精品解析：上海市实验学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

上海市实验学校2024-2025学年度第一学期期中考试 高二年级 数学试卷 一、填空题 1. 若空间中两条直线、确定一个平面，则、的位置关系为________. 2. 正方体的边长为1，直线与平面所成角的余弦值为____. 3. 已知等差数列的首项，公差，求第项的值为______. 4. 已知平行四边形的四个顶点均在平面的同一侧，若，，三点到平面的距离分别为2、3、4，则点到平面的距离为____. 5. 已知圆锥的底面积与侧面积之比为，则其轴截面顶角的正弦值为____. 6. 如图，矩形中，为AD的中点，，，连接EB，EC，若绕直线AD旋转一周，则所形成的几何体的表面积为__________. 7. 《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体为鳖臑. 如图，在鳖臑中，平面，，，，分别为棱上一点，则的最小值为____. 8. 防蝇罩是我国南方城市家庭中普遍使用的餐桌用品，可以使饭菜不受苍蝇的污染，某家庭预计购买一个防蝇罩，要求防蝇罩可以将摆放在桌面上四只等大的、直径为的碗完全罩住（防蝇罩与碗皆可视为半球且厚度忽略不计，且碗正放在桌上），则防蝇罩与桌面接触处半径至少为____.（结果取整数） 9. 如图，在长方体中，，，，分别为，的中点，点在矩形内运动（包括边界），若平面，则取最小值时，三棱锥的体积为____. 10. 设数列，…，即当时，，记为数列前项和.对于，定义集合是的整数倍，，且.集合中元素的个数为____. 二、单选题 11. 已知轴截面为正三角形的圆锥的体积为，则圆锥的高为（ ） A. B. C. D. 3 12. 设是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，则下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则与异面 D. 若，则 13. 正四面体棱长为1，平面，垂足为，设为线段上一点，且，则二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 14. 在直四棱柱中，底面为平行四边形，，，点在侧面内，且，则点轨迹的长度为（ ） A. B. C. D. 三、解答题 15. 如图，在三棱柱中，侧棱平面，，点是的中点. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 16. 设有数列，，若以，，，…，为系数的二次方程都有根，，且满足. （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的通项以及其前项和. 17. 如图，在三棱柱中，，，，点在底面的射影为的中点，点为的中点. （1）求证：平面； （2）求异面直线和夹角的大小； （3）设点为底面内（包括边界）的动点，且平面，若点的轨迹长度为，求三棱柱的侧面积. 18. 在正方体中，，，分别为，，的中点，棱长为. （1）请在图一作出过，，三点的平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹）. （2）计算截面的周长. （3）任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的每个面都有公共点，这样得到一个截面多边形，求该截面多边形的周长和面积的取值范围. 四、附加题 19. 已知点是指数函数图像上一点，等比数列的前项和为，数列的首项为，且数列的前项和满足. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式 （3）若数列前项和为，问的最小正整数是多少？ 20. 三棱锥中，侧棱两两互相垂直，为三角形的重心，为中点，作与平行的直线．证明： （1）写相交； （2）设与的交点为，则为三棱锥的外接球球心． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市实验学校2024-2025学年度第一学期期中考试 高二年级 数学试卷 一、填空题 1. 若空间中两条直线、确定一个平面，则、的位置关系为________. 【答案】平行或相交 【解析】 【分析】根据直线共面的定义可得出结论. 【详解】若空间中两条直线、确定一个平面，则、平行或相交. 故答案为：平行或相交. 2. 正方体的边长为1，直线与平面所成角的余弦值为____. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用线面角的定义直接求解. 