双曲线单元练习题-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

双曲线单元练习题 一、单选题 1．已知双曲线C：（，）的右焦点为，点在C上，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】点在C上，右焦点为，， 则，解得， 所以离心率为， 故选：A． 2．双曲线实轴长是虚轴长的2倍，则实数m的值为（   ） A． B． C． D． 【详解】双曲线方程可化为：，其中， 因为实轴长是虚轴长的2倍，故，故， 故选：D. 3．以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】由椭圆，则左右顶点分别为与， 由，则左右焦点分别为与， 设双曲线方程为，则，，解得， 所以可得. 故选：B. 4．已知双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，则的渐近线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【详解】设的半焦距为，则， 根据对称性，可知的上焦点到其渐近线的距离为， 所以，所以的渐近线的斜率为. 故选：A. 5．若动圆过定点，且和定圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【详解】定圆的圆心为，与关于原点对称. 设，由两圆外切可得， 所以, 所以的轨迹为双曲线的右支. 设的轨迹方程为，则， 所以轨迹方程为. 故选：D 6．与双曲线有相同离心率和相同渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【详解】双曲线中，，，，渐近线， 对于A：，，，，渐近线，故A错误； 对于B ：，，，，渐近线，故B错误； 对于C ：，，，，渐近线，故C正确； 对于D：，，，，渐近线，故D错误.   故选：C. 7．与双曲线1共渐近线，且过点的双曲线的标准方程是（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 【详解】由题意知，要求双曲线与双曲线共渐近线， 设要求的双曲线为. 又该双曲线经过点，则，解得， 则要求的双曲线的标准方程为. 故选：D. 8．已知中心在原点，焦点在轴上的双曲线离心率为，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意可知①， 渐近线方程：，交点坐标为， ∴，∴②， 由①②解得，， ∴双曲线：. 故选：C. 二、多选题 9．过双曲线的右焦点作直线与该双曲线交于两点，则（    ） A．与该双曲线有相同渐近线且过点的双曲线的标准方程为 B．仅存在一条直线，使 C．若都在该双曲线的右支上，则直线斜率的取值范围是 D．若直线斜率为1，则弦的中点坐标为 【详解】对于A，设与该双曲线有相同渐近线的双曲线的标准方程为：， 代入点，得，所以该双曲线的标准方程为，故A正确； 对于B，由于通径为，实轴长，而过右焦点的弦长， ，而，所以直线不止一条，故B错误； 对于C，设直线的方程为，， 联立，化简整理得， 则，， ，，若A、B都在该双曲线的右支上， 则，即，解得， 所以直线的斜率的取值范围为，故C正确； 对于D，设，弦的中点坐标为， 则，两式相减整理得， 因为，则，又， 解得，，所以弦的中点坐标为，故D正确. 故选：ACD. 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作斜率为的直线与双曲线的右支交于，两点（在第一象限），，为线段的中点，为坐标原点，则（    ） A． B．双曲线的离心率为 C．的面积为 D．直线的斜率为 【详解】如下图所示： 对于A选项，因为，所以， 由双曲线的定义可得，所以，，所以选项A正确， 对于B选项，设直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则为锐角且， 由可得，则， 在中，由余弦定理得， 即， 等式两边同时除以可得， 因为，解得，所以选项B正确， 对于C选项，因为，则为钝角， 所以， ，所以选项C错误， 对于D选项，设，，则，可得， 因为，则， 由，得， 所以，则， 则直线的斜率为，所以选项D正确， 故选：ABD． 11．已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，点是上的一点，过点的直线与交于两点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或1 B．不存在点为线段的中点 C．若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率 D．内切圆圆心的横坐标为 【详解】对于A，离心率为，解得：，则或1.又因为，故A错； 对于B，假设存在点为线段的中点，则，又， 线段，联立与双曲线， 整理得：，，矛盾， 所以不存在点为中点的弦，故B正确； 对于C，由于双曲线的渐近线斜率为，直线与双曲线的两支各有1个交点，则直线的斜率，故C正确； 对于的内切圆与轴相切于点，则由双曲线定义得： ， 所以，即内切圆圆心的横坐标为，所以D正确， 故选：BCD. 三、填空题 12．已知双曲线的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为 . 【详解】设的半焦距为，如图，设为坐标原点，的中点为的右焦点为，连接，.    因为，所以也是的中点.设， 由双曲线的定义得，所以， 在中，由，得，所以， 在中，由，得. 故答案为：. 13．已知双曲线的离心率为，左，右焦点分别为，关于C的一条渐近线的对称点为P．若，则的面积为 ． 【详解】设与渐近线交于M， 则， 所以， 由O，M分别与的中点， 知且，即， 由得，所以． 故答案为：4 14．已知，分别为双曲线的左､右焦点，为上一点，且，，，则双曲线的渐近线方程为 . 【详解】由已知，分别为双曲线， 设，， 又，，， 则， 则，即，， 又，即， 所以， 则双曲线方程为，其渐近线方程为， 故答案为：. 四、解答题 15．已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知、是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程. 【详解】（1）由双曲线与双曲线有相同的渐近线，设双曲线的方程为， 而点在双曲线上，因此，方程为， 所以双曲线的标准方程为. （2）显然直线不垂直于轴，设直线的方程为， 由消去得， 由线段的中点为，得，解得， 此时方程为，，因此， 所以直线的方程为，即. 16．已知双曲线 的离心率为，实轴长为2. (1)求双曲线C 的标准方程 (2)设直线l:y= kx+1与双曲线C交于A，B两点，是否存在k满足（其中O为坐标原点） 若存在，求出k的值； 若不存在，说明理由. 【详解】（1）因为，所以，， 所以， 故所求双曲线方程为. （2）如图， 设， 由，消元可得，， 当，即时， ，， 所以， 所以，解得， 此时不满足， 故不存在，使得成立. 17．已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0． (1)求l的斜率； (2)若，求的面积． 【详解】（1）因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线． 易知直线l的斜率存在，设，， 联立可得，， 所以，，且． 所以由可得，， 即， 即， 所以， 化简得，，即， 所以或， 当时，直线过点，与题意不符，舍去， 故． （2）［方法一］：【最优解】常规转化 不妨设直线的倾斜角为，因为，所以，由（1）知，， 当均在双曲线左支时，，所以， 即，解得（负值舍去） 此时PA与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去； 当均在双曲线右支时， 因为，所以，即， 即，解得（负值舍去）， 于是，直线，直线， 联立可得，， 因为方程有一个根为，所以，， 同理可得，，． 所以，，点到直线的距离， 故的面积为． ［方法二］： 设直线AP的倾斜角为，，由，得， 由，得，即， 联立，及得，， 同理，，，故， 而，， 由，得， 故 18．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 【详解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知， 则由可得，， 双曲线方程为. （2）由(1)可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 与联立可得，且， 则，    直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即， 据此可得点在定直线上运动. 19．已知双曲线过点，一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若点为双曲线右支上一点，，求的最小值； (3)过点的直线与双曲线的右支交于，两点，求证：为定值. 【详解】（1）由题意知双曲线过点，一条渐近线方程为， 则，解得， 故双曲线的标准方程为； （2）点为双曲线右支上一点，设，， 则 ， 当，即时，最小值为， 当，即时，最小值为； （3）当过点的直线斜率不存在时，方程为， 此时不妨取,则； 当当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 不妨令，    联立，得， 由于直线过双曲线的右焦点，必有， 直线与双曲线的右支交于，两点，需满足或， 则， 则 ， 综合以上可知为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 双曲线单元练习题 一、单选题 1．已知双曲线C：（，）的右焦点为，点在C上，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．双曲线实轴长是虚轴长的2倍，则实数m的值为（   ） A． B． C． D． 3．以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，则的渐近线的斜率为（    ） A． B． C． D． 5．若动圆过定点，且和定圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 6．与双曲线有相同离心率和相同渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 7．与双曲线1共渐近线，且过点的双曲线的标准方程是（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 8．已知中心在原点，焦点在轴上的双曲线离心率为，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．过双曲线的右焦点作直线与该双曲线交于两点，则（    ） A．与该双曲线有相同渐近线且过点的双曲线的标准方程为 B．仅存在一条直线，使 C．若都在该双曲线的右支上，则直线斜率的取值范围是 D．若直线斜率为1，则弦的中点坐标为 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作斜率为的直线与双曲线的右支交于，两点（在第一象限），，为线段的中点，为坐标原点，则（    ） A． B．双曲线的离心率为 C．的面积为 D．直线的斜率为 11．已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，点是上的一点，过点的直线与交于两点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或1 B．不存在点为线段的中点 C．若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率 D．内切圆圆心的横坐标为 三、填空题 12．已知双曲线的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为 . 13．已知双曲线的离心率为，左，右焦点分别为，关于C的一条渐近线的对称点为P．若，则的面积为 ． 14．已知，分别为双曲线的左､右焦点，为上一点，且，，，则双曲线的渐近线方程为 . 四、解答题 15．已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知、是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程. 16．已知双曲线 的离心率为，实轴长为2. (1)求双曲线C 的标准方程 (2)设直线l:y= kx+1与双曲线C交于A，B两点，是否存在k满足（其中O为坐标原点） 若存在，求出k的值； 若不存在，说明理由. 17．已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0． (1)求l的斜率； (2)若，求的面积． 18．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 19．已知双曲线过点，一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若点为双曲线右支上一点，，求的最小值； (3)过点的直线与双曲线的右支交于，两点，求证：为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $$