3.3.2抛物线的简单几何性质课件第一课时-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.3.2抛物线的简单几何性质 教师：XXX 复习回顾 2 1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l (l 不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程 y2=2px (p>0) 焦点坐标是 ,它的准线方程是 新知学习 3 类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线 y2=2px (p>0)的哪些几何性质？如何研究这些性质？ 1.范围 x≥0,y∈R 一、抛物线的性质 2.对称性 关于 x 轴对称.   我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． 注：抛物线只有一条对称轴， 没有对称中心． 新知学习 4 3.顶点 抛物线和它轴的交点叫做抛物线的顶点. 抛物线的顶点就是原点O，坐标是 (0, 0) ． 4.离心率 抛物线上的点M 到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率. 用 e 表示，e = 1． 一、抛物线的性质 新知学习 5 图 形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 e l F y x O l F y x O l F y x O l F y x O y2 = 2px （p>0） y2 = -2px （p>0） x2 = 2py （p>0） x2 = -2py （p>0） x≥0 y∈R x≤0 y∈R y≥0 x∈R y ≤ 0 x∈R (0,0) x轴 y轴 1 四种抛物线的几何性质的对比 新知学习 6 1.对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析,其共同点: (1)顶点都为原点; (2)对称轴为坐标轴; (3)准线与对称轴垂直,垂足与焦点分别关于原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的; (4)焦点到准线的距离均为p. 其不同点: (1)对称轴为x轴时,方程的右端为±2px,左端为y2;对称轴为y轴时,方程的右端为±2py,左端为x2; (2)开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的正半轴上,方程的右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程的右端取负号. 2.只有焦点在坐标轴上,顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程. 小试牛刀 7 1. 判断 (1)抛物线关于顶点对称.(　　) (2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心.(　　) (3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.(　　) 小试牛刀 答案:(1)×　(2)√　(3)√ 2.思考：怎样根据抛物线的标准方程判断抛物线的对称轴和开口方向? 解析:一次项的变量若为x(或y),则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴,一次项系数的 符号决定开口方向. 如果y是一次项,负时向下,正时向上. 如果x是一次项,负时向左,正时向右. 练习1 小试牛刀 8 3. 以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为(　　) A.y2=8x B.y2=-8x C.y2=8x或y2=-8x D.x2=8y或x2=-8y 解析:设抛物线方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0),依题意得x= ,代入y2=2px或y2=-2px得|y|=p,∴2|y|=2p=8,p=4.∴抛物线方程为y2=8x或y2=-8x. 答案:C 练习1 问题思考 9 (1)掌握抛物线的性质,重点应抓住“两点”“两线”“一率”“一方向”,它们分别指的是什么? (2)抛物线的性质与椭圆和双曲线性质的主要区别有哪些? 提示:“两点”是指抛物线的焦点和顶点;“两线”是指抛物线的准线和对称轴;“一率”是指离心率1;“一方向”是指抛物线的开口方向. 提示:抛物线的离心率等于1,它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线.它没有中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线. 例题讲解 10 例1 已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(2, 2 )，求它的标准方程． 则将M点代入得： 2 = 2p×2 解得：p=2 解：由已知可设抛物线的标准方程为y2=2px（p>0） 因此所求方程为：y2=4x 巩固练习 11 设抛物线y=mx2(m≠0)的准线与直线y=1的距离为3,求抛物线的标准方程. 故所求抛物线的标准方程为y=8x2. 错因分析：本题在解答过程中容易出现两个错误:一是不能正确理解抛物线标准方程的形式,错误地将所给方程看成是抛物线的标准方程,得到准线方程为y=- ; 二是得到准线方程后,只分析其中的一种情况,而忽略了另一种情况,只得到了一个解. 练习2 解惑提升 12 当焦点在x轴上,开口方向不定时,设为y2=mx(m ≠0), 当焦点在y轴上,开口方向不定时,设为x2=my (m≠0), 可避免讨论. 巩固练习 13 （1）关于x轴对称，并且经过点M(5,-4)； （2）关于y轴对称，准线经过点E(5,-5)； （3）准线在y轴右侧，顶点到准线的距离是4； （4）焦点F在y轴负半轴上，经过横坐标为16的点P，且FP平行于准线. 练习3（课本P136练习T1) 例题讲解 14 例4 斜率为 1 的直线经过抛物线 y2 = 4x 的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求焦点弦长AB的长． 例题讲解 15 D C 例4 斜率为 1 的直线经过抛物线 y2 = 4x 的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求焦点弦长AB的长． 方法小结 16 法一：直接求两点坐标， 利用两点间的距离公式求弦长 法二：设而不求， 利用弦长公式和韦达定理求弦长 法三：活用定义，利用韦达定理求弦长 坐标法：先用几何眼光观察，再用代数运算解决 数形结合 求焦点弦长 新知学习 17 6.焦点弦 经过抛物线焦点的直线与抛物线交于A, B两点，则称弦AB为抛物线的焦点弦. |AB|＝ (x1＋x2) ＋ p (x1, y1) (x2, y2) 5.焦半径 连接焦点与抛物线上的点的线段叫做 抛物线的焦半径. x O y F P (x0, y0) 一、抛物线的性质 新知学习 18 图形 标准方程 焦半径公式 l F y x O l F y x O l F y x O l F y x O y2 = 2px (p>0) y2 = -2px (p>0) x2 = 2py (p>0) x2 = -2py (p>0) 思考探究 19 思考探究 20 新知学习 21 x O y F C 7.通径 通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径. 通径的长度为____, 2p 这就是抛物线方程中2p的几何意义. p 刻画了抛物线开口的大小. p 值越大，开口越宽； p 值越小，开口越窄． D 例题讲解 22 例题讲解 23 例题讲解 24 方法小结 25 将直线方程和抛物线方程联立，消元转化为关于 x（或 y 的）方程组： Ax2 + Bx + C = 0（或Ay2 + By + C = 0），其中A，B，C 为常数. 若A = 0，则直线和抛物线相交（直线与抛物线的对称轴平行），有一个交点； 若A ≠ 0，计算判别式 Δ＝B2 －4AC ： 若 Δ＞0，则直线和抛物线相交（有两个交点）； 若 Δ = 0，则直线和抛物线相切（有一个交点）； 若 Δ＜0，则直线和抛物线相离（无交点）. 直线和抛物线的位置关系有三种：相交、相切、相离 巩固练习 26 练习4 巩固练习 27 课堂小结 28 1.范围 抛物线的性质 2.对称性 3.顶点 4.离心率 6.焦点弦 5.焦半径 7.通径 谢谢聆听 THANKS FOR YOUR WATCHING 3.3.2抛物线的简单几何性质 正解:y=mx2(m≠0)可化为x2=y,其准线方程为y=-.由题意知-=-2或-=4, 解得m=或m=-, 故所求抛物线的标准方程为x2=8y或x2=-16y. 错解:由y=mx2(m≠0)可知其准线方程为y=-. 由题意知-=-2,解得m=8, 解：方法一：由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为F (1，0)， 所以直线AB的方程为，即， ① 将方程①代入抛物线方程，化简得， 解这个方程，得，， 将，代入方程①中， 得，，即A(，)，B(，)， ∴. 解：方法二：由抛物线的定义可知，|AF|=|AD|=x1＋1，|BF|＝|BC|= x2＋1， 于是|AB|=|AF|＋|BF|= x1＋x2＋2． 在方法一中得到方程x2－6x＋1=0后， 根据根与系数的关系可以直接得到x1＋x2＝6， 于是立即可以求出|AB|=6＋2=8． 方法三：抛物线y2＝4x中2p＝4，直线的 倾斜角为，所以焦点弦长. ②当直线 斜率存在时，设直线 方程为 ， 由方程组 得， 例(1)过定点P(0,1)作与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线有几条？ (2)若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax(a≠0)恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合． [思路探究]　(1)分斜率存在、不存在两种情况，存在时将直线方程代入抛物线方程，转化为Δ＝0求解；不存在时显然满足题意． (2)eq \x(将直线方程与抛物线方程联立)→eq \x(消去y后化为关于x的方程) →分类讨论方程有一解时a的取值 [解]　(1)当直线的斜率不存在时，直线x＝0，符合题意． 当直线的斜率存在时，设过点P的直线方程为y＝kx＋1，当k＝0时，直线l的方程为y＝1，满足直线与抛物线y2＝2x仅有一个公共点； 当k≠0时，将直线方程y＝kx＋1代入y2＝2x，消去y得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0.由Δ＝0，得k＝eq \f(1,2)，直线方程为y＝eq \f(1,2)x＋1.故满足条件的直线有三条． 例(1)过定点P(0,1)作与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线有几条？ (2)若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax(a≠0)恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合． (2)因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝a＋1x－1，,y2＝ax))只有一组实数解，消去y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，即(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0　①. (ⅰ)当a＋1＝0，即a＝－1时，方程①是关于x的一元一次方程，解得x＝－1，这时，原方程组有唯一解eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1.)) (ⅱ)当a＋1≠0，即a≠－1时，方程①是关于x的一元二次方程． 令Δ＝(3a＋2)2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)＝0，解得a＝0(舍去)或a＝－eq \f(4,5). 所以原方程组有唯一解eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－5，,y＝－2.)) 综上，实数a的取值集合是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(4,5))). 已知点P(1，m)是抛物线C：y2＝2px上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，直线l：y＝k(x－1)与抛物线C相交于不同的两点A，B. (1)求抛物线C的方程； (2)若|AB|＝8，求k的值． [解]　(1)抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－eq \f(p,2)， 由|PF|＝2得：1＋eq \f(p,2)＝2，得p＝2. 所以抛物线的方程为y2＝4x. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x，)) 可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ＝16k2＋16＞0， ∴x1＋x2＝eq \f(2k2＋4,k2). ∵直线l经过抛物线C的焦点F， ∴|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2k2＋4,k2)＋2＝8， 解得k＝±1，所以k的值为1或－1. $$