第二章　二次函数课件 2023—2024学年北师大版数学九年级下册

2024-11-18

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内容正文：

第二章　二次函数 §2－3　确定二次函数的表达式(2) 1 基础性巩固作业 2 基础性提升作业 3 综合性拓展作业目录基础性巩固作业 1 1．若y＝ax2＋bx＋c，则由表格中信息可知y与x之间的函数表达式是________________. x －1 0 1 y＝ax2＋bx＋c 8 3 0 y＝x2－4x＋3 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 2．如图，抛物线的函数表达式是_______________. y＝－x2＋x＋2 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 3．已知抛物线经过A(－1，－6)，B(1，－2)，C(2，3)三点，那么该抛物线的表达式为______________. 4．已知抛物线经过A(－3，0)，C(0，3)两点，且抛物线的对称轴为直线x＝－2，那么该抛物线的表达式为______________. y＝x2＋2x－5 y＝x2＋4x＋3 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 5．已知抛物线过点A(3，0)，B(－1，0)，与y轴交于点C，且OC＝1，则这条抛物线的表达式为______________________________. 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 6．一个二次函数的图象经过点A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－5)．求这个二次函数的表达式．解：设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c，根据题意，得 ∴这个二次函数的表达式为y＝x2－4x－5. 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 7．已知一个二次函数的图象经过(－1，10)，(1，4)和(2，7)三点． (1)求这个二次函数的解析式；解：设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c. ∴这个二次函数的解析式为y＝2x2－3x＋5. 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 (2)求它的开口方向、对称轴和顶点坐标．上一页下一返回导航上一页下一页返回导航基础性提升作业 2 8.（2024·苏州）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（0，m），B（1，－m），C（2，n），D（3，－m），其中m，n为常数，则的值为．－上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 9．如图，在“探索函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A(0，2)，B(1，0)，C(3，1)，D(2，3)．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，求a的最大值．上一页下一返回导航上一页下一页返回导航解：由图象知，A，B，D三点组成的二次函数图象的开口向上，即a＞0； A，B，C三点组成的二次函数图象的开口向上，即a＞0； B，C，D三点组成的二次函数图象的开口向下，即a＜0； A，D，C三点组成的二次函数图象的开口向下，即a＜0. 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航上一页下一返回导航上一页下一页返回导航上一页下一返回导航上一页下一页返回导航综合性拓展作业 3 10．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是A(1，3)，将OA绕点O顺时针旋转90°后得到OB，点B恰好在抛物线上，OB与抛物线的对称轴交于点C． (1)求抛物线的解析式；解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是A(1，3)， ∴抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋3. ∵OA绕点O顺时针旋转90°后得到OB.∴B(3，－1)．把B(3，－1)代入y＝a(x－1)2＋3，得a＝－1. ∴抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋3，即y＝－x2＋2x＋2. 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 (2)P是线段AC上一动点，且不与点A，C重合，过点P作平行于x轴的直线，与△OAB的边分别交于M，N两点，将△AMN以直线MN为对称轴翻折，得到△A′MN，设点P的纵坐标为m.当△A′MN在△OAB内部时，求m的取值范围．上一页下一返回导航上一页下一页返回导航解：如图，∵B(3，－1)， ∴直线OB的解析式为y＝－ x. ∵A(1，3)， ∴C(1，－ )． ∵P(1，m)，AP＝PA′， ∴A′(1，2m－3)．根据题意，得－＜2m－3＜3. ∴ ＜m＜3. 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 y＝x2－x－1或y＝－x2＋x＋1 解得根据题意，得解得解：由y＝2x2－3x＋5＝2(x－)2＋可知：抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝，顶点坐标为(，)．设A，B，D三点组成的二次函数图象的解析式为y＝ax2＋bx＋c. 把A(0，2)，B(1，0)，D(2，3)代入y＝ax2＋bx＋c，得解得a＝；设A，B，C三点组成的二次函数图象的解析式为y1＝a1x2＋b1x＋c1. 把A(0，2)，B(1，0)，C(3，1)代入y1＝a1x2＋b1x＋c1，得解得a1＝. ∵＞，∴a的最大值为. $$第二章　二次函数 §2－3　确定二次函数的表达式(1) 1 基础性巩固作业 2 基础性提升作业 3 综合性拓展作业目录基础性巩固作业 1 1.（2024·陕西）已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数 y的几组对应值如下表： x … －4 －2 0 3 5 … y … －24 -8 0 －3 －15 … 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航则下列关于这个二次函数的结论正确的是（）　 A.图象的开口向上 B.当x＞0时，y的值随x值的增大而减小 C.图象经过第二、三、四象限 D.图象的对称轴是直线 x = 1 2．若抛物线y＝ax2＋c经过(0，3)，(1，0)两点，则此抛物线的表达式为_____________. 3．已知二次函数y＝ax2＋bx，当x＝1时，y＝2；当x＝－1时，y＝4，则a＝___，b＝_____. y＝－3x2＋3 3 －1 D 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 4．有一抛物线和抛物线y＝－2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(－1，3)，则该抛物线的表达式为__________________. 5．已知二次函数y＝x2＋bx＋4的顶点在x轴上，则b＝_____. ±4 y＝－2(x＋1)2＋3 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 6．老师给出一个二次函数，甲、乙两名同学各指出这个函数的一个性质．甲：函数图象的顶点在x轴上；乙：抛物线开口向下；已知这两位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式为__________________________. y＝－(x－1)2(答案不唯一) 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 7．已知抛物线y＝2x2＋bx＋c过点(1，3)和(－1，5)，求该抛物线的解析式．解：∵抛物线y＝2x2＋bx＋c过点(1，3)和(－1，5)， ∴抛物线的解析式为y＝2x2－x＋2. 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 8．已知二次函数图象的顶点坐标是(－1，2)，且图象经过点(1，0)，求这个二次函数的表达式．解：∵二次函数图象的顶点是(－1，2)， ∴可设二次函数的表达式是y＝a(x＋1)2＋2. 把点(1，0)代入，得4a＋2＝0. 解得a＝－ . ∴此二次函数的表达式是y＝－ (x＋1)2＋2. 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 9．已知二次函数的图象如图所示． (1)求这个二次函数的表达式；解：设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)2－4. 将点(1，0)代入，得4a－4＝0.解得a＝1. ∴这个二次函数的表达式为y＝(x＋1)2－4. 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 (2)观察图象，当－3＜x＜－1时，直接写出y的取值范围．解：y的取值范围是－4＜y＜0. 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航基础性提升作业 2 10.（2024·宁德质检）一组正整数：1，2，3，4，……，100，依次将原数中的每个数平方后，再除以50，得到一组新的数，下列说法正确的是（） A.原数与对应新数的差不可能是0 B.原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C.当原数为20时，原数与对应新数的差的值是16 D.当原数为25时，原数与对应新数的差最大 D 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 11.(2024·福建）如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（－2，0），C（0，－2）． （1）求二次函数的表达式； （2）若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D，△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，求点P的坐标． 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航解：（1）根据题意，将A（－2，0），C（0，－2）代入 y＝x2+bx+c得 ∴ ,  ∴二次函数的表达式为y＝x2+x－2． 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航（2）由题意，设P（m，n）（m＜0，n＞0），又△PDB的面积是△CDB的面积的2倍， ∴ =2 ，即 =2 ∴ =2 又CO＝2，∴n＝2CO＝4． 由m2+m－2＝4， m1＝－3，m2＝2 （舍去）．∴点P坐标为（-3，4）． 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航综合性拓展作业 3 12．在平面直角坐标系中，点A(1，m)和点B(2，n)在二次函数y＝ax2＋bx＋1(a≠0)的图象上． (1)若m＝1，n＝3，求二次函数的表达式及图象的对称轴；解：∵m＝1，n＝3， ∴A(1，1)，B(2，3)．把A(1，1)，B(2，3)代入y＝ax2＋bx＋1(a≠0)，得上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 (2)若点C(x0，y0)是二次函数图象上的任意一点且满足y0≥m，当mn＜0时，求证：a＞1. 证明：∵点C(x0，y0)是二次函数图象上的任意一点，且y0≥m，可得A(1，m)为最低点，即开口向上，a＞0. ∴对称轴为直线x＝－＝1.∴b＝－2a. ∵抛物线与y轴交于点(0，1)，根据抛物线的对称性，可知：当x＝2时，y＝4a＋2b＋1＝1，即n＝1. ∵mn＜0，∴m＜0.将x＝1代入y＝ax2－2ax＋1，得 y＝a－2a＋1＜0，∴a＞1. 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 ∴ 解得解得 ∴二次函数的表达式为y＝x2－x＋1，其对称轴为－＝－＝. $$第二章　二次函数 §2－2　二次函数的图象与性质(2) 1 基础性巩固作业 2 基础性提升作业 3 综合性应用作业目录基础性巩固作业 1 1．抛物线y＝x2－1的顶点坐标为(　　) A．(－1，0) B．(0，－1) C．(1，0) D．(0，1) B 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 2．关于抛物线y＝3x2＋2，下列说法正确的是(　　) A．开口向下 B．顶点坐标为(0，3) C．对称轴为y轴 D．当x＜0时，函数y随x的增大而增大 C 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 3．(2024·宁夏)将抛物线y＝3x2向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是( ) A.y＝3x2+2 B.y＝3x2-2 C.y＝3(x+2)2 D.y＝3(x-2)2 B 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 4.二次函数y=x2+1的对称轴是（） A.y轴 B.x轴C. 直线x=1D. 直线y＝1 A 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 5．若二次函数y＝ax2的图象过点P(－2，4)，则该图象必经过点 (　　) A．(2，4) B．(－2，－4) C．(2，－4) D．(4，－2) A 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 6．若二次函数y＝(m－1)x2的图象有最高点，则m的取值范围是_______. 7．已知A(－1，y1)，B( ，y2)，C(2，y3)三点都在二次函数y＝ax2－1(a＞0)的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是____________(用“＜”连接)． m＜1 y1＜y2＜y3 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 8．如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝a1x2，②y＝a2x2，③y＝a3x2的图象，比较a1，a2，a3的大小是____________. a3＜a2＜a1 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航基础性提升作业 2 9．已知二次函数y＝x2－1. (1)画出它的图象；解：列表如下： x … －2 －1 0 1 2 … y … 3 0 －1 0 3 … 描点、作图，图象如图所示．上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 (2)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．解：抛物线的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，－1)．上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 10.已知抛物线y1=x2－2经过平移后得到抛物线 y2=x2－4，若抛物线y上任意一点M坐标是（m，n），则其对应点M坐标一定是（） A.（m，n－2） B．(m－2，n） C．(m+2，n） D.（m，n+2） A 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 11．已知函数表达式为y＝－2x2＋4，当－2＜x≤1时，函数值y的取值范围是___________. －4＜y≤4 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 12．在同一直角坐标系中，作出二次函数y＝ x2，y＝ x2－2和y＝ x2＋2的图象，这三个函数图象有什么关系？解：画出函数图象如图所示．这三个函数图象都是抛物线，形状、大小相同，只是位置不同，上一页下一返回导航上一页下一页返回导航上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 13．边长为1的正方形OABC的顶点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，将正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，如图所示，使点B恰好落在函数y＝ax2(a＜0)的图象上，求a的值．上一页下一返回导航上一页下一页返回导航解：如图，作BE⊥x轴于点E，连接OB. ∵∠AOE＝75°，∠AOB＝45°， ∴∠BOE＝30°. 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航上一页下一返回导航上一页下一页返回导航综合性应用作业 3 14．如图，有一块铁皮，边缘呈抛物线状，MN＝4 dm，抛物线顶点到边MN的距离是4 dm，要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B，C落在边MN上，A，D落在抛物线上，像这样截下的矩形铁皮的周长能否等于8 dm？(提示：以MN所在的直线为x 轴，对称轴为y轴建立直角坐标系) 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航解：如图，以MN所在直线为x轴，以MN的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则点N的坐标为(2，0)，顶点坐标为(0，4)．设y＝ax2＋c，则c＝4. ∵图象经过(2，0)， ∴4a＋4＝0，解得a＝－1. ∴y＝－x2＋4. 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航设点B的坐标为(x，0)，点C的坐标为(－x，0)． ∴点A的坐标为(x，－x2＋4)，点D的坐标为(－x，－x2＋4)． ∴BC＝AD＝2x，AB＝CD＝－x2＋4.