第4章 等可能条件下的概率 复习课-【课时提优计划作业本】2024-2025学年九年级数学上册（苏科版）

(2)不公平.理由如下：由(1)可得，所选出的a、b能使得a.x”+ 1 2 3 x+1=0有两个不相等的实数根的情况有6种，，P(甲获 (1,1) (1,2) (1,3) 胜)=号=号P乙获胜)=号-=子P(甲获胜)≠P(乙获 (2.1) (2.2) (2.3) 3 (3,1) (3,2) (3,3) 胜)∴这样的游戏规则不公平.4.(1)号解析：画树状图 (2),点M在以点O为圆心、T0为半径的圆的内部，，x+ 如图所示.由树状图可知，共有4种等可能的结果，其中A、B y<10,满足条件的点M有4个，∴点M在以点O为圆心 之间的两个元件都连通，A、B之间电流才能正常通过，这种结 而为半径的圆的内部的概率是合 果只有1种，“A,B之间电流能正常通过的概率是 非始 专题六概率的综合应用 L.(1)509108°解析：22÷44%=50（名），.这次抽样 元件1 断 调查共抽取了50名学生：：50×8%=4（名），即A组有4名 学生，∴.B组学生人数为50一4一22一15=9，即a=9:D组 元件2通断 通断 学生有15人60×品=108，即D组所在扇形的圆心角 (2)由树状图可知，共有4种等可能的结果，其中C、D之间的 两个元件中至少有一个元件连通，C,D之间电流就能正常通 的度数为108°. (2)900×22+15=666(人).答：估计该校周 过，这种结果共有3种，∴，C、D之间电流能正常通过的概率是 50 末家务劳动时长不低于1h的学生共有666人.(3)将3名 3 5.(1)他从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“论语” 男生分别记为男1、男2、男3，画树状图如图所示.由树状图可 知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中2名男生的结果 的概率是子(2)画树状图如图所示。由树状图可知，共有 有6种，∴恰好选中2名男生的概率是8= 12种等可能的结果，其中恰好小明抽中“店诗”且小红抽中“宋 词”的结果有1种，小明和小红都没有抽到“三字经”的结果有 开始 6种，∴恰好小明抽中“唐诗”且小红抽中“宋词“的概率是 男1 男2 男3 个 个 小明和小红都没有抽到三字经“的概率是一号 丹2男3女男1男3女男1男2女 男1男23 开始 2a2 (2)画树状图如图所示.共有6种等可能的结果， 小明 其中抽到的2张小纸条上的语句对图形的性质描述相符合的 结果有①③、①⑤、②④，共3种，抽到的2张小纸条上的语 小红B C D 句对图形的性质精述相符合的概率是一之， 复习课 知识梳理 始 1山 2树状图（③列表2会2号 ② 题组提优训练 考点一：1.A解析：骰子每个面上都有1个点数，分别为1、 ①④).45 2、3、4、5,6点，点数是4只有1种情况，，点数是4的概率是 3.(1)画树状图如图所示.由树状图可知，共有9种等可能的 结果，所选出的a,b使得ax2+bx十1=0没有实数根的结果 6· 2A33 解析：“，小于10的正整数共有9个，其 有1种，∴.所选出的a,b使得a.x2十br+1=0没有实数根的 中大于6的有3个，“所求概率是号= ，4.6解析：设 概率是日 开始 盒子中黄球有x个根据题意，得品，一号解得=6，经险 验，x=6是原分式方程的解，盒子中黄球有6个. 考点二：1，C解析：用1,2、3这三个数字随机组成一个无重 6 132-132-132 复数字的三位数出现的等可能结果有123,132,213、231,312、 b4a91712083-350 321,共6种，其中恰好是“平稳数”的有123、321，共2种，.恰 课时提优计划作业本·数学·九年级上(SK版) …48- 好是平稳数的概率是号-令2D解析：将2名男生分 第一次 0 -2 3 别记为男1、男2,2名女生分别记为女1、女2，画树状图如图 所示.