直线的方程专项练习-2025届高三数学一轮复习

高考一轮复习 2024-2025学年度高三一轮复习31--直线的方程专项练习 一、单选题 1．（2024·吉林长春·一模）直线与直线所成角是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·河北保定·三模）已知直线，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（2024·河南郑州·模拟预测）已知直线与直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知直线：，：，若“”是“”的充要条件，则（    ） A． B． C．1 D．2 6．（2024·重庆·三模）当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（ ） A． B．1 C． D．2 7．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）设直线 ， 一束光线从原点 出发沿射线 向直线 射出， 经 反射后与 轴交于点 ， 再次经 轴反射后与 轴交于点 . 若 ， 则 的值为（    ） A． B． C． D． 8．（2023·江西上饶·模拟预测）已知，，则的最小值等于（   ） A． B．6 C． D． 二、多选题 9．（2025·浙江·模拟预测）已知正方形ABCD在平面直角坐标系xOy中，且AC：，则直线AB的方程可能为（ ） A． B． C． D． 10．（2024·河北·模拟预测）已知正方形ABCD在平面直角坐标系中，且，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 11．（2024·云南昆明·模拟预测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为，，将军的出发点是点，军营所在位置为，则下列说法错误的是（    ） A．若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为 B．将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是 C．将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是 D．将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是 三、填空题 12．（2024·山东·二模）过直线和的交点，倾斜角为的直线方程为 . 13．（2024·江西新余·模拟预测）已知全集为，集合，请写出一个非空点集，使对于唯一固定的满足： . 14．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知，，若有且只有一组数对满足不等式 ，则实数的取值集合为 . 四、解答题 15．（2024高三·全国·专题练习）求直线关于直线对称的直线的方程． 16．（2024高三·全国·专题练习）求证：动直线（其中）恒过定点，并求出定点坐标. 17．（24-25高三上·湖北随州·阶段练习）已知直线，点.求: (1)点关于直线的对称点的坐标; (2)直线关于直线的对称直线的方程; (3)直线关于点对称的直线的方程. 18．（24-25高二下·上海·单元测试）在平面直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线OA、x轴正半轴于点A、B． (1)当AB的中点为P时，求直线AB的一般式方程； (2)求面积的最小值． 19．（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）已知在平行四边形中，． (1)求直线的方程； (2)求的边上的高所在直线的方程； (3)若一条光线从点射出，经轴反射，反射光线经过点，求入射光线所在直线的方程； (4)过点的直线与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，求的最小值 参考答案： 1．B 【分析】根据题意，求得两条直线的斜率，然后由两直线的夹角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】直线斜率，直线斜率， 设两直线的夹角为，则， 且，所以. 故选：B 2．A 【分析】根据题意，由直线平行的判断方法分析“”和“”的关系，结合充分必要条件的定义分析可得答案. 【详解】若直线与平行， 则，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：. 3．D 【分析】在用截距式求直线方程时需要讨论解决是否为0，截距为0则过原点；截距不为0用截距式设出方程后带点即可. 【详解】设直线在两坐标轴上的截距分别为：，，则 ①，则直线过原点，则直线方程为： ②则，则设直线方程为：，即，则，∴直线方程为： 综上所述：该直线方程为或 故选：D 4．D 【分析】由，计算得或，即可判断. 【详解】因为， 所以， 解得或， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 5．B 【分析】由两直线垂直的充要条件结合且即可求解. 【详解】由题意可知若，则， 又因为即，故，即. 故选：B. 6．B 【分析】先求得直线过的定点，再由点P与定点的连线与直线垂直求解. 【详解】直线l：， 整理得， 由，可得， 故直线恒过点， 点到的距离， 故； 直线l：的斜率， 故，解得 故选：B. 7．B 【分析】根据光学的性质，根据对称性可先求关于直线的对称点，后求直线，可得、两点坐标，进而由可得. 【详解】 如图，设点关于直线的对称点为， 则得，即， 由题意知与直线不平行，故， 由，得，即， 故直线的斜率为， 直线的直线方程为：， 令得，故， 令得，故由对称性可得， 由得，即， 解得，得或， 若，则第二次反射后光线不会与轴相交，故不符合条件． 故， 故选：B. 8．D 【分析】令，，得到点，分别在直线，上，设线段的中点为，则，且点在直线上，将所求问题，转化为点到原点的距离的倍，根据点到直线距离公式，即可求出结果. 【详解】令，，由已知可得点，分别在直线，上， 设线段的中点为，则， 到原点的距离， 依题意点在直线上， 所以点到原点的最小距离即为原点到直线的距离，为， 因此的最小值为，因此的最小值等于. 故选：D. 9．