦的距离（即圆心到弦的垂线段长度） 三、圆心角定理及推论——圆心角：顶点在圆心的角 ❶圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、弦相等. ❷圆心角推论：同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等★，所对优弧和劣弧分别相等 【注】同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角（相等或互补★）！ 四、圆周角定理及推论★——圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角 · 圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，且都等于弧所对圆心角的一半★ · 圆周角推论1：同圆或等圆中，圆周角相等，所对的弧一定相等 · 圆周角推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90º圆周角所对的弦是直径★ 小试牛刀 1．下列说法正确的是（    ） A．等弧所对的圆心角相等 B．平分弦的直径垂直于这条弦 C．经过三点可以作一个圆 D．相等的圆心角所对的弧相等 2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（     ） A．AB=AD B．BC=CD C． D．∠BCA=∠DCA 3．将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，则∠AOB=（　　） A．90° B．120° C．135° D．150° （二）圆的垂径定理 + 圆心角定理及推论 + 圆周角定理及推论 1．如图，⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，若AC＝2cm，则⊙O的半径为（ ） A．1 cm B．2 cm C．cm D．4 cm 2．如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，于点D，且，，则BD=（ ） A． B．4 C． D．4.8 3．如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，∠E=22.5°，AB=4，则半径OB=（　　） A． B．2 C．2 D．3 4．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，∠BAD=20°，则正确的是（　   　） A．AD=2OB B．CE=EO C．∠OCE=40° D．∠BOC=2∠BAD 5．如图，在⊙O中，\s\do ８(AB) (︵)=\s\do ８(AC) (︵)，∠A=30°，则 ∠B=（ ） A．150° B．75° C．60° D．60° 6．如图，AB是⊙O的直径，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（　　） A．54° B．64° C．27° D．37° 7．如图，BC是⊙O的直径，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC＝（     ） A．20° B．70° C．30° D．90° 8．如图，点，，均在⊙上，当时，=（ ） A．50° B．55° C．60° D．65° 9．如图，AB为的直径，C、D为上两点，若，则=（　 　） A．60° B．50° C．40° D．20° 10．如图，AB是⊙O的直径，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD=（　　） A． B．2 C．2 D．8 11．如图，⊙O是ABC的外接圆，∠BAC＝60°，若⊙O的半径OC为2，则弦BC=（    ） A．4 B． C．3 D． 12．已知：如图，△ABC内接于⊙O，∠C=45°，AB=2，求⊙O的半径. 13．如图，在半径为5 cm的⊙O中，AB为直径，∠ACD＝30°，求弦BD的长． 五、圆内接四边形 · 圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫圆内接多边形 · 性质：圆内接四边形对角互补，外角等于其内对角★ 小试牛刀 1．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC=（　　 ） A．70° B．110° C．130° D．140° 2．如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=120°，P为弧AB上一点，则∠APB=（ ） A．100° B．110° C．120° D．130° 3．如图，点A，B，C，D四点均在⊙O上，∠AOD=68°，AO//DC，则∠B=（　　　） A．40° B．60° C．56° D．68° 4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=CD，为中点，，则∠ADB=（   ） A．40° B．50° C．60° D．70° 5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC=（    ） A．45° B．50° C．60° D．75° 6．如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，．若∠C=110º，则∠ABC=（    ） A．55° B．60° C．65° D．70° 7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD；若=， ∠BDC=50°，则∠ADC=（ ） A．125° B．130° C．135° D．140° 8．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，则∠D=（　 　） A．55° B．65° C．60° D．75° 9．如图，点O为线段BC中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC=40°，则∠ADC=（ ） A．130° B．140° C．150° D．160° 10．如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝________． 11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为中点。（1）求证：AB=AP；（2）当AB=10，DP=2时，求CP的长. 知识点三 点与圆的位置关系 · 点A在圆内 OA＜r， · 点B在圆上 OB＝r， · 点C在圆外 OC＞r. ★不在同一直线上的三点确定一个圆！！ 过一点作圆 无数个，圆心为点A以外任意一点 过两点作圆 无数个，圆心都在AB的垂直平分线上 过不在同一直线上的三点作圆 一个圆 （3）圆具有中心对称性：对称中心是圆心 名称 确定方法 图形 外心（三角形外接圆圆心） 三角形三边垂直平分线的交点 内心（三角形内切圆圆心） 三角形三条角平分线的交点 知识点四 直线与圆的位置关系 一、直线与圆的位置关系 相交 直线和⊙O有2个公共点 d<r 圆的割线 相切 直线和⊙O有1个公共点（切点） d=r 圆的切线 相离 直线和⊙O没有公共点 d>r （二）切线的判定、性质★ 圆的切线与圆只有一个公共点. 切线与圆心的距离等于半径（d=r） 切线定理：圆的切线垂直于过切点的半径★ ❶切线的性质 ①经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线. ❷切线的判定 切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长. 