练习9 面积问题-练习12 根据点和圆上点之间的距离的关系求最值-【课时提优计划作业本】2024-2025学年九年级数学上册（苏科版）

九年级 上 练习9 面积问题 【方法提示】根据面积关系列方程,对于不规则问题,还需要将分散的图形化零为整,整体 考虑,同时还要注意解的取舍: 1. 某学校计划利用一片空地为学生建一个面积为80m{}的矩形车棚,其中一面靠墙(墙 的可用长度为12m),已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26m (1)根据学校的要求,在与墙平行的一面开一个2m宽的门(如图1),求这个矩形车棚 相邻两边的长度 (2)在(1)的条件下,为了方便学生取车,施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路 (如图2),使得停放自行车的面积为54m{},求小路的宽度 / H门 图1 图2 2. 某科研单位准备将院内一块长30m、宽20m的矩形ABCD空地建成一个矩形花园 要求在花园内修两条纵向平行和一条横向弯折的小道(小道进出口的宽度相等,且每 段小道均为平行四边形),剩余的地方种植花草 (1)如图1,要使种植花草的面积为532m{},求小道进出口的宽度 (2)现将矩形花园的四个角建成休闲活动区,如图2所示,八AEQ、八BGF、八CMH. $DPN均为全等的直角三角形,其中AE=BF=CM=DN,设EF=HG=MN PQ一am,坚向道路出口和横向弯折道路出口的宽度都为2m,且竖向道路出口位 于MN和EF之间,横向弯折道路出口位于PQ和HG之间 ①求剩余的种植花草区域的面积(用含有a的代数式表示). ②如果种植花草区域的建造成本是100元m^{},建造花草区域的总成本为42000元 求a的值. 图1 图2 (0 提分练习 练习10 利润问题与增长率问题 【方法提示】解答这类问题的关键是在正确理解题意的基础上,找出等量关系列方程 1. 毕业在即,某商店抓住商机,准备购进一批纪念品,若商店花440元可以购进50本学 生纪念品和10本教师纪念品,其中教师纪念品的进价比学生纪念品的进价多8元 (1)学生纪念品和教师纪念品的进价分别是多少元? (2)如果商店购进1200个学生纪念品,第一周以每个10元的价格售出400个,第二周 若按每个10元的价格仍可售出400个,但商店为了适当增加销量,决定降价销售 (根据市场调查,单价每降低1元,可多售出100个,但售价不得低于进价),单价降 低x元销售一周后,商店对剩余学生纪念品清仓处理,以每个4元的价格全部售 出,如果这批纪念品共获利2500元,那么第二周每个学生纪念品的售价为多少元? 2. 为节约木材,实现企业绿色低碳发展,某造纸厂积极开展技术改造升级,使再生纸项目 的生产规模不断扩大.该厂3、4月份共生产再生纸800t,其中4月份再生纸产量比 3月份的2倍少100t. (1)求4月份再生纸的产量 (2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元,5月份再生纸产量比上月增加%,5月份 每吨再生纸的利润比上月增加{%,则5月份再生纸项目月利润达到66万元. 求n的值. (3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元,4至6月份每吨再生纸利润的月平均增长 率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同,6月份再生纸项目月利润比上月 增加了25%,求6月份每吨再生纸的利润 10) 九年级 上 练习11 动点问题 【方法提示】动点问题解答的关键是“以静制动”,即将动点问题看成是特定时刻下的定点 问题,从而结合相关知识列方程 1. 如图,在Rt△ABC中,BAC-90{,AB=AC-16cm,AD为边 BC上的高.动点P从点A出发,以v②cms的速度沿AD向点D 运动.设入ABP的面积为S,矩形PDFE的面积为S,运动时间 为(s(08),当- 时,S-2S. 2. 如图,在矩形ABCD中,AB=16cm,BC=6cm.动点P从点A出发沿AB向点B运动 (不与点A、B重合):同时,动点Q从点C出发沿CD向点D运动(不与点C、D重合). (1)若动点P、Q均以3cm/s的速度运动,经过多长时间,四边形BPDQ为菱形? (2)若动点P以3cm/s的速度运动,动点Q以2cm/s的速度运动,经过多长时间 △DPQ为直角三角形? 3. 如图,在四边形ABCD中,AB/CD./C=90*},AB-6cm.CD=10cm,AD-5cm.动 点P以2cm/s的速度从点A向点B运动;同时,动点Q以1cms的速度从点C向 点D运动,当一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动 (1)经过多长时间,动点P、Q之间的距离为5cm? (2)连接PD,是否存在某一时刻,使得PD恰好平分/APQ?若存在,请求出运动时 间:若不存在,请说明理由 0C 提分练习 练习12 根据点和圆上点之间的距离的关系求最值 【方法提示】 类型 点在圆内 点在圆外 图例 结论 PA最大,PB最小 PA最大,PB最小 1. 如图,在平面直角坐标系xOy中,A(3,4),B(3,0),以点A为圆心、2为半径作A,P 为A上的一个动点,M为OP的中点,求BM的最大值 2. 如图,在平面直角坐标系xOy中,A(一1,0),B(1,0),M(3,4),以点M为圆心、2为半 径作M.若P是⊙M上的一个动点,求PA+PB*}的最大值 3. 如图,AB是O的直径,点C在O上,CD|AB,垂足为D,AD=2,E是O上的一 个动点(不与点C重合),F为CE的中点.若在点E运动过程中,DF的最大值为4,求 CD的长. 12)则[-(2n-1)-4m(m-2)-4n+1为完全平方数.又,整2.(1)*,m、n满足3n-3m-1-0,3r-3n-1-0,m. 数m满足0 m<13..,n-2时,4n+1-9;m-6时,4m+ '.m、n可以看作3r*一3x-1-0的两个不相等的实数根. 1-25;m-12时,4+1-49.故m的值为2或6或12. ..n=1.=一 2.(1)根据题意,得2+4m0且n字0,解得m-1且m字 0. (2),方程的两个根都是有理数,..4n十4是有理数且1-一 (2)由题意知:,与2o为方程x-7x十2-0的两 不等于0..,满足条件的n的最小整数值为3.当m-3时,方 个不相等的实数根,+2-7,2-2,.+4-(十 $)-4-7-22-45.(3)由3n-7m-2-0,2r+ 3.(1)-4ac为完全平方数(2)由题意,得(-5)-4X2× 7n-3-0且m1.可知m0,n0..2r+7n-3-0可变 b-25-8h0..b-25.·是正整数,.k-1或2或3.当 k-1时,25-8k-17.17不是完全平方数,不符合题意;当- 3m^-7m-2-0和3(1){-7(1)-2-0的特征,可以将 2时,25-8-9.9为完全平方数,符合题意;当k-3时,25- 8一1,1为完全平方数,符合题意,综上所述,满足条件的正整 数?的值为2或3. 练习6 根的判别式与几何综合 1.(1)①/5 解析:在菱形ABCD中,n、n、1分别是菱形ABCD 17 的两条对角线的长和边长,AO DO.当m-2,n-4时,则A0- 过_一. 2.DO-1.在Rt△AOD中,由勾股定理得AD-vAO+DO- $#-Ac-m0-BD-n,则AD-#A+0o}# #()}(”)#一+.AD- + .5-4,解得(1...。的最大值为1. 练习8 求代数式的值 .(2)证明::r-1+1..