练习21 圆与图形相切问题-练习24 正多边形与圆-【课时提优计划作业本】2024-2025学年九年级数学上册（苏科版）

九年级上 练习21圆与图形相切问题 【方法提示】由于切点位置不明确，需要运用分类讨论思想 1.如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=6,∠ABC=30°，点D在线段AB上运动， 点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D,并交EC的延长线于点F,当AD的长度 为 时，EF与半圆相切. D方 (第1题) (第2题) 2.射线QN与边长为4cm的等边三角形ABC的两边AB、BC分别交于点M、N,且 AC∥QN.动点P从点Q出发，沿射线QN以1cm/s的速度向右运动，以点P为圆 心，3cm为半径的圆也随之运动.设点P的运动时间为t(单位：s). (1)已知AM=MB=2cm,QM=4cm.当⊙P与△ABC的边AC相切时，则t可取的 一切值为 (2)已知AM=acm,QM=4cm.当⊙P与△ABC的边相切时，若此时t可取的值有且 仅有4个，则a的取值范围是 3.如图，已知A(6,0),C(0,4),D是矩形OABC的边OA上的一点，且满足∠OCD=45°， 点P从点Q(一6,0)出发，沿x轴向右以1个单位长度/s的速度运动，运动时间为ts (1)求点D的坐标. (2)当∠DCP=15时，求1的值. (3)以点P为圆心、PC的长为半径的⊙P随，点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD 的边（或边所在的直线）相切时，直接写出1的值. 《21I 提分练习 练习22切线的判定 【方法提示】(1)已知切点，连半径，证垂直；(2)未知切点，作垂直，证半径 1.如图，在四边形ABCD中，∠D=∠C=90°，E为DC上一点，AE⊥BE,且AE平分 ∠DAB,求证：以DC为直径的圆与AB相切. 2.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是边BC上一点，ED平分∠AEC,交 △ABE的外接圆⊙O于点D, (1)求证：DC是⊙O的切线， (2)若⊙O的半径为6，CE=3,求DE的长. 3.如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O,D是AC的中点，DE⊥BC交BC 的延长线于点E (1)求证：DE是⊙O的切线. (2)若AB=10,BC=8,求CE的长. 22》 九年级上 练习23三角形内切圆、内心 【方法提示】三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，三角形的内心到三角形三边 的距离相等. 1.如图，在边长为6的等边三角形ABC中，D、E分别在边AB、AC上，连接DE.∠BDE 的平分线经过△ABC的内心P,交BC于点F,连接EF.若△ADE为直角三角形，则 AD的长为 O D (第1题) (第2题) 2.如图，点B、C的坐标分别为（一5,0）、(5,0)，AB一AC=6√2，⊙M为△ABC的内切 圆，则圆心M的横坐标为 3.在△ABC中，∠C=a,设BC=a,AC=b,AB=c.⊙O是△ABC的内切圆，⊙P分别与 CA的延长线、CB的延长线以及直线AB均只有一个公共点，⊙O的半径为m,⊙P的 半径为n. (1)当a=90时，若b=6,a=8,则m= (2)如图1，当a=90时，则m= n= (用含有a、b、c的代数式表示)， △ABC的面积为 (用含有m、n的代数式表示). (3)如图2，当a=60时，求出△ABC的面积（用含有m、n的代数式表示）. .P c 图1 图2 《23 提分练习 练习24正多边形与圆 【方法提示】解答正n边形问题的基本思路是通过连接正n边形的半径，将正n边形转化 为n个全等的等腰三角形，也可以过正n边形中心向各边作垂线段，将正n边形转化为2n个 全等的直角三角形 1.刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内 接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积.设半径为1的圆的面积与其内接正n边 形的面积差为△.如图1、图2，若用圆的内接正八边形和内接正十二边形逼近半径为 1的圆，求△g一△12的值， 图1 图2 2.如图，正六边形ABCDEF是一个创意花坛，AB=20m.点G、H、M、N、P、Q分别在该 正六边形的六条边上，且AG=BH=CM=DN=EP=FQ,现计划在六边形GHMNPQ 内种植花卉，在剩余部分的六个全等三角形内种植草皮， (1)该正六边形花坛ABCDEF的面积是 m(直接写出答案即可). (2)当AG的长度为多少时，草皮的种植面积最大？最大面积是多少？（提示：过点G 作AQ的垂线) 24》1cm,.QP=QM-PM=4-1=3(cm),,.t=3÷1=3(s):当 + ⊙P与边AC切于点C时，连接P'C,则∠CPN=∠ACP 90°，∠P'NC=∠BNM=60°，CP=5cm,∴.PN=1cm, .QP=QM什MN+Np=4十2+1=7(m).∴.1=7÷1= 7(s).综上所述，当3≤≤7时，⊙P与边AC相切. ADOB主 图1 图2 3.(1)当m<-8或m>8时，⊙O上任何一点到直线MN的 距离都不等于3.(2)当m=一8或m=8时，⊙O上有且只 有一点到直线MN的距离等于3.(3)当-8<m<-2或 2<m8时.⊙O上有且只有两点到直线MN的距离等于3. (4)当m=一2或m=2时，⊙O上有三个点到直线MN的距 图2 离等于3：当-2<m<2时，⊙O上有四个点到直线MN的距③如图3，当⊙P与边BC切于点N时，连接PN,则PN= 离等于3. 3cm.∠PNN=90.:∠PNN=∠BNM=60°，∴.NN= 练习2】圆与图形相切问题 1cm.PN=2NN=2cm,.QP=4+2+2=8(m),∴.t=8÷ 1是 解析：如图，连接OC、CD.:AB为半圆的直径， 1=8(s):当⊙P与BC切于点V"时，同理可得，PN=2m,此 时点P与点M重合，∴.QP=QM=4cm,∴t=4÷1=4(s).综 ∠ACB=90°.∠ABC=30°，.∠CAB=60°.OA=OC, 上所述，当1=8或1=4时，⊙P与边BC相切 ∴.△AOC是等边三角形，∴.∠ACO=∠OAC=60°.EF与 半圆相切于点C,∴.∠OCE=90°.∴∠ECA=∠OCE-∠ACO =90°-60=30.：点E与点D关于AC对称，∴.∠ACD= ∠ECA=30°，∴.∠ADC=180°-∠ACD-∠CAO=180°-30° 60=90,即△ACD是直角三角形，AD=号4AC=号0A 子AB=×6= 图3 综上所述，当⊙P与△ABC的边AC相切时，：可取的一切值 为3≤1≤7.(2)1≤a≤3且a≠2解析：结合(1)中分析可 知，当0<a<I时.⊙P与△ABC的边相切时，t可取的值有 2个：当1≤a<2时，⊙P与△ABC的边相切时，1可取的值有 4个，当a=2时，⊙P与△ABC的边相切时，t可取的值有无 D( B 穷多个：当2<a≤3时，⊙P与△ABC的边相切时，t可取的 2.(1)3≤t≤7解析：，△ABC是等边三角形，.AB=AC= 值有4个：当3<a<4时，⊙P与△ABC的边相切时，1可取的 BC=AM什MB=4m,∠A=∠C=∠B=60.QN∥AC,AM= 值有2个.故满足题意的a的取值范围是1≤a≤3且a≠2. BM.N为BC的中点，MN=AC=2em,∠BMN= 3.(1):C(0,4),.0C=4∠0CD=45,∠CD=90 ∴△OCD是等腰直角三角形，∴.(OD=(OC=4,点D的坐标 ∠BNM=∠C=∠A=60.⊙P与△ABC的边相切分为三种为(4,0).(2)如图1，当点P在点D左侧时，”∠DCP 情况：①如图1，当⊙P与边AB切于点M时，连接PM,则 PM=5cm,∠PMM=90°.