切线长定理：圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心连线平分两条切线的夹角 ❸ 小试牛刀 1．平面直角坐标系中，以O为圆心，5为半径作圆，若点P坐标是（3，4），则点P与⊙O的位置关系是（　 　） A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O上 D．点P在⊙O上或在⊙O外 2．如图，直线AB是⊙O的切线，点C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，则∠CED=（       ） A．30° B．35° C．40° D．45° 3．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P=40°，则∠B=（ ） A．20° B．25° C．40° D．50° 4．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB=（ ） A．55° B．70° C．110° D．125° 5．如图，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC＝110°；则∠A=（ ） A．15° B．30° C．35° D．45° 6．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，若PA＝6，则△PCD的周长为（　　） A．8 B．6 C．12 D．10 7．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，PO与AB相交于点C，PA=6，∠APB＝60°，则OC=（ ） A． B．3 C． D． 8．如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB=3，则光盘直径是（     ） A．3 B． C． D． 9．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AE、BD、CE的长。 方法❶：见切点，连半径，证垂直 · ①利用平行证垂直——如图，CD为⊙O直径，∠B=90°，CE平分∠ACB；求证：AE是⊙O的切线. · ②利用等角代换证垂直——如图，AB是⊙O直径，P是直径AB上一点（不与A，B重合），QP⊥AB，DQ=DC；判断：CD与⊙O的位置关系，并说明理由. · ③利用全等证垂直——如图，BC与⊙A相切于点D，CA=CB，AE⊥AC；求证：BF是OA的切线. 方法❷：无切点，作垂直，证半径 4．如图，⊙O中，AD//BC，AE⊥ BC，OD平分∠ADC；求证：CD是⊙O的切线. 知识点五 正多边形和圆 正多边形：各边相等，各内角也相等的多边形 中心：一个正多边形外接圆的圆心 中心角：正多边形每条边所对的圆心角 边心距：中心到正多边形一边的距离 内角和=（n-2）×180° 外角和=360° 小试牛刀 1．一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是（ ） A．正六边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形 2．若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．正十边形的中心角是（    ） A．18° B．36° C．72° D．144° 4．如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ABD=（ ） A．60° B．70° C．72° D．144º 5．在圆内接正六边形ABCDEF中，正六边形的边长为2，则正六边形的中心角和边心距分别是（     ） A．30°，1 B．45°， C．60°， D．120°，2 知识点六 圆的有关计算 一、扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形。 （二）圆锥的有关计算 · 圆锥：由一个底面和一个侧面围成的几何体。 · 母线：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。 小试牛刀 1．如图，一段公路的转弯处是一段圆弧，则的展直长度为（　　） A．3π B．6π C．9π D．12π 2．如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形；则扇形面积为（ ） A． B． C． D． 3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为4，∠B＝135°，则劣弧AC的长是（　　） A．4π B．2π C．π D． 4．如图是底面半径为3cm，母线为6cm的圆锥，则它侧面展开图的圆心角等于（ ） A．60° B．90° C．150° D．180° 5．如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥侧面积为（　　 ） A．30πcm2 B．48πcm2 C．60πcm2 D．80πcm2 6．如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则圆锥底面圆半径是（     ） A． B．1 C． D． 7．如图，矩形纸片ABCD中，AD=6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB=（      ） A．3.5cm B．4cm C．4.5cm D．5cm 8．如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径 CA=6，圆心角∠ACB=120°， 则此圆锥高 OC=___________． 三、解答题 1．如图，AB是⊙O直径，OD⊥AB，F是DE中点．（1）求证：CF是⊙O切线．（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC． 2．如图，△ABC为等腰三角形，O是BC中点，AB与⊙O相切于点D； （1）求证：AC是⊙O切线； 3．已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°． （1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长． 4．如图，已知P是⊙O外一点，PO交圆O于点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连接PB． （1）求BC的长；（2）求证：PB是⊙O的切线． 5．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于 E，BD交CE于点F．（1）求证：CF﹦BF；（2）若CD﹦6， AC﹦8，则⊙O的半径和CE的长． 6．如图，⊙O中AB为直径，AC=CD，∠ACD=120°.（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求阴影面积. 7．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BD=2，BF=2，求阴影的面积（结果保留π）． 8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，⊙O经过A、D两点，交AC于点E，交AB于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径是2cm，E是弧AD的中点，求阴影的面积（保留π和根号） 1 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