精品解析：江苏省常州高级中学2024-2025学年高二上学期期中质量检查数学试卷

江苏省常州高级中学2024-2025学年高二上学期期中质量检查数学试卷 命题教师：周芸 审题教师：周健 一.单项选择题（共8小题） 1. 在平面直角坐标系Oxy中，直线的倾斜角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直线方程化为斜截式，得出直线的斜率，利用斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】直线化为斜截式，设其倾斜角为， 则直线的斜率为， 因为，所以， 故选：A. 2. 若点在圆的外部，则实数的取值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用关于的二元二次方程表示圆的条件及点与圆位置的判断方法，列方程组，得到，结合选项即可求解. 【详解】因为点在圆的外部， 则，即，解得， 故选：C. 3. 曲线与曲线（）的 A. 短轴长相等 B. 长轴长相等 C. 焦距相等 D. 离心率相等 【答案】C 【解析】 【分析】本道题结合，计算a,b,c的值，即可． 【详解】A选项，明显短轴不相等，一个，故错误；B选项，一个 另一个为，故错误．D选项，离心率，结合前面提到了a不相等，故错误；曲线的焦半径满足，而焦半径满足 ，故两曲线的焦半径相等，故焦距相等，C正确． 【点睛】本道题考查了椭圆的基本性质，关键抓住，难度中等． 4. 已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线焦点位置分类讨论，设出双曲线的方程，根据题意建立关于的等式，解之即可得到答案． 【详解】当双曲线焦点在轴上时，设双曲线方程为， 则渐近线方程为，实轴长为， 由题意得，，解得， 则该双曲线的标准方程为． 当双曲线焦点在轴上时，设双曲线方程为， 则渐近线方程为，实轴长为， 由题意得，，解得， 则该双曲线的标准方程为． 综上，该双曲线的标准方程为或． 故选：B． 5. 已知直线与直线平行，则与之间的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行，可得参数，再结合平行线间距离公式可得解． 【详解】∵直线与直线平行， ∴，解得， ∴直线与直线， 即直线与直线， 所以与之间的距离， 故选：A． 6. 已知抛物线的焦点为，定点为抛物线上一动点，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，结合图形求解即可． 【详解】抛物线的焦点为，准线方程是， 过点作准线的垂线，垂足为，过点作准线的垂线，垂足为， ∵点在抛物线上，∴根据抛物线的定义得， ∴，当且仅当共线时取等号， ∴的最小值为8． 故选：A． 7. 已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用“点差法”得到，结合条件得到 ，即可求解. 【详解】设，因为点在双曲线上， 则，两式相减可得， 整理可得，又线段的中点是，则， 所以，又直线过点，得到，所以，得到， 故选：C. 8. 已知圆与圆交于两点，则面积取最大值时圆心的纵坐标为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出两圆的半径，从而可得，因为为锐角，所以要使的面积最大，只要取得最大值即可，此时，解出的面积，即可得解. 【详解】由题意得：，所以圆心，半径， 由两圆相交于两点可知：， 所以的面积 ， 因为是半径为1的圆，所以， 当时，，又， 此时由，解得，，故可以取最大值2； 所以当时，最大，且是锐角， 根据函数的单调性可知：当时，最大，此时三角形面积最大， 圆心N的纵坐标为， 故选：D 二.多项选择题（共3小题） 9. 顶点在原点，且过点的拋物线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据点的位置，确定拋物线的焦点位置，设出抛物线的标准方程，代入点坐标计算即可. 【详解】∵点在第二象限， ∴拋物线的焦点在轴的负半轴上，或在轴的正半轴上． 当拋物线的焦点在轴的负半轴上时， 设抛物线的标准方程为， ∵点在抛物线上，则，解得， ∴抛物线的标准方程是； 当拋物线的焦点在轴的正半轴上时， 设抛物线的标准方程为， ∵点在抛物线上，则，解得， ∴抛物线的标准方程是. 综上，抛物线的标准方程是或. 故选：AC. 10. 已知圆，直线，则以下命题正确的有（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆恒相交 C. 轴被圆截得的弦长为 D. 直线被圆截得的弦长最短时，的方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，整理直线方程，分离出参数，建立方程组，可得答案；对于B，由圆的标准方程可得圆心与半径，计算定点与圆心的距离，并与半径比较，可得答案；对于C，由圆的方程，求得与轴的交点纵坐标，可得答案；对于D，由题意可得直线与直线垂直，利用两点求斜率，结合点斜式公式，可得答案. 【详解】对于A，由，则， 令，解得，所以直线恒过定点，故A错误； 对于B，由，则圆心，半径， 因为，即定点在圆内，故B正确； 对于C，令，整理圆的方程为，解得或， 所以轴被圆截得的弦长为，故C正确； 对于D，当时，直线被圆截得的弦长最短， 由直线的斜率，直线的斜率，且， 则，所以直线的方程为，化简可得，故D正确. 故选：BCD. 11. 如图，圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，圆心的轨迹记为曲线，则（ ） A. 的方程为 B. 的最小值为 C. D. 曲线在点处的切线与线段垂直 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，直接根据椭圆的定义可得答案；对B，利用与互补，求出的最大角即可；对于C，直接利用向量的坐标运算求解；对于D，求出点处的切线斜率，再利用，求出点的坐标，再判断切线斜率和的关系即可. 【详解】因为圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 对于选项A，设动圆的半径为，由条件得，则，且不重合， 故点的轨迹为以为焦点的椭圆（去掉重合的点），则曲线的方程为，故选项A错误； 对于选项B，由图可知与互补，设， 在中，，则， 又，所以，当且仅当时取等号， 又，所以，得到的最小值为，故选项B正确； 对于选项C，， 当且仅当时等号成立，故选项C正确； 对于选项D，设点， 下面先证明椭圆上一点的的切线方程为. 联立，消去得， 则，又，所以. 所以椭圆上一点的的切线方程为. 则过点的椭圆的切线方程为，切线斜率为， 又，所以， 则 得，解得， 所以， 又， 因为，所以，所以，所以， 所以，即曲线在点处的切线与线段垂直，故D正确 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项解题的关键是利用过椭圆上一点的的切线方程为，通过结论可快速找到解题思路. 三.填空题（共3小题） 12. 已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程是______. 【答案】 【解析】 【分析】设椭圆方程为，得到方程组，求出，得到答案. 【详解】设椭圆方程为，则， 解得，故椭圆方程为. 故答案为： 13. 已知圆，若圆与圆与圆恰有三条公切线，则实数的值是______. 【答案】 【解析】 【分析】由两圆有三条公切线可得两圆外切，利用半径之和为圆心距可求实数的值. 【详解】因为两圆有三条公切线，故圆与圆相外切， 又圆的圆心为，半径为， 由，得到，则， 且圆的圆心为，半径为， 由题有，得到，解得， 故答案为：. 14. 过抛物线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，若的最小值是，则______. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用圆的切线性质，借助图形的面积把表示为的函数，再求出函数的最小值即可. 【详解】设，则，圆的圆心，半径为， 由切圆于点，得，    则 ， 当且仅当时，等号成立， 可知的最小值为， 整理可得，解得， 且，所以， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据切线的性质，将转化为，根据面积结合几何性质求解. 四.解答题（共5小题） 15. 已知点，直线. （1）求点到直线的距离； （2）求点关于直线l的对称点的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用点到直线的距离公式，即可求解； （2）设对称点坐标为，利用两直线垂直的性质与中点坐标公式列方程组即可得解. 【小问1详解】 因为点，直线， 所以点到直线的距离为. 【小问2详解】 设，则，即，解得， 所以点关于直线l的对称点的坐标为. 16. 已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切. （1）求圆的方程； （2）经过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意设圆心，结合所过点、与直线相切列方程求参数，即可得圆心和半径，进而写出圆的方程； （2）由题意直线l与圆C的距离，讨论直线斜率，并设直线方程，应用点到直线的距离公式求参数，可得直线方程． 【小问1详解】 由题意，设圆心，半径， ∵圆M经过点，∴， ∵圆M与直线相切， ∴圆心到直线的距离， ∴，化简，解得， 则圆心，半径， 所以圆M的方程为． 【小问2详解】 由题意，圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，其方程为，显然符合题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离由，解得， 则直线的方程为，即， 综上，直线的方程为或． 17. 已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为. （1）求双曲线的方程； （2）设为坐标原点，若直线过点，与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，且的面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用渐近线的斜率及点到直线的距离公式求出即可； （2）由题意直线的斜率存在，设其方程为，联立直线与双曲线的方程，利用弦长公式求出，再利用点到直线的距离求出点到的距离，利用三角形的面积公式建立等式求出，即可求出直线的方程． 【小问1详解】 ∵双曲线的一条渐近线方程为， ∴，即， ∵双曲线的焦点坐标为，焦点到渐近线的距离为， ∴，即， 又，则，解得， 所以双曲线的方程为． 【小问2详解】 由题意直线的斜率存在，设直线方程为，设， 由得， 由题意得，解得， 因为， 所以， 又点O到直线的距离， 所以的面积， 则，即，解得或， 又因为，所以， 所以直线的方程为或． 18. 已知椭圆的离心率为，短轴长为2. （1）求椭圆的方程； （2）A为椭圆C的左顶点，点在椭圆上，且点不在轴上，线段AP的垂直平分线与轴相交于点，若为等边三角形，求直线AP的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率以及短轴长求得，即可求出椭圆方程； （2）设直线AP的斜率为，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理可解出点P的坐标，求出线段的垂直平分线的方程，可求得点Q的坐标，再根据为等边三角形可得出，即可求出，即可得出直线的方程． 【小问1详解】 因为离心率，即，短轴长为2，即， 又，解得， 所以椭圆C的方程为． 【小问2详解】 由题意可知，由题意直线的斜率存在，设直线的斜率为， 因为点P不在x轴上，则， 设直线的方程为，， 联立，可得， 由题意可知，是方程的两根， 由韦达定理可得，∴， 所以，从而， 可得的中点为， 所以直线的垂直平分线方程为， 令，解得，即 因为为等边三角形，则， 即， 整理得，即， 解得，即， 所以直线AP的方程为或， 即或． 19. 已知拋物线的焦点，直线， （1）设直线与x轴交于点，直线与抛物线交于两点，其中在第一象限，求出所有满足的点的坐标.（其中点与点对应，点与点对应）； （2）过直线上的点作抛物线的两条切线，切点分别为，求的最小值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用余弦定理得到，从而有，再利用，得到点在轴正半轴或轴负半轴上，再利用相似比，即可求解； （2）设切线的方程为，联立抛物线方程求得，得到直线和的方程为，进而得到的方程为，再联立抛物线方程，得到，进而求得，结合二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 因为拋物线的焦点为，则，得到，所以拋物线， 由题知，由，得到，所以， 在中，，， 则，又，所以， 因为，且点与点对应，点与点对应，所以， 如图，易知，所以点在轴正半轴或轴负半轴上， 又因为，，得到， 所以点的坐标为或. 【小问2详解】 设，则，， 再设切线的方程为， 联立方程组，整理得， 由，且，可得， 则切线的方程为，即. 由切线过点，可得. 同理，切线的方程为， 由切线过点，可得， 则直线的方程为， 联立方程组，整理得， 可得， 则 ， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题主要有两种方法： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式法；③单调性法；④三角换元法；⑤平面向量；⑥导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省常州高级中学2024-2025学年高二上学期期中质量检查数学试卷 命题教师：周芸 审题教师：周健 一.单项选择题（共8小题） 1. 在平面直角坐标系Oxy中，直线的倾斜角等于（ ） A. B. C. D. 2. 若点在圆的外部，则实数的取值可能为（ ） A. B. C. D. 3. 曲线与曲线（）的 A. 短轴长相等 B. 长轴长相等 C. 焦距相等 D. 离心率相等 4. 已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 5. 已知直线与直线平行，则与之间的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 已知抛物线的焦点为，定点为抛物线上一动点，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 7. 已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆与圆交于两点，则面积取最大值时圆心的纵坐标为（ ） A. 1 B. C. D. 二.多项选择题（共3小题） 9. 顶点在原点，且过点的拋物线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆，直线，则以下命题正确的有（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆恒相交 C. 轴被圆截得的弦长为 D. 直线被圆截得的弦长最短时，的方程为 11. 如图，圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，圆心的轨迹记为曲线，则（ ） A. 的方程为 B. 的最小值为 C. D. 曲线在点处的切线与线段垂直 三.填空题（共3小题） 12. 已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程是______. 13. 已知圆，若圆与圆与圆恰有三条公切线，则实数的值是______. 14. 过抛物线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，若的最小值是，则______. 四.解答题（共5小题） 15. 已知点，直线. （1）求点到直线的距离； （2）求点关于直线l的对称点的坐标. 16. 已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切. （1）求圆的方程； （2）经过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程. 17. 已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为. （1）求双曲线的方程； （2）设为坐标原点，若直线过点，与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，且的面积为，求直线的方程. 18. 已知椭圆的离心率为，短轴长为2. （1）求椭圆的方程； （2）A为椭圆C的左顶点，点在椭圆上，且点不在轴上，线段AP的垂直平分线与轴相交于点，若为等边三角形，求直线AP的方程. 19. 已知拋物线的焦点，直线， （1）设直线与x轴交于点，直线与抛物线交于两点，其中在第一象限，求出所有满足的点的坐标.（其中点与点对应，点与点对应）； （2）过直线上的点作抛物线的两条切线，切点分别为，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $