练习17 圆中有关角度的计算-练习20 直线与圆的位置关系-【课时提优计划作业本】2024-2025学年九年级数学上册（苏科版）

九年级上 练习17圆中有关角度的计算 【方法提示】圆周角的度数与它所对弧的度数有关.顶点不在圆上且角的两边或两边所在直 线与圆相交的角的度数也与所对的弧的度数有关，可通过外角性质将其转化为圆周角来解答。 【提出问题】小聪同学类比所学的“圆心角”与“圆周角”的概念，将顶点在圆内（顶点不在圆 心)的角命名为圆内角.如图1中，∠AEC、∠BED就是圆内角，所对的弧分别是AC、BD,那么 圆内角的度数与所对弧的度数之间有什么关系呢？ D B 图1 图2 图3 图4 【解决问题】小聪想到了将圆内角转化为学过的两种角，即圆周角、圆心角，再进一步解决 问题 解：如图2，连接BC、OA、OC、OB、OD.在△BCE中，∠AEC=∠EBC+ ∠BCR.'∠EBC=E∠A0C,∠ECB=2∠BOD,·∠ABC=2∠AOC+ 2∠BOD=(∠A0C+∠BOD),即∠ABC的度数=CAC的度数+BD的度数). (1)如图1，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E,若AC的度数是65°，BD的度数是40°，则 ∠AED的度数是 【类比探究】顶点在圆外且两边与圆相交的角，称为圆外角 (2)如图3，在⊙O中，弦AB、CD的延长线相交于点E,试探索圆外角∠E的度数与它所 夹的两段弧AC、BD的度数之间的关系. 【灵活应用】 (3)如图4，在平面直角坐标系xOy中，点A(3,1)在⊙O上，⊙O与y轴正半轴交于点 B.C、D是线段OB上的两个动点，且满足AC=AD.AC、AD的延长线分别交⊙O于 点E、F,延长FE交y轴于点G.试探究∠FGO的度数是否变化.若不变，请求出它的 度数：若变化，请说明理由. 《17 提分练习 练习18四点共圆 【方法提示】用反证法探索四点共圆的条件， 阅读下列材料，完成相应学习任务：探索四点共圆的条件 【数学探究】我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形 的四个顶点能作一个圆吗？小明经过实践探究发现：过对角互补的四边形的四个顶点能作一 个圆，下面是小明应用反证法证明上述命题的过程 已知：在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°. 求证：过A、B、C、D四点可作一个圆 证明：假设过A、B、C、D四点不能作一个圆.如图1，过A、B、C三点作圆.若点D在圆外， 设AD与圆相交于点E,连接CE,则 而已知∠B十∠D=180°，所以∠AEC= ∠D,而∠AEC是△CED的外角，∠AEC>∠D,出现矛盾，故假设不成立，因此点D在过A、 B、C三点的圆上 假设过A、B、C、D四点不能作一个圆.如图2，过A、B、C三点作圆，若点D在圆内，… (请同学们将证明过程补充完整) 图1 图2 因此得到四点共圆的条件：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆. 【学习任务】 (1)材料中画线部分结论的依据是 (2)如图3，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=a(60°<a<180°).D是边BC上的一个动点 (点D不与点B、C重合)，将线段AD绕点A顺时针旋转得到线段AE,旋转角为α，连 接BE ①求证：A、E、B、D四点共圆. ②已知a=120°，BC=6,M是边BC的中点，此时⊙P是四边形AEBD的外接圆，直接 写出圆心P与点M距离的最小值， 图3 18》 九年级上 练习19定弦定角问题 【方法提示定弦定角问题”是圆有关知识的拓展，可以利用从特殊到一般的方法进行思考 【发现】如图1，AB为⊙O的一条弦，点C在弦AB所对的优弧上，根据圆周角的性质可 知，∠ACB的度数 (填“变”或“不变”).若∠AOB=150°，则∠ACB= °.爱动 脑筋的小明猜想，如果平面内线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，那么点C是不是在某 一个确定的圆上运动呢？ 【研究】 为了解决这个问题，小明先从一个特殊的例子开始研究，如图2，若AB=2、2,直线AB上 方一点C满足∠ACB=45°，为了画出点C所在的圆，小明以AB为底边构造了一个等腰直角 三角形AOB,再以点O为圆心、OA的长为半径画圆，则点C在⊙O上.请根据小明的思路在 图2中完成作图（要求尺规作图）.后来，小明通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结 论，即：若线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦 定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型 【应用】 (1)如图3，AB=2√3，平面内一点C满足∠ACB=60°，则△ABC的最大面积为 (2)如图4，在正方形ABCD中，以AB为腰向正方形内部作等腰三角形BAE,其中BE= BA,过点E作EF⊥AB于点F,P是△BEF的内心 ①∠BPA= ②连接CP,若正方形ABCD的边长为2，求CP长的最小值. 图1 图2 图3 图4 《19 提分练习 练习20直线与圆的位置关系 【方法提示】注意分类讨论思想的运用 1.在平面直角坐标系xOy内，已知点A(3,4),如果⊙A与两坐标轴有且只有3个公共 点，那么⊙A的半径长是 2.如图，半径为1的半圆的圆心与坐标原点重合，直线（的表达式为y=x十1.若直线l与 半圆只有1个交点，则1的取值范围是 了AB 3.如图，在平面直角坐标系xOy中，以点O为圆心、5为半径画圆.直线MN经过x轴上 一动点P(m,0)且垂直于x轴，当点P在x轴上运动时，直线MN也随之平行移动.按 下面条件求m的值或范围， (1)如果⊙O上任何一点到直线MN的距离都不等于3. (2)如果⊙O上有且只有一点到直线MN的距离等于3. (3)如果⊙O上有且只有两点到直线MN的距离等于3. (4)随着m的变化，⊙O上到直线MN距离等于3的点的个数还有哪些变化？请说明 所有情形及对应的m的值或范围， 20》BC. 的半径长度等于OD的长度.S=号OB·OC- 0D3X4=0D.0D=号00的半径为号 D 图3 23 练习17圆中有关角度的计算 图1 (1)127.5° 解析：∠AEC的度数=号(AC的度数+BD的 (2)①设直线CD的函数表达式为y=kx+五.，C(0,1),D(1, 幂用伦直线D的属数表达式为 度数).∠AEC=号×(65+40)=52.5，.∠AED=180° 0) b=1, ∠AEC=180°-52.5"=127.5，(2)如图1，连接0A.OB y=一x十1.，M为直线CD上的动点，.M(m,一m+1), 点M的“友好直线”为y=mx一m十1，易知点M的“友好直 OC、OD、BC.:∠E=∠ABC-∠BCE=号∠AOC 线”经过定点N(1,1).如图2，直线1为点M的“友好直线”， 是∠BOD-=C的度数-BD的度数).∠E=名(AC的 过点O作OH⊥1于点H,连接ON,.ON≥OH,∴.当点H 与点N重合时，OH取得最大值，即点O到点M的“友好直度数一BD的度数)， 线”的距离最大，.点O到点M的“友好直线”的距离的最大 值为、+卫=2 图1 图2 (3)∠FGO的度数不变.理由如下：如图2，过点A作AH⊥x 图2 ②，D是x轴上任意一点（原点除外），.设D(d,0).设直线 轴于点H,连接OA.AC=AD.∴∠ACD=∠ADC,号(BE CD的函数表达式为y=ar十c,:a叶c=0,解得 的度数+AN的度数)=号(AB的度数+FN的度数).∴BE的 c=1, 1 度数+AN的度数=AB的度数+FN的度数，∴.FV的度数 a=一7'∴直线CD的函数表达式为y=一r+1:M BE的度数=AN的度数一AB的度数.由(2)知，∠FGO c=1. 为直线CD上的动点∴M(m,一m+H)一点M的友好直 之（风的度数-丽的度数）=专(N的度数一A的度数. A(3,1),∴OH=3,AH=1,.OA=√OP+A平= 线"为)m号+1.“y=mr-程+1=m(-)+1, V(52+1=2,·∠A0H=30°，∴.∠AON=120,∠AOB= ∴点M的“友好直线”经过定点N(,)如图3，直线1为 60,∴∠F0-号×12w°-60)=30，∠FPG0的度数不变， 点M的“友好直线”，过点Q作QH⊥EF于点H,连接QF,则为30 EH=FH=令ER:FH=√QP-QF,“要使EF最小 练习18四点共圆 【数学探索】∠B十∠AEC=I80°假设过A,B、C、D四点不 则QH取得最大值.由①知，当点N与点H重合时，即点H 能作一个圆，如题图2，过A、B、C三点作圆，若点D在圆内， 与（号1）重合时，QH最大.