精品解析：上海市同济大学附属嘉定实验中学2024-2025学年九年级上学期数学期中考试卷

2024学年度第一学期九年级数学期中考试试卷2024．11 （考试时间：100分钟，满分150分） 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分，每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂） 1. 下列线段中，能成比例的是（ ） A. 3cm、6cm、8cm、9cm B. 3cm、5cm、6cm、9cm C. 3cm、6cm、7cm、9cm D. 3cm、6cm、9cm、18cm 【答案】D 【解析】 【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案． 【详解】A.，故此选项不符合题意； B.，故此选项不符合题意； C.，故此选项不符合题意； D.，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一． 2. 在直角中，，那么下列关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义判断解答即可． 本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：画图如下： A. ，故选项错误，不符合题意； B. ，故选项正确，符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意； D. ，故选项错误，不符合题意； 故选：B． 3. 已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ）． A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】B 【解析】 【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解． 【详解】解：、左边得出的是的方向不是单位向量，故错误； 、符合向量的长度及方向，正确； 、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误； 、左边得出的是的方向，右边得出的是的方向，两者方向不一定相同，故错误． 故选：． 【点睛】本题考查了向量的性质． 4. 已知P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，那么下列比例式能成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由于点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，故有AP2=BP×AB，那么. 【详解】∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP， ∴AP2=BP×AB， 即，故A正确，B、C错误； ，故D错误； 故答案为A. 【点睛】本题考查了黄金分割的知识，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割． 5. 在中，点D、E、F分别在边上，联结DE、DF，如果，，且，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．由，得到，再由，根据平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 则， ∵， ∴， 故选：C． 6. 如图，点D是内一点，点E在线段的延长线上，与交于点O，分别连接、、，如果，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 利用相似三角形的判定与性质解答即可． 【详解】， ， ， ， ， ， ， D选项的结论符合题意 ，， 则， ， ， 与不一定相等， 故C选项的结论不符合题意， 已知条件不能证明，，故A、B选项不符合题意， 故选：D． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分，在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案） 7. 如果，那么的值等于_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据比例的基本性质推出x＝3y，从而求出结论． 【详解】解：∵， ∴3x﹣3y＝2x， 故x＝3y ∴＝3． 故答案为：3． 【点睛】此题考查的是比例的变形，掌握比例的性质是解决此题的关键． 8. 甲、乙两地的实际距离是35千米，在比例尺为的地图上甲乙两地的距离是_____厘米． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了有关比例尺的计算，解题的关键是理解数字比例尺的含义：即图上1厘米代表实地距离500000厘米，因此在计算时要注意将实地距离的单位换算成厘米．根据实际距离××比例尺=图上距离，代入数据计算即可． 【详解】解：35千米， ， 故答案为：7． 9. 如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F．如果，DF=15，那么线段DE的长是__． 【答案】6 【解析】 【分析】由平行得比例，求出的长即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， 故答案为：6. 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例性质是解本题的关键． 10. 已知点，那么直线与轴夹角的正弦值是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正弦函数．在直角坐标系中，过作轴，构造直角三角形，可得直线与轴夹角的正弦值． 【详解】解：过作轴，交轴于点，则， ∵， ∴， 在中，， 直线与轴夹角的正弦值， 故答案为：． 11. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若，，则用、可表示为_____． 【答案】 【解析】 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，OB=OD， ∵， ∴， ∴. 故答案为：. 12. 如图，AC与BE交于点D，∠A＝∠E＝90°，若点D是线段AC的中点，且AB＝AC＝10．则BE的长等于_____． 【答案】6． 【解析】 【分析】利用勾股定理求出BD，再利用相似三角形的性质求出DE即可解决问题． 【详解】解：∵AD＝DC＝5，AB＝10，∠A＝90°， ∴BD＝5， ∵∠ADB＝∠CDE，∠A＝∠E＝90°， ∴△ABD∽△ECD， ∴, ∴, ∴DE＝， ∴BE＝BD+DE＝6， 故答案为6． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 13. 在△ABC中， AB=12，AC=9，点D、E分别在边AB、AC上，且△ADE与△ABC与相似，如果AE=6，那么线段AD的长是______． 【答案】8或； 【解析】 【分析】分类讨论：当，根据相似的性质得；当，根据相似的性质得，然后分别利用比例性质求解即可． 【详解】解：， 当，则，即，解得； 当，则，即，解得， 综上所述，的长为8或． 故答案为：8或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．解决本题时分类讨论边与边的对应关系是解题的关键. 14. 如图，在中，点D、E分别在边上，与相交于点O，，如果，那么的值等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式得到，根据，得到，根据相似三角形的对应边的比等于相似比解答即可．本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 【详解】解：∵， （等高，面积的比等于底边的比）， ， ∴， ∴， ， ， ∴ ， ， 故答案为：． 15. 如图，正方形内接于，，，如果的面积是30，那么正方形的边长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质确定平行线，继而确定相似三角形，根据矩形性质，相似三角形的性质列比例式计算，计算面积即可． 本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握三角形相似判定和性质是解题的关键． 【详解】解：过点A作于点M，交于点N， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵，的面积是30， ∴； ∵， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 16. 如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于C，点D在边上，，与交于点F，连接，如果，，那么_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过点C作于点M，过点E作于点N，利用特殊角的三角函数，三角形相似的判定和性质，勾股定理，直角三角形的判定，解答即可． 【详解】解：如图，过点C作于点M，过点E作于点N， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数，三角形相似的判定和性质，勾股定理，直角三角形的判定，熟练掌握特殊角的三角函数，三角形相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 17. 在中，，，，点D、E分别是边、的中点，将绕着点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别为点、，当直线经过点A时，线段的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】利用三角形的相似，勾股定理，三角形中位线定理，分类思想解答即可． 【详解】解：如图1，当时， ∵，，，点D、E分别是边、的中点，将绕着点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别为点、， ∴，，， ∴， ∴， ∴，，，， ∵直线经过点A， ∴， ∴， 根据题意，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图2，根据题意，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 故答案为：或 ． 【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，三角形中位线定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 18. 在一个三角形中，如果有两条中线互相垂直，我们把这样的三角形称为“中垂三角形”．如果是“中垂三角形”，是中线，，，那么的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的性质以及三角形中位线性质等知识，分、、三种情况讨论，运用相似三角形的判定与性质，勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵为“中垂三角形”，即于点P， 又∵， ∴ ∴， ∵分别是中线，连接， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 在中， ∴， ∴； 如图，当时， 同理可得，，， 在中， ∴ ∴； 如果是“中垂三角形”，设三条中线相交于P，当时，取中点G，连接，过G作于H， ∵为中点， ∴， ∵G为中点， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴，这与垂线段最短相矛盾， ∴不存在； 综上，的长为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共7题，满分78分，将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，分母有理化，二次根式的化简，熟练掌握三角函数值，分母有理化是解题的关键．根据特殊角的三角函数值代入计算，化简解答即可． 【详解】 ． 20. 如图，与相交于点E，，点F在的延长线上，连接，如果平分，，． （1）求的长； （2）设，，用含、的式子表示． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质，三角形的相似判定和性质，角的平分线的定义，等腰三角形的判定，解答即可． （2）利用相似，和向量和计算即可． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的相似判定和性质，角的平分线的定义，等腰三角形的判定，向量的基本计算，熟练掌握三角形相似的判定和性质，向量的计算是解题的关键． 21. 如图，在中，点在边上，点、点在边上，且，． （1）求证：； （2）如果，，，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（）由平行线分线段成比例得到，即可得到，进而得到，即可证明，得到，即可求证； （）根据题意得，，即得，，即可得，进而可得，再由相似三角形的性质即可求解； 本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，平行线的判定，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 如图，在中，，，的垂直平分线交边于点，交边于点，交的延长线于点． （1）求的长； （2）求的正弦值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）过作于点，在中通过，求出即可求解； （）过作于点，在中通过，求出即可； 此题考查了解直角三角形和等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用． 【小问1详解】 如图，过作于点， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵垂直平分，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图，过作于点， ∴， 在中，，即， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，点E在边AB上，联结CE交BD于点O，且，AF是∠BAC的平分线，交BC于点F，交DE于点G. (1)求证：CE⊥AB. (2)求证：. 【答案】 (1)证明：∵， ∴. ∵BD是AC边上的高， ∴∠BDC = 90°，△ADB和△ODC是直角三角形. ∴Rt△ADB∽Rt△ODC. ∴∠ABD =∠OCD. 又∵∠EOB=∠DOC，∠DOC+∠OCD+∠ODC=180°， ∠EOB +∠ABD+∠OEB =180°. ∴∠OEB = 90°. ∴CE⊥AB. (2)证明：在△ADB和△AEC中， ∵∠BAD=∠CAE，∠ABD =∠OCD， ∴△ADB∽△AEC. ∴， 即. 在△DAE和△BAC中 ∵∠DAE =∠BAC，. ∴△DAE∽△BAC. ∵AF是∠BAC的平分线， ∴，即. 【解析】 【分析】（1）首先判定Rt△ADB∽Rt△ODC，得出∠ABD =∠OCD，然后通过三角形内角和转换得出∠OEB = 90°，进而得出CE⊥AB； （2）首先判定△ADB∽△AEC，得出，然后再判定△DAE∽△BAC，得出，进而得出. 【详解】(1)略 (2)略 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握，即可解题. 24. 在平面直角坐标系中（如图），一次函数图像与反比例函数图像相交于点和，点是该反比例函数图像上的一个动点，连接，与y轴的正半轴交于点D． （1）求一次函数解析式及的面积； （2）当时，求点C到x轴的距离； （3）当与x轴夹角与相等时，求m的值． 【答案】（1），4 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据一次函数图像与反比例函数图像相交于点和，确定，，代入解析式计算即可．设直线与y轴的交点为N，利用直线解析式计算，结合计算即可． （2）过点A作轴于点Q，过点C作轴于点R，根据三角形相似，反比例函数的性质，结合，求点C的纵坐标，再计算其绝对值即可得到与x轴的距离； （3）过点O作于点S，计算，， 过点C作轴于点T，利用等角的三角函数值相等，建立方程，结合反比例函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：根据一次函数图像与反比例函数图像相交于点和， 设反比例函数的解析式为． 则， 解得， 则反比例函数的解析式为． 当时， 故点， 设一次函数解析式为， ∴， 解得， 故解析式为；． 设直线与y轴的交点为N， 则， 故， ∴． 【小问2详解】 解：过点A作轴于点Q，过点C作轴于点R， 则， 故， ∴， ∵，， ∴， 解得， 故， ∴， ∴点C到x轴的距离为； 【小问3详解】 解：过点O作于点S， ∵点和， ∴，， ∴， ∴， ∵点是该反比例函数图像上的一个动点， ∴，， 过点C作轴于点T， 根据题意，得， ∴， 整理，得（舍去）， ∴， 解得（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法，三角函数的应用，勾股定理，反比例函数的性质，解方程，熟练掌握待定系数法，三角函数的应用是解题的关键． 25. 如图，是边长为4的等边三角形，点D与点B分别位于直线的两侧，且，连接、，交直线于点E． （1）当时，求线段的长． （2）过点A作，垂足为点H，直线交于点F， ①当时，设，，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ②当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2）①，且②或2 【解析】 【分析】（1）过点B作于点F，根据等边三角形的性质，对顶角的性质，三角函数的定义，解方程即可． （2）①当时，设，设，，根据等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，证明，结合解答即可． ②分两种情况进行讨论，当时，得或，解方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点B作于点M， ∵是边长为4的等边三角形，且， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：①当时，设，设， 根据题意，得， ∵是边长为4的等边三角形，且， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据（1）的证明，得， ∴，且； ②解：情况一：当时， 当时，得， 整理，得， 解得（舍去）， 故的长为； 情况二：当时，如图所示， 同①可证， ∴， 根据（1）的证明，得， ∴， 当时，得， 整理得，， 解得（负值舍去）， 故的长为2； 综上，的长为或2． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，一元二次方程的解法，三角函数的应用，熟练掌握等边三角形的性质，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年度第一学期九年级数学期中考试试卷2024．11 （考试时间：100分钟，满分150分） 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分，每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂） 1. 下列线段中，能成比例的是（ ） A. 3cm、6cm、8cm、9cm B. 3cm、5cm、6cm、9cm C. 3cm、6cm、7cm、9cm D. 3cm、6cm、9cm、18cm 2. 在直角中，，那么下列关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ）． A. ； B. ； C. ； D. ． 4. 已知P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，那么下列比例式能成立的是( ) A. B. C. D. 5. 在中，点D、E、F分别在边上，联结DE、DF，如果，，且，那么的值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点D是内一点，点E在线段的延长线上，与交于点O，分别连接、、，如果，那么下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分，在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案） 7. 如果，那么的值等于_____． 8. 甲、乙两地的实际距离是35千米，在比例尺为的地图上甲乙两地的距离是_____厘米． 9. 如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F．如果，DF=15，那么线段DE的长是__． 10. 已知点，那么直线与轴夹角的正弦值是__________． 11. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若，，则用、可表示为_____． 12. 如图，AC与BE交于点D，∠A＝∠E＝90°，若点D是线段AC的中点，且AB＝AC＝10．则BE的长等于_____． 13. 在△ABC中， AB=12，AC=9，点D、E分别在边AB、AC上，且△ADE与△ABC与相似，如果AE=6，那么线段AD的长是______． 14. 如图，在中，点D、E分别在边上，与相交于点O，，如果，那么的值等于_______． 15. 如图，正方形内接于，，，如果的面积是30，那么正方形的边长是_______． 16. 如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于C，点D在边上，，与交于点F，连接，如果，，那么_____． 17. 在中，，，，点D、E分别是边、的中点，将绕着点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别为点、，当直线经过点A时，线段的长为______． 18. 在一个三角形中，如果有两条中线互相垂直，我们把这样的三角形称为“中垂三角形”．如果是“中垂三角形”，是中线，，，那么的长为______． 三、解答题（本大题共7题，满分78分，将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上） 19. 计算： 20. 如图，与相交于点E，，点F在的延长线上，连接，如果平分，，． （1）求的长； （2）设，，用含、的式子表示． 21. 如图，在中，点在边上，点、点在边上，且，． （1）求证：； （2）如果，，，求的值． 22. 如图，在中，，，的垂直平分线交边于点，交边于点，交的延长线于点． （1）求的长； （2）求的正弦值． 23. 如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，点E在边AB上，联结CE交BD于点O，且，AF是∠BAC的平分线，交BC于点F，交DE于点G. (1)求证：CE⊥AB. (2)求证：. 24. 在平面直角坐标系中（如图），一次函数图像与反比例函数图像相交于点和，点是该反比例函数图像上的一个动点，连接，与y轴的正半轴交于点D． （1）求一次函数解析式及的面积； （2）当时，求点C到x轴的距离； （3）当与x轴夹角与相等时，求m的值． 25. 如图，是边长为4的等边三角形，点D与点B分别位于直线的两侧，且，连接、，交直线于点E． （1）当时，求线段的长． （2）过点A作，垂足为点H，直线交于点F， ①当时，设，，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ②当时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $