圆的方程专项练习-2025届高三数学一轮复习

高考一轮复习 2024-2025学年度高三一轮复习32--圆的方程专项练习 一、单选题 1．（2024·海南·模拟预测）下列方程中表示圆心在直线 上，半径为 ，且过原点的圆的是 （   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽·模拟预测）已知集合，，则中的元素个数为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024·广东珠海·一模）已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 4．（2025·江苏·模拟预测）已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·海南·模拟预测）已知点，在圆上，点，，则使得是面积为的等边三角形的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2024·山东济南·三模）圆上的点到直线的距离的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．9 7．（2024·陕西商洛·三模）已知是圆上任意一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·广东佛山·模拟预测）已知点在圆上运动，点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2024·贵州遵义·二模）已知平面内曲线：，下列结论正确的是（    ） A．曲线关于原点对称 B．曲线所围成图形的面积为 C．曲线上任意两点同距离的最大值为 D．若直线与曲线交于不同的四点，则 10．（2024·山西临汾·三模）已知是以为圆心，为半径的圆上任意两点，且满足，是的中点，若存在关于对称的两点，满足，则线段长度的可能值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 11．（2024·浙江绍兴·三模）已知，为圆上的两个动点，点，且，则（    ） A． B． C．外接圆圆心的轨迹方程为 D．重心的轨迹方程为 三、填空题 12．（2024·湖南邵阳·三模）写出满足“点在圆外部”的一个的值： ． 13．（2024·天津河西·模拟预测）已知点为圆上一点，点，当变化时线段AB长度的最小值为 . 14．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）设，是半径为3的球体表面上两定点，且，球体表面上动点满足，则点的轨迹长度为 . 四、解答题 15．（2024高三·全国·专题练习）已知点在圆上运动．求的最大值与最小值． 16．（2024高三下·全国·专题练习）设，已知过定点的动直线和过定点的动直线交于点，求的取值范围． 17．（2024·广东深圳·模拟预测）已知过点的动直线l与圆相交于不同的两点A，B． (1)求圆的圆心坐标； (2)求线段的中点M的轨迹C的方程． 18．（24-25高二上·北京大兴·期中）已知圆过三点，直线． (1)求圆的方程； (2)求圆关于直线对称的圆的方程； (3)若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值． 19．（24-25高二上·云南昆明·阶段练习）已知圆经过点，从下列3个条件选取一个________ ①过点； ②圆恒被直线平分； ③与轴相切. (1)求圆的为程； (2)已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程 参考答案： 1．D 【分析】假设圆的标准方程，根据题意列出方程求解圆心和半径即可. 【详解】因为圆心在上，所以设圆心为, 因为圆的半径为， 所以设圆的标准方程为, 因为该圆过原点， 所以， 解得, 所以圆心为或, 当圆心为时，圆的标准方程为，D对; 当圆心为时，圆的标准方程为. 故选：D. 2．B 【分析】根据函数的奇偶性及数形结合判断交点个数得解. 【详解】由且知，为偶函数，故函数图象关于y轴对称， 当时，作出与圆的图象，如图， 由图象知，当时，有一个交点， 再由偶函数图象的对称性可知，当时，也有一个交点. 综上，图象与圆有两个交点， 所以中的元素个数为2个. 故选：B 3．D 【分析】求出直线的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点到直线距离的最小值即可求得最小值. 【详解】两点，，则，直线方程为， 圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 因此点到直线距离的最小值为， 所以面积的最小值是. 故选：D 4．D 【分析】利用三角换元，再结合三角函数的有界性，即可求解． 【详解】由， 则可设为参数，， 故，其中， 当时，取得最小值，最小值为． 故选：D． 5．A 【分析】由面积公式先得长，根据正三角形与圆的对称性判定三点共线，再根据两圆的位置关系判定即可. 【详解】设中点为E，由正三角形面积公式可知， 由正三角形及圆的对称性可知，则三点共线， 而， 因为，所以P在以为圆心，2为半径的圆上， 由圆的位置关系可知，当且仅当时取得，此时， 即满足条件的点P只有一个. 故选：A 6．C 【分析】求出圆心到直线的距离加上圆的半径即可得答案. 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的距离的最大值为. 故选：C. 7．D 【分析】的几何意义为直线的斜率，再根据直线与圆得交点即可得出答案. 【详解】设，变形可得， 则的几何意义为直线的斜率， 圆化为， 所以圆的圆心为，半径为. 因为是圆上任意一点， 所以圆与直线有公共点，即圆的圆心到直线的距离不大于圆的半径， 所以，解得， 即的最大为. 故选:D. 8．A 【分析】利用，计算可得结论. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 又，所以， 所以， 因为，所以. 故选：A. 9．AC 【分析】利用分别换曲线方程中的判断A；探讨曲线在第一象限所围部分面积判断B；利用圆的性质求出两段圆弧上各取一点的两点间距离最大值判断C；判断直线，与曲线的位置判断D. 【详解】对于A，在曲线：中，分别换方程不变， 因此曲线关于原点对称，A正确； 对于B，当时，，即表示以点为圆心，为半径的圆在第一象限的圆弧， 圆弧端点，，，则， ，扇形的面积， 在曲线的方程中，用换或者用换方程都不变，则曲线关于对称，也关于轴对称， 所以曲线所围成图形的面积为，B错误； 对于C，由选项B知，曲线在第二象限、在第三象限、在第四象限内的部分 分别是以点为圆心，半径为的圆弧，圆心角都等于， 由图知，两个点分别在两段圆弧上时，两点间的距离才可能最大，由圆的性质知， 当两个点在相邻两个象限的圆弧上时，两点间距离最大值等于， 当两个点在相对两个象限的圆弧上时，两点间距离最大值等于， 而，所以曲线上任意两点同距离的最大值为，C正确； 对于D，直线交轴于点，交轴于点都在曲线在第四象限的圆弧下方， 点到直线的距离， 于是直线曲线无公共点，且在曲线的下方， 当时，直线在曲线的下方，与曲线无公共点，D错误. 【点睛】结论点睛：曲线C的方程为，（1）如果，则曲线C关于y轴对称；（2）如果，则曲线C关于x轴对称；（3）如果，则曲线C关于原点对称. 10．BCD 【分析】由已知得出点轨迹是以为圆心，1为半径的圆，得出的范围，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得出范围，进而判断出答案． 【详解】因为， 所以， 因为是中点，所以， 所以点轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 设为点，则， 所以， 又，两点关于点对称， 所以为直角三角形，且为斜边中点，则， 所以， 故选：BCD． 11．ABC 【分析】根据圆的性质，可得判定A正确；当线段的中垂线经过点时，此时取得最值，结合圆的性质，可判定B正确；设的外接圆的圆心为，根据，求得轨迹方程，可判定以C正确；设的重心为点，结合C项，求得其轨迹方程，可判定D错误. 【详解】因为圆，可得圆心，半径为，且点在圆内， 对于A中，由，根据圆的性质，可得， 即，即， 所以的最大值为，所以A正确； 对于B中，因为，当线段的中垂线经过点时，此时取得最值， 如图所示，可得时，可得， 时，可得，所以B正确； 对于C中，设的外接圆的圆心为，则， 则有，可得， 即，所以C正确； 对于D中，设的重心为点，则， 由C项知的外接圆的圆心点的轨迹方程为， 且点为的中点，即，所以， 即，即，所以D错误. 故选：ABC. 12．4（答案不唯一， ） 【分析】利用方程表示圆、点在圆外列出不等式组求解即得. 【详解】圆，则， 由点在圆外部，得， 解得，取. 故答案为：4 13． 【分析】根据圆的方程得到圆心的轨迹，然后根据几何知识得到当时线段的长度最小， 然后求线段的长度即可. 【详解】 圆的圆心坐标为，半径，所以圆心在直线：上， 当时线段的长度最小， 点到直线的距离， 所以. 故答案为：. 14． 【分析】建立直角坐标系，根据确定轨迹为圆，转化到空间得到轨迹为两球的交线，计算球心距，对应圆的半径为，再计算周长得到答案. 【详解】以所在的平面建立直角坐标系，为轴，的中垂线为轴： 则，，，设，由，可得：， 整理得到：，故点在平面的轨迹是以为圆心，半径的圆， 转化到空间中：当绕为轴旋转一周时，，不变，依然满足， 故空间中点的轨迹为以为球心，半径为2的球，同时点在球商，故点在两球的交线，为圆， 球心距为， 所以为直角三角形，对应圆的半径为，周长为 故答案为： 15．最大值，最小值. 【分析】解法一：问题即圆上任意一点到点距离的平方的最值，进一步转化为求的问题， 解法二：利用三角换元，转化为三角函数最值问题； 解法三：首先设，求过两圆交点的直线方程，再利用直线与圆方程联立，利用，即可求解的最值. 【详解】解法一，设，则 ， ， 解法二：（三角换元）设，， 则，其中， 显然，， 解法三：（判别式法）设并与相减得， 代入整理得， 由，解得，即，. 16． 【分析】先根据题意明确点轨迹，再利用三角函数或基本不等式求的取值范围． 【详解】因为， 所以， 解法一： 两直线方程联立消去得，， 所以点在以为直径的圆上，， 所以， 令 则， 因为，所以， 所以，即， 故的取值范围是． 解法二： 因为， 所以，点的轨迹是以为直径的圆． 所以，所以， 所以， 所以， 故的取值范围是． 【点睛】关键点睛： 在几何意义上表示点到与的距离之和，解题的关键是找点的轨迹和轨迹方程，然后利用三角函数或基本不等式求的范围． 17．(1) (2) 【分析】（1）根据题意，将圆的一般式化为标准式，即可得到结果； （2）根据题意，由列出方程，化简即可得到结果. 【详解】（1）圆的方程可变形为， 故的圆心坐标为，半径为2. （2）设，因为点M是的中点，， ， 故， 由此可得， 故轨迹方程为，轨迹是以圆心为，半径为的圆. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）设出圆的标准方程，代入点的坐标求解出参数则圆的方程可知； （2）根据斜率关系和中点关系求解出对称点的坐标，结合对称圆的半径不变求解出圆的方程； （3）根据圆外一点到圆上点距离的最值可知，然后利用对称关系将转化为，结合三点共线可求最小值. 【详解】（1）设圆的方程为，代入， 则，解得， 所以圆的方程为； （2）设， 由对称关系可知，解得，所以， 又因为对称圆的半径不变， 所以的方程为； （3）因为， 由（2）可知关于直线的对称点为， 所以， 当且仅当共线时取等号， 所以，即的最小值为. 19．(1) (2) 【分析】（1）选①③时，设圆的一般式方程或者标准方程，代入点以及相关条件，根据待定系数法，即可确定圆的方程，选择②时，根据几何法确定圆心和半径即可求解， （2）根据相关点法即可求解轨迹方程． 【详解】（1）选条件①．设圆的方程为， 将，代入可得 ，解得， 则圆的方程为． 选条件②． 直线恒过点． 因为圆恒被直线平分，所以恒过圆心， 所以圆心坐标为， 又圆经过点，所以圆的半径， 所以圆的方程为，即． 选条件③． 设圆的方程为， 由题意可得，解得， 则圆的方程为，即． （2）设，， 因为为线段的中点，所以， 因为点是圆上的动点，所以， 所以的轨迹方程为． 不是因为有希望而去努力，而是努力了才能看见希望1 学科网（北京）股份有限公司 $$