24.1 旋转（第2课时 中心对称与中心对称图形）（教学课件）数学沪科版九年级下册

九年级沪科版数学下册 第二十四章 圆 第2课时 中心对称与中心对称图形 24.1 旋转 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1. 理解中心对称的定义及性质，会识别中心对称图形.（重点） 2. 会运用掌握中心对称及中心对称图形的性质解决实际问题.（重点） 从A旋转到B，旋转中心 是什么？旋转角是多少？ O A B C D 从A旋转到C呢? 从A旋转到D呢? 情景导入 桌上有四张牌，将其中一张牌旋转180°后和它本身重合，你很快能猜出是哪一张吗？ 重合 O A Ｏ D B C 问题1 观察下列图形的运动，说一说它们有什么共同点. 旋转角为180° 新知探究 把一个图形 ，如果它 ，那么就说这两个图形关于这个点 或 ，这个点叫做 . 这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点. 绕着某一点旋转180° 能够与另一个图形重合 对称 中心对称 对称中心（简称中心） 归纳总结 A B C O 180° A′ B′ C′ 找一找:下图中△A′B′C′与△ABC关于点O是成中心对称的，你能从图中找到哪些等量关系? 思考:观察上图，两个图形形成中心对称，说一说中心对称有什么特性？ 1.关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分. 2.关于中心对称的两个图形是全等形. 归纳：中心对称的性质 例 如图，已知四边形 ABCD 和点O，试画出四边形ABCD 关于点 O 成中心对称的图形 A'B'C'D'. A B C D O 分析：要画出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形，只要画出A，B，C，D四点关于点O的对应点，再顺次连接各对应点即可. 课本例题 A B C D O 作法： 1. 连接AO并延长到A'，使OA'=OA，得到点A的对应点A'； A' B' C' D' 2. 同理，可作出点B，C，D的对应点B'，C'，D'； 3. 顺次连接A'，B'，C'，D'. 则四边形A'B'C'D'即为所作. 1.作图: (1)求作已知点A关于点0成中心对称的对应点: (2)求作已知线段 AB 关于点0成中心对称的线段. 课本练习 解:(1)如图 24-2 所示,点A'即为所求的对应点. (2)如图 24-3 所示,线段 A'B'即为所求的对应线段, 课本练习 2.判断正误: (1)平行四边形的对角顶点关于对角线交点对称（ ） (2)平行四边形的对边关于对角线交点对称.（ ） 解析:根据旋转对称图形的特点可知: (1)平行四边形的一个角的顶点绕对角线的交点旋转180°后,能与另一个对角顶点完全重合; (2)平行四边形的一条边绕对角线的交点旋转180°后,能与其对边完全重合 √ √ A B 将下面的图形绕O点旋转，你有什么发现？ O （1）都绕一点旋转了180度； （2）都与原图形完全重合. O 新知探究 把一个图形绕某一个定点旋转180°，如果旋转后的图形能和原来图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个定点就是对称中心. B A C D 中心对称图形的定义 注意：中心对称图形是指一个图形. O 归纳总结 比较中心对称和中心对称图形的概念，试说明它们有何区别与联系. 区别：中心对称是针对两个图形而言的，而中心对称图形是针对单个图形而言的. 联系：如果把成中心对称的两个图形看成一个整体，则该图形为中心对称图形；如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，则它们成中心对称. 归纳总结 课本练习 1.下列图形中，哪些是中心对称图形？哪些是轴对称图形？画出它们的对称中心或所有的对称轴。 解:中心对称图形有(3)(5);轴对称图形有(1)(2)(3)(4).画图略. 2.画出下列各题中的图形关于点o 成中心对称的图形 提示:同一平面内任一点关于某一特定点的对应点都可以直接根据中心对称图形的特点作出;线段、三角形、五边形分别是由两个关键点、三个关键点、五个关键点组成的图形,即只要作这几个关键点的对应点,然后将各个对应点进行顺次连接即可得到所求的图形。 C 1.如图，如果甲、乙两图关于点O成中心对称，那么乙图中不符合题意的一块是(　　) 分层练习-基础 19 A 2.下列图案是中心对称图形但不是轴对称图形的是(　　) 3.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是(　　) A 20 4.如图，△ABC与△CDA关于点O成中心对称，过点O任意作直线EF，分别交AD，BC于点E，F，下面的结论： ①点E和点F，点B和点D分别关于点O成中心对称； ②直线BD必经过点O； ③四边形ABCD是中心对称图形； ④四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等； ⑤△AOE与△COF成中心对称． 其中正确的个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 D 5.如图是一块正方形草地，要在上面修建两条交叉的小路，使得这两条小路将草地分成的四部分面积相等，修路的方法有(　　) A．1种 B．2种 C．4种 D．无数种 【点拨】 ∵正方形是中心对称图形，∴过正方形的对称中心作互相垂直的两条直线，则这两条直线把草地分成的四部分面积相等，故选D. D 22 ③ 6.图a和图b中所有的小正方形都全等，将图a的正方形放在图b中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是_______． 【点拨】 当小正方形放在③的位置时，组成的图形是中心对称图形． 7.如图，已知△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列判断不正确的是(　　) A．∠ABC＝∠A′B′C′ B．∠BOC＝∠B′A′C′ C．AB＝A′B′ D．OA＝OA′ B 分层练习-巩固 8.如图由6×6个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点A，B，C均在格点上，O是AC与网格线的交点，将△ABC绕着点O顺时针旋转180°. 以下是嘉嘉和淇淇得出的结论，其中正确的是(　　) 嘉嘉：旋转后的三角形的三个顶点均在格点上； 淇淇：旋转前后两个三角形可形成平行四边形． A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．两人都对 D．两人都不对 C (3，－1) 9.(母题：教材P11习题T9)如图， 在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是_________． 【点易错】 由中心对称的性质可知，对称中心在一对对应点的连线上，对称中心到一对对应点的距离相等，本题易对对称中心的特点认识不清而致错． 10.如图，△ABO与△CDO关于点O成中心对称，点E，F在线段AC上，且AF＝CE.求证：FD＝BE. 【证明】∵△ABO与△CDO关于点O成中心对称， ∴BO＝DO，AO＝CO. 又∵AF＝CE，∴AO－AF＝CO－CE，∴FO＝EO. 11.图①，图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，其中点A，B，C均在格点上，请在给定的网格中按要求画四边形． (1)在图①中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形； 【解】如图①，四边形ABCD即为所求．(答案不唯一) (2)在图②中，找一格点E，使以点A，B，C，E为顶点的四边形是中心对称图形． 【解】如图②，四边形ABCE即为所求．(答案不唯一) 12.知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分． (1)如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，试判断S四边形AEFB与 S四边形DEFC的数量关系； 【解】S四边形AEFB＝S四边形DEFC (2)如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分； 【解】如图①所示． (3)八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分(用三种方法分割)． 【解】如图②③④所示． 13.如图，D是△ABC的边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接BE. (1)哪两个图形成中心对称？ 【解】△ADC和△EDB成中心对称． (2)已知△ADC的面积为4，求△ABE的面积． 【解】∵△ADC和△EDB成中心对称， ∴S△EDB＝S△ADC＝4. ∵D为BC的中点， ∴BD＝CD，∴S△ABD＝S△ADC＝4， ∴S△ABE＝S△ABD＋S△EDB＝8. (3)若AB＝5，AC＝3，求AD长度的取值范围． 【解】由(1)知△ADC和△EDB成中心对称，则△ADC≌△EDB，∴BE＝AC＝3. ∵AD＝ED，∴AE＝2AD. 在△ABE中，AB－BE＜AE＜AB＋BE， ∴2＜AE＜8，即2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4. 14.在某次课外兴趣小组的活动中，老师提出了如下问题： 如图①，在△ABC中，若AB＝9，AC＝5，求BC边上的中线AD的取值范围． 分层练习-拓展 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，再连接BE(或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD)，把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得4＜AE＜14，则2＜AD＜7. 感悟：若出现“中点”“中线”等字样，考虑构造以中点为对称中心成中心对称的图形． 解决问题：如图②，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥DF，DE交边AB于点E，DF交边AC于点F，连接EF. (1)求证：BE＋CF＞EF. 【证明】如图，将△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD，连接EG， ∴E，D，F三点共线，CF＝BG，DF＝DG. ∵DE⊥DF，∴EF＝EG. ∵在△BEG中，BE＋BG＞EG， ∴BE＋CF＞EF. (2)若∠A＝90°，探索线段BE，CF，EF之间的等量关系，并加以证明． 【解】BE2＋CF2＝EF2.证明如下： 若∠A＝90°，则∠EBC＋∠FCD＝90°. 由(1)知∠FCD＝∠DBG，EF＝EG，BG＝FC， ∴∠EBC＋∠DBG＝90°，即∠EBG＝90°. ∵在Rt△EBG中，BE2＋BG2＝EG2， ∴BE2＋CF2＝EF2. 概念 旋转角是180° 性质 对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分 作图 1. 作中心对称图形 2. 找出对称中心 中心对称 定义 性质 应用 绕着内部一点旋转180°能与本身重合的图形 经过对称中心的直线把原图形分成面积相等的两部分 美丽的中心对称图形在建筑物和工艺品等领域十分常见 中心对称和中心对称图形 中心对称图形 课堂小结 在△FOD和△EOB中， ∴△FOD≌△EOB， ∴FD＝BE. $$