直线和圆的方程专项训练-2025届高三数学一轮复习

2024-2025学年高三数学一轮复习12---直线和圆的方程专项训练 一、单选题 1．过点且与直线平行的直线方程是 A． B． C． D． 2．已知圆，过圆外一点作两条夹角为的直线分别与圆相交，当所得的弦长均为2时，（    ） A．2 B． C．4 D． 3．若直线l1：x＋3y＋m＝0（m＞0）与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为，则m＝（    ） A．7 B． C．14 D．17 4．如图，是边长为1的正三角形，点P在所在的平面内，且（a为常数），下列结论中正确的是 A．当时，满足条件的点P有且只有一个 B．当时，满足条件的点P有三个 C．当时，满足条件的点P有无数个 D．当a为任意正实数时，满足条件的点总是有限个 5．若圆：，关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．设有一组圆，给出下列四个命题： ①存在，使圆与轴相切 ②存在一条直线与所有的圆均相交 ③存在一条直线与所有的圆均不相交 ④所有的圆均不经过原点 其中正确的命题序号是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 二、多选题 7．平面上三条直线，，．若这三条直线将平面分为六部分，则实数k的值可以是（    ） A．0 B．2 C． D． 8．已知过点作圆的两条切线，切点分别为，两点，下列说法正确的是（    ） A．其中一条切线方程是 B．切线长 C．点到圆上一点的距离最小值为 D．四边形的面积为2 三、填空题 9．直线恒过一定点， 则此定点为 . 10．经过点且与两坐标轴围成等腰三角形的直线方程为 . 11．若直线：y＝kx－k＋1与直线关于点（3，3）对称，则直线恒过定点 . 12．已知圆和圆，过动点分别作圆，圆的切线，（A，为切点），且，则的最大值为 . 四、解答题 13．已知的顶点坐标分别为，，． （1）求边上的中线所在的直线的方程； （2）若直线过点，且与直线平行，求直线的方程． 14．已知圆的圆心为坐标原点，且与直线相切. (1)求圆的标准方程； (2)若直线过点，直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程. 15．已知圆M的方程为，直线l的方程为，点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B． (1)若点P的坐标为，求切线PA，PB的方程； (2)求四边形PAMB面积的最小值； (3)能否在第一象限内找到一个点N，使以N点为圆心，2为半径的圆N，既与圆M相外切又与直线l相切于点若存在求出点N的坐标，若不存在请说明理由． 16．圆的圆心为，且过点. (1)求圆的标准方程； (2)直线：与圆交，两点，且，求. 一轮复习习题集 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B B C B C ACD ABD 1．A 【分析】根据平行关系可设直线方程为，代入求得，从而得到结果. 【详解】设所求直线方程为： 代入得：，解得：    所求直线方程为： 本题正确选项： 【点睛】本题考查根据直线平行关系求解直线方程的问题，属于基础题. 2．B 【分析】先确定圆心，然后由条件可知到两直线的距离，设到其中一条直线的投影为，由条件可知，最后利用即得结果. 【详解】圆的方程化为标准方程即为，所以圆心，且半径. 而一条直线被圆所截得的弦长为2，意味着圆心到该直线的距离. 记到其中一条直线的投影为，则，，所以. 故选：B. 3．B 【解析】直接利用平行直线的距离公式计算得到答案. 【详解】直线l1：x＋3y＋m＝0（m＞0），即2x＋6y＋2m＝0，与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为所以 ，求得m＝. 故选： 【点睛】本题考查了平行直线的距离公式，意在考查学生的计算能力. 4．C 【分析】以所在直线为轴，中点为原点，建立直角坐标系，如图所示设，将式子化为关于、、的式子，化简整理可得，讨论的取值范围，可得当时方程表示以点为圆心，半径的圆，满足条件的点有无数个，可知只有项符合题意． 【详解】以所在直线为轴，中点为原点，建立直角坐标系，如图所示 则，，， 设，可得， ，， ∵， ∴， 化简得：，即， 配方，得…（1） 当时，方程（1）的右边小于0，故不能表示任何图形； 当时，方程（1）的右边为0，表示点，恰好是正三角形的重心； 当时，方程（1）的右边大于0，表示以为圆心，半径为的圆， 由此对照各个选项，可得只有C项符合题意. 故选：C． 【点睛】本题给出正三角形中满足条件的动点，求点的轨迹方程，着重考查了坐标系内两点的距离公式、圆的标准方程和含有参数的二次方程的讨论等知识，属于中档题． 5．B 【分析】由题意圆的圆心在直线上，可得，即点在直线上，过点作圆C的切线，切点为，则，只需最短，可得答案. 【详解】   由将圆C的方程化为标准方程为：， 圆心为，半径为， 因为圆C关于直线对称， 所以圆心位于该直线上，将圆心坐标代入直线方程中， 有，即点在直线上， 设，过点作圆C的切线，切点为 则 要使得切线长最短，则只需最短. 的最小值为过点C作直线的垂线. 此时, 所以根据勾股定理，得. 故选：B 【点睛】解题关键是利用圆的定义和圆切线的长的求法，根据数形结合，列出方程求解，主要考查学生的分析能力和计算能力，属于中档题. 6．C 【解析】取特殊值，圆与轴相切，①正确；利用圆心恒在直线上，该线与圆一定相交，可判定②③的正误；利用反证法说明④错误. 【详解】选项①中，当时，圆心，半径，满足与轴相切，正确； 选项②③中，圆心恒在直线上，该线与圆一定相交，故②正确，③错误； 选项④中，若在圆上，则，而，若k是奇数，则左式是偶数，右式是奇数，方程无解，若k是偶数，则左式是奇数，右式是偶数，方程无解，故所有的圆均不经过原点，正确. 故选：C. 【点睛】本题解题关键是发现圆心恒在直线上，确定该线与圆一定相交，再结合特殊值法和反证法逐个击破即可. 7．ACD 【分析】根据三条直线将平面分为六部分，由三条直线相交于一点或有两条直线平行求解. 【详解】因为平面上三条直线，，将平面分为六部分， 又直线和直线的交点是， 所以直线过另两条直线的交点，解得； 则直线与直线平行或与直线平行， 解得或-2． 所以实数k的取值集合是． 故选：ACD 8．ABD 【分析】利用圆心到切线距离判断A，根据切线长定理判断B，由圆的性质判断C，根据四边形面积为两全等直角三角面积判断D. 【详解】由题意，切线斜率存在，设切线方程为：， 则圆心到切线距离，解得：或， 所以切线方程为：或，选项A正确； 由切线长定理：，选项B正确； 点P到圆上一点的距离最小值为 ，C选项错； 由知四边形的面积为2，选项D正确． 故选：ABD 9． 【分析】根据直线过定点则与参数无关即可求解. 【详解】直线可写为， 令，则， 由解得， 所以直线过定点. 故答案为: . 10．或 【分析】因为与两坐标轴所围成的三角形是等腰三角形的直线的斜率为±1，直接利用点斜式求出直线方程即可. 【详解】经过点（2，1）且与两坐标轴围成等腰三角形的直线的斜率为±1，故过点P（2，1）且与两坐标轴所围成的三角形是等腰三角形的直线方程是：y-1=±（x-2），即：x+y=3或x-y=1. 故答案为x+y=3或x-y=1. 【点睛】本题考查直线的点斜式方程的求法，考查计算能力，是基础题，一般结果无特殊说明可以写成一般式. 11．（5，5） 【分析】先求所过定点，再该点关于点（3，3）的对称点即可. 【详解】∵，∴：y＝kx－k＋1过定点（1，1）， 设点（1，1）关于点（3，3）对称的点的坐标为（x，y）， 则，解得，即直线恒过定点（5，5）. 故答案为：（5，5）. 12． 【分析】根据题意得出P的轨迹方程，结合图像即可求解. 【详解】    如图，连接，因为，与圆相切， 所以， 设，所以， 整理得，所以在以为圆心，3为半径的圆上运动， ，当且仅当在时等号成立， 所以答案为：. 13．（1）；（2） 【分析】（1）求出线段BC的中点D，求出直线AD的斜率，写出点斜式方程，再化简成一般式； （2）由直线与直线平行可得直线l的斜率与直线AC的斜率相等，根据斜率计算公式求出斜率，然后得直线l的点斜式方程，再化为一般式． 【详解】（1）设的中点为，因为，，所以． 因为直线的斜率，所以所求直线的方程为，即． （2）因为直线与直线平行，所以直线的斜率． 故的方程为，即． 【点睛】本题主要考查直线的点斜式方程与直线与直线平行的判定，属于基础题． 14．(1) (2)或 【分析】（1）由圆心到直线的距离求出半径，即可得到圆的方程. （2）先由圆的弦长公式求出圆心到直线的距离，讨论斜率不存在和存在两种情况，斜率不存在时明显符合题意，斜率存在时先设出直线的点斜式方程，由的值求出直线斜率，从而求解. 【详解】（1）设圆的半径为，则， 所以的标准方程为. （2）设圆心到直线的距离为，则，解得：， 当直线的斜率不存在时，，此时圆心到的距离为1，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：， 化简得：，则，解得：， 即. 综上，直线的方程为或. 15．(1)切线PA，PB的方程为， (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】(1)通过分类讨论直线斜率是否存在，利用点到直线的距离公式，即可求得直线斜率； (2)，由PM最小，可得四边形PAMB面积最小，由此求解即可； (3)利用反证法，假设存在设，根据圆与圆的位置关系、点到直线的距离公式，两点求直线的斜率公式列出解方程组，解之即可下结论． 【详解】（1）当切线斜率不存在时，切线方程为，符合题意； 当切线斜率存在时，设切线的直线方程为， 即，因为直线和圆相切， 所以圆心到切线的距离，解得， 此时直线方程为，即， 所以切线PA、PB的方程为、； （2）四边形PAMB面积为 故当PM垂直直线l时，PM最小，此时四边形PAMB面积最小， 而到直线l的距离， 所以四边形PAMB面积的最小值为； （3）不存在符合要求的点N，理由如下： 假设存在符合题目要求的点N，设， 则 得，即 值不存在，即不存在符合题目要求的点N． 16．(1) (2)1或 【分析】(1)利用两点间距离公式求出圆的半径，写出圆的标准方程； (2)求出圆心到直线的距离，利用垂径定理列出方程，求出. 【详解】（1）因为圆的半径， 所以圆的标准方程为：. （2）设圆心到直线：的距离为， 则， 由垂径定理可得， 即，解得或. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$