BC 【分析】由正方形的特征可知，直线与直线夹角为，由直线斜率利用两角差的正切公式求出直线的斜率，对照选项即可判断. 【详解】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 直线斜率为2，有，则. 依题意有或， 当时，，即， 解得，即直线的斜率为-3，C选项中的直线斜率符合； 当时，，即， 解得，即直线的斜率为，B选项中的直线斜率符合. 故选：BC 10．BC 【分析】由正方形的特征可知，直线与直线夹角为或，由直线斜率利用两角差的正切公式求出直线的斜率，对照选项即可判断. 【详解】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线斜率为， 有，则，依题意有或， 当时，， 即，解得，即直线的斜率为， 对比选项，只有B选项满足； 当时，， 即，解得，即直线的斜率为， 对比选项只有C选项满足. 故选：BC 11．ABD 【分析】确定关于直线对称点，确定关于直线对称点，利用两点之间距离最小来判断. 【详解】对于A，如图①所示，设点关于直线的对称点为， 由解得， 所以将军在河边饮马的地点的坐标为，故A错误； 对于B，如图②所示，因为点关于直线的对称点为， 将军先去河流饮马，再返回军营的最短路程是，故B错误； 对于C，如图③所示，因为点关于直线的对称点分别为，； 点关于直线的对称点为， 所以将军先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路程，故C正确； 对于D，如图④所示，设点关于直线的对称点分别为， 由解得；点关于直线的对称点为， 将军先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路程是，故D错误. 故选：ABD.             12． 【分析】联立直线求解交点，即可根据点斜式求解直线方程. 【详解】联立与可得， 故交点为，倾斜角为，所以斜率为1， 故直线方程为，即， 故答案为： 13．（答案不唯一） 【分析】根据题意，得到集合表示一条直线，且原点到直线的距离等于，进而得到答案. 【详解】由直线，可得原点到直线的距离为， 所以直线表示与单位圆相切的一条直线， 即集合表示一条直线，且原点到直线的距离等于， 故可构造集合，使得. 故答案为：（答案不唯一） 14． 【分析】将上述式子转化为两点间的距离,在平面直角坐标系中，描出各点，根据位置关系，得出最小值.根据连不等式成立的条件，找出唯一解即可. 【详解】平面直角坐标系中,，，,，，，， ∵有且只有一组数对满足不等式，∴，的取值集合为 故答案为: . 15． 【分析】法一，联立方程解出和的交点坐标，直线也过该点，在直线上取一点，求出点M关于直线l的对称点坐标，由两点式可得到直线的方程；法二，联立方程解出和的交点坐标，设直线的斜率为，由点斜式设出直线的方程，在直线l上取一点，则点Q到的距离与点Q到的距离相等，求出，即可求得直线的方程；法三，由于对称轴的斜率为，可用直接代入的方法：把，代入的方程，即可求得直线的方程. 【详解】解法一：由，得两直线的交点， 在直线上取一点，设点M关于直线l的对称点为， 则，解得，由题意知经过此点， 则由两点式得，即， 所以的方程为． 解法二：由解法一得，设直线的方程为，即， 在直线l上取一点，则点Q到的距离与点Q到的距离相等， 即，解得或（舍去）． ∴的方程为． 解法三：由于对称轴的斜率为， 可用直接代入的方法：把，代入， 得，即， ∴的方程为． 【点睛】方法点睛：解法三，凡对称轴方程的斜率为，均可用代入法．如果对称轴方程的斜率不为，则不能用此法，只能用上述的解法一和解法二． 16．证明见解析， 【分析】方法一：特值法，令和，得到关于的方程组，解方程组即可； 方法二：动直线转化为，利用，则关于的方程系数为，列出方程组求解即可. 【详解】方法一：令，则直线方程为①. 再令，则直线方程为②. ①②联立得方程组，解得， 将点代入动直线中， 即， 故点恒满足动直线方程， 所以动直线恒过定点． 方法二：将动直线方程按降幂排列整理，得， 则关于的方程的解为， 因此，解得， 故动直线恒过定点． 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据中点和斜率列方程组来求得对称点的坐标. （2）在直线上取一点，并求其关于直线的对称点，然后结合直线与直线的交点来求得对称直线的方程. （3）利用相关点代入法来求得对称直线的方程. 【详解】（1）设，由已知条件得 所以. （2）在直线上取一点，则关于直线l的对称点必在直线上. 设对称点，则故. 设直线与直线的交点为，则由即. 又因为经过点，所以由两点式得， 整理直线的方程为. （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以，即. 18．(1) (2)4 【分析】（1）由题意可设、，根据中点坐标公式可得，，进而可得直线方程； （2）分类讨论直线斜率是否存在，求得，，即可得面积，换元结合二次函数可得最大值. 【详解】（1）由题意可设、，且、． 当AB的中点为P时，则，解得，， 所以、． 所以直线AB的方程为，即一般式方程为：． （2）当过点的直线斜率不存在时，、， 此时． 当过点的直线斜率存在时， 设直线AB的方程为． 直线AB与相交，可得， 直线AB与x轴正半轴相交于B，可得． 由，解得或． 则． 令，则（或）， 可得， 由或，可得或，， 当，即，时，， 即，则， 此时、符合题意． 综上，． 19．(1) (2) (3) (4)12 【分析】（1）根据题意，求得，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）利用斜率公式，求得直线的斜率为，得到的边上的高所在直线的斜率为1，结合点斜式方程，即可求解； （3）求得点关于轴对称的点的坐标为，求得，结合点斜式方程，即可求解； （4）设直线的方程为，得到，且，化简得到，结合，利用基本不等式，即可求解. 【详解】（1）在平行四边中，可得， 因为，可得直线的斜率， 又因为，则直线的方程为，即． （2）因为，可得直线的斜率为， 所以的边上的高所在直线的斜率为1， 又因为，则所求直线方程为，即． （3）由点关于轴对称的点的坐标为，则入射光线所在直线经过点， 可得入射光线所在直线的斜率， 所以入射光线所在直线的方程为，即． （4）由题意，可设直线的方程为， 因为直线点，可得，且， ， 又由， 当且仅当时，等号成立， 所以，即的最小值为12． 不是因为有希望而去努力，而是努力了才能看见希望1 学科网（北京）股份有限公司 $$