∴矩形ABCD的周长 y＝2(2x－x2＋4)＝－2x2＋4x＋8. 若存在矩形ABCD的周长为8 dm，则－2x2＋4x＋8＝8.解得x1＝0，x2＝2. 当x＝0时，BC＝0；当x＝2时，AB＝－x2＋4＝0. ∴铁皮的周长不可能等于8 dm. 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航将二次函数y＝x2的图象向上平移2个单位长度，得到二次函数y＝x2＋2的图象．将二次函数y＝x2的图象向下平移2个单位长度，得到二次函数y＝x2－2的图象．(答案不唯一) ∵OA＝1，∴OB＝. ∵∠BEO＝90°，∴BE＝OB＝. ∴OE＝＝. ∴点B的坐标为(，－)．把点B的坐标(，－)代入y＝ax2，得 a＝－. $$第二章　二次函数 §2－5　二次函数与一元二次方程(1) 1 基础性巩固作业 2 基础性提升作业 3 综合性拓展作业目录基础性巩固作业 1 1．二次函数y＝x2－2x－3的图象与x轴的交点的横坐标是(　　) A．－1或3 B．－1 C．3 D．－3或3 A 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 2．(2023·丽水)一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10 m/s，经过t(s)时球距离地面的高度h(m)适用公式h＝10t－5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t(s)是(　　) A．5 B．10 C．1 D．2 D 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 3.（2024·贵州）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是－3，顶点坐标为（－1，4），则下列说法正确的是（） A．二次函数图象的对称轴是直线x＝1 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C．当x＜－1时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 D 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 4．(2023·郴州)已知抛物线y＝x2－6x＋m与x轴有且只有一个交点，则m＝___. 5．(2023·宜昌)如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是y＝－ (x－10)(x＋4)，则铅球推出的距离OA＝____m. 9 10 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 6．如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝－0.2x2＋x＋2.25运行，然后准确落入篮筐内．已知篮筐的中心离地面的高度为3.05 m，则他距篮筐中心的水平距离OH是___m. 4 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 7．抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点的坐标分别为A(－2，4)，B(1，1)，则方程ax2＝bx＋c的解是________________. x1＝－2，x2＝1 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 8．已知关于x的一元二次方程x2＋x－m＝0. (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；解：∵一元二次方程x2＋x－m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，即1＋4m＞0.∴m＞－ . 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 (2)二次函数y＝x2＋x－m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2＋x－m＝0的解．解：二次函数y＝x2＋x－m的图象的对称轴为直线x＝－， ∴抛物线与x轴的两个交点关于直线x＝－对称．由图可知，抛物线与x轴的一个交点坐标为(1，0)， ∴另一个交点的坐标为(－2，0)． ∴一元二次方程x2＋x－m＝0的解为x1＝1，x2＝－2. 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航基础性提升作业 2 9．已知抛物线y＝a(x－h)2＋k与x轴有两个交点A(－1，0)，B(3，0)，抛物线y＝a(x－h－m)2＋k与x轴的一个交点是(4，0)，则m的值是(　　) A．5 B．－1 C．5或1 D．－5或－1 C 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 10．(2022·大庆)已知函数y＝mx2＋3mx＋m－1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为_________. 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 11．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；解：由图象可知，图象与x轴交于点(1，0)和(3，0)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为x1＝1，x2＝3. 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 (2)写出关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；解：由图象可知，当1＜x＜3时，不等式ax2＋bx＋c＞0. (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；解：由图象可知，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴为直线x＝2，开口向下，即当x＞2时，y随x的增大而减小．上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 (4)若关于x的方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k取值范围．解：由图象可知，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最大值为2. 若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，则k的值必须小于y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最大值，∴k＜2. 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航综合性拓展作业 3 12.（2024·江西）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数y＝ax2+bx（a＜0）刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（m）与小球飞行的高度y（m）的变化规律如表： x 0 1 2 m 4 5 6 7 ... y 0 6 8 n 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航（1）①m＝，n＝； ②小球的落点是A，求点A的坐标． （2）小球飞行高度y（m）与飞行时间t（s）满足关系：y＝－5t2+vt． ①小球飞行的最大高度为 m； ②求v的值． 8 3 6 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航解：（1）②根据小球飞行的水平距离x（m）与小球飞行的高度y（m）的变化规律表可知，抛物线顶点坐标为（4，8）， ∴ ∴二次函数解析式为y＝－ x2+4x．  当y＝时，－ x2+4x＝，  =4 =8 解得：上一页下一返回导航上一页下一页返回导航联立，得解得  ∴点A的坐标是（）. 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航（2）②y=－5t2+vt=5(t－ )2+ ． 则 =8 解得v= （负值舍去）． 2 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 1或－ $$第二章　二次函数 §2－2　二次函数的图象与性质(3) 1 基础性巩固作业 2 基础性提升作业 3 综合性拓展作业目录基础性巩固作业 1 1．在平面直角坐标系中，二次函数y＝2(x－1)2＋3的顶点坐标是 (　　) A．(1，3) B．(1，－3) C．(－1，3) D．(－1，－3) A 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 2．已知抛物线y＝(x－2)2＋1，下列结论错误的是(　　) A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线x＝2 C．抛物线的顶点坐标为(2，1) D．当x＜2时，y随x的增大而增大 D 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 3．若点A(－1，m)，B(3，m)在同一个函数图象上，这个函数可能为(　　) A．y＝(x－1)2＋9 B．y＝(x＋1)2＋9 C．y＝(x＋3)2－9 D．y＝(x－2)2－9 A 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 C 4.（2024·台湾）甲、乙两个二次函数分别为 y＝(x+20)2+60， y＝－(x－30)2+60，判断下列叙述正确的是（） A.甲有最大值，且其值为 x＝20时的 y 值 B.甲有最小值，且其值为 x＝20时的 y 值 C.乙有最大值，且其值为 x＝30时的 y 值 D.乙有最小值，且其值为 x＝30时的 y 值上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 5．点A(m－1，y1)，B(m，y2)都在二次函数y＝(x－1)2＋n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为(　　) A．m＞2 B．m＞ C．m＜1 D．＜m＜2 B 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 6.（2024·滨州）将抛物线 y＝－x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为（）． 7．若抛物线y＝(x－m)2＋m＋1的顶点在第一象限，则m的取值范围为_____ _. m＞0 1，2 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 8．二次函数y＝a(x－2)2＋3的图象是由二次函数y＝2x2的图象经过平移得到的． (1)请写出a的值，并说明平移的方法；解：a＝2，将二次函数y＝2x2的图象向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到二次函数y＝2(x－2)2＋3的图象；上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 (2)画出y＝a(x－2)2＋3的函数图象，并根据图象写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．解：函数图象如图所示．函数图象的开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，3)．上一页下一返回导航上一页下一页返回导航基础性提升作业 2 9．如图是二次函数y＝a(x－1)2－2的图象的一部分，该图象在y轴左侧与x轴交点的坐标是__________. (－2，0) 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 10．已知抛物线y＝a(x－1)2＋h经过点(0，－3)和(3，0)． (1)求a，h的值；解：将点(0，－3)和(3，0)分别代入y＝a(x－1)2＋h，得上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 (2)将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式．解：由(1)知：该抛物线的解析式为y＝(x－1)2－4，将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线的解析式为y＝(x－2)2－2. 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航综合性拓展作业 3 11．如图，已知抛物线y＝－(x－b)2＋2b＋1经过点A(1，m)． (1)当b＝2时，求m的值；解：当b＝2时，抛物线为y＝－(x－2)2＋5. ∵抛物线经过点A(1，m)， ∴m＝－(1－2)2＋5＝4. 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 (2)过点A作AB∥x轴交抛物线于点B，作AC⊥x轴于点C，若AB＋AC＝7，求b的值(b＞1)．解：∵抛物线y＝－(x－b)2＋2b＋1经过点A(1，m)， ∴AC＝m＝－(1－b)2＋2b＋1. ∵抛物线的对称轴为直线x＝b，AB∥x轴， ∴点A，B关于直线x＝b对称，b＞1.∴AB＝2(b－1)． ∵AB＋AC＝7，∴2(b－1)－(1－b)2＋2b＋1＝7. 解得b＝3. 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航解得 $$第二章　二次函数 §2－2　二次函数的图象与性质(4) 1 基础性巩固作业 2 基础性提升作业 3 综合性拓展作业目录基础性巩固作业 1 1．抛物线y＝x2＋4x＋4的对称轴是(　　) A．直线x＝4 B．直线x＝－4 C．直线x＝2 D．直线x＝－2 D 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 2．抛物线y＝x2＋2x的顶点坐标为(　　) A．(0，0) B．(－2，0) C．(－1，－1) D．(1，3) C 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 3．二次函数y＝－2x2－4x＋4，下列说法正确的是(　　) A．开口向上 B．对称轴为直线x＝1 C．顶点坐标为(1，4) D．当x＜－1时，y随x的增大而增大 D 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 D 4.(2024·凉山州）抛物线y＝ (x－1)2+c经过（－2，y1)， (0，y2)，( ，y3)三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是( )  A.y1＞y2＞y3B.y2＞y3＞y1 C.y3＞y1＞y2D.y1＞y3＞y2 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 5．点A(0，5)，B(4，5)是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的两点，则该抛物线的顶点可能是(　　) A．(2，5) B．(2，4) C．(5，2) D．(4，2) B 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 6．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标，当x为何值时，y的值最小(大)? (1)y＝3x2＋6x＋2; 解：y＝3(x2＋2x)＋2 ＝3(x2＋2x＋1－1)＋2 ＝3(x＋1)2－1. ∴该抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝－1，顶点坐标是(－1，－1)．当x＝－1时，y最小值＝－1. 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 (2)y＝－4x2＋12x－3. 解：y＝－4(x2－3x)－3 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 7．求证：将抛物线y＝－x2－2x＋3向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的抛物线必经过点(－1，1)．证明：y＝－x2－2x＋3＝－(x2＋2x)＋3 ＝－[(x＋1)2－1]＋3＝－(x＋1)2＋4. ∵将抛物线y＝－x2－2x＋3向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∴新抛物线的解析式为y＝－x2＋2. 当x＝－1时，y＝－(－1)2＋2＝－1＋2＝1， ∴平移后的抛物线必经过点(－1，1)．上一页下一返回导航上一页下一页返回导航基础性提升作业 2 8．(2023·大连)已知抛物线y＝x2－2x－1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．2 D 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 9.(2024·眉山)定义运算：a⊗b＝(a+2b)(a－b)，例如4⊗3＝(4+2×3)(4－3)，则函数y＝(x+1)⊗2的最小值为（） A．-21 B．-9 C．-7 D．-5 B 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 10．对于抛物线y＝x2－4x＋3. (1)将抛物线的解析式化为顶点式；解：y＝x2－4x＋3＝(x2－4x＋4)－4＋3＝(x－2)2－1. 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 (3)结合图象，当0＜x＜3时，y的取值范围是___________. －1≤y＜3 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 (2)在坐标系中利用五点法画出此抛物线； x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 －1 0 3 … 解：列表如下：函数图象如图所示．上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 11．