：EF的最小值为4，∴QH的最 设AD的延长线与圆相交于点E,连接CE,则∠B+∠AEC= 180°，而已知∠B十∠ADC=180°，所以∠AEC=∠ADC,而 大值为3-g5.Q-10.H1)∴(-1-})十 ∠AIDC是△CED的外角，∠ADC>∠AEC,出现矛盾，故假 设不成立，因此点D在过A、BC三点的圆上，【学习任务】 1-0)=(5),解得d=1或d=一子点D的坐标为 (1)圆内接四边形的对角互补(2)①证明：由旋转的性质，得 10)或(-0) AE=AD,∠EAD=a.∴∠BAC=∠EAD,∴.∠BAC-∠BAD= ∠EAD-∠BAD,即∠BAE=∠CAD.又：AB=AC. 46》 .△ABE≌△ACD(SAS),.∠AEB=∠ADC.·∠ADC+ ∠ADB=180,∴∠AEB+∠ADB=180°，∴.A.E,B,D四点共圆. ∴∠BPE-180°-（∠BEP+∠EBP)=180-2(∠BEF+ ②如图，作线段AB的垂直平分线，分别交AB、BC于点G,F, ∠EBF)=180°-号×90°=135.在△BPA和△BPE中， 连接AM、PM.:AB=AC,∠BAC=120,.∠ABC BA=BE ∠ACB=30,:M是边BC的中点BM=CM=2BC- ∠ABP=∠EBP,.△BPA≌△BPE(SAS),∴.∠BPA= BP=BP, 壹×6=3，AM⊥BC在R△AMB中，由勾股定理得AM+ ∠BPE=135.②如图3，作△ABP的外接圆.圆心记作点 BF=AB,即(2AB)+3=AB.解得AB=2,3.G= O,连接OA.OB,在优弧AB上取一点Q,连接AQ,BQ,则四 边形APBQ是⊙O的内接四边形，.∠AQB=180°一∠BPA 号AB一3.在R△BGF中，由勾股定理得BC+GF=BF, 45°.∴∠AB-2∠AQB=90°.在R△AOB中，OA=OB,由勾 股定理得OA十OB=A=2=4,∴.OA=OB=√/2.连接OC, 即(WB)+(号BF)=BF,解得BF=2,∴FM=BM-BF= 与⊙O相交于点P',此时，CP的长是CP长的最小值.过点O 3一2=1，：OP是四边形AEBD的外接圆，点P一定在作OMLAB于点M,ON LCB交CB的延长线于点N,则四边 AB的垂直平分线上，∴点P在直线GF上.∴当MPLGF时，形ONBM是正方形，∴ON=BN=BM=AB=1CN= PM有最小值，.∴∠PFM=∠BFG=90°-∠ABC=90°-30°= BC+BN=2+1=3.在Rt△ONC中，由勾股定理得OC= 60,∠FMP=90°-∠PFM=30,FP=号FM= 2， √ON+C2=/+3=,10,.CP=OC-OP=10- PM=PM-FP=VP-()-∴圆心P与点 2,即CP长的最小值为/0-2. D M距离的最小值为受。 练习19定弦定角问题 【发现】不变75解析：根据圆周角的性质可知，∠ACB的 度数不变.“∠A0B=150,“∠ACB=号∠A0B=75 图3 【研究】如图1所示 练习20直线与圆的位置关系 1.4或5解析：如图，当圆心在(3,4)且与x轴相切时，=4， 此时⊙A与坐标轴有且只有3个公共点：当圆心在(3,4)且经 过原点时，r=5,此时⊙A与坐标轴有且只有3个公共点。 图1 图2 【应用】(1)3,3解析：如图2，记△ABC的外接圆的圆心为 O,连接OA,OB.:∠ACB=60°，∴.∠AOB=2∠ACB=120° :OA=OB,∠OAB=30.过点O作OH⊥AB于点H. 2.t=泛或一1≤1<1解析：若直线1与半圆只有一个交点， ∴AH-=AB=号×2,3=尽，在R△AH0中，设⊙0的半 则有两种情况：直线1和半圆相切于点C(如图1)或从直线过 点A开始到直线过点B结束（不包括直线过点A,如图2）.直 径为2r,则OH=,根据勾股定理，得QA一OH=AF,即 线y=x十1与x轴所形成的锐角是45，当直线1和半圆相切 (2r)2-r=3,解得r=1(负解已含去)，，.O0A=2,OH=1. 于点C时，则OC垂直于直线1，∠COD=45°.又OC=1,则 点C到AB的最大距离h=2r+OH=2+1=3,·△ABC 的最大面积S=号AB·M=7×25X3=35.(2)0135 CD=O0=受，即点C的坐标为(-号，号)，把点C的坐标 解析：，EF⊥AB,∴.∠EFB=90°，∴∠BEF+∠EBF=90. 代人y=x+1,得=y一x=2:当直线1过点A时，把点 :P是△BEF的内心，∴EP,BP分别是∠BEF和∠EBF的 A(-1,0)代人y=x+1,得=y一x=1:当直线l过点B时， 把点B(1,0)代人y=x十t,得1=y一x=一1.综上所述，当t= 平分线，∴∠BEP=号∠BER,∠EBP=∠ABP=专∠ABE,V2或一1S1I时，直线和半闕只有1个公共点。 47 1cm,.QP=QM-PM=4-1=3(cm),,.t=3÷1=3(s):当 + ⊙P与边AC切于点C时，连接P'C,则∠CPN=∠ACP 90°，∠P'NC=∠BNM=60°，CP=5cm,∴.PN=1cm, .QP=QM什MN+Np=4十2+1=7(m).∴.1=7÷1= 7(s).综上所述，当3≤≤7时，⊙P与边AC相切. ADOB主 图1 图2 3.(1)当m<-8或m>8时，⊙O上任何一点到直线MN的 距离都不等于3.(2)当m=一8或m=8时，⊙O上有且只 有一点到直线MN的距离等于3.(3)当-8<m<-2或 2<m8时.⊙O上有且只有两点到直线MN的距离等于3. (4)当m=一2或m=2时，⊙O上有三个点到直线MN的距 图2 离等于3：当-2<m<2时，⊙O上有四个点到直线MN的距③如图3，当⊙P与边BC切于点N时，连接PN,则PN= 离等于3. 3cm.∠PNN=90.:∠PNN=∠BNM=60°，∴.NN= 练习2】圆与图形相切问题 1cm.PN=2NN=2cm,.QP=4+2+2=8(m),∴.t=8÷ 1是 解析：如图，连接OC、CD.:AB为半圆的直径， 1=8(s):当⊙P与BC切于点V"时，同理可得，PN=2m,此 时点P与点M重合，∴.QP=QM=4cm,∴t=4÷1=4(s).综 ∠ACB=90°.∠ABC=30°，.∠CAB=60°.OA=OC, 上所述，当1=8或1=4时，⊙P与边BC相切 ∴.△AOC是等边三角形，∴.∠ACO=∠OAC=60°.EF与 半圆相切于点C,∴.∠OCE=90°.∴∠ECA=∠OCE-∠ACO =90°-60=30.：点E与点D关于AC对称，∴.∠ACD= ∠ECA=30°，∴.∠ADC=180°-∠ACD-∠CAO=180°-30° 60=90,即△ACD是直角三角形，AD=号4AC=号0A 子AB=×6= 图3 综上所述，当⊙P与△ABC的边AC相切时，：可取的一切值 为3≤1≤7.(2)1≤a≤3且a≠2解析：结合(1)中分析可 知，当0<a<I时.⊙P与△ABC的边相切时，t可取的值有 2个：当1≤a<2时，⊙P与△ABC的边相切时，1可取的值有 4个，当a=2时，⊙P与△ABC的边相切时，t可取的值有无 D( B 穷多个：当2<a≤3时，⊙P与△ABC的边相切时，t可取的 2.(1)3≤t≤7解析：，△ABC是等边三角形，.AB=AC= 值有4个：当3<a<4时，⊙P与△ABC的边相切时，1可取的 BC=AM什MB=4m,∠A=∠C=∠B=60.QN∥AC,AM= 值有2个.故满足题意的a的取值范围是1≤a≤3且a≠2. BM.N为BC的中点，MN=AC=2em,∠BMN= 3.(1):C(0,4),.0C=4∠0CD=45,∠CD=90 ∴△OCD是等腰直角三角形，∴.(OD=(OC=4,点D的坐标 ∠BNM=∠C=∠A=60.⊙P与△ABC的边相切分为三种为(4,0).(2)如图1，当点P在点D左侧时，”∠DCP 情况：①如图1，当⊙P与边AB切于点M时，连接PM,则 PM=5cm,∠PMM=90°.∠PMM=∠BMN=60, 15,Z∠D00=45,∠P00=300p=5.PQ-(Q ∴.∠MPM=30°，.fM=1cm.PM=2MM=2cm.∴.QP= QM-PM=4-2=2(m),∴.1=2÷1=2(s):当⊙P与边AB 0n=6+=P0÷1-(6+4）:当点P在点D 切于点M时，同理可得，PM=2cm,QP=QM+PM=4+右侧时，∠DCP=15,∠DO=45,∴∠P'CO=60, 2=6(cm,∴.t=6÷1=6(s.综上所述，当1=2或t=6时，∴.OP=45,∴PQ=OQ+OP=6+43,∴1=PQ÷1= ⊙P与边AB相切. (6+43)(s.综上所述1的值为6+4或6+43。 3 P D AP 图1 图1 ②如图2，当⊙P与边AC切于点A时，连接PA,则∠CAP=(3)当⊙P与边BC相切时，如图2，此时点P与点O重合， ∠APM=90°，∠PMA=∠BMN=60°，AP=5cmm,∴.PM=∴.PQ-OQ=6,∴.t=PQ÷1=6÷1=6(s). 48