2.6 正多边形与圆-【课时提优计划作业本】2024-2025学年九年级数学上册（苏科版）

第2章对称图形一圆 2.6正多边形与圆 第1课时正多边形与圆(1) 课堂演练 1.(教材习题变式)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O,点F在AE上.若∠CDF=95°，则 ∠FCD的度数为 () A.38 B.42° C.49° D.58 0 (第1题) (第3题) (第5题) 2.正六边形的周长是12，则它的半径长为 A.3 B.2 C.22 D.23 3.如图，AB、BC和AC分别为⊙O内接正方形、内接正六边形和内接正n边形的一边，则n的 值为 () A.6 B.8 C.10 D.12 4.(2023·上海)如果一个正多边形的中心角是20°，那么这个正多边形的边数为 5.(教材习题变式)如图，正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆，则B、E两点间的距离为 6.如图，△ABC内接于⊙O,AB=AC,∠BAC=36°，AB、AC的垂直平分线分别交⊙O于 点E、F,求证：五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形. 36 课后拓展 7.下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最小的是 B 73 二一课时提优计划作业本数学九年级上>>》 8.(2023·河北)如图，点P1一P。分别是⊙O的八等分点.若△PP3P、四边形PPPP的周 长分别为a、b,则下列关系中正确的是 ( A.a<b B.a=b C.ab D.a、b大小无法比较 (第8题) (第9题) 9.(2023·内江)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O,点P在AB上，Q是DE的中点，则 ∠CPQ的度数为 () A.30 B.45 C.36 D.60 10.如图，正六边形ABCDEF的边DC、EF分别与⊙O相切于点C、F,则∠COF= (第10题)》 (第1山题) 11.(023·杭州)如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面 积为5，△ACE的面积为S,则2= 12.中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm,点P、Q分别从A、D两点同时出发，均以 1cm/s的速度沿AF、DC向终点F、C运动，连接PB、PE、QB、QE,设运动时间为1s. (1)求证：四边形PBQE为平行四边形. (2)当四边形PBQE是矩形时，求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比. Q 74 第2章对称图形一圆 第2课时正多边形与圆(2) 课堂演练 1.(教材练习变式)将一个正五边形绕它的中心旋转，至少要旋转 (填度数)才能与原 来的图形重合. 2.画五角星，通常把圆五等分，然后连接五个等分点（如图），则五角星的每一个内角的度数为 A.30 B.35 C.36 D.37 (第2题) (第3题》 3.如图，向日葵图案是用等分圆周的方法画出来的，则⊙O与半圆P的半径的比为 () A.5:3 B.4:1 C.3:1 D.2:1 4.如果一一个正多边形的中心角等于72°，那么这个正多边形的对称轴共有 条 5.在学习圆与正多边形时，有一位同学设计了一个画圆内接等边三角形的方法： ①如图，作直径AD:②作半径OD的垂直平分线，交⊙O于B、C两点；③连接AB、AC、BC, 那么△ABC为所求的三角形. 请你判断该同学的方法是否正确？如果正确，请你按照该同学设计的画法，画出△ABC,然 后给出△ABC是等边三角形的证明过程：如果不正确，请说明理由. 课后拓展 6.尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中，传说拿破仑通过下列尺规作 图考他的大臣：①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A、B、C、D、E、F六 个等分点：②分别以点A和，点D为圆心、AC的长为半径画弧，G是两弧 的一个交点：③连接OG.问：OG的长是多少？大臣给出的下列答案中正 确的是 () A.3r c(1+9r D.12r 75 课时提优计划作业本数学九年级上，2 7.刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术注》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正 多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积.如图，若用圆的内接正十二边形的面积S,来近似 估计⊙O的面积S,设⊙O的半径为1，则S-S的值约为（π≈3.14） () A.0 B.0.14 C.0.5 D.1 (第7题)》 (第8题) 8.如果一个矩形经过一个多边形的各顶点，那么我们把这个矩形叫作这个多边形的外接矩形 如图，矩形ABCD是正六边形EFGHPQ的外接矩形，如果正六边形EFGHPQ的边长为 2,那么矩形ABCD长边与短边的比是 9.图1是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形一正八边形.如图2， AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH(不写作法，保留作图 痕迹) 图1 图2 10.如图，△ABC是等边三角形，请用直尺（不带刻度）和圆规按下列要求作图：设D是边AB 上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI,使点F,H分别在边BC和AC上（不写作法， 保留作图痕迹) 76平分∠BOB,∴∠COE=号∠BOM,∠DOE=号∠EOB, 边形的半径长为2.3.D解析：连接OA,OB,.由题意 得，∠A0B=360=90,∠B0C=360=60,∠A0C :∠COD=∠COE+∠DOE=3∠BOA+之∠EOB 6 号（∠P0A+∠0B)=2∠AOB=号(360°-∠P-∠PA0 ∠A0B-∠0C=30,∴m==12.418解析：360÷ 20°=18，故这个正多边形的边数为18.5.8解析：六边 ∠PB0)=号×(360°-70°-90°-90)=55.1山.32+1 形ABCDEF为正六边形，∴AB=BC=CD=DE=EF=FA, 解析：当⊙0与边BC,CD相切时，点A到⊙0上的点Q的距：AB=BC=CD=DE=E示=A.BE的度数为180，弦BE 离最大.如图，设⊙O与边BC相切于点E,与边CD相切于点为该圆的直径，∴BE=2×4=8, F,则OE⊥BC,OF⊥CD,且OE=OF=1.∴，四边形OECF是6.证明：如图，连接BF、CE.:AB= 正方形，∴.CO平分∠BCD.,四边形ABCD为正方形，∴CAAC,∠BAC=36,∠ABC=∠ACB= E 平分∠BCD,点O在CA上，CA=AB+BC=42,2°，AB.AC的垂直平分线分别交 OC-√OE+CEF=2,∴.AQ=OA+(0Q=AC-OC+OQ= ⊙O于点E、F,AF=CF,AE=BE, 42一/2+1=32+1，即点A到⊙O上的点的距离的最大值 AF=F.AE=BE,·∠ABF 为32+1. ∠CBF=2∠ABC=36,∠ACE=∠BCE=2∠ACB=36, ∴·∠BAC=∠BCE=∠ACE=∠ABF=∠FBC=36°，∴.AE AF=BE=BC=FC,.,AE=AF=BE=BC=FC,∴∠EAF= ∠AFC=∠FCB=∠CBE=∠BEA=1O8°，.∴五边形AEBCF 是⊙O的内接正五边形. 课后拓展 12.:AE与⊙O相切于点F,正方形ABCD的边长为4m,7.A解析：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面 .AF=AB=AD=4cm,EF=EC.设EF=EC=xm,则积越来越接近于圆周长和圆面积.8.A解析：如图，连接 DE=(4-x)cm,AE=(4+x)cm.在Rt△ADE中，由勾股定P,P,P,P.点P,~P分别是⊙O的八等分点，PP= 理得AD+DE=AE,即4+(4-x)=(4+x),解得x=1, PP=PP=PP,PP=PP=PP..6-a=PP+ ∴C-1m,DE-3m∴Se=2AD.DE-号X4X3- P:Ps-PP.P:P+PsP>PP::.PP +P:P> P1P3,∴.b-a>0,∴.a<b 6(cm).13.(1),DA,DC都是⊙O的切线，.DC=DA同 理，EC=EB.P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切 于点A,B,PA=PB,△PDE的周长为PD+PE+DE PD+PE+DC+EC=PD+DA+PE+EB=PA+PB= 2PA=2X4=8,即△PDE的周长是8.(2)连接AB.,PA PB,.∠PAB=∠PBA.∠P=40°，.∠PAB=∠PBA 号×(180-40)=70.BF⊥PB,BF为O0的直径. D 第8题 第9题 ∴∠PBF=∠BAF-90°，∴∠ABF=∠PBF-∠PBA=90°-9.B解析：如图，连接C,OD,(Q,OE:正六边形ABCDEF 70°=20°，∴.∠AFB=90°-∠ABF=90°-20°=70 内接于O0.Q是DE的中点.∠C0D=∠D0E-360=60, 6 2.6正多边形与圆 第1课时正多边形与圆(1) ∠D0Q=∠B0Q=号∠D0E=30.·∠C0Q=∠00D+ 课堂演练 ∠0Q-90,ZCPQ-专∠00Q-45:10.120解折： 1C解析：连接OCOD.,正五边形ABCDE内接于⊙O, :多边形ABCDEF是正六边形，.∠E=∠D=(6一2)X ∠00D=360÷5=72∠cFD=3∠c0D=2×72- 180°÷6=120°，：FE、CD分别与⊙O相切于F,C两点， 36.:在△CDF中，∠CDF=95,.∠FCD=180°-∠CFD-∴∠OFE=∠0CD=90°.∠F0C=540°-90°-90°-120° ∠CDF=180°-36°-95=49.2.B解析：正六边形可120=120.1L.2解析：如图，连接OA,0C,OE.:六边 以分成六个全等的正三角形，∴.正六边形的半径等于它的边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，·AC=AE=CE, 长.正六边形的周长是12，.正六边形的边长是2，∴.正六△ACE是⊙0的内接正三角形.，∠B=120°，AB=BC, 课时提优计划作业本·数学·九年级上(SK版) …26· ∴∠BAC-∠BCA=之(180°-∠B)=30::∠CAE=60,为72÷2=363D解析：如图，逢接01.0P,0B:向 日葵图案是用等分圆周的方法画出来的，，.此圆的内接正多 .∠0AC=∠0AE=30°，，.∠BAC=∠0AC=30°，同理可 边形是正六边形，∴∠AOB=0.OA=OB,AP=BP,.OP⊥ 得，∠BCA=∠OCA=30°.又：AC=AC.∴.△BAC≌△OAC AB,∠AOP= 号∠A0B=30,∴AP=201.即o0与半圆 1 (ASA),.S△x=Sar,由圆和正六边形的性质可得，SBr= SE=Se,由圆和正三角形的性质可得，Sm=S△e= P的半径的比为2：1. SIB.S=SAx十SAr+SaE+Suw十SBK+Sr 2(Same+Sone+Sou)=25:5=2. 第3题 第5题 4.5解析：由题意可知，这个正多边形的边数是360°÷72° 5,这个正多边形的对称轴共有5条.5.正确，作法如图 12.(1)证明：多边形ABCDEF是正六边形，.AB=BC 证明如下：连接OB,OC,设OD与BC的交点为E.,BC为 CD=DE=EF=FA,∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF= ∠F由题意得，AP=DQ=tcm,PF=QC=(6-t)cm.在 0D的垂直平分线OD1C且0E=2OD.又0B=OC, (AB-DE. .BE=CE.,AE⊥BC,.AB=AC.又'OC=OD,,.OE △ABP和△DEQ中，∠A=∠D,.△ABP2△DEQ 20C,∠0E=30,∴∠00D=60,∠B0C=120. AP=DQ. (SAS),∴.BP=EQ.同理可证PE=QB,∴.四边形PBQE为平 ∴.∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形. 行四边形.(2)如图1，连接BE、OA、BD、AE,则∠AOB= 课后拓展 360°÷6=60.又0QA=OB,△4OB是等边三角形.∴AB= 6.D解析：：AD是⊙O的直径，∠ACD=90°，在 OA=6m,BE=2OB=12cm当1=0时，四边形PBQE为四边Rt△ACD中，AD=2r,∠DAC=30°，.CD=r,∴AC=3r 形ABDE,则∠EAF=∠AEF=30°，.∠BAE=120°-30°=·DG=AG=AC,OD=OA,.GO⊥AD,.G= 90°，，.当t=0时，四边形PBQE是矩形.在Rt△ABE中， √AG-A=2r.7.B解析：如图，过点A作AC⊥OB AE=BE-AB=12-6=63 (cm).SHEPOOE= 于点C.,⊙O的半径为1，.⊙O的面积S=π.，圆的内接正 S形wE=AB·AE=6X6/5=363(cm).:SE六边TF= 十二边形的中心角为智=30.AC=号0A=号圆的 65am=6X}Semw=6×}×36万=545(am). 内接正十二边形的面积S=12×号×1× 2 =3,∴.S-S= .S地形mx:S正大达期，Mx=36V3:543=2:3.如图2，当 一6时，四边形PBQE为四边形FBCE,同理可证四边形”一30.14. FBCE为矩形，且S形：SE大边形.mr=2:3. 8.2:、瓦解析：：多边形EFGHPQ是正六边形，∴∠EFG 图1 图2 120°，∴∠AFE=180°-120°=60°.在R△AEF中，∠AFE 第2课时正多边形与圆(2) 课堂演练 60.∠AEF=30.又：EF=2∴AF=2EF=l.AE=B. 1.72°解析：正五边形的中心角为360°÷5=72°，.至少旋 由对称性可知1，DE=AE=/3,G=AF=1,∴.AD=23,AB= 转72才能与原来的图形重合.2.C解析：：五角星的五 AF+FG十BG=1十2十1=4..矩形ABCD长边与短边的比 个顶点为圆周的五等分点，每段孤的度数为=72∴每是4：2,5=2：3,9.如图，正人边形ABCDEFGH即为 段弧所对的圆周角的度数，即为五角星的每一个内角的度数，所求， 课时提优计划作业本·数学·九年级上(SK版) ·27. V3-60m…25Y=85-35-2x=53-2a 360 第9题 第10题 O R 第8题 第10题 10.如图，正六边形DEFGHI即为所求 9.B解析：·△ABC是等边三角形，.AB=BC=AC=3, 2.7弧长及扇形的面积 ∠A=∠B=∠C-60,∴.AB=C-AC:AB的长为0X3 课堂演练 180 1.B解析：∠ACB=30°.∠AOB=2∠ACB=60°， ∴该莱洛三角形的周长是310.专x十23解析： Sw-08=L2C解折：-高-C3 360 180 如图，连接0M:0是0B的中点∴00=OB=OM ，即该扇形的孤长为号元3.2红解桥：扇形的面 3 20A=2.:∠M00=90.i∠OM0=30,i∠M00 积为0=2am.42解析：S6=号R,即4= 60,M0-23,awr=200.NM0=号×2X25= X41=2.5.吾x解析：如图，连接OE,OD.0D 28ySem-需×xX-7Swr-器×x×样 OB,∴.∠B=∠ODB.AB=AC..∠B=∠C.∠C ∠ODB∴.(OD∥AC,∴.∠EOD=∠AEO.(OE=OA. 4红，S洲影分=SawxW十SA/一SIM=4x十23-8x 3 ∴.∠OEA=∠BAC=50,∴.∠EOD=∠BAC=50.'OD= 好+25.11.吾解析：∠ACB=90,AC=BC=1, 名AB=号×6=3(cm.DE的长为03-吾 180 6x(cm). R ∴AB=2Ssm=器×xX(2)F=吾.又R△AC 绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE,.Rt△ADE≌ R△ABC,.SIW花分=S△E十Sm形AD一SAg=SaBArD 石. 2(侍+)x登+号 2 解析：在R1△ABC中， 第7题 AC=5,BC=1,∴AB=AC+BC=2,CB=号AB, 第5题 6-号 解析：∠C=45°，∠AOB=90°，.Ss= ∴∠CAB=30,∠ABC=60°，∴点A运动的路线长L=A4+ 5em-一5m=器XxX学-号X3X3=学-号 -120XX2+0X05-每+5=（号+号）x,点 180 180 3 2 7.(1)证明：，AB是⊙O的直径，.∠ACB=90,.∠B+ A经过的路线与直线I围成的面积S=S常形（十S△x十 ∠CAB=90°.，∠EAC=∠B,∴∠EAC+∠CAB=∠BAE sr-8×xX2+专×5X1+0×xX(有)r 90°，即BALAE.∴.AE是⊙O的切线.(2)如图，连接OC AB=6.OA=3.:∠D=60∠AC=120,∴AC的长 等+受+-管+ 、13.(1)连接OB.:OA=OB, 1=120XmX3=2元 D是AB的中点，PDLAB.∠A=30°，∴.∠AOD=60, 180 ∴.∠POC=∠AOD=60°.：∠BOC=2∠A=60°，OB=OC, 课后拓展 ∴.△OBC是等边三角形，.OB=BC=2,即⊙O的半径为2， 8.C解析：如图，连接OD,过点O作OE⊥CD于点E.在 ∴PC的长1=60×xX2_2a (2)∠POC=60°，PF⊥AC, △ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=4,.AC=8. 180 3 BC=43,∠DOB=2∠ACB=60°，.OC=OD=OB=23,1 ∠0PF=30,0F=20P=2×2=1.在R△0PF中，由 ∴0E=20C=3,CE=V0C-0E=3,∴CD=2CE=6, 勾股定理得PF=√/O严一OF=3,∴.S影=S一Sr= 六S4-=50m-5m-5aew=号X4X48-专×6x0×xX2-×1X5-餐- 课时提优计划作业本·数学·九年级上(SK版) …28-