专题四 圆中常见的多解问题-【课时提优计划作业本】2024-2025学年九年级数学上册（苏科版）

课时提优计划作业本数学九年级上)2》) 专题四圆中常见的多解问题 目/类型一/由点与圆的位置关系引发多解 1.一个点到圆的最大距离为9cm,最小距离为3cm,则该圆的半径为 A.3cm或6cm B.6 cm C.12 cm D.12cm或6cm 2.若⊙O的半径为4，点P到⊙O的最短距离为2，则点P到⊙O的最长距离是 3.P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A,B,∠APB=70°，C为⊙O上一点（不与点A、B 重合)，则∠ACB的度数为 目/类型二/由点在弦上的位置引发多解 4.已知⊙O的半径为15，弦AB的长为18，点P在弦AB上且OP=13,则AP的长为() A.4 B.14 C.4或14 D.6或14 5.已知在直径AB为13的半圆上有一点C,CD⊥AB,垂足为D,且CD=6,则AD的 长为 同/类型三/由圆心与弦的位置关系引发多解 6.已知AB和AC是⊙O的两条弦，∠BAC=57°，M、N分别是AB、AC的中点，则∠MON的 度数为 7.已知⊙O的半径为5cm,弦AB∥CD,且AB=6cm,CD=8cm,则AB、CD之间的距离为 8.已知横断面是直径为2m的圆形下水管道的水面宽AB=1.2m,则下水管道中水的深度 为 9.已知⊙O的直径AB=2cm,过点A的两条弦AC=2cm,AD=√3cm,则∠CAD的度数为 目/类型四/由一弦对两弧引发多解 10.已知⊙O的直径为2，弦AB=1,则弦AB所对的圆周角的度数为 A.30° B.60 C.30°或150 D.60°或120 1L.圆被弦所分成的两条弧长之比为2：7，则这条弦所对的圆周角的度数为 目/类型五/由外心与三角形的位置关系引发多解 12.已知⊙O是△ABC的外接圆，半径为4cm,若AB的长为43cm,则∠ACB= 13.已知⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥BC于点D,且∠BOD=32°，则∠BAC= 目/类型六/由直线与圆的位置关系引发多解 14.已知⊙O的直径等于12cm,直线l上一点P到圆心O的距离为6cm,则直线I与⊙O的位 置关系是 () A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交 84 第2章对称图形一圆 15.如图，在平面直角坐标系Oy中，点P的坐标为（一3,0），以点P为圆心、2为半径的⊙P以 2个单位长度s的速度沿着x轴正方向移动，移动的时间为ts,则当⊙P与y轴相切时， t= (第15题) (第18题) (第19题) 16.已知4∥12，l、l2之间的距离是3cm,圆心O到直线l1的距离是1cm,如果⊙O与直线11、 2有三个公共点，那么⊙O的半径为 cm 17.在平面直角坐标系zOy中，如果以点A(一2,3)为圆心、r为半径的圆与坐标轴恰好有三个 公共点，那么r的值为 18.如图，在等腰三角形ABC中，∠ACB=120°，BC=AC=8,半径为2的⊙O的圆心O在射 线AC上运动，当⊙O与△ABC的一边相切时，线段CO的长度为 19.如图，⊙O的半径OA=2,B是⊙O上的动点（不与点A重合），过点B作⊙O的切线BC, BC=OA,连接OC、AC.当△OAC是直角三角形时，其斜边的长为 目/类型七/由旋转轴的选择引发多解 20.如图，在R1△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,绕R1△ABC的一边所在直线旋转一周得 到一个几何体，求这个几何体的全面积 85时，连接PE,PC,过点P作PM⊥EF于点M,延长CP交OB 为√3÷22=25，圆心为AB的中点，即圆心的坐标为 于点N.:EF=42cm,.EM=22em在Rt△EPM中， 4 PM=/PE-EF=√32-(22)2=1(cm).:∠AOB (- 60°，∴.