∠PMM=∠BMN=60, 15,Z∠D00=45,∠P00=300p=5.PQ-(Q ∴.∠MPM=30°，.fM=1cm.PM=2MM=2cm.∴.QP= QM-PM=4-2=2(m),∴.1=2÷1=2(s):当⊙P与边AB 0n=6+=P0÷1-(6+4）:当点P在点D 切于点M时，同理可得，PM=2cm,QP=QM+PM=4+右侧时，∠DCP=15,∠DO=45,∴∠P'CO=60, 2=6(cm,∴.t=6÷1=6(s.综上所述，当1=2或t=6时，∴.OP=45,∴PQ=OQ+OP=6+43,∴1=PQ÷1= ⊙P与边AB相切. (6+43)(s.综上所述1的值为6+4或6+43。 3 P D AP 图1 图1 ②如图2，当⊙P与边AC切于点A时，连接PA,则∠CAP=(3)当⊙P与边BC相切时，如图2，此时点P与点O重合， ∠APM=90°，∠PMA=∠BMN=60°，AP=5cmm,∴.PM=∴.PQ-OQ=6,∴.t=PQ÷1=6÷1=6(s). 48 中，由勾股定理得OF=/OE-EF=√6一3=33. .CD=OF=33.在R1△ECD中，由勾股定理得DE= wCD+CE=V/(33)2+32=6. 3.(1)证明：如图1，连接(OD.DE⊥BC,∠DEC=90 ,D是AC的中点，∴.AD=CD,.∠ABD=∠CBD.OD= OB,∴.∠ODB=∠OBD,∴.∠ODB=∠CBD..(OD∥BC, 图2 ,∴.∠ODE=180°-∠DEC=180°-90°=90°，，.OD⊥DE. 当⊙P与边CD相切时，如图3.，∠PCD=90°，∠OCD=45, ,OD是⊙O的半径，，DE是⊙O的切线. ∠OCP=45°，.△OCP是等腰直角三角形，∴.OP=C=4, 上 ,.PQ=0Q-OP=6-4=2,,.t=PQ÷1=2÷1=2(s). D B O P DA天 图1 图2 (2)如图2，过点D作DF⊥AB,垂足为F.由(1)得，∠ABD= 图3 ∠CBID,∴.BD平分∠ABC.:DF⊥AB,DE⊥BC,∴.DF= 当⊙P与边AB相切时，如图4，设OP=m,则PA=6一m,CP= DE.:四边形ABCD内接于⊙O,∴.∠A+∠DCB=180 ㎡+I6,m+16=6-m,解得m=号∴0P=号，PQ- :∠DCB+∠DCE=180°，∴.∠A=∠DCE.:∠DFA= ∠DEC=90°，.△ADF≌△CDE(AAS),.AF=CE 00+0p=6+号-号1=P0÷1-号÷1-号a, :∠DFB=∠DEB=9O°，BD=BD,∴.△BDF≌△BDE 3 (AAS),.BF=BE.设CE=x,则BE=BF=8十x.AB AF+BF=10,∴x+8+x=10,∴x=1,即CE的长为1. 练习23三角形内切圆、内心 1.3-3或6-25解析：连接BP.△ABC是边长为6的 D 等边三角形，∴∠A=∠ABC=60°，AB=6.:P为△ABC的 内心，∠ABP=号∠ABC=30.当∠ADE=90时，如图1， 图4 过点P作PGLAB于点G,AG=BC=号AB=3,PG= 综上所述，的值为6或2或学。 停G=5BP=2G-2原.D球平分∠BDE∠GDp 练习22切线的判定 ∠EDP=45,.DG=PG=3,∴AD=AG-DG=3-3.当 L.证明：如图，过点E作EF⊥AB于点F.:∠D=∠C=90°， ∠AED=90时，如图2，∠BDE=∠A+∠AED=60°+90° .AD∥EC.∴∠BAD+∠ABC=180.,AELBE.∠BAE+ ∠ABE=90,∠DAE+∠CBE=90.:AE平分∠DAB.150,:DF平分∠BDE,∴∠BDP=2∠BDE=号X150°= ∠BAE=∠DAE,ED=EF,·∠ABE-∠CBE,.BE平分75.∴∠BPD=180°-∠BDP-∠ABP=180°-75-30°= ∠ABC.'EF=EC..EF=ED=EC.又，EF⊥AB.以DC 75,.∠BPD=∠BDP,.BD=BP=23,,.AD=AB 为直径的圆与AB相切. 0 BD=6-25.综上所述，AD的长为3-3或6一23. (第1题) (第2题) 2.(1)证明：如图，连接(OD.,(OD=OE,.∠ODE=∠ED :DE平分∠AEC,.∠DEC=∠OED,.∠ODE=∠DEC 图1 图2 :∠C-90,∴∠CDE+∠CED=90,∠CDE+∠ODE=2.32解析：如图，⊙M为△ABC的内切圆，分别与AB. 90°，OD LDC,:OD是⊙O的半径.DC是⊙O的切线. AC,BC相切于点P,N,D,连接MD,∴AP=AN,PB=BD, (2)如图，过点O作OF⊥BE于点F,则四边形OFCD为矩 CD-CN.MDI BC..AB-AC=6/2.AP+BP-(AN+ 形，∴.CF=OD=6,∴.EF=CF-CE=6-3=3.在R1△OFE NC)=6w2,.BP-CN=62,.BD-CD=62.点B、C 49 的坐标分别为(-5,0)、(5,0)，.OB=OC-5,.BD+CD= OB+OC=10,.CD=5-32,.OD=0C-CD=5-(5 3v2)=3v2,∴圆心M的横坐标为3,2. V 30 图1 图2 2.(1)6003解析：如图，连接OAOB,过点O作OT⊥AB, 8 垂足为T:六边形ABCDEF是正六边形，∠AOB=36C 6 3.(1)212解析：a=90°，b=6,a=8,∴c=10.如图1，设60°.又0A=OB,∴.△AOB是正三角形，.OA=OB=AB= D,E、F分别是⊙O的切点，连接PD,PE,PF,连接OA,OB、 20 m.AT=BT-TAB=10 m.:OT=/OA-AT 0C“Sa=Sm+Sm+Sam,3X6X8=壹× V20-10=103(m,∴5e5mg=6S8B=6×号× 1Om十号X6m+号X8m,m=2.又易知四边形DPEC为正 20×103=600√3(m).(2)如图，过点G作GS⊥AF,垂足 方形，∴n=PD=号(CD+CE),由切线长定理可知，AF= 为S,则∠GAS=180°-120°=60°，.∠AGS=3.设AG AD.BF-BE.(CD+CE)(AD+AC+BE+ rm则AS-rmXG=VG-S=号xm“AG=Q, AB=AF,.AQ-BG=(20-x)m设种植草皮的面积为Sm, BO=AF+AC+BF+BC)=2(AB+AC+C)=专× (10+6+8)=12. a5-5a-6x号×(20-0×停=-8r+0r 3号-109+150京.“a=-35<0∴当x=10时s 2 的值最大，最大值为1503.答：当AG的长度为10m时，草 皮的种植面积最大，最大面积是150√3m, BE B E 图1 图2 ab (2)。+b+c a+b十Emi 2 解析：如图1，由切线的性质可 知，PDLCD,PE⊥BC,PF⊥AB.:PD=PE=PF,设△ABC的 面积为S,周长为Cwr,同(1)，根据面积法可知，m CweCD+CE)-(AD+ 2SNC= ab 练习25运动路径的计算 1.(2π+50) 解析：由图形可知，圆心先向前运动OO的长 AC+BE+BC)=号(AF+AC+BF+BC)=名(AB+AC+度（即圆周长的），然后沿着O0,旋转圆周长的，最后向 B0=Cw=t中，Sr=uC2匹=m. 右平移50m,所以圆心总共走过的路程为圆周长的一半（即 2 2 (3)如 羊圈的孤长)加上50m.由已知得圆的半径为2m,设半圆形 图2，连接CR.由切线长定理，得CD=CE=2(CD+CE)= 的弧长为1m,则半圆形的弧长1=180X2-2x(m,放圆心 180 (AD+AC+BE+BC)=(AF+AC+BF+BC)= O所经过的路线长为(2π十50)m. (AB+AC+BC)-Cawe.PDLCD.PELBC..CP 平分∠ACB.∠PCE=30,∴n=PE=里=Cg 323 2.示意图如图所示。 3C巡mwnC vem 6 2 练习24正多边形与圆 1.如图，4一△：一(S一SE八边形）一(S州一SE+三边） S=5=12×号×1X1X号8×号×1X1×解折，00，=AB=a0-需-名00=C-号 号-822 调心0运动的路程是十号xr+罗-=2ax 50》