云南省开远市第一中学校2024-2025学年高一上学期期中检测数学试题

高一数学期中考试参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D C C C B D AC BD 题号 11 答案 ACD 1．D 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得解. 【详解】根据存在量词命题的否定， 命题p：，的否定为：，. 故选：D. 2．B 【分析】根据子集的定义可得或，讨论求解，注意集合元素的互异性. 【详解】由，可得或， 若，即，此时，，符合题意； 若，解得或， 当时，，，符合题意； 当时，，不符合集合的互异性，舍去. 综上，的取值构成的集合为. 故选：B. 3．D 【分析】判定函数的奇偶性和正负即可得解. 【详解】的定义域为，它关于原点对称，且， 所以是偶函数，排除AB， 当时，，排除C，经检验，D符合题意. 故选：D. 4．C 【分析】根据对数函数的单调性及定义域求解即可. 【详解】因为等价于，即，解得， 所以是的充要条件. 故选：C. 5．C 【分析】将恒成立问题转化为最值问题，利用基本不等式求最值即可. 【详解】因为，， 所以由基本不等式可得， 等号成立当且仅当，即， 综上所述，的最小值为； 因为不等式恒成立，所以， 所以实数m的取值范围是. 故选：C. 6．C 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法即可得解 【详解】由的单调递减， 可得 所以， 故选：C 7．B 【分析】问题化为在上有解，利用二次函数性质求右侧的值域，即可确定参数范围. 【详解】由题设在内有解，即在上有解， 令，，则在上递增， 所以，故. 故选：B 8．D 【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】由于在上满足， 所以在上单调递减. 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D 9．AC 【分析】对于A，B，C利用不等式的性质即可判断，对于D利用反例进行判断， 【详解】对于A，若，则不等式两边同时乘以，由，则，故A正确； 对于B，若，则不等式两边同时乘以，由，则，故B错误； 对于C，若，则，利用不等式的可乘方性，则，故C正确； 对于D，若，，则，，则，故D错误； 故选：AC. 10．BD 【分析】举例说明判断AC；利用一元二次方程判别式判断B；作差变形比较大小判断D. 【详解】对于AC，取，由，解得，，AC错误； 对于B，方程有两个不等实根，则，解得，B正确； 对于D， ，恒成立，D正确. 故选：BD 11．ACD 【分析】根据“高斯函数”的定义、函数的奇偶性、最值等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，表示不超过的最大整数，故，A正确； 对于B，，所以不是奇函数，B错误； 对于C，因为． 画出的图象如下： 有最小值0，无最大值；C对． 对于D， ， 则， 即，D正确． 故选：ACD 【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 12． 【分析】运用具体函数的定义域限制条件列不等式组计算. 【详解】函数的定义域满足，解得. 故答案为：. 13．2 【分析】根据奇函数性质求函数值. 【详解】由题设，则. 故答案为：2 14． 【分析】作出函数的图象，可得出当直线与函数的图象有四个交点时的取值范围，求出实数的取值范围，将代数式转化为关于的函数，利用双勾函数的基本性质求出的取值范围. 【详解】作出函数图象，可得 ， 所以，从而得 ， 且， 所以， 所以.    令 ， 则在上单调递增， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于充分利用图象的对称性以及对数的运算性质，并将所求代数式转化为以某个变量为自变量的函数，转化为函数值域求解. 15．(1) (2) 【分析】（1）由指数、对数运算法则运算即可； （2）由对数运算法则即可求解. 【详解】（1）原式； （2）原式. 16．(1) (2) 【分析】（1）化简集合，由集合的并、补运算求解即可； （2）通过讨论和即可求解. 【详解】（1）集合，， ； （2），， ①当时，，， ②当时，则，解得， 综上所述，a的取值范围为； 17．(1). (2)为奇函数. (3). 【分析】（1）令，结合已知条件即可求. （2）令代入已知等量关系式中，结合奇偶性定义即可判断函数的奇偶性. （3）由题设得，则原不等式可转化为，再根据已知条件及单调性定义判断单调性，进而由单调性解不等式. 【详解】（1）令，则，可得. （2）令，有，即，又定义域为， ∴为奇函数. （3）由题设，，则可转化为， 令，则，且， ∵当时，， ∴，即，故为增函数， 综上，，解得. 18．(1). (2)当年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1580万元. 【分析】（1）根据投入成本及销售收入写出利润函数即可； （2）分段分别利用二次函数配方、基本不等式求最值，比较大小即可得解. 【详解】（1）当时，. 当时，. 所以. （2）当时 ，当时，万元. 当时万元. 当且仅当，即时，上式等号成立. 又，所以当年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1580万元. 19．(1)，； (2)函数在区间单调递增，理由见解析； (3)答案见解析 【分析】（1）根据奇偶性定义以及函数值解方程可得结果； （2）利用单调性定义按照步骤即可证明在区间单调递增； （3）由换元法得出函数的表达式，再由（2）中的结论得出其在上的单调性，利用二次函数性质分类讨论即可得出结果. 【详解】（1）根据题意可得，即，可得； 再由可得，解得； 当，可得， 经检验此时满足，为奇函数， 所以， （2）取任意，且， 则 ; 由，可得，； 所以，即可得， 即函数在区间的单调递增； （3）由， 由(2)得当  时，， 所以，即， 所以函数在上单调递减； 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 又函数为上的奇函数，所以函数的减区间为，递增区间为, 当时，, 令，有 ①当时，即，, 此时函数的值域为; ②当时，即时， 可得 此时函数的值域为 ③当时，即时， ， 此时函数的值域为 ④当时， 即， ， 此时函数的值域为， 综上所述，时，其值域为; 当时，值域为 当时，值域为； 当时，值域为 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用换元法得出函数的表达式，再证明得出函数的单调性，利用二次函数性质分类讨论即可得出结果函数的值域. 答案第4页，共9页 答案第5页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 开远市第一中学校 2024 年秋季学期高一年级期中考试 数学 考生注意： 1.本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2.考生作答时，请将答案填涂在答题卡上。第Ⅰ卷每小题选出答案后， 用 2B 铅笔把答题卡上对应 题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内 作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.本卷命题范围：人教版必修 1、2 选修 1、2（等比数列的概念和性质）。 一、选择题：本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1 ．设命题p：∃n ∈ Z ，n2 < n，则 p 的否定为( ) A . ∃n ∉ Z ，n2 < n B . ∃n ∈ Z ，n2 ≥ n C . ∀n ∉ Z ，n2 ≥ n D . ∀n ∈ Z ，n2 ≥ n 2 ．已知集合A = {1,2, a2 }, B = {1, a + 2}，若B ⊆ A，则a的取值构成集合( ) A ．{−1} B ．{0,2} C ．{−1,0} D ．{−1,0,2} 3 ．函数f的图象为 ( ) A ． B. C ． D. 4 ．“log 1x 2 > log1x”是“0 < x < 1”的( ) 3 3 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 1 学科网（北京）股份有限公司 5 ．已知正数 x、y 满足 + = 1，不等式3x + 2y − 1 > m恒成立.则实数 m 的取值范围是 ( ) A ．(−∞, 4 + 6√2) B ．(6 + 4√2, +∞) C ．(−∞, 6 + 4√3) D ．(8 + 4√3, +∞) 6 ．设a = 2.5 , b = log , c = 3 −2.3 ，则a 、b 、c的大小关系为 ( ) A ．c < a < b B ．a < b < c C ．b < a < c D ．a < c < b 7 ．方程ax2 − x − 6 = 0在区间[1,3]内有解，则实数a的取值范围是( ) A ．[2,5] B ．[1,7] C ．(2,5) D ．[1,5] 8 ．已知函数 在 上满足 则实 数a的取值范围为( ) A ．(1,7) B ．(1,8] C ．(1,8) D ．(1,7] 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9 ．设a, b ∈ R，则下列命题正确的是( ) A ．若a > b > 0，则a2 > ab B ．若a < b < 0，则a2 < ab C ．若a > |b|，则a2 > b2 D ．若a < |b|，则a2 < b2 10 ．已知f(x) = x 2 − 2x + a.若方程f(x) = 0有两个根x1, x2，且x1 < x2，则下列说法正确的 有( ) A ．x1 > 0 ，x2 > 0 B ．a < 1 C ．若x1x2 ≠ 0，则 + + x1x2 的最小值为2√2 D . ∀m, n ∈ R ，都有 11 ．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命 名的“高斯函数”为：f(x) = [x], x ∈ R，其中[x]表示不超过 x 的最大整数，例如： [−1.6]= −2, [2.6] = 2 ．令函数g(x) = x − [x]，则下列说法正确的是( ) A ．x − 1 < [x] ≤ x B ．f(x)是奇函数 C ．g(x)的最小值为 0，没有最大值 2 学科网（北京）股份有限公司 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 12 ．函数f的定义域为 . 13 ．函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x > 0时，f(x) = x 2 − 3x，则f(f(1)) = . 14 ．已知函数 方程 f(x) = a 有四个不同根x1, x2, x3, x4 ， 且 满足x1 < x2 < x3 < x4 ， 则 的取值范围是 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明步骤或演算步骤 15 ．（13 分）计算下列各式： (2)ln√e + log535 − log514 + log254. 16.（15 分）已知全集u = R集合A = (x ∣ x 2 − 4x + 3 ≤ 0} ，B = {x||x − 3 ∣< 1} ，C = {x ∣ 2a ≤ x ≤ a + 2, a ∈ R} . (1)求A ∪ (∁UB)； (2)若B ∪ C = B，求 a 的取值范围. 17.（15 分）设函数y = f(x)的定义域为R，并且满足f(x + y) = f(x) + f(y) ，f() = 1，且 当x > 0时，f(x) > 0. (1)求f(0)的值，并证明函数是奇函数； (2)如果f(x) + f(2 + x) < 2，求x取值范围. 3 学科网（北京）股份有限公司 18 ．（17 分）随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进 程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了 进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品. 已知生产该产品的年固定成本为 300 万 元，最大产能为 100 台.每生产x台，需另投入成本G(x)万元，且G(x) = { 181x ≤ 100 ，由市场调研知，该产品每台的售价为 180 万元，且全 年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润w(x)万元关于年产量x台的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润w(x)最大？最大利润是多少？ 19 ．（17 分）已知函数为R上的奇函数，且f(−2) = 1. (1)求实数a, b的值； (2)试判断函数f(x)在区间(1, +∞)的单调性，并说明理由； (3)求函数g(x) = [f(x)]2 − mf(x) − 1（其中−3 ≤ x ≤ 3）的值域. 4 学科网（北京）股份有限公司 $$