【详解】在正方体中，平面， 则是直线与平面所成的角，而， 在中，， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 故答案为： 3. 已知等差数列的首项，公差，求第项的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可求通项公式，再代入计算即可得到结果. 【详解】因为等差数列的首项，公差，所以通项公式为： ，当时，即. 故答案为：. 4. 已知平行四边形的四个顶点均在平面的同一侧，若，，三点到平面的距离分别为2、3、4，则点到平面的距离为____. 【答案】3 【解析】 【分析】根据空间位置关系求得点到平面的距离. 【详解】如图，连接，相交于点，则点为和的中点， 分别作平面，平面，平面，垂足分别为，，， 则四边形为直角梯形，为梯形的中位线，因为，两点到平面的距离分别为2、4，则， 点B到平面的距离也为3，直线在平面的同侧， 所以上有两个点到平面的距离都为3，则直线平面， 故点D到平面的距离为3. 故答案为：3. 5. 已知圆锥的底面积与侧面积之比为，则其轴截面顶角的正弦值为____. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥底面积和侧面积公式可求得之间的比例关系，结合二倍角正弦公式可求得结果. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，轴截面顶角为， 圆锥的底面积与侧面积之比为，，即， ，，， . 故答案为：. 6. 如图，矩形中，为AD的中点，，，连接EB，EC，若绕直线AD旋转一周，则所形成的几何体的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】绕直线旋转一周，形成的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥形成的组合体，其表面积有三者的侧面积组成，代入圆柱和圆锥侧面积公式，可得答案． 【详解】因为矩形中，为的中点，， 所以，绕直线旋转一周， 形成的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥形成的组合体， 圆柱的底面半径，母线长，故侧面积为：， 圆锥的底面半径，母线长，故侧面积为：， 组合体的表面积由三者的侧面积组成， 故组合体的表面积. 故答案为：. 7. 《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体为鳖臑. 如图，在鳖臑中，平面，，，，分别为棱上一点，则的最小值为____. 【答案】 【解析】 【分析】结合垂直关系可得侧面的展开图，由此可确定当，时，取得最小值；利用长度关系和两角和差公式可求得，进而得到最小值. 【详解】平面，平面，，， ，，平面，平面， 又平面，； 将侧面沿展开，得到展开图如下图所示， 则当，时，取得最小值； ，，，， ，， ， . 故答案为：. 8. 防蝇罩是我国南方城市家庭中普遍使用的餐桌用品，可以使饭菜不受苍蝇的污染，某家庭预计购买一个防蝇罩，要求防蝇罩可以将摆放在桌面上四只等大的、直径为的碗完全罩住（防蝇罩与碗皆可视为半球且厚度忽略不计，且碗正放在桌上），则防蝇罩与桌面接触处半径至少为____.（结果取整数） 【答案】20 【解析】 【分析】结合半球的知识计算出正确答案. 【详解】依题意可知，防蝇罩的半径至少为cm. 故答案为：. 9. 如图，在长方体中，，，，分别为，的中点，点在矩形内运动（包括边界），若平面，则取最小值时，三棱锥的体积为____. 【答案】1 【解析】 【分析】先利用面面平行的判定定理证得平面平面，从而得到点的轨迹，进而求得取得最小值时点的位置，再利用三棱锥的体积公式即可得解. 【详解】在长方体中，取的中点E，的中点F，连接EF，，， 而分别为的中点，则， 由，得四边形为平行四边形，， 又平面，平面，则平面，同理平面AMN， 又平面，因此平面平面，又平面AMN， 则平面，即点在平面与平面的交线EF上， 当时，取最小值，又，则当取最小值时，P为EF的中点， 此时的面积， 三棱锥的体积. 故答案为：1 10. 设数列，…，即当时，，记为数列前项和.对于，定义集合是的整数倍，，且.集合中元素的个数为____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分类讨论结合分组求和求出，进而可得由题意，则为奇数，进而分析计算即可. 【详解】当为偶数，则 当为奇数，则 因此， 当时，， 于是 ， 依题意，，则，为奇数， 又，则， 所以集合中元素的个数． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：分为奇数和偶数和而得的表达式，进而探讨是求解的关键. 二、单选题 11. 已知轴截面为正三角形的圆锥的体积为，则圆锥的高为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】找到圆锥高和底面半径的关系，建立方程求解即可. 【详解】设圆锥的底面半径为，因为圆锥的轴截面为正三角形， 所以圆锥的高为，因为圆锥的体积为， 所以，解得， 故圆锥的高为，故A正确. 故选：A 12. 设是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，则下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则与异面 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】ABC选项根据空间中直线与平面的位置关系直接判断即可，D选项需要通过画图解释，另外需要结合线面垂直、面面垂直、线面平行的性质进行分析. 【详解】对A，若，则a与b相交、平行或异面都有可能，故A错误； 对B，若，则或a与b异面，故B错误； 对C，若，则a与b相交、平行或异面都有可能，故C错误； 对D，若，设与的交线为m，与的交线为n， 在平面内取，在平面内取，与a不重合， 由面面垂直的性质可得，所以， 又，所以，由线面平行的性质定理得， 所以有，故D正确. 故选：D. 13. 正四面体棱长为1，平面，垂足为，设为线段上一点，且，则二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接延长交于，则是中点，得是二面角的平面角．求出可得结论． 【详解】依题意，是中心， 连接延长交于，则是中点，连接，则，， 而平面，则平面， cc以平面，则，因此是二面角的平面角． 由，，得，， 又，由平面，平面，得， 所以二面角的余弦值. 故选：B 14. 在直四棱柱中，底面为平行四边形，，，点在侧面内，且，则点轨迹的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作，结合已知得，再结合平面几何知识即可求解. 【详解】 如图所示，过点作，过点作， 因为四棱柱是直四棱柱，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 因为直线平面， 所以， 因为，， 所以， 又因为， 所以， 因为点在侧面内， 所以在平面直角坐标系中来研究点轨迹的长度，如图所示： 点的运动轨迹为以点为圆心、半径为2的圆在正方形内部的弧， 显然，，所以， 所以. 故选：C. 三、解答题 15. 如图，在三棱柱中，侧棱平面，，点是的中点. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）解法一： 证明：连接与交于点，则是的中点，连接， 又是的中点，则有， 平面，平面，所以平面. 解法二：，则有，又平面， 以为原点，的正方向为轴，轴，轴的方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为，有， 令，则，得， 于是，且平面，故平面. （2）4 【解析】 【分析】（1）解法一：设与的交点为，利用三角形的中位线证明，可证得平面. 解法二：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法证明线面平行； （2）解法一：求出点到平面的距离，由求解即可. 解法二：向量法求点到平面距离，得到棱锥的高，可求体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法一： 取的中点，连接， 直三棱柱中，平面，平面，故， 又为的中点，则有且. 由，则有， 又，平面， 所以平面，平面. ，. 解法二： 在（1）的基础上，， 设平面的一个法向量为，， 令则，得， 于是点到平面的距离为， 于是. 【点睛】 16. 设有数列，，若以，，，…，为系数的二次方程都有根，，且满足. （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的通项以及其前项和. 【答案】（1）证明：， 代入中，得， 为定值，所以数列是等比数列； （2）； 【解析】 【分析】(1)根据韦达定理分别求得和代入，进而求得，进而可推知为定值，原式得证； (2)先根据求得数列的首项，再由(1)求得的公比，根据等比数列的通项公式进而可得；再根据等比数列的求和公式，求得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由(1)可知数列是以为公比的等比数列，， ，即； . 17. 如图，在三棱柱中，，，，点在底面的射影为的中点，点为的中点. （1）求证：平面； （2）求异面直线和夹角的大小； （3）设点为底面内（包括边界）的动点，且平面，若点的轨迹长度为，求三棱柱的侧面积. 【答案】（1） 在三棱柱中，连接， 由，O为的中点，得， 又平面，且平面，则，， 由，平面，得平面， 在中，分别为的中点，则，， 而，，则，， 即四边形为平行四边形，则， 所以平面. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）连接，可证平面，根据平行关系可得，进而可得结果. （2）根据给定条件，利用几何法求出直线和夹角. （3）根据面面平行分析可知：点P的轨迹为线段，结合题中的长度关系运算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在三棱柱中，， 由（1）知，，则， 所以异面直线和夹角的大小为. 【小问3详解】 连接， 由（1）可知：，且平面，平面，则平面， 在平行四边形中，分别为的中点，则，， 四边形为平行四边形，，且平面，平面， 于是平面，且，平面，所以平面平面， 且平面平面，则点P的轨迹为线段，即， 由，，为的中点，得， ，且为矩形，则， 在中，，则边上的高， 可得， 所以三棱柱的侧面积. 18. 在正方体中，，，分别为，，的中点，棱长为. （1）请在图一作出过，，三点的平面截正方体所得的截面（保留作图痕迹）. （2）计算截面的周长. （3）任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的每个面都有公共点，这样得到一个截面多边形，求该截面多边形的周长和面积的取值范围. 【答案】（1）作图： （2）； （3），面积的取值范围是. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用平面的基本事实作出截面多边形. （2）利用平行线分线段成比例定理及勾股定理求出周长. （3）由线面垂直的性质可知截面多边形的边与所在的正方形的对角线平行，利用相似比即可求得截面周长，再构造截面图形，建立面积的函数关系并求出范围. 【小问1详解】 画直线与线段的延长线分别交于点，连接分别交于， 连接，则五边形为截面. 【小问2详解】 由分别为的中点，得，而， 则，由，得，， ，同理，而， 所以截面的周长. 【小问3详解】 在正方体中，连接，， 由平面，平面，得， 又，平面，则平面， 又平面，于是，同理，而， 则平面，又平面，则平面平面， 令平面与平面，而平面平面，则， 同理得平面与正方体其他各面的交线都与所在正方形的对角线平行， 令，则，， ，同理， 所以该截面多边形的周长. 由截面与正方体各面的交线平行于所在正方形的对角线， 得不论六边形如何平行移动，它的每个内角都是，且相邻边长的和为， 边长为的菱形中，，在上分别取点， 使，过作的平行线交分别于， 则六边形的每个内角都是，任意相邻相邻边长的和为， ，六边形的面积 ， ，，， 所以截面多边形面积的取值范围是. 四、附加题 19. 已知点是指数函数图像上一点，等比数列的前项和为，数列的首项为，且数列的前项和满足. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式 （3）若数列前项和为，问的最小正整数是多少？ 【答案】（1） （2） （3）72 【解析】 【分析】（1）先设函数，由等比数列的前n项和为求出，再求出，进一步求出公比，确定其通项公式； （2）分解因式为，结合条件判断为等差数列，再利用当，求. （3）裂项求得数列的前n项和为，求解关于n的不等式可得最小正整数. 【小问1详解】 设指数函数，则，即，． ， ． 又数列成等比数列，，． 又公比，． 【小问2详解】 ， 又，，， 故为首项为1、公差为1的等差数列，． 当，，当时也满足， 【小问3详解】 ，则 由    ，得，即， 则最小正整数为72 20. 三棱锥中，侧棱两两互相垂直，为三角形的重心，为中点，作与平行的直线．证明： （1）写相交； （2）设与的交点为，则为三棱锥的外接球球心． 【答案】 （1） 因为DP//SC，所以DP，CS共面， 因为面DPC， 面DPC， 在面DPC内SM与SC相交，所以SM与DP相交. （2）因为两两互相垂直，所以面SAB， ， 因为DP//SC，所以， 因为M为D的重心，所以， 取SC中点，连为矩形，所以， 由三线合一定理得，同理， 即在以为球心为半径的球上，为三棱锥的外接球球心. 【解析】 【详解】（1）略 （2）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $