3.2.2双曲线的简单几何性质课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2.2 双曲线的简单几何性质 第三章 圆锥曲线的方程 数学 选修 第一册 A版 第三章 圆锥曲线的方程 2021年2月3日，我国自主研制的亚洲最大口径(70米)卫星天线正式投入使用,用于接收天问一号火星探测器返回的信息. 数学 选修 第一册 A版 第三章 圆锥曲线的方程 数学 选修 第一册 A版 第三章 圆锥曲线的方程 探究新知 x y O • • 1. 范围 “形” 的角度观察： 或 “数” 的角度计算： 根据方程可得 即： 说明双曲线位于 直线及其左侧和直线及其右侧的区域.并且两支曲线都向外无限延伸. 坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心， 数学 选修 第一册 A版 第三章 圆锥曲线的方程 2. 对称性 “形” 的角度观察： 轴对称图形, 中心对称图形. 关于轴对称. 关于轴对称. 关于原点对称. (1)以代, (2)以代, (3)以代, 代, “数” 的角度计算： 双曲线的中心 x y • • O 探究新知 数学 选修 第一册 A版 第三章 圆锥曲线的方程 3. 顶点 “形” 的角度观察： “数” 的角度计算： ——双曲线的顶点 双曲线与对称轴的两个交点. 令方程， 得 没有实数解 A1(), A2(). 说明双曲线与轴没有交点. 令方程， 得 双曲线的顶点坐标： x y • • O 探究新知 数学 选修 第一册 A版 第三章 圆锥曲线的方程 思考：你能在轴上找到一点，使得吗？ • • 线段B1B2 叫做双曲线的虚轴，长为 叫做双曲线的虚半轴长. 线段A1A2 叫做双曲线的实轴，长为 叫做双曲线的实半轴长 把 B1(0,－b), B2(0,b) 画在轴上. x y • • O 探究新知 数学 选修 第一册 A版 第三章 圆锥曲线的方程 探究:利用信息技术画出双曲线和两条直线,在双曲线的右支上取一点，测量点的横坐标以及它到直线的距离 .沿曲线向右上方拖动点，观察与的大小关系，你发现了什么? 几何画板演示 探究新知 M Q 数学 选修 第一册 A版 第三章 圆锥曲线的方程 一般地，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线. 4.双曲线的渐近线 生成概念 M Q 数学 选修 第一册 A版 第三章 圆锥曲线的方程 一般地，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线. 4.双曲线的渐近线 生成概念 M Q 数学 选修 第一册 A版 第三章 圆锥曲线的方程 4.双曲线的渐近线 生成概念 M Q 数学 选修 第一册 A版 第三章 圆锥曲线的方程 两条渐近线的位置关系 ， 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线. 特别的，在双曲线 中，如果=， 渐近线方程为 ， 探究新知 互相垂直 实轴长 虚轴长， 等于 数学 选修 第一册 A版 第三章 圆锥曲线的方程 生成概念 椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画了双曲线的什么几何特征呢？ 5. 离心率 (2) 离心率的取值范围： 因为，所以. 几何画板演示 (1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率，用e表示，即 数学 选修 第一册 A版 第三章 圆锥曲线的方程 深化新知 (3) 离心率与双曲线的“张口”大小的关系： 越接近1,双曲线的“张口” 越小； 越大,双曲线的“张口” 越大； (远离） (靠近） 数学 选修 第一册 A版 第三章 圆锥曲线的方程 归纳比较 焦点位置 x轴 y轴 方程 图形 范围 对称性 顶点 渐近线 关于对称，关于原点对称. • • • • F1 F2 O A1 A2 B2 B1 F1 F2 A1 A2 B2 B1 O 写出焦点在轴上的双曲线的几何性质 数学 选修 第一册 A版 第三章 圆锥曲线的方程 动脑思考，强化新知 数学 选修 第一册 A版 第三章 圆锥曲线的方程 从焦点F发出的光线经双曲线反射后发散，发散光线的反向延长线相交于另一个焦点. 动脑思考，强化新知 数学 选修 第一册 A版 第三章 圆锥曲线的方程 动脑思考，强化新知 数学 选修 第一册 A版 第三章 圆锥曲线的方程 动脑思考，强化新知 射向焦点的光线经双曲线反射后会聚于另一个焦点. 数学 选修 第一册 A版 第三章 圆锥曲线的方程 思考 卫星天线采取双曲面反射收集信号，经第二个曲面反射的数学依据是什么呢？ 动脑思考，强化新知 数学 选修 第一册 A版 第三章 圆锥曲线的方程 思考 卫星天线采取双曲面反射收集信号，经第二个曲面反射的数学依据是什么呢？ 射向焦点的光线经双曲线反射后会聚于另一个焦点. 动脑思考，强化新知 数学 选修 第一册 A版 第三章 圆锥曲线的方程 双曲线的 定义 双曲线的 标准方程 双曲线的 几何性质 “数” “形” 范围 对称性 顶点 渐近线 离心率 归纳总结 作业:导学案课后练习 数学 选修 第一册 A版 第三章 圆锥曲线的方程 欣赏数学之美 广州塔 发电厂冷却塔 巴西利亚大教堂 法拉利主题公园 数学 选修 第一册 A版 第三章 圆锥曲线的方程 数学 选修 第一册 A版 第三章 圆锥曲线的方程 提升思维 离心率不仅刻画了双曲线的“张口”大小，而且还蕴含着圆锥曲线几何特性的统一性. 数学 选修 第一册 A版 第三章 圆锥曲线的方程 从焦点F发出的光线经双曲线反射后发散，发散光线的反向延长线相交于另一个焦点. 射向焦点的光线经双曲线反射后会聚于另一个焦点. 动脑思考，强化新知 学会了……的知识 掌握了……的方法 体会了……的思想 在……有待加强 回顾探究过程 形成自主反思 课后反思: 作业:导学案课后练习 数学 选修 第一册 A版 第三章 圆锥曲线的方程 思考：已知双曲线 ，画渐近线. x y O 1 1 2 2 3 3 4 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -1 -2 -3 -4 -5 -6 (1)写出渐近线方程， (2)在平面坐标中画出渐近线， 还有其他方法吗？ 探究新知 数学 选修 第一册 A版 第三章 圆锥曲线的方程 课堂练习 例3 求双曲线2-92 =36的实半轴与虚半轴长,焦点坐标,离心率及渐近线方程. 解：原方程变形为 实半轴长为虚半轴长为 焦点坐标为 离心率为 渐近线方程为 数学 选修 第一册 A版 第三章 圆锥曲线的方程 课后作业 思考：已知双曲线 ，怎么画出双曲呢？ x y O 1 1 2 2 3 3 4 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -1 -2 -3 -4 -5 -6 步骤： (1)写出渐近线方程， (2)在平面坐标中画出渐近线， (3)确定双曲线的顶点坐标， A1(), A2(3). (4)利用双曲线的两支向外延伸时与两条渐近线逐渐接近但永不相交，画出双曲线草图. 数学 选修 第一册 A版 第三章 圆锥曲线的方程 双曲线 的定义 形 几何特征 符号 双曲线 数 平面内与两个定点, 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫双曲线. 知识小结 数学 选修 第一册 A版 第三章 圆锥曲线的方程 课堂练习 例3 求双曲线92-162 =144的实半轴与虚半轴长,焦点坐标,离心率及渐近线方程. 解：原方程变形为 实半轴长为虚半轴长为 焦点坐标为 离心率为 3 -3 4 -4 O 渐近线方程为 • • F1(0,-5) F2(0,5) 数学 选修 第一册 A版 第三章 圆锥曲线的方程 问题探究 用双曲线渐近线的斜率能刻画双曲线的“ 张口”大小吗? ？ 越小,双曲线的“张口”越小. 越接近1,双曲线的“张口” 越小； 越大,双曲线的“张口” 越大； 越大,双曲线的“张口”越大. 数学 选修 第一册 A版 第三章 圆锥曲线的方程 复习回顾 椭圆有哪些几何性质？如何研究？ 几何图形 椭圆的 几何性质 观察 标准方程 坐标法 范围 对称性 顶点 离心率 椭圆 x y O 数学 选修 第一册 A版 第三章 圆锥曲线的方程 问题导入 思考：类比对椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线 的哪些几何性质？如何研究这些性质？ ——从“形”和“数”的角度分别分析. ——双曲线的范围、对称性、顶点及其他特性等. x y • • O 数学 选修 第一册 A版 第三章 圆锥曲线的方程 问题探究 x y O • • 思考：你能在轴上找到一点B，使得吗？ • • 线段B1B2 叫做双曲线的虚轴，长 叫做双曲线的虚半轴长. 线段A1A2 叫做双曲线的实轴，长为 叫做双曲线的实半轴长 参数的几何意义. 把 B1(0,－b), B2(0,b) 画在轴上. 数学 选修 第一册 A版 第三章 圆锥曲线的方程 数学 选修 第一册 A版 第三章 圆锥曲线的方程 课后练习 1.已知双曲线的两个顶点和两个焦点坐标，你能用圆规作出图中双曲线虚焦点的位置吗? 你的依据是什么? 依据： 已知双曲线的两个顶点和两个焦点坐标，确定位置. x y O • • • • 数学 选修 第一册 A版 第三章 圆锥曲线的方程 课后练习 数学 选修 第一册 A版 第三章 圆锥曲线的方程 新课导入 回顾：椭圆的研究是按照怎样的过程开展的？ 椭圆的 实际背景 椭圆的 几何特征 抽象 椭圆的 标准方程 坐标法 椭圆的 几何性质 代数方法 模型 数学 选修 第一册 A版 第三章 圆锥曲线的方程 新课导入 焦点位置 x轴 y轴 方程 图形 范围 对称性 顶点 离心率 通径 关于对称，关于原点对称. F1 F2 M • • y O B2 B1 A1 A2 F1 F2 M • • y O B2 B1 A1 A2 MN 数学 选修 第一册 A版 第三章 圆锥曲线的方程 问题探究 探究:利用信息技术画出双曲线和两条直线,在双曲线的右支上取一点，测量点的横坐标以及它到直线的距离 .沿曲线向右上方拖动点，观察与的大小关系，你发现了什么? 双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，但永不相交. 点的横坐标越来越大，越来越小,但始终不等于0. 几何画板演示 数学 选修 第一册 A版 第三章 圆锥曲线的方程 新课导入 回顾：双曲线已知研究了什么？接下来应该研究什么？ 双曲线的标准方程 双曲线的定义 平面内与两个定点, 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫双曲线. 双曲线的几何性质 ？ 数学 选修 第一册 A版 第三章 圆锥曲线的方程 问题探究 一般地，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，但永不相交. 4.双曲线的渐近线 对应的渐近线方程 焦点在轴上， 焦点在轴上， 表示轴上的半轴长 表示轴上的半轴长 表示轴上的半轴长 表示轴上的半轴长 $$