已知抛物线y＝x2－2mx＋m2＋1. (1)求抛物线的顶点坐标(用含m的式子表示)；解：∵y＝x2－2mx＋m2＋1＝(x－m)2＋1， ∴抛物线的顶点坐标为(m，1)．上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 (2)若点C(m－2，a)，D(m＋2，b)在抛物线上，判断a，b的大小关系．解：∵点C(m－2，a)，D(m＋2，b)在抛物线上， ∴a＝(m－2)2－2m(m－2)＋m2＋1＝5. b＝(m＋2)2－2m(m＋2)＋m2＋1＝5. ∴a＝b. 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航综合性拓展作业 3 12.(2024·安徽）已知抛物线y＝－x2+bx（b为常数）的顶点横坐标比抛物线y＝－x2+2x的顶点横坐标大1． （1）求b的值； （2）点A（x1，y1）在抛物线y＝－x2+2x上，点B（x1+t，y1+h）在抛物线y＝－x2+bx上． ①若h＝3t，且x1≥0，t＞0，求h的值； ②若x1＝t－1，求h的最大值． 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航解：（1）∵抛物线y＝－x2+bx的顶点横坐标为，y＝－x2+2x的顶点横坐标为1， ∴ －1＝1． ∴b＝4； （2）∵点A（x1，y1）在抛物线y＝－x2+2x上， ∴ y1=－x12+2x1． ∵ B(x1+t，y1+h)在抛物线y=－x2+4x上， ∴y1+h=－(x1+t)2+4(x1+t)． b2 b2 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航－x12+2x1+h=(－x1+t)2+4(x1+t) ∴h＝－t2－2x1t+2x1+4t． ①∵h＝3t， ∴3t＝－t2－2x1t+2x1+4t． ∴（t+2x1）（t－1）＝0． ∵x1≥0，t＞0， ∴t+2x1＞0． ∴t＝1． ∴h＝3； 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 ②将x1＝t－1代入h＝－t2－2x1t+2x1+4t， ∴h＝－3t2+8t－2． h=－3(t－ )2+ . ∵－3＜0， ∴当t= ，即x1= 时，h取最大值 . 43 43 13 103 103 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航＝－4(x2－3x＋－)－3 ＝－4(x－)2＋6. ∴该抛物线的开口向下，对称轴是直线x＝，顶点坐标是(，6)，当x＝时，y最大值＝6. $$第二章　二次函数 §2－4　二次函数的应用(1) 1 基础性巩固作业 2 基础性提升作业 3 综合性应用作业目录基础性巩固作业 1 1．已知长方形的周长为12 m，其中一边长为x m(其中x＞0)，面积为y m2，则该长方形中y与x的关系式为(　　) A．y＝x2 B．y＝6－x2 C．y＝(6－x)x D．y＝2(6－x) C 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 2.(2024·天津)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t-5t2（0≤t≤6）．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要6s； ②小球运动中的高度可以是30m； ③小球运动2s时的高度小于运动5s时的高度． 其中，正确结论的个数是（） A.0  B.1 C.2 D.3 C 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 3．从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y(单位：m)与它距离喷头的水平距离x(单位：m)之间满足函数关系式y＝－2x2＋4x＋1，则喷出水珠的最大高度是___m. 3 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 4.(2024·广西)如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是 m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4m．若实心球落地点为M，则OM＝ m. 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 5．如图，在Rt△AEF中，∠A＝90°，AE＝30 m，AF＝40 m，在它的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上，点C在斜边上，设矩形的一边AB＝x m，矩形的面积为y m2，求y的最大值．上一页下一返回导航上一页下一页返回导航解：根据题意，得DC∥AF，∴∠A＝∠EDC． ∵∠E＝∠E，∴△EDC∽△EAF. 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航基础性提升作业 2 6．(2023·滨州)某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心的距离也为3 m，那么水管的设计高度应为___m. 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 7.（2024·湖北）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长80m．设垂直于墙的边AB长为xm，平行于墙的边BC为ym，围成的矩形面积为Sm2． （1）求y与x，S与x的关系式． （2）围成的矩形花圃面积能否为750m2，若能，求出x的值． （3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值． 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航解：（1）根据题意，得 2x+y＝80， ∴y＝－2x+80． 由0＜－2x+80≤42，且x＞0， ∴19≤x＜40． 根据题意，得S＝AB·BC＝x（－2x+80）． ∴S＝－2x2+80x（19≤x＜40）． （2）根据题意，令S＝－2x2+80x＝750， ∴x＝15（舍去）或x＝25． 答：当x＝25时，围成的矩形花圃的面积为750m2． 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航（3）根据题意，由 （1）S＝－2x2+80x＝－2（x－20）2+800， 又∵－2＜0，且19≤x＜40， ∴当x＝20时，S取最大值为800． 答：围成的矩形花圃面积存在最大值，最大值为800m2，此时x的值为20m． 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航综合性应用作业 3 8.（2024·陕西）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线型，桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF′为x轴，以桥塔AO所在直线为y轴，建立平而直角坐标系．已知：缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC＝100m，AO＝BC＝17m，缆索L1的最低点P到FF′的距离PD＝2m．（桥塔的粗细忽略不计） 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航（1）求缆索L1所在抛物线的函数表达式； （2）点E在缆索L2上，EF⊥FF′，且EF＝2.6m，FO＜OD，求FO的长． 解：（1）根据题意， AO＝17cm， ∴A（0，17）． 又OC＝100m，缆索L1的最低点P到FF′的距离PD＝2m，∴抛物线的顶点P为（50，2）． 故可设抛物线为y＝a（x－50）2+2． 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航又将A代入抛物线可得， ∴2500a+2＝17． ∴a＝． ∴缆索L1所在抛物线为 y＝（x－50）2+2． 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航（2）根据题意，缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，又缆索L1所在抛物线为y＝（x－50）2+2， ∴缆索L2所在抛物线为y＝ (x+50）2+2． 又令y＝2.6， ∴2.6＝（x+50）2+2． ∴x＝－40 或 x＝－60． 又FO＜OD＝50m，∴x＝－40．∴FO的长为40m． 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 ∴＝，即＝. 解得AD＝. ∴y＝AD·AB＝·x＝－x2＋30x＝－(x－20)2＋300. ∴y的最大值为300. $$第二章　二次函数 §2－1　二次函数 1 基础性巩固作业 2 基础性提升作业 3 综合性拓展作业目录基础性巩固作业 1 1．下列函数中，属于二次函数的是(　　) A．y＝2x B．y＝ C．y＝x2 D．y＝ C 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 2．如图，用绳子围成周长为10 m的矩形，记矩形的一边长为x m，它的邻边长为y m，矩形的面积为S m2.当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，y与x，S与x满足的函数关系分别是 (　　) A．一次函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系 B 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 3.（2024·大兴区模拟）下面的三个问题中都有两个变量： ①扇形的圆心角一定，面积 S 与半径 r； ②用长度为20的线绳围成一个矩形，矩形的面积 S 与一边长 x； ③汽车在高速公路上匀速行驶，行驶路程s与行驶时间t． 其中，两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示的是（） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ A 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 4．将二次函数y＝2(x－1)2－3化为y＝ax2＋bx＋c的形式是_______________，其中a＝___，b＝_____，c＝_____. y＝2x2－4x－1 2 －4 －1 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 5．已知正方体的棱长为x cm，它的表面积为S cm2，体积为V cm3. (1)分别写出S与x，V与x之间的函数表达式；解：S＝6x2，V＝x3； (2)这两个函数中，哪一个是S关于x的二次函数？解：S＝6x2是S关于x的二次函数．上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 6．有一长方形纸片，长、宽分别为8 cm和6 cm，现在长、宽上分别剪去宽为x cm(x＜6)的纸条，则剩余部分的面积为y cm2，求y与x的函数关系式，它是二次函数吗？若是，则写出二次项系数、一次项系数和常数项．解：y＝(8－x)(6－x)＝x2－14x＋48. ∴y是x的二次函数，二次项系数为1，一次项系数为－14，常数项为48. 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 7．某超市计划上架销售一种今年新上市的产品．为了调查这种新产品的销路，该超市以进价为20元/件购进部分新产品进行试销售，得知该产品每天的销售量t(件)与每件的销售价x(元/件)之间有如下关系：t＝－3x＋70.请写出该超市销售这种产品每天的销售利润y(元)与x(元/件)之间的函数关系式．它是二次函数吗？如果是，写出二次项系数、一次项系数和常数项．解：y＝(x－20)t＝(x－20)(－3x＋70)＝－3x2＋130x－1 400. ∴y是x的二次函数，二次项系数为－3，一次项系数为130，常数项为－1 400. 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 8．如图，一块矩形草地的长为100 m，宽为80 m，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x m的小路，这时草坪的面积为y m2.求y与x的函数关系式，并求出x的取值范围．解：根据题意，得 y＝(100－x)(80－x) ＝x2－180x＋8 000(0＜x＜80)．上一页下一返回导航上一页下一页返回导航基础性提升作业 2 9．y＝(m＋1)xm2－m＋3是二次函数，则m的值为 . 10．已知y＝(m2－m)x2＋mx＋m＋1. (1)若y是x的一次函数，求m的值；解：根据题意，得 m2－m＝0且m≠0. ∴m＝0或m＝1且m≠0. ∴m＝1. ∴若y是x的一次函数，则m的值为1. 2 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 (2)若y是x的二次函数，求m的取值范围．解：根据题意，得 m2－m≠0. ∴m≠0且m≠1. ∴若y是x的二次函数，则m≠0且m≠1. 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航综合性拓展作业 3 11．现有一块长方形的镜面玻璃，在它的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子，镜子的长与宽的比是2∶1.已知边框的价格是每米30元． (1)若镜子的宽是x m，制作边框的费用为y元，求y与x之间的函数关系式；解：∵镜子的长与宽的比是2∶1，镜子的宽是x m， ∴镜子的长是2x m. ∴y＝30×2(2x＋x)＝180x. 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 (2)若镜面玻璃的价格是每平方米120元，另外制作这面镜子还需加工费45元． ①求制作这面镜子的总费用w(单位：元)与x之间的函数关系式；解：w＝120×2x2＋180x＋45＝240x2＋180x＋45. 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 ②如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽．解：令w＝195，得 240x2＋180x＋45＝195. 解得x1＝0.5，x2＝－ (不合题意，舍去)． ∵镜子的长与宽的比是2∶1， ∴镜子的长为2×0.5＝1(m)．答：这面镜子的长和宽分别为1 m和0.5 m．上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 $$第二章　二次函数 §2－5　二次函数与一元二次方程(2) 1 基础性巩固作业 2 基础性提升作业 3 综合性拓展作业目录基础性巩固作业 1 1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，y与x的部分对应值如下表：则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个解x满足条件(　　) A．1.2＜x＜1.3 B．1.3＜x＜1.4 C．1.4＜x＜1.5 D．1.5＜x＜1.6 x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 y －1.59 －1.16 －0.71 －0.24 0.25 0.76 C 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 2．小明在学习了利用图象法来求一元二次方程的近似根的知识后进行了尝试：在直角坐标系中作出二次函数y＝x2＋2x－10的图象，由图象可知，方程x2＋2x－10＝0有两个根，一个在－5和－4之间，另一个在2和3之间．利用计算器进行探索：由下表知，方程的一个近似根是(　　) A．－4.1 B．－4.2 C．－4.3 D．－4.4 x －4.1 －4.2 －4.3 －4.4 y －1.39 －0.76 －0.11 0.56 C 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 3．已知y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x＝2.若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，且x1＜x2，－1＜x1＜0，则下列说法正确的是(　　) A．x1＋x2＜0 B．4＜x2＜5 C．b2－4ac＜0 D．ab＞0 B 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 4．下表是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的自变量x与函数值y的对应关系，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个近似解x的值大约是_____(精确到0.1)． x 6.1 6.2 6.3 6.4 y＝ax2＋bx＋c －0.3 －0.1 0.2 0.4 6.2 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 5．已知二次函数y＝ax2＋2ax－3的部分图象如图所示，由图象可知关于x的一元二次方程ax2＋2ax－3＝0的两个根分别是x1＝1.3，x2＝_______. －3.3 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 6．下表是若干组二次函数y＝x2－5x＋c的自变量x与函数值y的对应值：那么下列数：①1.4；②1.5；③3.5；④3.6.其中，是方程x2－5x＋c＝0的近似根(精确到0.1)的有______(填所有正确的序号)． x … 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 … y … 0.36 0.13 －0.08 －0.27 －0.44 … ②③ 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 7．(1)请在直角坐标系中画出二次函数y＝x2－2x的大致图象；解：如图所示；上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 (2)根据方程的根与函数图象的关系，将方程x2－2x＝1的根在图上近似的表示出来(描点)；解：如图，点M，N就是所描的点；上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 (3)观察图象，直接写出方程x2－2x＝1的近似根(精确到0.1)．解：方程的根为x1＝－0.4，x2＝2.4. 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航基础性提升作业 2 8．利用二次函数的图象，求一元二次方程x2＋x－3＝0的近似根．解：画出二次函数y＝x2＋x－3的大致图象．观察函数图象可知，二次函数y＝x2＋x－3对应的方程x2＋x－3＝0有两个实数根，上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 ①左侧的根介于实数－3与－2之间； ∴x1≈－2.3. x －2.1 －2.2 －2.3 －2.4 y －0.69 －0.36 －0.01 0.36 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 ②右侧的根介于实数1与2之间． ∴x2≈1.3. x 1.1 1.2 1.3 1.4 y －0.69 －0.36 －0.01 0.36 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 9．作函数y＝x2－3x－2的图象，利用图象解决以下问题： (1)求方程x2－3x＝2的近似解；解：画出函数y＝x2－3x－2的图象如图所示．抛物线与x轴的交点坐标大约分别是(－0.6，0)，(3.6，0)，所以方程x2－3x＝2的实数根为x1≈－0.6，x2≈3.6. 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 (2)求方程x2－3x－2＝2的解．解：画出函数y＝x2－3x－2的图象如图所示．抛物线与直线y＝2的交点坐标分别是(－1，0)，(4，0)，所以方程x2－3x－2＝2的实数根为x1＝－1，x2＝4. 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 10．(2023·衡阳)已知m＞n＞0，若关于x的方程x2＋2x－3－m＝0的解为x1，x2(x1＜x2)，关于x的方程x2＋2x－3－n＝0的解为x3，x4(x3＜x4)．则下列结论正确的是(　　) A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2 C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜x4＜x1＜x2 B 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航综合性拓展作业 3 11．我们可以通过下列步骤估计方程x2－2x－2＝0的根所在的范围．第一步：画出函数y＝x2－2x－2的图象，发现函数图象是一条连续不断的曲线，且与x轴的一个交点的横坐标在0，－1之间．第二步：因为当x＝0时，y＝－2＜0，当x＝－1时，y＝1＞0，所以可确定方程x2－2x－2＝0的一个根x1所在的范围是－1＜x1＜0. 第三步：通过取0和－1的平均数缩小x1所在的范围：上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 (1)请仿照第二步，通过运算验证方程x2－2x－2＝0的另一个根x2所在的范围是2＜x2＜3；解：因为当x＝2时，y＝－2＜0，当x＝3时，y＝1＞0，所以可确定方程x2－2x－2＝0的另一个根x2所在的范围是2＜x2＜3. 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 (2)在2＜x2＜3的基础上，重复应用第三步中取平均数的方法，将x2所在的范围缩小至a＜x2＜b，使得b－a＜ .求满足条件的x2所在的最大范围．上一页下一返回导航上一页下一页返回导航上一页下一返回导航上一页下一页返回导航取x＝＝－，因为当x＝－时，y＜0，当x＝－1时，y＞0，所以－1＜x1＜－. 解：取x＝＝2.5，因为当x＝2.5时，y＜0；当x＝3时，y＞0，所以2.5＜x2＜3. 取x＝＝2.75，因为当x＝2.75时，y＞0；当x＝2.5时，y＜0，所以2.5＜x2＜2.75. 取x＝＝2.625，因为当x＝2.625时，y＜0；当x＝2.75时，y＞0，所以2.625＜x2＜2.75. 因为2.75－2.625＝＜，所以2.625＜x2＜2.75即为所求x2的范围． $$第二章　二次函数 §2－4　二次函数的应用(2) 1 基础性巩固作业 2 基础性提升作业 3 综合性拓展作业目录基础性巩固作业 1 1．已知一款畅销商品的销售价格为m元，一个月可以获利y＝(m－8)(900－15m)元，将该函数表达式变形后，可直接看出最大获利和此时销售价格的是(　　) A．y＝－15(m－34)2＋10 140 B．y＝(m－8)(900－15m) C．y＝－15m2＋1 020m－7 200 D．y＝－15(m－60)(m－8) A 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 2．某便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y(元)与每件销售价x(元)之间的关系满足y＝－2(x－20)2＋1 558.由于某种原因，价格只能满足15≤x≤22，那么一周可获得最大利润是(　　) A．20元 B．1 508元 C．1 550元 D．1 558元 D 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 3．某鞋帽专卖店销售一种绒帽，若这种帽子每天获利y(元)与销售单价x(元)满足关系y＝－x2＋70x－800，要想获得最大利润，则销售单价为____元． 35 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 4.（2024·烟台）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元．设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航解：（1）根据题意，得 y＝（200－x）（60+4× ） ＝－0.4x2+20x+12000． ＝－0.4（x－25)2+12250． ∵200－x≥180，∴x≤20． ∴当x＝20时，利润最大，最大利润为： －0.4（20－25）2+12250＝12240（元）． 答：y与x的函数关系式为：y＝－0.4x2+20x+12000；每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为12240元；上一页下一返回导航上一页下一页返回导航（2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 12160＝－0.4（x－25）2+12250 （x－25）2＝225． 解得：x1＝40（不合题意，舍去），x2＝10． ∴售出轮椅的辆数为：60+4× =64（辆）． 答：这天售出了64辆轮椅．上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 5．(2023·辽宁)商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量y(台)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示：销售单价x/元 … 50 60 70 … 月销量y/台 … 90 80 70 … 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 (1)求y与x之间的函数关系式；解：设月销量y与销售单价x之间满足一次函数关系式为y＝kx＋b，把(50，90)和(60，80)代入，得 ∴y与x之间的函数关系式为y＝－x＋140. 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 (2)当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？解：设每月出售这种护眼灯所获的利润为w元，根据题意，得 w＝(x－40)y＝(x－40)(－x＋140) ＝－x2＋180x－5 600 ＝－(x－90)2＋2 500. 答：当护眼灯销售单价定为90元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2 500元．上一页下一返回导航上一页下一页返回导航基础性提升作业 2 6.(2024·新疆)某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额y1（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为：y1＝5x；成本y2（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中（，）是其顶点．（1）求出成本y2关于销售量x的函数解析式； （2）当成本最低时，销售产品所获利润是多少？ （3）当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润＝销售额－成本） 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航解：（1）根据题意，抛物线顶点为（，）， ∴可设抛物线表达式为y2＝a（x－ )2+ ．又抛物线过（2，4）， ∴a× + ＝4． ∴a＝1． ∴y2＝（x－）2+ . 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航（2）根据题意，当销售量x＝时，成本最低为， 又销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额y1（万元）与销售量 x（吨）的函数关系式为：y1＝5x， ∴当x＝时，销售额为y1＝5x＝5× ＝2.5． ∴此时利润为2.5－＝0.75（万元）． 答：当成本最低时，销售产品所获利润是0.75万元．上一页下一返回导航上一页下一页返回导航（3）根据题意，利润＝y1－y2 ＝5x－［（x－）2+ ］ ＝－x2+6x－2 ＝－（x－3）2+7． ∵－1＜0， ∴当x＝3时，利润取最大值，最大值为 7． 答：当销售量是3吨时，可获得最大利润，最大利润是7万元．上一页下一返回导航上一页下一页返回导航综合性拓展作业 3 7．(2023·十堰)“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒．根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒．设每盒售价为x元，日销售量为p盒． (1)当x＝60时，p＝_____； 400 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 (2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润W(元)最大？最大利润是多少？解：根据题意，得 p＝500－10(x－50)＝－10x＋1 000，即日销售量p(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式是p＝－10x＋1 000. 根据题意，得 W＝(x－40)(－10x＋1 000)＝－10x2＋1 400x－40 000 ＝－10(x－70)2＋9 000，上一页下一返回导航上一页下一页返回导航由题可知：每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，解得50≤x≤65. ∴当x＝65时，W取得最大值，此时W＝8 750. 答：当每盒售价定为65元时，日销售利润W(元)最大，最大利润是8 750元．上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 (3)小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大．”小红说：“当日销售利润不低于8 000元时，每盒售价x的取值范围为60≤x≤80.”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论．解：小强正确，小红错误．理由如下：设日销售额为y元， y＝x·p＝x(－10x＋1 000)＝－10x2＋1 000x ＝－10(x－50)2＋25 000，上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 ∵50≤x≤65，∴当x＝50时，y值最大，此时y＝25 000，当x＝65时，W值最大，此时W＝8 750. ∴小强正确．当日销售利润不低于8 000元时，即W≥8 000， ∴－10(x－70)2＋9 000≥8 000. 解得60≤x≤80. ∵50≤x≤65，∴当日销售利润不低于8 000元时，60≤x≤65. ∴小红错误．上一页下一返回导航上一页下一页返回导航解得 ∴即 $$第二章　二次函数 §2－2　二次函数的图象与性质(1) 1 基础性巩固作业 2 基础性提升作业 3 综合性拓展作业目录基础性巩固作业 1 1．二次函数y＝x2的图象经过的象限是(　　) A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 A 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 2．关于抛物线y＝－x2，下列说法错误的是(　　) A．图象关于直线x＝0对称 B．抛物线开口向下 C．y随着x的增大而减小 D．图象的顶点为原点 C 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 3．下列各点中，在二次函数y＝－x2的图象上的是(　　) A．(1，－1) B．(2，－2) C．(3，－3) D．(4，－4) A 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 4．当x＝－3时，函数y＝－x2的函数值为(　　) A．6 B．－6 C．9 D．－9 D 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 5．已知点(1，y1)，(2，y2)都在函数y＝x2的图象上，则y1与y2大小关系正确的是(　　) A．y1＞y2＞0 B．y2＞y1＞0 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0 B 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 6．已知点A(－2，a)在抛物线y＝x2上，则点A的坐标是__________. 7．如图，A，B为抛物线y＝x2图象上的两点，且线段AB⊥y轴．若AB＝6，则点A的坐标为__________. (－2，4) (－3，9) 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 8．已知正方形的边长为a，面积为S. (1)求S和a之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；解：S＝a2(a＞0)；上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 (2)按下列步骤画出该函数图象． ①选择适当的a值，计算对应的S值，完成下表： a … … S … … 0.5 1 1.5 2 2.5 0.25 1 2.25 4 6.25 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 ②在直角坐标系内画出该函数图象；解：该函数图象如图所示；上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 (3)根据图象，求出当S＝4时，该正方形的周长．解：由图象可知，当S＝4时，a＝2， ∴该正方形的周长＝2×4＝8. 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航基础性提升作业 2 9．已知抛物线y＝－x2与直线y＝3x＋m都经过点(2，n)． (1)画出y＝－x2的图象，并求出m，n的值；解：根据列表、描点、连线画出图象如图所示．把点(2，n)代入抛物线y＝－x2，得n＝－4. 把点(2，－4)代入直线y＝3x＋m，得m＝－10. 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 (2)两图象是否存在另一个交点？若存在，请求出这个点的坐标．解：存在．根据题意，得3x－10＝－x2.解得x＝－5或x＝2. ∴当x＝－5时，y＝－25；当x＝2时，y＝－4. ∴存在另一个交点，坐标为(－5，－25)．上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 10．如图，点A(2，m)，B(3，n)在二次函数y＝x2的图象上 (1)求m，n的值；解：将A(2，m)代入y＝x2，得m＝4. 将B(3，n)代入y＝x2，得n＝9. 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 (2)点C在y轴上，且AC＋BC的值最小，求点C的坐标．解：如图，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B，交y轴于点C，连接AC，则A′的坐标为(－2，4)，设直线A′B的解析式为y＝ax＋b. ∴直线A′B的解析式为y＝x＋6. 当x＝0时，y＝6. ∴点C的坐标是(0，6)．上一页下一返回导航上一页下一页返回导航综合性拓展作业 3 11．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数y＝x2的图象交于A，B两点，且CB＝3AC，P为CB的中点，设点P的坐标为P(x，y)(x＞0)，求出y关于x的函数表达式．解：如图，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥y轴于点E. ∵AD⊥y轴，BE⊥y轴，∴AD∥BE. 上一页下一返回导航上一页下一页返回导航 ∵CB＝3AC，∴CE＝3CD，BE＝3AD．设AD＝m，则BE＝3m. ∵A，B两点在二次函数y＝x2的图象上， ∴A(－m，m2)，B(3m，9m2)．∴OD＝m2， OE＝9m2.∴ED＝8m2. ∵CE＝3CD，∴CD＝2m2， OC＝3m2.∴C(0，3m2)． ∵P为CB的中点，上一页下一返回导航上一页下一页返回导航上一页下一返回导航上一页下一页返回导航根据题意，得解得 ∴△ACD∽△BCE，∴＝＝. ∴P(m，6m2)． ∵P(x，y)，∴ ∴y＝x2. $$

第二章 二次函数 课件 2023—2024学年北师大版数学九年级下册

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