练习25 运动路径的计算-练习28 与圆有关的综合题(1)-【课时提优计划作业本】2024-2025学年九年级数学上册（苏科版）

九年级 上 练习25 运动路径的计算 【方法提示】结合实际,弄清楚运动过程中动点运动的路径是线段还是圆孤,再根据相关公 式计算. 1. 已知一个半圆形工件,搬动前如图所示,直径平行于地面放置,搬动时为了保护圆狐部 分不受损伤,先将半圆作如图所示的无滑动翻转,使它的直径紧贴地面,再将它沿地面 平移50m,半圆的直径为4m,则圆心O所经过的路线长是 m. C (第1题) (第2题) 方向滚动到点C时停止,请你根据题意,在图上画出圆心O运动路径的示意图,圆心C 运动的路程是 3. 小明在如图所示的粗糙的平面轨道上滚动一个半径为8cm的圆盘,已知AB与CD是 水平的,BC与水平方向的夹角为60{*},四边形BCDE是等腰梯形,CD一EF一AB= BC-40cm. (1)请作出小明将圆盘从A点滚动至F点其圆心所经过的路线示意图 (2)求出(1)中所作路线的长度 (2 提分练习 练习26 阴影部分面积的计算 【方法提示】通过分割转化、等积转化等方式可以将阴影部分(不规则图形)的面积转化为 可计算的图形的面积 1. 如图,线段AB的长为2.先以AB为直径作半圆,再分别以点A和点B为圆心、AB的 长为半径画孤,两狐相交于点C,则图中阴影部分的面积为 (第2题) (第3题) (第1题) (第4题) 2. 如图,已知扇形AOB的半径为2,AOB-120{},将扇形AOB绕点A顺时针旋转30。 得到扇形AOB',则图中阴影部分的面积为 3. 如图,正方形ABCD的边长为1,以点A为圆心、AB的长为半径画张,交AD于点D 连接AC,再以点A为圆心、AC的长为半径画狐,交AD的延长线于点E,则图中阴影 部分的面积为 4. 如图,在扇形AOB中,AOB-120{},OA-2,分别以点A和点B为圆心、OA的长为 半径作狐,两孤交AB于点C,则图中阴影部分的面积为 5. 如图,O的半径为2,半径OP被弦AB垂直平分,交点为Q,点C在圆上,且BC-BP. (1)求弦AB的长 (2)求图中阴影部分的面积(结果保留x) 2) 九年级 上 练习27 圆锥的计算 【方法提示】解答圆锥问题关键是抓住两点:(1)圆锥的母线是展开图的半径;(2)底面圆周 长等于展开图的狐长 1. 小华的爸爸要用一块矩形铁皮加工出一个底面半径为20cm,高为40/2cm的锥形漏 斗,要求只能有一条接缝(接缝忽略不计). (1)你能求出这个锥形漏斗的侧面展开图的圆心角吗? (2)如图,有两种设计方案,请你计算一下,哪种方案所用的矩形铁皮面积较少? 600 0 G) 图1 图2 2.【问题情境】如图1,将一个底面半径为,的圆锥侧面展开,可得到一个半径为/,圆心角为 r的扇形,工人在制作圆锥形物品时,通常要先确定扇形圆心角度数,再度量裁剪材料 【探索尝试】 (1)图1中,圆锥底面周长与其侧面展开图的弥长 (填“相等”或“不相等”).若 --3,/-9,则- 【解决问题】 (2)为操作简便,工人希望能快捷地求”的值,请用含r、/的式子表示。 【拓展延伸】 (3)图2是一种纸质圆锥形生日帽,AB一6cm,/一6cm,C是PB的中点,现要在点A 到点C再到点A之间拉一条装饰彩带,求彩带长度的最小值 1 图1 图2 (27 提分练习 练习28 与圆有关的综合题(1) (2023·泰州)已知A、B为圆上的两个定点,点C在该圆上, C为AB所对的圆周角 知识回顾 (1)如图1,在O中,点B、C位于直线AO异侧,AOB十/C=135* ①求/C的度数 ②若。O的半径为5,AC-8,求BC的长 逆向思考 (2)如图2,若P为圆内一点,且 APB 120*,PA=PB, APB=2/C求证:P为该圆 的圆心. 