(2)-4n·n-{ 1.4048 解析:将r*-2x+2024整理,得-2--2024-0 .x、r:是方程-2r-2024-0的两个实数根..x+ 4*-2nn=n+-2mn-(n-n)0.,关于x的“萎系一 x=2,ri-2r=2024.xì-2r+2024r=x(l- 元二次方程”mr*+2tx+-0必有实数根. 2x)+2024r-2024.x+2024.r-2024(x+x)- % 2024×2-4048. 2.(1)2 (2)设所求矩形的两边长分别是r、v.由题意: 2.(1D)证明:将(x-1)(x-2)一,-0整理,得x-3x+2- -0..(-3)-4×1×(2-)-9-8+4-1+40. 得 '.无论)取何值时,方程总有两个不相等的实数根. (2)当 r_-1. p-1时,原方程可化为r*-3x十1-0,由题意,得xi十x-3. 4X2×2-9-16--7<0...不存在满足要求的矩形B. -3r+1-0.-2+-(-3x+D+(r+x)- (3)设所求矩形的两边长分别是r、y.由题意,得 11-0+3-1-2. [_n 过3.(1)- (2):一元二次方程2+3x-1-0的两 _. 消去y.化简得2r-(n十n)r十m-0.由题 根分别为n、n..m十n=- #3.-n{n-(in 意,得原方程有解...[-(n十n)]-8nn-(n十n)?-8nn 过”)-mo-(-))-x(-)-+1-13- (③,:实 0.即当(n十n)一80时,矩形B存在.。 练习7 构造一元二次方程 数s、1满足2+3s-1-0,2r+3-1-0,且st..s、1是一 32, 1. 令v②-x,则21-r*,原等式可变形为关于x的一元二次 元二次方程2r十3x-1-0的两个实数根,..s十1-- 方程(a-b)r十(一c)r十(c-a)=0(ab).当x-1时,(a 1. (1)-(t)”-4,一(-)-一4×(-)-17. b)×^十(-c)×1十(c-a)=0..x=1是一元二次方程 (a-bx+(b-c)x十(c-a)-0(ab)的一个根...一元二次 17 方程(a-b)十(h-c)r十(c-a)-0(a字b)的两个根分别为 1和v②1,由一元二次方程根与系数的关系,得1十/21一 练习9 面积问题 21+v21..(6-)(-a)--21-、21. 1.(1)设与墙垂直的边长为xm,则与墙平行的边长为(26十 (a一)? 2-2x)m.根据题意,得x(26十2-2x)-80,整理,得- 42 14.+40-0,解得xi-4,x-10,当x-4时,26+2-2x- 26+2-2×4-2012,不符合题意,舍去;当x-10时,26+ $-2x-26+2-2x10-8<12,符合题意.答;这个矩形车棚 (2)·点P不与点A重合...PDQ90”..△DPQ为直角三 相邻两边的长度分别为10m、8m. (2)设小路的宽度为 角形分两种情况。①当乙DPQ=90{时,如图,过点Q作QMl ym,则剩余部分可合成长为(10一y)m、宽为(8一2y)m的矩 AB于点M,易得四边形BCQM为矩形.·AP=3rcm.BM 形.根据题意,得(10-y)(8-2y)-54,整理,得y-14y十 CQ=2x cm.PM-(16-5.x)cm,DQ-(16-2x)cm.,(16 度为1m. DQP-90时,AP+CQ=16.v.3x+2r=16,解得x-1.综 2.(1)设小道进出口的宽度为xm.根据题意,得(30-2r)(20- t-532.整理,得c-35x+34-0.解得x-1,xv-34(不符 上所述,经过、2或1 合题意,舍去).答:小道进出口的宽度为1m.(2)①剩余的 s时,△DPQ为直角三角形. 种植花草区域的面积为(30-2×2)X(20-2)-4×2× (30-a)x(20-a)-(-a+25a+168)(m}). ②根 据题意,得(-1*+25a+168)x100-420,解得a=14或 a-36(不符合题意,舍去),即a的值为14. 练习10 利润问题与增长率问题 #C (第2题) 1.(1)设学生纪念品的进价为x元.根据题意,得50x十10(r十 (第3题) 8)=440,解得x=6...x十8-14.答:学生纪念品的进价为 3.(1)如图,过点Q作QE1AB于点E,过点A作AFICD于 6元,教师纪念品的进价为14元. .(2)设第二周售价降低 点F.易证四边形AFCB为矩形..CF-AB-6cm.又·CD- y元,则这周的销量为(400+100y)个.由题意,得400X(10- 10cm.i.DF-CD-CF-10-6-4(cm).在Rt△DFA中,由 6)+(10-y-6)(400+100y)+(4-6)[1200-400-(400+ 勾股定理得AF-VAD-D-5-4-3(cm).又易证 $0y)]-2500,整理,得y-2y+1-0,解得y==1,则 四边形AFQE为矩形...QE-AF-3cm.由题意可知,AP= 10-1一9(元).答:第二周每个学生纪念品的售价为9元. 2 cm,EB=CQ-1cm..'PE-(6-3zo)cm.在Rt△PEQ中.由 2.(1)设3月份再生纸的产量为xt,则4月份再生纸的产量 勾股定理得PE+QE-PQ,即(6-3t)+3-5*,解得 $ 为(2r-100)t.由题意,得x+2r-100-800,解得x-300. '2x-100-500.答:4月份再生纸的产量为5001.(2)由题 2.即经过2s,动点P、Q之间的距离为5cm.(2)不存在. 意,得1000(1+2%)×500(1+m%)=660000,整理,得 n+300m-6400-0.解得m-20,n=-320(不符合题意. 理由如下:假设存在某一时刻,使得PD恰好平分APQ,则 APD=DPQAB // CD..APD=PDQ 舍去),即n的值为20. (3)设4至6月份每吨再生纸利润 '. PDQ- DPQ..DQ=PQ:PQ=3+(6-3t. 的月平均增长率为y,5月份再生纸的产量为a1.由题意,得 DQ-(10-),.3+(6-3z)-(10-)*,解得t-1+ 1200(1+y)·a(1+y)=(1+25%)×1200(1+y)·a,整 理,得1200(1十v)=1500.答:6月份每吨再生纸的利润是 1500元. 存在某一时刻,使得PD恰好平分APQ 练习11 动点问题 练习12 根据点和圆上点之间的距离的关系求最值 1. 6 解析:在Rt△ABC中,. BAC-90”,AB=AC= 1. 如图,在x轴上取一点E(6,0),连接PE,连接EA并延长 16 cm.AD为边BC上的高.'AD=BD=CD-82 cm.由题 交A于点P'.'B(3,0),A(3.4).'.OB=BE-3.EA 意,得AP-、21cm.'.S-AP·BD-xv218v2- 3+4-5.又.M为OP的中点,即OM-PM...BM 8(cm).PD-AD-AP一(8/②-v②o)cm.由矩形的性质,得 一PE..P为A上的一个动点,..当点P在EA的延长线 PE//BC..AEP=C-45*..'.PE-AP-②:cm..S- 上时,PE可以取得最大值,最大值为EP一EA十AP一5+ PD PE-(8v-v2tov2t(cn).·S-2$.1.8t-2x2-7.\.BM的最大值为}. (8/②-/2.②.解得-0或-6.又·0(8.1-6. 2.(1)·四边形ABCD是矩形...AB/CD.AB-CD.:点 P、Q均以3cm/s的速度运动..'.AP-CQ...AB-AP-CD CQ.即BP-DQ..四边形BPDQ是平行四边形,..当BP DP时,四边形BPDQ是菱形.设经过xs.四边形BPDQ是菱 形,则有AP-3xcm,BP-(16-3.x)cm.在Rt△DAP中,由勾 股定理得D-A1+AD-(3x)+6..(3r)+6-(16- 《4 2. 如图,连接OP、OM,延长OM与M交于点P'.设点P的 在R△BQD中,DQ-BD-×30-15(em)..BQ- 坐标为(r,y),则PA=(x+1)+y,PB=(x-1)+y, '$PA+PB-2+2+2-2(^+)+2.O$-+ BD-DQ-30-15-15/3(cm)..'*BC-2BQ ..'$PA+PB-2OP+2.当点P位于线段OM的延长线 30/3cm,即题图2中弓臂两端点B、C之间的距离为30/3cm 与M的交点P处时,OP取得最大值,.'.OP的最大值为 OP'-OM+MP'-③+4+2-7PA+PB*的最大值 为2×7*+2-100. _ C C 图1 图2 (第2题) (第3题) (2)如图2.连接BC:交AD。于点P,由(1)可得,C.AB。的长 180 的半径为.'F为CE的中点,..MFOE-.'E是 'CAB。的长为xr-20,解得r-20..'.AP=BP=CP 0上的一个动点(不与点C重合).C为定点...点F的运动 r20 cm.':BC=0.6m-60 cm.'.B.D.-C.D.=BC- 轨迹是以点M为圆心、MF的长为半径的圆,则DF DM+ MF...当D.M、F三点共线时,DF有最大值4.此时DF= 30 cm.在R△B.PD中,由勾股定理得PD-B.D一B.P DM+MF..DM=4-.'CD1AB.CDO=90” 30-20-10 5(cm)..DD-AD -AD=(AP+PD) 'M为OC的中点.DM-o--,解 AD=(20+10/5)-30-(10/5-10)(cm). 练习14 覆盖圆问题 得-4...OD=OA-AD-4-2-2.在Rt△CDO中,由勾股定 1. 当三个等圆相交于一点时,此时恰好能完全覆盖入ABC 理得CD- O-OD- 4-2-2v3. 设这个点为O.连接AO、BO、CO.此时AO或BO或CO是所 练习13 垂径定理的实际应用 作等圆的最小半径,'△ABC为等边三角形,.,AB一BC- 1.(1)由题意可知,AB垂直平分CD...圆心O在BA的延长 AC=3.ABC= /ACB= /BAC-60*$由题意,得AO 线上.如图,连接OC、OG,设O的半径为rm,则OA-(r [AB-AC. 0.8)m':OB1CD.:.CA-DA-CD-x3.2-1. 6(m). BO-CO.在△ABO和△ACO中.BO-CO...△ABO AO-AO. 在Rt△OAC中,由勾股定理得AC*+OA-OC,即1.6+ ACO(SSS)._BBO- CAO-乙BAC-60□ (-0.8){②}一^,解得,-2,即该圆狐所在圆的半径为2m. (2)如图,过点G作GE AB于点E..DH=0.4m..'.AH [AC-BC. AD-DH-1.6-0.4-1.2(m)..'GEA= EAH= GHA-$ 30*.在△ACO和△BCO中.AO=BO..△ACO△BCO 90{.'四边形AHGE为矩形..'AE=GH,GE-AH-1.2m CO-CO. 在R△OFG中,由勾股定理OE-OG-E=2-1.2 ($SS).ACO-BCO=ACB=$60*=30”。如图, 1.6(m).·OA-OB-AB-2-0.8-12(m)..'AF-OE OA-1.6-1.2-0.4(m)..'$GH-0.4m,即支撑杆HG的高 延长AO交BC于点E..AB-AC,AE平分 BAC...AE 度为0.4m. B$.BE-CE-BC-3-.在Rt△OEC中,OCE- 30{..'.OC=2OE,由勾股定理得OE+CE=OC*,即OE*+ (3)-(2OE)-40F,解得OE-一或OE-(舍去), D 2.(1)如图1.连接BC 交AD 于点Q·BC=0.6m 60 cm.': B.D-C D-x60=30(em).'AD-0.3m= 30.cm.且弓臂BAC为圆孤形.'.点D.是BAC所在圆的圆心 A是弓臂BAC的中点,'BDA=CDA= 1 B.DG-x120°-60”,BC IAD . D BQ-30°. 2.(1)第一个三角形是锐角三角形,那么它的最小覆盖圆应 44