由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到 1名男生和1名女生的结果有8种，∴恰好轴到1名男生和 1名女生的概率是8=号 3 -2 开始 考点三：l.B解析：如图，连接EG、FH.设AD=BC=2a, AB=DC=2h.易证四边形AFHD、四边形ABGE是矩形， 男1 男2 女 久2 .FH=AD=2a,EG=AB=2h.,四边形EFGH是菱形， 男2女1女2男1女1女2马1马2女2男1玛2女1 SH=号FH·EG=号·2a·2h=2ah:M.O.P,N 3 解析：画树状图如图所示.由树状图可知，共有16种 分别是菱形各边的中点，OP=MN=号FH=a,MO 等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的汉字相同的结果有 4种∴抽取的两张卡片上的汉学相同的概率是音一 NP=是EG=6∴Snrw=OP,M0=ab,dSa9 S看H一Se形tpv=2ab-ab=ah.'SEALCD=BC·AB= 始 2a·2h=4u6P(飞鰾落在阴影区线)=治=子 清 风 朗 语风朗月沿风朗刀清风朗川清风朗刀 4号 解析：把2个蛋黄棕分别记为A,B,3个鲜肉棕分别记 为C,D、E,画树状图如图所示.由树状图可知，共有20种等可 能的结果，其中爷爷奶奶吃到同类棕子的结果有8种，即AB、 2. BA,CD、CE,DC,DE,EC,ED,,爷爷奶奶吃到同类棕子的概 18 解析：，△ABC为等边三角形，，.AB=AC=BC= 率是品-号 2,∠A=∠B=∠C=60°.D,E、F分别是边BC、AB、AC的 中点，∴.BD=CD=BE=CF=1.∴△BDE、△CDF是等边三 开始 角形，∴.∠BDE=∠CDF=∠EDF=6O°，DE=DF=1, Ss联-0×xX1=吾5r=号×2X3=京∴这 个点取在阴影部分的概率是。=3 v318· 3.(1)由题意可知， 5.2 解析：画树状图如图所示.由树状图可知，共有12种 数字“1”“一2"“3”所占的圆心角均为120°，则转动转盘一次，转 等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有6种，任意闭合两 个开关，小灯泡发光的概率是号-号 出的数字是一-2的照*是器 。(2)画树状图如图所示由 树状图可知，共有9种等可能的结果，其中乘积为正数的结果有 开始 5种，∴转动转盘两次，转出的数字之积为正数的概率是日。 开始 B C 第1次 6 (2)公平，理由如下：列表如下。由表可知，共有 第2次1-2 积1-23-24-63-69 12种等可能的结果，其中相减所得数字为非负数的结果有 6种，为负数的结果有6种，∴.甲获胜的概率等于乙获胜的概 直击中考前沿 1,C解析：掷一次骰子，向上一面的点数有6种结果，其中向 61 率，即P(甲胜)=P(乙胜)=22一此游戏栽则公平 上一面的点数为偶数的结果有3种，，，向上一面的点数为偶 课时提优计划作业本·数学·九年级上(SK版) ·49. 数的概率是号=子.2A解：析英语单词“polyomia” 期末高频考点 中共有10个字母，字母“n”只有一个，.任意选出一个字母 期末高频考点(1)一元二次方程 选出的字母为°n”的概率是0 1 3.C 解析：将“跳高”“跳1.D解析：一+2=0是分式方程，不是一元二次方程。 远“100m”“400m”分别记为1,2、3,4，画树状图如图所示.由放A选项不符合题意：x+2x十3=x(x十1)可整理得x十3 树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到“100m”0,该方程是关于x的一元一次方程，故B选项不符合题意：方 和“400m"两项的结果有2种，∴.恰好抽到“100m”和“400m”程2x+3y=6中含有两个未知数，不是一元二次方程，故C选 的概率是号。 项不符合题意：方程(a2十2)x2-2x十3=0(4为常教)是一元 二次方程，故D选项符合题意.2.D解析：方程整理得 开始 x2-3x十2-m2=0.:(-3)2-4×1×(2-m2)=4m2+1> 0,,,方程有两个不相等的实数根.又，方程的两个根的和为 3,大于0，，原方程至少有一个正的实数根.3.C解析： 个个 ,方程a.2+x十c=0为一元二次方程，∴a≠0，故A选项不 234 符合题意：把x=1代入方程a.x2+br十c=0,得a+b十c=0, 4.A解析：从1,2、3这三个数中随机抽取两个不同的数，则 故B选项不符合题意：，”c可以为0，而a≠0，a=c不一定正 点A的坐标可能是(1,2)、(2,1)、(1,3)，(3,1)、(2,3)、(3,2)， 共6种结果，并且它们出现的可能性相等，点A的坐标在反比 确，故C选项符合题意：，一元二次方程ax十x十c=0有 根，.一4ac≥0，故D选项不符合题意.4.C解析：，关 例函数y=5的图像上的结果有(2,3)、(3,2)，共2种点A 于x的一元二次方程kx2一2r一1=0有两个不相等的实数 在反比例函数)一的图像上的概岸是号=弓5、子 根，∴.k≠0且（一2）2一4×k×(一1)>0，解得k>-1且k≠0. 5.C解析：A-B=x2+2.x-6y-(-y2+4r-10)=2+ 6号79解折：根据题意，得千。=号：解得=9，经检2一y+y-红+10-广一2十y-6y十10-2十1十 y2-6y十9=(x-1)2+(y-3)3.:(x-1)≥0，(y-3)2≥0， 验，m=9是原分式方程的解，n=9.8号解析：从中六一1)十(y一3≥0.即A-≥0A≥B.6.石=0， 任选1个点共有5种等可能的结果，在第一象限的点有A(1,=2024解析：方程整理得x(x一2024)=0，.x=0或 2)和D(4,3),共2个，∴.从中任选1个点恰好在第一象限的x一2024=0，.=0,9=2024.7.14解析：x一4z 概率是号.，把纪念塔，纪念馆这两个景点分别记为A,B, 8=0,移项，得x2一4x=8,配方，得x2一4x+4=8+4,即(x 2)2=12,m=2,n=12,∴m十n=2+12=14.8.k≥-1 画树状图如图所示.由树状图可知，共有8种等可能的结果， 且k≠0解析：：关于x的一元二次方程kx2十2x一1=0有 其中甲、乙、丙三人选择相同景点的结果有2种，.甲、乙、丙 两个实数根，.k≠0且2一4×k×(一1)=4十4k≥≥0，解得 三人选择相同景点的概率是号一 k≥一1且k≠0.9.1解析：根据题意，得(18一2x)(15 开始 x)=224,整理，得x2一24x十23=0，解得1=1,2=23（不特 合题意，舍去)，即图中x的值是1,10.1解析：a3分别 甲 是-一元二次方程x2十3x一7=0的两个根，∴a十3=一3，a十 3a-7=0,.a2+3a=7,.∴.a2+5a+23=(a2+3a)+2(a+3) 7+2×(-3)=1,11.(1).=9,x=-3.(2)=5,= 丙AB 一L12.设票价应定为x元.根据题意，得x1200一20(x 50)]=60500,解得=x=55.答：票价应定为55元. 10.4)2 (2)画树状图如图所示.由树状图可知，共有16种 13.(1)证明：[一(2k+1)]2一4×1×(k-2)=4+4k+ 等可能的结果，其中恰好抽到“宜兴竹海”和“宜兴善卷洞”门1一4k十8=+9>0，∴无论k为何实数，方程总有两个不 票的结果有2种，∴小亮恰好抽到“宜兴竹海"和“宜兴善卷相等的实数根.(2)由根与系数的关系，得西十=2k+1, 初门聚的餐率是品一名 x1T2=k-2.,x1-x2=一2k十3，，∴.(x1一z2)2=4k2一12k十 9,.(十x1)2-4.x1x1=4k2一12k+9,.(2k+1)2-4(k 开始 2)=4k2-12k+9,整理，得12k=0,解得k=0.14.(1)25 B 解析：由题意可知，帝数项为()=2五。(2)原式=十 1 B C D A B C D A B C D A B C D 6x+9-9-1=(x+3)2-10.(x+3)2≥0，..(x+3)2 课时提优计划作业本·数学·九年级上(SK版) …50.第4章 等可能条件下的概率 复 习课 知识梳理 1. 列举法求概率 (1)直接枚举法求概率: 一般地,如果一个试验有”个等可能的结果,当其中的n个结果之一出现时,事件A发生,那 么事件A发生的概率P(A)一 ,其中n表示事件A发生可能出现的结果数,”表示一次试 验所有等可能出现的结果数 (2)树状图法求概率; 通过画。 可以帮助我们不重复、不遗漏地列出随机试验的所有可能的结果n,然后找出 符合随机事件的条件的结果》,用古典型概率公式求出随机事件的概率 (3)列表法求概率: 当一次试验要涉及两个因素或需两步完成,并且可能出现的结果数目较多时,为不重复、不遗 漏地列出所有可能的结果数,通常采用 帮助我们列出随机试验的所有可能的结果.然后 找出符合随机事件的条件的结果,用古典型概率公式求出随机事件的概率 2. 面积比求概率 (1)如果区域I上有一个区域A,假设每次试验能够落在区域I上的任意一点处,并且落在任一 点的可能性总是相同的,记区域I的面积为S。,区域A的面积为S。,那么一次试验落在区域A上 的概率P(A)三 (2)特别地,如果区域A被划分成 等份,用其中的一等份作为基本面积单位来划分,区域 被分成n等份(其中n>n),那么一次试验落在区域A上的概率P(A)= 题组提优训练 国/考点一/利用概率的定义计算简单事件的概率 1. 将一个正六面体般子掷一次,它的点数恰好是4的概率是 ) B C A. D 2. 小丽挪一枚质地均匀的硬币10次,有8次正面朝上,当她掷第11次时,正面朝上的概率是 _ ~ B7 C D. 10 3. 从小于10的正整数中任取一个数,恰好大于6的概率是 4. 在一个不透明的盒子中装有12个白球和若于个黄球,它们除颜色不同外,其余均相同,若从 个. 课时提优计划 作业本 数学 九年级上 >))) /考点二/用画树状图或列表的方法求概率 1.(2023·安微)如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1,那么称该三位 数为“平稳数”.用1、2、3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数,恰好是“平稳数”的 概率是 ) C B D 2.(2023·临沂)在项目化学习中,“水是生命之源”项目组为了了解本地区人均淡水消耗量,需 要从4名同学(2名男生和2名女生)中随机抽取两人组成调查小组进行社会调查,恰好抽 到1名男生和1名女生的概率是 ) C. A. B D 3.(2023·重庆)有四张正面分别写有汉字“清”“风”“朗”“月”的完全一样的卡片,将它们背面 朝上并洗匀,从中随机抽取一张,记下卡片正面上的汉字后放回,洗匀后再从中随机抽取一 张,则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是 4.(2023·自贡)端午节早上,小颖为全家人蒸了2个蛋黄粽、3个鲜肉粽,她从中随机挑选了 两个孝敬爷爷奶奶,则爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是 5. 学习电学知识后,小婷同学用四个开关A、B、C、D.一个电源和一个灯泡设计了如图的电路 图,现任意闭合其中两个开关,则小灯泡发光的概率是 6. 4张相同的卡片上分别写有数字0、1、一2、3,将卡片的背面朝上,洗匀后从中任意抽取1张; 将卡片上的数字记录下来;再从余下的3张卡片中任意抽取1张,同样将卡片上的数字记录 下来. (1)第一次抽取的卡片上的数字是负数的概率为 (2)小敏设计了如下游戏规则:当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得数 字为非负数时,甲获胜;否则,乙获胜,小敏设计的游戏规则公平吗?为什么?(请用画树 状图或列表的方法说明理由) 13 第4章 等可能条件下的概率 同/考点三/简单的几何概率模型 1. 如图是一张矩形纸板,顺次连接各边中点得到萎形,再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩 f 形,将一个飞随机投掷到大矩形纸板上,则飞落在阴影区域的概率是 ) B A. C1 D1 (第1题) (第2题) 2. 如图,等边三角形ABC的边长为2,D、E、F分别是边BC、AB、AC的中点,以点D为圆心、 DE的长为半径作EF,连接DE、DF.假设可以在△ABC内部随机取点,那么这个点取在阴 影部分的概率是 3. 如图,可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域,其中标有 数字1的扇形的圆心角为120{}转动转盘,待转盘自动停止后,指针指向一个扇形的内部,则 该扇形内的数字即转出的数字,此时,称为转动转盘一次(若指针指向两个扇形的交线,则不 计转动的次数,重新转动转盘,直到指针指向一个扇形的内部为止) (1)转动转盘一次,求转出的数字是一2的概率 (2)转动转盘两次,用画树状图或列表的方法求这两次分别转出的数字之积为正数的概率 直击中考前沿 1.(2023·十堰)掷一枚质地均匀的正方体般子,向上一面的点数为偶数的概率是 ) B C A. D 2.(2023·通辽)在英语单词“polynomial(多项式)”中任意选出一个字母,选出的字母为“n”的 概率是 ( ) 0 B C. D 35 课时提优计划 作业本 数学 九年级上 >>>))) 3.(2023·武汉)某校即将举行田径运动会,“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“100m”“400m” 四个项目中随机选择两项参加,则他选择“100m”与“400m”两个项目的概率是 ) B A C D1 4.(2023·内蒙古)从1、2、3这三个数中随机抽取两个不同的数,分别记作n和n.若点A的坐 标记作(m,n),则点A在反比例函数y-6的图像上的概率是 ) ,) A. B. C D 5.(2023·深圳)小明从《红星照耀中国》《红岩》《长征》《钢铁是怎样炼成的》四本书中随机挑选 1本阅读,选到《红星照耀中国》这本书的概率是 6.(2023·广西)某班开展“梦想未来、青春有我”主题班会,第一小组有2位男同学和3位女同 学,现从中随机抽取1位同学分享个人感悟,则抽到男同学的概率是 7.(2023·杭州)一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n个白球(仅有颜色不同).若 8.(2023·新疆)在平面直角坐标系xOv中有5个点,分别是A(1,2)、B(一3,4)、C(-2,-3)、 D(4,3)、E(2,一3),从中任选1个点恰好在第一象限的概率是 9.(2023·徐州)甲、乙、丙三人到淮海战役烈士纪念塔园林游览,若每人分别从纪念塔、纪念馆这 两个景点中选择一个参观,且选择每个景点的机会相等,则三人选择相同景点的概率为多少 10.(2023·无锡)为了深入推动大众旅游,满足人民群众美好生活需要,无锡市举办中国旅游 日惠民周活动,活动主办方在活动现场提供免费门票抽奖箱,里面放有4张相同的卡片A、 B、C、D,卡片上分别写有“宜兴竹海”“宜兴善卷洞”“闹闾城遗址博物馆”“锡惠公园”四个 景区名称,抽奖规则如下:揽匀后从抽奖箱中任意抽取一张卡片,记录后放回,根据抽奖的 结果获得相应的景区免费门票 (1)小明获得一次抽奖机会,他恰好抽到“宜兴竹海”门票的概率是 (2)小亮获得两次抽奖机会,求他恰好抽到“宜兴竹海”和“宜兴善卷洞”门票的概率 13