5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式第2课时教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章 三角函数 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第2课时   一、教学目标 1.能够借助两角差的余弦公式，选择合适的方法推导两角和的余弦公式，增强问题解决能力； 2.可以通过诱导公式五、六推导出两角和与差的正弦公式，使知识融会贯通，培养逻辑推理的核心素养； 3.可以通过运算得出两角和与差的正切公式，培养数学运算的核心素养； 4.能够总结出和(差)角公式与诱导公式之间的联系，培养数学抽象的核心素养．   二、教学重难点 重点：能够通过所学知识推导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式，总结出和(差)角公式与诱导公式之间的联系. 难点：能够使用两角和与差的正弦、余弦和正切公式解决数学问题，面对问题能够举一反三，使知识融会贯通，提升逻辑推理与数学运算的核心素养，增强问题解决能力.   三、教学过程 （一）创设情境 我们前面学习了诱导公式五、诱导公式六以及两角差的余弦公式. 诱导公式五：，． 诱导公式六：，． 两角差的余弦公式：对于任意角有． 由公式出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？ 师生活动：教师带领学生回顾之前所学内容，通过诱导公式五、诱导公式六以及两角差的余弦公式引出本节课的内容. 设计意图：通过诱导公式五、六以及两角差的余弦公式的复习，引出本节课的内容.使学生体会到知识点之间的联系，将知识融会贯通. 提升学生举一反三的能力，培养费学生逻辑推理的核心素养. （二）探究新知 任务1：推导两角和的余弦公式． 思考1：比较与，你能通过与之间的联系来推导两角和的余弦公式吗？ 提示：． . 答：两角和的余弦公式：.简记作． 思考2：前面用到的是加法和减法的联系，你还能用换元的观点来推导两角和的余弦公式吗？ 提示：由于公式对于任意都成立，那么把其中的换成后，也一定成立．由此也可推得公式． 答：因为对于任意都成立， 所以把其中的换成后，公式也一定成立． 所以， 推导出了． 师生活动：借助两角差的余弦公式，教师带领学生使用加法和减法的联系推导出两角和的余弦公式，同时引导学生思考使用其他的方法进行推导，逐步完成这部分的教学. 设计意图：利用之前所学的两角差的余弦公式，选择合适的方法进行推导，增强学生的问题解决能力，培养学生逻辑推理的核心素养. 任务2：推导两角和与差的正弦公式． 思考：我们现在已经得到两角和与差的余弦公式，你能推导出用任意角的正弦、余弦表示的公式吗？ 提示：比较与，与，它们包含的角相同，但函数种类不同．我们可以使用正弦、余弦函数互化的诱导公式进行推导． 答：由诱导公式五得：． 由诱导公式六得：． 师生活动：教师通过问答的方式，借助正弦、余弦函数互化的诱导公式，带领学生一起推导出两角和与差的正弦公式，逐步完成这部分的教学. 设计意图：通过观察与，与，思考使用合适的方法推导两角和与差的正弦公式，增强学生的问题解决能力，培养学生逻辑推理的核心素养. 任务3：推导两角和与差的正切公式． 思考：我们现在已经得到两角和与差的余弦公式及正弦公式，你能推导出用任意角的正切表示的公式吗？ 提示：根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系进行推导即可． 回答：． 接下来将转化为只含与的形式，得到用任意角的正切表示 说一说：如何将 转化为只含与的形式呢？ 合作探究： 1.先独立思考，然后小组内交流思路； 2.小组合作完成探究； 3.选派代表并汇报得出结论. 答：将上式的分子、分母同时除以，可得 同理， 总结：两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ：； ：． ：； ：． ： ； ：． 和角公式：、、． 差角公式：、、． 师生活动：教师借助两角和与差的余弦公式及正弦公式，通过同角三角函数的基本关系，带领学生推导出两角和与差的正切公式.在这个过程中，要求学生针对难点进行小组讨论，合作完成这部分的学习. 设计意图：能够使用已知的知识点推导未知的内容，选择合适的方法是关键，学生能够在教师的带领下，使用同角三角函数的基本关系进行推导，增强了问题解决能力.在实际运算过程中，思考如何将转化为只含与的形式是难点，学生之间进行小组讨论，增强了合作探究的能力，培养了学生数学运算的核心素养. 任务4：探究和(差)角公式与诱导公式的联系． 探究：和(差)角公式中，都是任意角，如果令为某些特殊角，就能得到许多有用的公式.你能从和(差)角公式出发推导出诱导公式吗？你还能得到哪些等式？ 合作探究： 1.先独立思考，然后小组内交流思路； 2.小组合作完成探究； 3.选派代表并汇报得出结论. 回答：代 两角和与差的正弦、余弦、正切公式的内在联系 代 相除 相除 代 （注意符号，牢记公式.） 师生活动：教师通过问答的方式，引导学生思考和(差)角公式与诱导公式之间的联系.学生进行小组讨论，得出答案.最后教师提出倍角公式，为下节课的学习埋下伏笔. 设计意图：学生之间进行小组合作，思考和(差)角公式与诱导公式之间的联系，使知识点之间融会贯通，培养了逻辑推理的核心素养. （三）应用举例 例1：已知，是第四象限角，求，，的值． 解：由，是第四象限角，得， 所以． 于是 ． 总结：1.在解题过程中，需要注意的限制条件．以例1为例，若不加是第四象限角这个条件，结果将有所不同．由，知是第三或第四象限角．若是第四象限角，解答同例1．若是第三象限角，则．，然后再代入公式进行求解．，，． 2.对于任意角，都有． 可以由得， 由得； 所以，． 探究：你还有其他的方法证明吗？ 合作探究： 1. 先独立思考，然后小组内交流思路； 2. 小组合作完成探究； 3. 选派代表并汇报得出结论. 提示：当两个角的和或差是的整数倍时，可以考虑使用诱导公式． 因为+，所以， 由诱导公式五可知， 证得． 例2：利用和(差)角公式计算下列各式的值： (1)； (2)； (3) 解：(1)由公式，得 (2)由公式，得 (3)由公式及，得 总结：公式的逆用或变形应用：，， ， 例3：求下列各式的值 (1)； (2)． 解：(1)原式 (2)原式 ． 总结：给角求值类问题的解法规律：恰当地应用诱导公式，合理地进行角的变换，应用和(差)角公式，使其转化为特殊角的三角函数值的问题求解． 设计意图：巩固知识，强化理解. （四）课堂练习 1.已知为锐角，且，则( ) A. B. C. D. 解：因为，所以，所以，所以．故选：D． 2.著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”(又称黄金分割法)在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用．经研究，黄金分割比还可以表示成，则( )． A. 4 B.2 C. 1 D. 解：由于，则故选：C． 3. ． 解： ．故答案为：． 4. ． 解：，，而，，而 ，，．故答案为2． 5. ． 解：故答案为. 设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固所学知识，能够灵活运用. （五）归纳总结 回顾本节课的内容，你都学到了什么？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. 学科网（北京）股份有限公司 $$