5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式第3课时教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章 三角函数 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第3课时   一、教学目标 1.能够利用推导出倍角公式，培养逻辑推理的核心素养； 2.能够正确理解“倍”的含义，增强对换元思想的应用能力，培养数学抽象的核心素养； 3.能够利用倍角公式解决数学问题，培养数学运算的核心素养.   二、教学重难点 重点：能够通过所学知识推导出倍角公式，正确理解“倍”的含义. 难点：能够利用倍角公式解决数学问题，面对问题能够举一反三，使知识融会贯通，提升逻辑推理与数学运算的核心素养，增强问题解决能力.   三、教学过程 （一）创设情境 情境：在我们接触到的事物中，带有一般性的事物总是大开大合，纵横驰骋，往往包含一切，而特殊的事物则是小巧玲珑，温婉和融，显示出简洁、奇峻之美．三角函数和(差)角的正弦、余弦、正切公式中的角都是带有一般性的，一般性中又蕴含着特殊性，即两角相等的情形，那么这些二倍角又有什么简洁，奇峻之美呢？让我们一起进入今天的学习：二倍角的正弦、余弦、正切公式！ 师生活动：教师给出两张图片，一张是广袤无垠的大草原，一张是草原中一朵含苞待放的小白花，带领学生从生活实际出发，感受一般性与特殊性的区别与联系，从而感受三角函数和(差)角的正弦、余弦、正切公式与二倍角的正弦、余弦、正切公式之间的联系，引出本节课的内容. 设计意图：将生活实际与数学知识相关联，增强学生的学习兴趣，提升学生对二倍角公式的理解，培养学生逻辑推理的核心素养. （二）探究新知 任务1：推导二倍角的正弦、余弦、正切公式． 探究：我们前面以公式为基础，已经得到了六个和(差)角公式.接下来，我们需要利用推导出倍角公式，然后进行解题. (1)：； (2)：； (3)：； (4)：； (5)：． (6)：． 你能利用上面的公式推导出、、吗？ 思考：你能利用推导出的公式吗？ 提示：可以使用换元法，将换为． 答：已知：，将换为后，得到，整理得． 思考：你能利用推导出的公式吗？ 答：已知：，将换为后，得到，整理得． 思考：你能利用推导出的公式吗？ 答：已知：，将换为后，得到，整理得． 设计意图：利用之前所学的和角公式，应用换元的方法进行推导，提升学生对换元思想的理解和应用能力，增强学生的问题解决能力，培养学生逻辑推理的核心素养. 探究：你可以使二倍角的余弦公式中仅含的正弦或余弦吗？ 合作探究： 1. 先独立思考，然后小组内交流思路； 2. 小组合作完成探究； 3. 选派代表并汇报得出结论. 答：(1)要使二倍角的余弦公式中仅含有的正弦，根据同角三角函数的基本关系得到，将其代入到中，得到，整理得． (2)要使二倍角的余弦公式中仅含有的余弦，根据同角三角函数的基本关系得到，将其代入到中，得到，整理得． 师生活动：教师引导学生思考仅含的正弦或余弦的二倍角的余弦公式，同学之间进行小组合作并回答问题，教师最后给出总结，同时根据实际情况进行针对性的解答. 设计意图：小组之间合作解决问题，增强学生的合作探究能力.教师给出总结，帮助学生进一步加深对二倍角公式的理解，增强学生的归纳总结能力，培养学生逻辑推理与数学抽象的核心素养. 总结：二倍角公式 ， ， ． 提示：这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去． 师生活动：教师带领学生回顾之前所学的六个和(差)角公式，借助两角和的正弦、余弦、正切公式，教师带领学生使用换元法推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式. 任务2：归纳总结和(差)角公式与倍角公式之间紧密的逻辑联系． 思考：从和(差)角公式、倍角公式的推导过程中可以发现，这些公式存在紧密的逻辑联系，你能总结出来吗？换元 圆的旋转对称性 两点间的距离公式 答：单位圆 两角差的余弦公式 诱导公式五五 诱导公式六五 ，T 换元 ，T 换元 ， 换元 思考：从和(差)角公式、倍角公式的推导过程中可以发现，这些公式存在紧密的逻辑联倍角公式可以通过和角公式推导出来，是两角相等的特殊情形，和(差)角公式用于处理两个角的和或差，而倍角公式则用于处理一个角的两倍．两者在处理角的问题时互为补充，使三角函数的运算更加灵活多样． 师生活动：教师通过问答的方式，通过总结所学内容之间的关系，帮助学生理解和(差)角公式和倍角公式之间的逻辑联系，逐步完成这部分的教学. 设计意图：对和(差)角公式和倍角公式进行综合整理，探寻其间的逻辑联系，使知识点之间融会贯通，加深了学生对倍角公式的理解，增强学生的归纳总结能力，培养学生数学抽象和逻辑推理的核心素养. （三）应用举例 例1：已知，，求，，的值． 解：由，得.又，所以.于是；；. 总结：我们在解答二倍角的相关问题时，首先要理解“倍”的含义．“倍”是描述两个数量之间关系的，例如是的二倍，是的二倍，这里蕴含着换元思想．以例1为例，，，中的便是的二倍，我们就可以使用倍角公式进行解答． 例2：在△ABC中，，，求的值． 各抒己见：与A，B之间能构成怎样的关系？ 合作探究： 1. 先独立思考，然后小组内交流思路； 2. 小组合作完成探究； 3. 选派代表并汇报得出结论. 答：我们可以把，分别看作，的倍角，然后把看作与的和角．也可以把看作+的倍角．这两种方法分别体现了与，之间不同的内在联系． 解法1：在△ABC中，，由，得，所以，．又，所以．于是． 解法2：在△ABC中，，，得，所以．又，所以，所以． 总结：二倍角公式的变换： (1)因式分解变换：； (2)降幂公式(降幂扩角变换)：，； (3)升幂公式(升幂缩角变换)：，. 例3：(多选)下列各式的值为的是( )． A. B. C. D. 解：对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确．故选：BD． 总结：公式的逆用及拓展： ，，； ； ，． 设计意图：巩固知识，强化理解. （四）课堂练习 1.已知角的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则( )． A. B. C. D. 解：根据任意角的三角函数的定义，可得，，，，，故选：D． 2.已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线上，则( )． A. B. C. 7 D. 解：由于直线经过第二、第四象限，故角的终边在第二、或第四象限，①若角的终边在第二象限，在角的终边上任意取一点，则由任意角的三角函数的定义，可得；②若角的终边在第四象限，在角的终边上任意取一点，则由任意角的三角函数的定义，可得，于是，故．故选：C． 3.已知角终边上一点M的坐标为，则( )． A. B. C. D. 解：因为角终边上一点M的坐标为，所以，，．则．故选D． 4.已知点是角的终边上一点，则( )． A. B. C. D. 3 解：因点是角的终边上一点，则，而，于是得，解得或，显然，，即，，所以．故选A． 5.已知锐角的终边上一点，则锐角( )． A. B. C. D. 解：锐角的终边上一点，，终边上一点在第一象限，，为锐角，，故答案选：C． 设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固所学知识，能够灵活运用. （五）归纳总结 回顾本节课的内容，你都学到了什么？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. 学科网（北京）股份有限公司 $$