精品解析：江西省部分高中学校2024-2025学年高一上学期十一月联考数学试卷

高一数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：北师大版必修第一册第一章至第二章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“小数都是无理数”的否定为（ ） A. 所有小数都不是无理数 B. 有些小数是无理数 C. 有些小数不是无理数 D. 所有小数都是无理数 3. 若幂函数的图象经过点，则（ ） A. 16 B. C. 64 D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 的大小关系无法确定 5. 若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组函数中，两个函数为同一函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知集合，，且是的真子集，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 11. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点中心对称 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为__________. 13. 已知，则的最小值为______. 14. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是定义在上的函数，对任意的，存在常数，使得恒成立，则称是在上的限定值为的受限函数． （1）若函数是在上的限定值为的受限函数，求的取值范围； （2）若函数是在上的限定值为3的受限函数，求的最大值． 16. 已知函数. （1）判断在上的单调性，并用定义证明； （2）判断命题“，”的真假，并说明理由. 17. 眼下正值金柚热销之时，某水果网店为促销金柚，提供了阶梯式购买方案，购买方案如下表： 购买的金柚重量 金柚单价/（元） 不超过5kg的部分 10 超过5kg但不超过10kg的部分 9 超过10kg的部分 8 记顾客购买的金柚重量为，消费额为元． （1）求函数的解析式． （2）已知甲、乙两人商量在这家网店购买金柚，甲、乙计划购买的金柚重量分别为，．请你为他们设计一种购买方案，使得甲、乙两人的消费总额最少，并求出此时的消费总额． 18. 已知幂函数是奇函数，函数. （1）求； （2）若在上单调，求的取值范围； （3）若在上的最小值为，求. 19. 已知． （1）比较与的大小； （2）求的最小值； （3）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：北师大版必修第一册第一章至第二章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的运算求解即可. 【详解】由题意得， 则. 故选：A. 2. 命题“小数都是无理数”的否定为（ ） A. 所有小数都不是无理数 B. 有些小数是无理数 C. 有些小数不是无理数 D. 所有小数都是无理数 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定形式可直接求得结果. 【详解】易知命题“小数都是无理数”的否定为“有些小数不是无理数”. 故选：C 3. 若幂函数的图象经过点，则（ ） A. 16 B. C. 64 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数图象所过点的坐标，求出解析式，再求函数值即可. 【详解】设，则，得，所以. 故选：D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 的大小关系无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】用作差法计算比较的大小关系． 【详解】 ，故B正确． 故选：B． 5. 若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据判别式可求的取值范围. 【详解】由题设有，故， 故选：B. 6. 若函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可排除A，根据可排除B，根据函数图象的“直曲”排除C. 【详解】由图可知：为偶函数，且， 对于A，，为奇函数，不符合，舍去， 对于B，，不符合，舍去， 对于C，，为偶函数，且， 与图象不符，故C错误； 对于D，，为偶函数，且，满足图象特点，故D正确. 故选：D 7. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用换元法，令，解出，代入解析式，即可得到答案. 【详解】令，所以， 结合，得， 所以： 即. 故选：D. 8. 已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知，函数在上单调递减，根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，求解即可. 【详解】不妨假设，由，得，则在上单调递减， 所以，解得. 所以实数的取值范围是. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组函数中，两个函数为同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】两函数定义域和对应法则均一致，才是同一函数，对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】A选项，的定义域和对应法则均一致，A正确； B选项，的定义域为的定义域为， 两函数的定义域不同，不是同一函数，B错误； C选项，，故两函数的定义域和对应法则均一致，C正确； D选项，的对应法则不一致，D错误. 故选：AC 10. 已知集合，，且是的真子集，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】化简集合，分和两种情况讨论即可求. 