∠PNM=30°，∴.PN=2PM=2cm,.NC=PN+PC= 专题四圆中常见的多解问题 5m在R△0CN中，0C=0N.0C+NC=(2003,1.A解桥：若点在圆外.圆的直径为93=6Cm,半径为 即0C+5=40C,0C=5g 3cm:若点在圆内，圆的直径为9+3=12(cm),半径为6cm. 3 2cm②如图3，当点P在 2.6或10解析：当点P在⊙O内时，最长距离是4×2一2 ∠AOB外部时，连接PF,PC,PC交EF于点N,过点P作6：当点P在⊙O外时，最长距离是4×2+2=10.3.55或 PM⊥EF于点M.同理①可知，PN=2cm,NC=PC-PN=125°解析：如图，连接OA.OB.:PA,PB分别切⊙O于点 1m在R△0N中，.0C=号0N.0C+C=(20C,A,B.OA⊥PA.0BLPB.∠PA0=∠P0=90又 :∠APB=70°，∴∠A(0B=360°-90°-90°-70°=110°.当点 即OCe+F=0C,0C=号cm综上所述，0C的长是 C在ACB上时，∠ACB=号∠A0B=号×10=55：当点C 55 3 在AC2B上时，∠ACB=180°-55°=125°.综上所述，∠ACB的 F/B 度数为55或125” B/ 图2 第3题 第4题 4.C解析：如图，过点O作OCLAB于点C,则AC=号AB= 9.∴OC=√O-AC=12.又OP=13,.PC= √OP一(0C=5.当点P在线段AC上时.AP=9-5=4:当 图3 点P在线段BC上时，AP=9十5=14.5.4或9解析：取 14.(1)303解析：连接OE.:PE为⊙O的切线， PELB0,∠PE0-90.0E-1.0P=2,0E=20P, AB的中点O.连接OC,则0C=OA=OB=AB=是如图 PE=vOp-0E=5,∠EP0=30.:PE和PF为O01,当点D在线段OA上时，OD=√()-6=号，则AD= 的两条切线，.PE=PF,∠EPO=∠FPO,.∠EPF= 2∠EPO=60°...△PEF为等边三 Q1-00-号-吾=4：如图2，当点D在线段0B上时，同理 角形，.EF=PE=3.(2)①如 D 可得OD-号.则AD=OA+0D-号+号-9综上所述，AD 图，过点D作⊙O的两条切线DE、 的长为4或9. DF,切点分别为E、F.在R1△DEO 中，OD=2,OE=1,.ED= √OD-OE=1.∴.∠EDO=45°，同理可得∠FDO=45 ∴·∠FDE=90°，点D是⊙O的“直角点”，@由①可知，以 O为圆心，2r为半径的圆上及圆内的所有点都是⊙O的直角 图1 图2 点.：线段AB上的所有点都是圆的“直角点”，AB是半径6.123或57°解析：连接OM.ON“M,N分别是AB和AC 为2r的⊙O的弦或在该圆的内部.当AB是半径为2r的 的中点，.COM⊥AB,ON⊥AC,即∠OMA=∠ONA=90°.如 ⊙0的直径时，该圆的半径最小：直线y一号一2分别与： 图1，当AB、AC在圆心异侧时，在四边形AMON中， ∠B4C=57.∴.∠M0N=360°-90°-90°-57°=123.如 轴y轴相交于点A、B,A(3,0),B(0,-2),∴.OB=2,OA=图2，当AB、AC在圆心同侧时，：∠ADM=∠ODN,∠AMD= 3,由勾股定理得AB=√2+3=13，∴.所求例的最小半径∠OND.∴.∠ON=∠B4C=57 课时提优计划作业本·数学·九年级上(SK版) ·31 10.C11.40°或140°解析：如图，：弦AB把⊙O分成 M N 2:7的两部分，·∠AOB=360×号=80，∴∠AMB 号∠A0B=2×80=40,∠ANB=180-∠AMB= 180°-40°=140°. 图1 图2 7.7cm或1cm解析：过点O作OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分 别为ER,连接OB,OD,则BE-号AB=3cm,DF=2CD 4m又：(OB=OD=5cm,∴.(OE=4cm.OF=3cm.如图1， 当AB,CD位于圆心O的两侧时，AB、CD之间的距离为 OE+OF-4+3=7(cm):如图2.当AB,CD位于圆心O的同 第11题 第12题 侧时，AB,CD之间的距离为OE-(OF=4一3=1(cm).综上所 12.60或120°解析：如图，连接OA.OB,过点O作OD LAB 述，AB,CD之间的距离为7cm或1cm 于点D.则AD=BD号AB=25m∴OD=√O-AD 2 cm..'OD= 20A.∠0AD=30=∠0BA.∠A0B 120当点C在ACB上时，∠ACB=60°：当点C在ACB上时， ∠ACB=120°.13.32或148°解析：：OD LBC,(OB=(0C, 图1 图2 .∠(OD=∠BOD=32°，∴.∠BC=64°，.∠BAC 8.0.2m或1.8m解析：过点O作OE⊥AB交AB于点D, ∠B0C=32或∠BMC=180-号∠B0C=14.】 1 4.D 连接OB.则BD=AD=号AB=6mOB=1mOD 解析：，圆的半径r=6cm,且直线上存在一点到圆心的距离 √OB-BD=√/1-0.6=0.8(m).如图1，DE=OE- d=6cm,∴.直线与圆至少有一个交点.当直线与圆有且只有一 OD=1一0.8=0.2(m):如图2，DE=0E+0D=1+0.8 个交点时，直线与圆相切：当直线与圆有两个交点时，直线与圆 L.8(m).综上所述，下水管道中水的深度为0.2m或1.8m. 相交，∴.直线与圆的位置关系是相交或相切.15.0.5或2.5 B 解析：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为 1.t=1÷2=0.5(s):当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切 0 时，平移的距离为5,1=5÷2=2.5(s).16.2域4解析 D 设圆的半径为”cm,如图1，r一1=3，解得r=4:如图2，r十 1=3,解得r=2.综上所述，⊙O的半径为2m或4cm 图1 图2 9.75或15°解析：连接BC,BD,OC,OD.:AB是⊙O的直 径.∠ACB=∠ADB=90.:0C=0M=2AB=号×2 1(cm).AC=/cm...OA+OC=AC,..AOC=90, ∴∠CAO=45.在△ABD中，根据勾股定理得BD 图1 图2 yAB-AD=1(cm),∴.OB=OD=BD=1cm,∴.∠ABD= 17.3或、13解析：点A的坐标为（一2,3），∴点A到x轴 60°，.∠BAD=30°.如图1，当弦AC,AD位于直径AB的两 的距离为3，到y轴的距离为2.当⊙A与x轴相切时，与y轴 侧时，∠CAD=∠CAO+∠BAD=45°+30=75：如图2.当 有2个交点，圆与坐标轴恰好有三个公共点，此时：=3.当 弦AC、AD位于直径AB的同侧时，∠CAD=∠CAO ⊙A经过原点时，圆与坐标轴恰好有三个公共点，此时「 ∠BAD=45°-30°=15.综上所述，∠CAD的度数为75或15. V2+罗=、区。184或解析：当⊙0与AB相切 时，如图1，设切点为D,连接OD,则∠ADO=90,:AC BC,∠ACB=120°，.∠A=30,.A0=20D=4,0C AC-AO=4:当⊙O与BC相切时，如图2，设切点为E,连接 图 图2 0E.∠ACB=120,∠0CE=60.:0E=2.0C=4y3 3 课时提优计划作业本·数学·九年级上(SK版) ·32· 综上所述，线段C0的长度为4或4⑤ 2.C解析：如图，连接BC、OD相交于点E,连接BD.:AB 是半圆O的直径，∠ACB=∠ADB=90°.，AB=20,AC 12.∴.BC=√AB-AC=√20-12=16.：AD平分 ∠BAC..∠CAB=2∠DAB.·∠DB-2∠DAB,.∴∠DOB- ∠CAB,,.AC∥IDO,,,∠OEB=∠ACB=90°，.CE=BE 2C=80E是△ACB的中位线∴OE-2AC=6:OD 图1 图2 19.25或2√2解析：连接OB.BC是⊙O的切线， 2AB=10.DE=OD-OE=10-6=4.在R1△DEB中， .∠OBC=90°.：BC=OA,.OB=BC=2,∴.△OBC是等腰 DB=VDE+BE=√+8=45.在R1△ADB中，AD= 直角三角形.∴∠BO=45°，∴∠ACO≤45°.△OAC是直角 三角形分两种情况：①当∠AOC=90时，如图1，，OC AB-DB=√20-(45)=85.3.9解析：如图， 设A(O,(OB与⊙P分别相切于点E,F,连接PF,连接EP并延 2OB=22,∴.AC=OA+C=√2+(22)2=23： 长交BC于点G,则∠PEO=90'=∠PFE.:⊙P的半径为5， ②当∠OAC=90时.如图2，，BC是⊙O的切线，∴.∠CBO= ∴.PC=PF=PE=5.:四边形AOBC为矩形，∴.AO=BC= ∠OAC=90°，，BC=OA=OB,∴△OBC是等腰直角三角形， 8,∠O=90°，AO∥CB,.∠PGB=180°-∠PEO=90.∴.四 ∴.OC-22.综上所述，当△OAC是直角三角形时，其斜边的 边形EOFP为正方形，四边形PFBG为矩形，.OF=PE= 长为23或22. PF=5,BG=PF=5,PG=FB..CG=BC-BG=3. R△PCG中，PG=PC-C证=√-3=4，.FB= PG=4,∴.O0B=OF+FB=5+4=9. 图 图2 20.在R1△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,.AB yAC+BC=5.①把Rt△ABC绕边AC所在直线旋转 第3题 第5题 周，所得的儿何体的全面积为底面半径为4，母线长为5的圆 4.23解析：过点O作OH⊥AB于点H,则AH=BH,连 锥侧面积和半径为4的圆的面积之和，故几何体全面积为π× 接OA,延长OH交⊙O于点C.,折叠后圆弧恰好经过圆心 4×5+π×42=36π：②把Rt△ABC绕边BC所在直线旋转一 周，所得的几何体的全面积为底面半径为3、母线长为5的圆O.∴0H=HC=号0C=1cm,“.AH=√OA一OF= 锥侧面积和半径为3的圆的面积之和，故几何体的全面积为 2-下=3(cm).∴.AB=2AH=23cm5.34°解析： π×3×5+x×32=24π：③把R1△ABC绕边AB所在直线旋 转一周，所得的几何体的全面积为底面半径为2.4，母线长分 如图，取点D关于弦AC的对称点D',连接AD、DC、BC. 别为4,3的两个圆锥侧面积之和，故几何体全面积为π× ,AB为⊙O的直径，.∠ACB=90°.∠BAC=28, 2.4×4+m×2.4×3=16.8π. ∴.∠B=90°-∠BAC=90°-28=62°.由翻折的性质，得 江苏中考新考法一圆 ∠ADC=∠ADC,ABC所对的圆周角为∠ADC,ADC所对 1.D解析：如图，连接OA:CDLAB.∴AE=BE=之AB 的圆周角为∠B,∴∠B十∠ADC=180°，∴.∠ADC=180° ∠B=180°-62°=118°，.∠ADC=∠ADC=118°，.∠DCA 言×16=8在R△0AE中，OA=,0E+E=V8牛8= 180°-∠ADC-∠DAC=180°-118-28=34.6. 10,即⊙0的半径为10. 25 解析：如图，连接OD.在R△OCD中，OC=2OA 20D=2,∠0Dc=30,CD=OD-0C=23, ÷∠00D=6m∴阴影都分的面积-0-专×2X25- 360 第1题 第2题 8x-25. 课时提优计划作业本·数学·九年级上(SK版) ·33