第3章函数的概念与性质章末重难点检测卷-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第3章函数的概念与性质章末重难点检测卷-高一数学上学期人教A版（2019） 一、单选题 1．“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知，，则（   ） A． B． C． D． 3．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 6．函数为定义在上的减函数，若，则（    ） A． B． C． D． 7．在下列函数中，与函数是同一函数的为（    ） A． B． C． D． 8．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，则（   ） A． B．的最小值为0 C．的定义域为 D．的值域为 10．已知对任意的，不等式恒成立，则a，b的可能取值有（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，则关于函数正确的说法是（ ） A．函数的定义域为 B．函数在单调递减 C．函数值域为 D．不等式的解集为 三、填空题 12．已知关于的不等式恰有一个实数解，则的取值集合为 13．设表示，，，中最大的数，已知，均为正数，则的最小值为 . 14．表示不大于的最大整数，例，则的的取值范围 ，方程的解集是 . 四、解答题 15．已知集合，,求: (1)，； (2)，，求的取值范围． 16．设为实数，函数. (1)求函数的定义域； (2)设，把函数表示为的函数，并写出定义域； (3)若，求的最大值 17．已知函数的定义域为， 若存在常数，，都有，则称为上的“利普希茨”函数. (1)请写出一个“利普希茨”函数，并给出它的定义域和值 (2)若为“利普希茨”函数，试求常数的取值范围 18．某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06. (1)求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式； (2)求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x的值. 19．在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润=销售收入-成本） (2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D C D C A A BC BCD 题号 11 答案 ABD 1．A 【分析】求出的开口方向和对称轴，从而得到不等式，求出，结合是的真子集，确定答案. 【详解】开口向下，对称轴为， 要想在上单调递增，则， 解得， 由于是的真子集， 故“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A 2．C 【分析】令，求，代入可得结论. 【详解】令，可得，所以，故， 将，代入，得，即. 故选：C. 3．D 【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用周期性结论，即可得到答案． 【详解】因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以，即， 令，由①得：，所以，所以， 解得：，所以． 所以. 故选：D. 4．C 【分析】作出函数的示意图，求得的解集，进而可求不等式的解集. 【详解】根据题意作出函数的示意图， 由，可得， 由，可得，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C. 5．D 【分析】先分析在各段区间上的值域，再根据条件由外而内依次求得，从而得解. 【详解】因为， 当时，； 当时，； 当时，； 令，则由，得， 由上述分析可得且，解得，即， 所以且，解得. 故选：D. 6．C 【分析】根据是定义域上的减函数，且，然后比较与的大小关系，从而得出选项A错误；比较与的大小即可得出选项B错误；可得出，从而得出选项C正确；比较大小即可判断D. 【详解】是定义在上的减函数，， 与的大小关系不能确定，从而关系不确定，故A错误； ，时，；时，，故的关系不确定，故B错误； ，，，故C正确． ，时，；时，，故关系不确定，D错误， 故选：C． 7．A 【分析】确定函数的定义域，对应法则是否相同即可得． 【详解】函数的定义域是，函数式化简为， 的定义域是，函数式可化简为，是同一函数， 的定义域是，不是同一函数， 的定义域是，函数式可化简为，对应法则不相同，不是同一函数， 的定义域是，不是同一函数， 故选：A． 8．A 【分析】由分段函数解析式，利用换元法可求得时函数的值域为，再由基本不等式可求得当时，函数的值域为，即可得出结论. 【详解】根据题意当时，， 令，可得，所以，因此可得； 由二次函数性质可得当，即时，取得最大值， 此时的值域为； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立； 此时的最小值为5，因此的值域为； 综上可得，函数的值域为. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用分段函数的解析式，由各段的函数性质利用换元法和基本不等式即可求得函数值域. 9．BC 【分析】根据给定条件，利用配凑法求出函数的解析式，再逐项判断即得. 【详解】由，而， 所以，故A错误； 当时，，因此的最小值为0，故B正确； 在函数中，，即， 所以函数的定义域为，故C正确； ，由，即， 所以，所以的值域为，故D错误. 故选：BC. 10．BCD 【分析】利用分类讨论思想，分和两种情况，第一种情况直接解不等式，结合反比例函数，可得答案；第二种情况利用数形结合思想，结合题意建立不等式组，可得答案. 【详解】当时，由，可得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立，此时不存在； 当时，由对任意的恒成立， 作出的大致图象，如图所示： 由题意可知，又是整数， 所以或或. 故选：BCD. 11．ABD 【分析】根据分式函数有意义求解定义域判断A，利用分离常数法结合反比例函数的单调性判断B，根据分离常数法求解值域判断C，解分式不等式判断D. 【详解】由，要使函数有意义，则，解得， 则函数的定义域是，值域为，故A正确； 向左平移一个单位，得到，再向上平移个单位，得到， 因为函数在上为减函数，所以函数在单调递减， 函数在单调递减，故B正确； 由，知，，所以， 所以函数值域为，故C错误； 不等式即，所以，所以， 所以不等式的解集为，故D正确. 故选：ABD. 12． 【分析】结合二次函数图象可知与直线有且仅有一个交点，利用方程判别式等于0可求. 【详解】设，则的图象开口向上， 如图，要使关于的不等式恰有一个实数解， 则函数与直线相切， 即方程即有两个相等的实数根， 则，解得. 则的取值集合为. 故答案为：. 13． 【分析】分别求得和的最大值，和的最大值，确定这个最大值的最小值，两者比较后即可得． 【详解】都是正数，因此 ，，其最小值是， ，，其最小值是， ， 所以的最小值为，当且仅当时取得， 故答案为：． 【点睛】方法点睛：本题考查不等式的性质，解题时把复杂问题简单化，利用“总体”的最大值不小于“部分”的最大值，而对于“部分”的最大值，我们寻找容易取得联系的两个数和，和，分别求最大值，再确定最小值，最后需要确定最小值能取得即可得． 14． 【分析】根据的含义即可求，根据可得且，即可结合为整数求解. 【详解】由可得， 由于，故由可知， 故，解得且， 由于为整数，故，或，或0，或2， 故答案为，， 15．(1)， (2) 【分析】（1）先利用函数的定义域，二次函数的值域求得集合,再利用集合的交集、并集定义即可求得； （2）利用子集的概念，建立参数不等式，求解即得． 【详解】（1）由函数有意义，须使，解得，即得 ， 又由，则. 于是，， . （2）依题意，由可得， 利用数轴可得：，即的取值范围为. 16．(1)； (2)，定义域为； (3)答案见解析 【分析】（1）根据函数特征得到不等式，求出定义域； （2）两边平方得到，求出，得到函数解析式和定义域； （3）在（2）的基础上结合对称轴，分和和三种情况，得到函数最大值. 【详解】（1）由题意得，解得， 故定义域为； （2）两边平方得， 故，解得， 故，定义域为； （3）由（2）知，， 定义域为，， 若，即时，当时，取得最大值， 最大值为； 若，即时，在对称轴处取得最大值， 最大值为； 若，即时，当时，取得最大值， 最大值为； 综上，当时，最大值为， 当时，最大值为， 当时，最大值为. 17．(1)，定义域，等（答案不唯一） (2) 【分析】（1）根据“利普希兹条件函数”的定义求解； （2）根据“利普希兹条件函数”的定义，设，将问题转化为恒成立求解； 【详解】（1），定义域，等（答案不唯一） （2）若函数是“利普希兹条件函数”， 则对于定义域内的任意，都有成立， 不妨设，则恒成立， 因为， 所以， 所以， 所以的取值范围是； 18．(1)， (2)当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小，为. 【分析】（1）由题意，把，代入，可求的值. （2）利用基本不等式“1”的妙用，可求的最小值及对应的的值. 【详解】（1）由题意，， 因为时，，所以， 所以，. （2）因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取“”， 所以当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小，为. 19．(1) (2)， 【分析】（1）由利润等于销售收入减去投入成本和固定成本可得解析式； （2）分别求出分段函数每一段的最大值后比较可得结论. 【详解】（1）因为， 所以； （2）当时，， 由函数性质可知当时单调递增，所以当时，， 当时，， 由不等式性质可知， 当且仅当，即时，等号成立，所以， 综上当时，. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$