【详解】由题意得， 因为是的真子集， 当时，，得； 当时，，得， 故的取值范围为. 故选：AD 11. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点中心对称 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用奇函数性质可得，再利用为偶函数可得B正确，结合对称中心以及对称轴可判断C正确，综合奇偶性和对称性可得的周期为8，计算可得D正确. 【详解】由是定义在上的奇函数可知，且； 又为偶函数，可得， 令，所以，即A错误； 由可知的图象关于直线对称，即B正确； 易知关于成中心对称，又关于直线对称， 所以的图象关于点中心对称，即C正确； 显然，即； 所以，即，所以， 可得是以8为周期的周期函数， 即，即D正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：在求解函数奇偶性、对称性、周期性等综合性质问题时，往往根据题目给出的两个性质推出第三个性质，再进行综合运用即可得出结论. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由根式有意义列不等式组求解即可. 【详解】由题意得，解得， 所以函数的定义域为， 故答案为： 13. 已知，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用基本不等式，结合“1”的妙用计算判断即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即，又因为， 所以当，时，取得最小值. 故答案为：. 14. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用偶函数的性质可得，结合已知可得，求解即可. 【详解】由，得， 因为是定义在上的偶函数，所以， 又因为在上单调递减，所以， 即，整理得，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是定义在上的函数，对任意的，存在常数，使得恒成立，则称是在上的限定值为的受限函数． （1）若函数是在上的限定值为的受限函数，求的取值范围； （2）若函数是在上的限定值为3的受限函数，求的最大值． 【答案】（1）； （2）4. 【解析】 【分析】（1）求出函数的最大值即可得的范围. （2）利用给定定义，结合二次函数的性质，由求出的最大值. 【小问1详解】 函数在上单调递增，，依题意，， 所以的取值范围是. 【小问2详解】 函数，，， 由函数是在上的限定值为3的受限函数，得，即， 解得，因此， 所以的最大值为4. 16. 已知函数. （1）判断在上的单调性，并用定义证明； （2）判断命题“，”的真假，并说明理由. 【答案】（1）判断：在上单调递增. 证明：，且，有， 因为，所以，，， 因此，即， 所以函数在上单调递增； （2）判断：命题“，”真命题. 因为根据题意可知，，且， 由(1)可知在上的单调递增，所以，即. 所以命题“，”是真命题. 【解析】 【分析】(1)利用定义法证明函数在上单调性步骤，取点，作差，判号，下结论； (2)由(1)可知在上单调递增，且，所以，然后整理判断即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 眼下正值金柚热销之时，某水果网店为促销金柚，提供了阶梯式购买方案，购买方案如下表： 购买的金柚重量 金柚单价/（元） 不超过5kg的部分 10 超过5kg但不超过10kg的部分 9 超过10kg的部分 8 记顾客购买的金柚重量为，消费额为元． （1）求函数的解析式． （2）已知甲、乙两人商量在这家网店购买金柚，甲、乙计划购买的金柚重量分别为，．请你为他们设计一种购买方案，使得甲、乙两人的消费总额最少，并求出此时的消费总额． 【答案】（1）； （2）一起购买，111元. 【解析】 【分析】(1)根据表格即可列出各段函数解析式; (2)分别计算各自购买的金额和一起购买金额，作差即可得到节省金额, 【小问1详解】 当时，； 当时，； 当时，； 综上可得：； 【小问2详解】 当甲、乙两人各自购买时，消费总额为（元）； 当甲、乙两人一起购买时，消费总额为（元）； 故由上可知当甲、乙两人一起购买时比他们各自购买时节省了6元，此时消费总额是111元. 18. 已知幂函数是奇函数，函数. （1）求； （2）若在上单调，求的取值范围； （3）若在上的最小值为，求. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据幂函数定义得到方程，结合函数的奇偶性，求出； （2）根据二次函数单调性得到不等式，求出的取值范围； （3）分，和三种情况，结合函数单调性，得到方程，求出或5. 【小问1详解】 由题意得，得或. 当时，是偶函数，不符合题意； 当时，是奇函数，符合题意， 故. 【小问2详解】 由（1）得，图象的对称轴为直线， 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为在上单调，所以或， 解得或，即的取值范围为. 【小问3详解】 当，即时，在上单调递减， ，解得，舍去； 当，即时，在上单调递增， ，解得，符合； 当，即时，在上单调递减， 在上单调递增，， 解得或0（舍去）. 故或5. 19. 已知． （1）比较与的大小； （2）求的最小值； （3）求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）利用作差法再根据判断出的符号即可得出列论； （2）根据基本不等式以及等号成立条件计算可得当时，的最小值为； （3）将表达式变形成再利用基本不等式即可得出当时，的最小值为4. 【小问1详解】 因为, 由可得， 所以， 即得. 【小问2详解】 因为， 当且仅当时，等号成立， 即的最小值为； 【小问3详解】 ， 当且仅当，且时，即时，等号成立； 此时的最小值为4. 【点睛】关键点点睛：在求解的最值时关键是通过合理变形配凑成积为定值的形式，再根据等号成立的条件计算可得出其最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $