5.2 解一元一次方程（第4课时 去分母）（教学课件）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版2024）

5.2 解一元一次方程 人教版（2024）七年级数学上册 第五章 一元一次方程 第四课时 利用去分母解一元一次方程 目录/CONTENTS 数学活动 考点梳理 知识导图 课本复习题 学习目标 1. 解方程的基本思路是把“复杂”转化为“简单”，把“新”转化为“旧”的过程，理解并掌握如何去分母解方程 . 2. 进一步体会解方程方法的灵活多样，培养解决不同问题的能力，发展数学思维. 重点：熟练掌握用去分母解一元一次方程. 难点：通过探究去分母解一元一次方程，归纳解一元一次方程的步骤. 情景导入 问题：如图，翠湖在青山、绿水两地之间，距青山 50 km，距绿水 70 km. 某天，一辆汽车匀速行驶，途经王家庄、青山，绿水三地的时间如表所示. 王家庄距翠湖的路程有多远? 70 km 50 km 王家庄 青山 翠湖 绿水 x km 地名 王家庄 青山 绿水 时间 10：00 13：00 15：00 新知探究 设王家庄距翠湖的路程为 x km，则王家庄距青山的路程为 (x - 50) km，王家庄距绿水的路程为 (x + 70) km.由表可知，汽车从王家庄到青山的行驶时间为 3 h，从王家庄到绿水的行驶时间为 5 h. 根据汽车在各段的行驶速度相等，列得方程 这个方程中未知数的系数不是整数，如果能化去分母，把未知数的系数化为整数，就可以使解方程中的计算更简便些. 你还能列得其他方程吗？ 新知探究 5(x - 50) = 3(x + 70). 去括号，得 5x - 250 = 3x + 210. 移项，得 5x–3x = 210 +250. 合并同类项，得 2x = 460. 系数化为 1，得 x = 230. 因此，王家庄距翠湖的路程为 230 km. 我们知道，等式两边乘同一个数，结果仍相等.这个方程中各分母的最小公倍数是15，方程两边都乘 15，得 新知探究 去分母(方程左右两边边同乘各分母的最小公倍数) 去括号 合并同类项 系数化为1 移项 5(3x + 1) - 2×10 = (3x - 2) - 2(2x + 3) 计算： 概念归纳 解一元一次方程的一般步骤包括:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等。通过这些步骤，可以使以x为未知数的一元一次方程逐步转化为x=m的形式.这个过程主要依据等式的性质和运算律等. 课本例题 （1） ； 例 7 解下列方程： 解：去分母(方程两边乘4)，得 2(x + 1)– 4 = 8 +(2 – x). 去括号，得 2x + 2 – 4 = 8 + 2 – x. 移项，得 2x + x = 8 + 2 – 2 + 4 . 合并同类项，得 3x = 12. 系数化为1，得 x = 4. 对于 2x + 2 – 4 = 8 + 2 – x，也可以先合并同类项，再移项. 解：去分母（方程两边乘 6），得 18x + 3（x – 1）= 18 – 2（2x – 1） 去括号，得 18x + 3x – 3 = 18 – 4x + 2 移项，得 18x + 3x +4x = 18 + 2 + 3 合并同类项，得 25x = 23 系数化为1，得 （2） ； 课堂练习 1. 解下列方程： （1） ； 解：去分母（方程两边乘 100），得 19x = 21(x – 2). 去括号，得 19x = 21x – 42. 移项，得 19x – 21x = – 42. 合并同类项，得 – 2x = – 42. 系数化为 1，得 x = 21. 解：分母（方程两边乘 4），得 2（x + 1）– 8 = x . 去括号，得 2x + 2 – 8 = x . 移项，得 2x – x = 8 – 2 . 合并同类项，得 x = 6 . （2） ； 解：去分母（方程两边乘 12），得 3（5x – 1） = 6（3x + 1）– 4（2 – x） 去括号，得 15x – 3 = 18x + 6 – 8 + 4x 移项，得 15x – 18x – 4x = 6 – 8 + 3 合并同类项，得 – 7x = 1 系数化为1，得 （3） ； （4） . 解：去分母（方程两边乘20），得 10（3x + 2）– 20 = 5（2x – 1）– 4（2x + 1） 去括号，得 30x +20 – 20 = 10x – 5 – 8x – 4 移项，得 30x – 10x + 8x = – 5 – 4 – 20+20 合并同类项，得 28x = – 9 系数化为1，得 2. 伦敦的不列颠博物馆保存着一件极其珍贵的文物——莱茵德纸草书. 这是古埃及人用象形文字写在一种用纸莎草压制成的草片上的著作. 书中记载了许多数学问题，其中有一道著名的问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是 33. 这个数是多少？请你用方程解决这个问题. 解：设这个数是 x . 根据题意，得 . 解得 答：这个数是 . 3. 一辆客车和一辆卡车同时从 A 地出发沿同一公路同方向匀速行驶，客车的行驶速度是 70 km/h，卡车的行驶速度是 60 km/h，客车比卡车早 1 h 经过 B 地. 求 A，B 两地相距的路程. 解：设 A，B 两地相距的路程是 x km. 根据题意，得 . 解得 x = 420. 答: A，B 两地相距的路程是 420 km. 习题 5.2 1. 解下列方程： （1）x + 3x = -16； （2）16y - 2.5y - 7.5y = 5； x = -4 （3）3x + 5 = 4x + 1； （4）9-3y = 5y + 5. x = 4 y = 0.5 2. 解下列方程： （1）5c + (2 - 4c) = 0； （2）25b - (b - 5) = 29； （3）7x + 2(3x - 3) = 20； （4）8y - 3(3y + 2) = 6. c = -2 b = 1 x = 2 y = -12 3. 解下列方程： （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 4. 用方程解答下列问题： （1）x 的 5 倍与 2 的和等于 x 的 3倍与 4 的差，求 x； （2）y 与 -5 的积等于 y 与 5 的和，求 y； 解：根据题意，得 5x + 2 = 3x - 4. 解得 x = -3. 根据题意，得 -5y = y + 5. 解得 y = - . （3）x 与 4 的和的 1.2 倍等于 x 与 14 的差的 3.6 倍，求 x； （4）y 的 3 倍与 1.5 的和的 等于 y 与 1 的差的 ，求 y； 根据题意，得 1.2(x + 4) = 3.6(x–14). 解得 x = 23. 根据题意，得 . 解得 x = - . 5. 用一根 60 m 长的绳子围出一个长方形，使它的长是宽的 1.5 倍.长方形的长和宽各应是多少米？ 解：设宽是 x m，则长是1.5x m. 根据题意，得 2x + 2×1.5x = 60. 解得 x = 12. 所以 1.5x = 18. 答：长是 18 m，宽是 12 m. 6. 几个人共同种一批树苗，如果每人种 10 棵，则剩下 6 棵 树苗未种；如果每人种 12 棵，则缺 6 棵树苗. 求参加种树的人数. 解：设参加种树的有 x 人. 根据题意，得 10x + 6 = 12x - 6. 解得 x = 6. 答：参加种树的有 6 人. 7. 买两种布料共 64 m，花了 550 元，其中蓝布料每米 8元，黑布料每米 9 元. 两种布料各买了多少米？ 解：设蓝布料买了 x m，则黑布料买了(64-x) m. 根据题意，得 8x + 9(64-x) = 550. 解得 x = 26. 所以 64-x = 38. 答：蓝布料买了 26 m，黑布料买了 38 m. 8. 一个两位数的个位上数字的 3 倍加 1 是十位上的数字，个位上的数字与十位上数字的和等于 9. 这个两位数是多少？ 解：设个位上的数字是 x，则十位上的数字是 3x + 1. 根据题意，得 x + 3x + 1 = 9. 解得 x = 2. 所以 3x + 1 = 7. 答：这个两位数是 72. 9. 随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广. 喷灌和滴灌是比漫灌节水的灌溉方式. 灌溉三块同样大的田地，第一块用漫灌方式，第二块用喷灌方式，第三块用滴灌方式. 后两种方式的用水量分别是漫灌的 25% 和 15%. （1）设第一块田地用水 x t，则另两块田地的用水量各如何表示? 解:（1）第二块田地的用水量为25%x t，第三块田地的用水量为 15%x t. （2）根据题意，得 x + 25%x + 15%x = 420. 解得 x = 300. 所以 25%x = 75，15%x =45. 答：第一块田地用水300 t，第二块田地用水75 t，第三块田地用水45 t. （2）如果三块田地共用水 420 t，三块田地各用水多少吨? 10.某造纸厂为节约木材，大力扩大再生纸的生产，去年10月该厂生产再生纸 2050 t，比前年 10 月再生纸产量的 2 倍还多150 t. 前年 10 月该造纸厂生产再生纸多少吨？ 解：设前年 10 月该造纸厂生产再生纸 x t，则去年 10 月 该造纸厂生产再生纸 (2x + 150) t. 根据题意，得 2x + 150 = 2050. 解得 x = 950. 答: 前年 10 月该造纸厂生产再生纸 950 t. 11. 张华和李明登一座山. 张华平均每分钟登高 10 m，并且先出发 30 min，李明平均每分钟登高 15 m，两人同时登上山顶， 设张华登山用了 x min. （1）如何用含 x 的代数式表示李明登山所用时间？ 解：李明登山所用时间为 (x－30) min. （2）试用方程求 x 的值. 由 x 的值能求出山高吗？如果能，山高 多少米？ 根据题意，得 10x = 15(x - 30). 解得 x = 90. 所以 10x = 900. 因此，由 x 的值能求出山高，山高为 900 m. 12. 两辆汽车从相距 84 km 的两地同时出发相向而行，甲车的速度比乙车的速度快 20 km/h，半小时后两车相遇，两车的速度各是多少？ 解:设甲车的速度是 x km/h，则乙车的速度是(x-20) km/h. 根据题意，得 . 解得 x = 94. 所以 x -20 = 74. 答:甲车的速度是 94 km/h，乙车的速度是 74 km/h. 13. 在风速为 24 km/h 的条件下，一架飞机顺风从 A 机场飞到 B 机场要用 2.8 h，它逆风飞行同一航线要用 3 h.求： （1）无风时这架飞机在这一航线的平均航速； 解:（1）设无风时这架飞机在这一航线的平均航速为 x km/h. 根据题意，得 2.8(x + 24) = 3(x-24). 解得 x ＝ 696. 答:无风时这架飞机在这一航线的平均航速为 696 km/h. （2）两机场之间的航程. （2）由（1）知，3(x-24) = 3×(696-24) = 2016. 答:两机场之间的航程为 2016 km. 14. 如图，在一张普通的月历中，相邻三行里同一列得三个日期数之和能否为 30？如果能，这三个日期数分别是多少？ 解:假设能.设第二行的日期数是 x， 则第一行的日期数是 x－7， 第三行的日期数是 x＋7. 根据题意，得 x－7＋ x ＋ x＋7 ＝ 30. 解得 x＝ 10. 所以 x－7 ＝ 3，x＋7 ＝ 17. 答:这三个日期数分别是 3，10，17. 15.有一些相同的房间需要粉刷墙面. 一天 3 名一级技工去粉刷 8 个房间，结果有 50m2 墙面没来得及粉刷；同样时间内 5 名二级技工除了粉刷了 10 个房间，还多粉刷了另外的 40 m2 墙面. 每名一级技工比二级技工每天多粉刷 10 m2 墙面，求每个房间需要粉刷的墙面面积. 解：设每个房间需要粉刷的墙面面积是 x m2，则每名一级技工每天可粉刷 m2 墙面，每名二级技工每天可粉刷 m2 墙面. 根据题意，得 解得 x = 52. 答:每个房间需要粉刷的墙面面积是 52 m2. 16. 李明骑自行车从 A 地到 B 地，刘伟骑自行车从 B 地到 A 地，两人沿同一公路匀速前进，已知两人在上午 8 时同时出发，到上午 8 时半，两人相距 9 km，到上午 9 时，两人又相距 9 km. 求 A，B 两地相距的路程. 解:设 A，B 两地相距的路程为 x km. 根据题意，得 即 2(x - 9) = x + 9 解得 x ＝ 27. 答: A，B 两地相距的路程为 27 km. 17. 一列火车匀速行驶，经过一条长 300 m 的隧道需要 20 s 的时间. 隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是 10 s. （1）设火车长 x m，用含 x 的代数式表示：从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程和这段时间内火车的速度. 解: 从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程是 x m， 这段时间内火车的速度是 m/s. （2）设火车长 x m，用含 x 的代数式表示：从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程和这段时间内火车的速度. （2）从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程是(x +300)m， 这段时间内火车的速度是 m/s. （3）求这列火车的长度. （3）由（1）（2）得 . 解得 x = 300. 答:这列火车的长度是 300 m. 分层练习-基础 1. 将方程 － ＝1去分母得到方程6 x －3－2 x －2＝6，其错误的原因是(　C　) A. 分母的最小公倍数找错 B. 去分母时，漏乘了分母为1的项 C. 去分母时分子部分的多项式未添括号，导致符号错误 D. 去分母时，分子未乘相应的数 C 2. 解方程 － ( x －5)＝ － ，为了去分母应给方程两 边同时乘的最合适的数是(　C　) A. 72 B. 36 C. 18 D. 12 C 3. [2024重庆一中期末]解一元一次方程 ( x ＋1)＝1－ x 时，去分母正确的是(　D　) A. 3( x ＋1)＝1－2 x B. 2( x ＋1)＝1－3 x C. 2( x ＋1)＝6－3 x D. 3( x ＋1)＝6－2 x D 4. [2024合肥四十五中月考]根据下列解方程 ＝ 的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据. 解：原方程变为 ＝ .(　分数的基本性质　) 去分母，得3(3 x ＋5)＝2(2 x －1).(　等式的性质2　) 去括号，得9 x ＋15＝4 x －2.(　去括号法则(或分配律)　) (　移项　)，得9 x －4 x ＝－15－2.(　等式的性质1　) (　合并同类项　)，得5 x ＝－17. (　系数化为1　)，得 x ＝－ .(　等式的性质2　) 分数的基本性质 等式的性质2 去括号法则(或分配律) 移项 等式的性质1 合并同类项 系数化为1 等式的性质2 5. [教材P128例7变式]解下列方程： (1) ＋ ＝4； 解： x ＝7 (2) －1＝ － . 解： x ＝－ 6. [教材P130习题T4变式] y 的3倍与5之和的二分之一等于 y 的2倍与1的差的三分之一，求 y . 解： 由题意，可得 ＝ ， 解得 y ＝－ . 7. 【新考法·过程辨析法2023衢州】小红在解方程 ＝ ＋1时，第一步出现了错误： (1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误处； 解： (1)划线如图所示. (2)写出你的解答过程. (2) ＝ ＋1， 去分母，得2×7 x ＝4 x －1＋6. 移项，得2×7 x －4 x ＝－1＋6. 合并同类项，得10 x ＝5. 系数化为1，得 x ＝ . 分层练习-巩固 8. [2024广州海珠区模拟]若 和3－2 x 互为相反数，则 x 的 值为(　B　) A. －3 B. 3 C. 1 D. －1 B 9. 【易错题】解方程 ＝ －1时，小刚在去分母的过 程中，右边的“－1”漏乘了公分母6，因而求得方程的解 为 x ＝4，则方程正确的解是(　C　) A. x ＝0 B. x ＝1 C. x ＝－4 D. x ＝－1 C 10. [2024南宁第二中学期末]某铁路桥长1 200 m，现有一列 火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共 用了1 min，整列火车完全在桥上的时间为40 s，则该列 火车的长度为(　C　) A. 180 m B. 200 m C. 240 m D. 250 m C 11. 【新考法·表格信息法2024石家庄统考】已知 A ＝ ＋1， B ＝ ， a 为常数， x 的取值与 A 的 对应值如下表： x … 1 2 3 … A … 4 5 6 … 小明观察上表并探究出以下结论：① a ＝5；②当 x ＝4时， A ＝7；③当 x ＝1时， B ＝1；④若 A ＝ B ，则 x ＝4.正确结论的序号是(　D　) A. ①③ B. ②③ C. ①②④ D. ②③④ D 12. 解方程： － ＝－ ＋ . 解： 移项，得 ＋ ＝ ＋ . 两边分别通分并相加， 得 ＝ ， 即－ ＝ .去分母，得－12＝5(4－ x ). 去括号、移项、合并同类项，得5 x ＝32. 系数化为1，得 x ＝ . 13. 【新考法·阅读类比法】在解方程 3( x ＋1)－ ( x －1)＝2( x －1)－ ( x ＋1)时， 我们可以将 x ＋1， x －1分别看成一个整体进行移项、合并同类项， 得到 ( x ＋1)＝ ( x －1)，即 ( x ＋1)＝ ( x －1). 再去分母，得3( x ＋1)＝2( x －1)，进而求得 x ＝－5. 这种方法叫整体求解法. 请用这种方法解下面的方程： 5(2 x ＋3)－ ( x －2)＝2( x －2)－ (2 x ＋3). 解： 将2 x ＋3， x －2分别看成一个整体， 移项、合并同类项，得 (2 x ＋3)＝ ( x －2)， 即 (2 x ＋3)＝ ( x －2). 去分母，得2(2 x ＋3)＝ x －2. 去括号，得4 x ＋6＝ x －2. 移项、合并同类项，得3 x ＝－8. 系数化为1，得 x ＝－ . 14. [2023临沂]大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月(30天)的报酬是M型平板电脑一台和1 500元现金，当她工作满20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金. (1)这台M型平板电脑价值多少元？ 解： (1)设这台M型平板电脑的价值为 x 元，由题意， 得 ＝ ，解得 x ＝2 100. 答：这台M型平板电脑价值2 100元. (2)小敏若工作 m 天，将上述工资支付标准折算为现金， 她应获得多少报酬(用含 m 的代数式表示)？ 解： (2)由题意，得 m · ＝120 m . 答：她应获得120 m 元的报酬. 分层练习-拓展 15. [2024成都期末]老师在批改嘉淇作业时发现，嘉淇在解 方程 －1＝■＋ 时，把“2－ x ”抄成了“ x － 2”，解得 x ＝5，而且“■”处的数字也模糊不清了. (1)求“■”处的数字； 解： (1)根据题意，将 x ＝5代入 －1＝■＋ ， 得 －1＝■＋ ，解得■＝1，所以“■”处的数字为1. (2)请你解出原方程正确的解. 解： (2)因为“■”处的数字为1，所以原方程为 －1＝1＋ . 去分母，得3( x ＋1)－6＝6＋2(2－ x ). 去括号，得3 x ＋3－6＝6＋4－2 x . 移项、合并同类项，得5 x ＝13. 系数化为1，得 x ＝ . 所以原方程正确的解为 x ＝ . 课堂小结 解一元一次方程的步骤 去分母的注意事项 数学思想 去括号 去分母 移项 合并同类项 系数化为1 体现了转化以及整体的思想方法 利用去分母解一元一次方程 $$