拓展应用 (3)如图3,在(2)的条件下,若 APB一90{,点C在P位于直线AP上方部分的圆狐上 运动,请证明:满足CD一/2CB一CA的P上的所有点D中,必有一个点的位置始终 不变. 图1 图2 图3 2)的坐标分别为(-5,0)、(5,0)，.OB=OC-5,.BD+CD= OB+OC=10,.CD=5-32,.OD=0C-CD=5-(5 3v2)=3v2,∴圆心M的横坐标为3,2. V 30 图1 图2 2.(1)6003解析：如图，连接OAOB,过点O作OT⊥AB, 8 垂足为T:六边形ABCDEF是正六边形，∠AOB=36C 6 3.(1)212解析：a=90°，b=6,a=8,∴c=10.如图1，设60°.又0A=OB,∴.△AOB是正三角形，.OA=OB=AB= D,E、F分别是⊙O的切点，连接PD,PE,PF,连接OA,OB、 20 m.AT=BT-TAB=10 m.:OT=/OA-AT 0C“Sa=Sm+Sm+Sam,3X6X8=壹× V20-10=103(m,∴5e5mg=6S8B=6×号× 1Om十号X6m+号X8m,m=2.又易知四边形DPEC为正 20×103=600√3(m).(2)如图，过点G作GS⊥AF,垂足 方形，∴n=PD=号(CD+CE),由切线长定理可知，AF= 为S,则∠GAS=180°-120°=60°，.∠AGS=3.设AG AD.BF-BE.(CD+CE)(AD+AC+BE+ rm则AS-rmXG=VG-S=号xm“AG=Q, AB=AF,.AQ-BG=(20-x)m设种植草皮的面积为Sm, BO=AF+AC+BF+BC)=2(AB+AC+C)=专× (10+6+8)=12. a5-5a-6x号×(20-0×停=-8r+0r 3号-109+150京.“a=-35<0∴当x=10时s 2 的值最大，最大值为1503.答：当AG的长度为10m时，草 皮的种植面积最大，最大面积是150√3m, BE B E 图1 图2 ab (2)。+b+c a+b十Emi 2 解析：如图1，由切线的性质可 知，PDLCD,PE⊥BC,PF⊥AB.:PD=PE=PF,设△ABC的 面积为S,周长为Cwr,同(1)，根据面积法可知，m CweCD+CE)-(AD+ 2SNC= ab 练习25运动路径的计算 1.(2π+50) 解析：由图形可知，圆心先向前运动OO的长 AC+BE+BC)=号(AF+AC+BF+BC)=名(AB+AC+度（即圆周长的），然后沿着O0,旋转圆周长的，最后向 B0=Cw=t中，Sr=uC2匹=m. 右平移50m,所以圆心总共走过的路程为圆周长的一半（即 2 2 (3)如 羊圈的孤长)加上50m.由已知得圆的半径为2m,设半圆形 图2，连接CR.由切线长定理，得CD=CE=2(CD+CE)= 的弧长为1m,则半圆形的弧长1=180X2-2x(m,放圆心 180 (AD+AC+BE+BC)=(AF+AC+BF+BC)= O所经过的路线长为(2π十50)m. (AB+AC+BC)-Cawe.PDLCD.PELBC..CP 平分∠ACB.∠PCE=30,∴n=PE=里=Cg 323 2.示意图如图所示。 3C巡mwnC vem 6 2 练习24正多边形与圆 1.如图，4一△：一(S一SE八边形）一(S州一SE+三边） S=5=12×号×1X1X号8×号×1X1×解折，00，=AB=a0-需-名00=C-号 号-822 调心0运动的路程是十号xr+罗-=2ax 50》 31D如图所示.(21=5X40+需x×8X2-4X8×专=D如图，连接OB“AB垂直平分OP,∴OB=BR又 3 OP=OB,∴.△COPB是等边三角形，∴∠POB=60, 20+-2 3 ·∠0BQ-30.·0Q=号0B=7×2=1.BQ- OB-OQ=2-1下=5.：OP⊥AB,∴.AB=2BQ= D 25.(2)如图，连接(OC,BC.BC=BP,∴.∠BOC=∠POB 609 =60°.，OC=OB,.△OBC是等边三角形，∴.∠OBC=60°， B ∠OBC=∠BOP,.BC∥OP,∴.S△r=S△，.Smss分= 练习26阴影部分面积的计算 Sr=60xX2_2红 360 .吾-厅解析：50=2x02-9×2-古×x× 360 1=爱-. 2.π一3解析：如图，连接(OC、AB、BC,OC与AB交于点 H.由题意可知，A,O、B三点在同一条直线上，∠OAO=30° 由旋转可知，AB=AB,∠OAB'=30°.∴∠OAC=∠OAO+ ∠0AB'=30°+30°=60°.又.0A=0C,,.△AC是等边三 角形.∴.∠AOC=60.又∠AOB=120°，.∠BC=∠AOB 练习27圆锥的计算 ∠AC=120°一60°=60°.又：OB=(OC,∴△B0C是等边三1.(1)圆锥的母线长为/20+(402)=60(cm).设这个锥 角形，∴.四边形AOBC是菱形.在Rt△OHA中，QA=2,形漏斗的侧面展开图的圆心角为n°，根据题意，得2x× ∠0H1=0,0H=立0A=专×2=1.AH=20=高0，解得=120，即这个锥形漏斗的侧面能开图的 √OA-OH=√2-下=5，∴.CH=OH=1,AB=2AH=圆心角为120°.(2)如题图1，AB=OM=60m,∠MON= 25.根据对称性可得，∴S阴影常分=S形wr一S△M= 120,在R△OBM中，：∠B0M=30,∴BM=号OM=号× 30m×(2B)-号×23×1=-3. 360 60=30(m),.OB=√OM-BM=/60-30=30v3(cm), ∴.BC-2OB=60W5m,∴.方案一所需的矩形铁皮的面积为 60X603=36003(cm).如题图2，EF=OM=ON= 60cm,∠MON=120°，在Rt△FOM中，，∠FOM=60°， ÷∠0MF=30,0F=0M=7×60=30(am.FG= OF+OG-30+60=90(cm),∴.方案二所需的矩形铁皮的面 3 解析：，四边形ABCD是正方形，且边长为1，AB= 积为90×60=5400(cm).,3600,3>5400,∴.方案二所用 BC=1,∠BAD=90°，∠DAC=45,∴.AC=√AB+C= 的矩形铁皮面积较少. X62y+号×1×1 2.(1)相等120解析：由题意可知，圆锥底面周长与其侧 √1十1下=2，∴S影都分= 360 90m×1=1 面展开图的弧长相等.：%=2=31=9，n=千× 360 21 360=号×360=120，(2)由圆维的底面周长等于扇形OE 4智-25解析：如图，连接BC,OC,过点O作OD1AC 于点D.由题意可知，BC=BO=OC=OA=2.∴.△BOC是等 的流长得2ar-需m=2r0-（3:1-6。 πl 边三角形，∴.∠BC=60°.又：∠AOB=120°，∠A0C r=3=360X3=180,圆维的侧面展开后得到的扇形圆 6 ∠B0C=60.SEm=Sw.OD1BC.BD-DC-号C- 心角为180∴∠APC=×180°=9g.由题意可知，PN 1 ×2-1,OD=vOB-BD=/2-下=5，∴Smx= PB=6am∴PC=号PB=3am在△C巾，由勾股定理得 之BC·0D=号×2X5=3,Sma=2(Smar AC=√PA干P=6+3=35(cm),.彩带长度的最 5)=2x(02-5）--28. 小值为2A'C=65cm 360 《51 练习28与圆有关的综合题(1) (1)①，∠A0B+∠C=135,∠A0B=2∠C.∴.3∠C=135, ∠C=45°，②如图1，连接AB,过点A作AG⊥BC,垂足 为G.由①得，∠C=45.又AC=8,.△ACG是等腰直角三角 形，且AG=CG=42.∠AOB=2∠C=90°，QA=(OB. 图1 图2 ∴△4B是等腰直角三角形，：AB=2OA=52.在R1△ABG(2)证明：如图2，连接DE·∠DCE=90°，DE为⊙0的直 径，即DE=2r,∴.CD+CE=DE=4r. 中，由勾股定理得G=A形-AG=√(52)-(42)= (3)448解析：如图3，CD+CE是定值，FG是⊙O的弦 3/2.∴.BC=CG+BG=42+32=7√2 ,⊙O的半径为8，.弦心距越小则弦FG越长，圆心O在以 点C为圆心，8为半径的圆上，当OC⊥AB时，点O到AB的距 离最短，此时FG最大，在Rt△ABC中，由勾股定理得AB= VAC+C=V+2D=25.:5%m=号4AC·BC= 2AB.CH∴CH15%20-=120C-8,0H=CH-0C 25 12-8=4,.FH=GH=OF-OF=82-4平=45， 图1 图2 ∴.FG=2FH=83,.CD+CE+FG的最大值为16+ (2)证明：如图2，连接AB,过点P作AB的垂线，垂足为H,交 (83)=448. ⊙O于点M,反向延长PM交⊙O于点N.,PA=PB,∴.MN 垂直平分AB,∴.该圆的圆心在MN上.假设点P不是该圆的 圆心，则圆心在PM上或PN上.若圆心为O,且在PM上，连 接OA,OB,则∠AOB>∠APB.:点C在圆上，∴.∠AOB= 2∠C..2∠>∠APB,与已知∠APB=2∠C矛盾，.圆心O 不在PM上：若圆心为O,且在PN上，连接OA、OB,则 ∠APB>∠AOB.点C在圆上，∠AOB=2∠C. ∴.∠APB>2∠C,与已知∠APB=2∠C矛盾，，圆心O不在 图3 图4 PN上.综上所述，圆心在点P处，即P为该圆的圆心 46≤<2到 4 解析：如图4，当⊙O与边AB相切时， (3)如图3，过点A作AF⊥BC,垂足为F,并延长交⊙O于点 E,连接BE、DE.∠APB=90°，∴.∠ACB=45°，∠AEB= ⊙O的直径最小，最小值为12，此时r=6:当圆心O在AB 上时，圆的直径最大，为25.满足题意的r的取值范围是6≤ 5∴△APC是等腰直角三角形，CP-受CA:CD-2CB- <空：圆心距离AB最近时，CD+CE+PG的值最大，当 CA号CD=CB-号CA=GB-CF=那：∠FE=0, 半径比较小时，圆心O在CH上时.CD+CE+F?的值最 大.当圆心在CH上，圆正好经过点A时，设OA=(OC=r, ∠AEB=45,∴.BF= 号E∴E=CD.:点D在⊙P上， 在Rt△AOH中，则有OA=F+AH,即2=(12 .BE-CD,.CE=BD,∠BED=∠CBE,.BC∥DE.又 9+9,解得-安0H=CH-0C=12-要-器当> BC⊥AF,∴DE⊥AE,∴∠AED=90°，∴AD是⊙P的直 径.综上所述，满足CD=2CB一CA的⊙P上的所有点D 夏时，若圆心0还在CH上，则点A在⊙0内，⊙0不与边 中，必有一个点的位置始终不变 AC相交，此时圆心在AC的中垂线上∴当6<≤受时，圆心 O在CH上，当得<<罗时，圆心O在AC的中垂线上，则 CD+CE+G的值最大，∴.点O的路径为图4中折线 0-0-0.0H=6.0H=g00=0H-QH 6-段-5又：40=2H=9.H0-空-9=名 B 图3 00=1(受)+（得）-要∴点0的路径长为得+ 练习29与圆有关的综合题(2) 35-31 (1)如图1即为所求. 84 52>