空间向量与立体几何专项训练-2025届高三数学一轮复习

2024-2025学年高三数学一轮复习11---空间向量与立体几何专项训练 一、单选题 1．已知，，不共面，若，，且三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知M(1,2,3),N(2,3,4),P(-1,2,-3)，若且，则Q点的坐标为（   ） A．(2,5,0) B．(-4,-1,-6)或(2,5,0) C．(3,4,1) D．(3,4,1) 或(-3,-2,-5） 3．如图，空间四边形中，，且，则（    ） A． B． C． D． 4．在空间直角坐标系中，，为的中点，为空间一点且满足，若，，则（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 5．已知，两点都在以PC为直径的球O的球面上，，，若球O的体积为，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．在正方体中，是中点，点在线段上（含端点），若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．在空间直角坐标系中，下列说法不正确的是（    ） A．向量的坐标与点的坐标相同 B．向量的坐标与点的坐标相同 C．向量与向量的坐标相同 D．向量与向量的坐标相同 8．已知正六棱柱的底面边长为2，侧棱长为1，所有顶点均在球O的球面上，则（    ） A．直线与直线异面 B．若M是侧棱上的动点，则的最小值为7 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．球O的表面积为 三、填空题 9．已知两个平面，的法向量分别是和，若，则 ． 10．在空间直角坐标系中，已知向量，则的值为 . 11．设，向量，，，且，，则 . 12．在空间直角坐标系中，经过点且一个法向量为的平面的方程为，经过点P且一个方向向量为的直线l的方程为.阅读上面材料并解决下面问题:现给出平面的方程为，直线l的方程为，则直线l到平面α的距离为 . 四、解答题 13．已知，点P在z轴上，且，求点P的坐标． 14． 已知，，且与平行，求实数m的值. 15．如图在中，分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图 (2). （1）若是的中点，求与平面所成角的大小； （2）线段上是否存在点，使平面与平面垂直?说明理由. 16．如图所示的几何体中，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，F为PA的中点，，，四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点N. (1)求证：平面DEF； (2)在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与平面BCP所成角的大小为？若存在，求出FQ的长；若不存在，请说明理由. 一轮复习习题集 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A D B A ABC BCD 1．C 【分析】根据向量共线设，从而得到方程组，求出，得到答案. 【详解】因为三点共线，所以， 即，故，解得， 所以. 故选：C 2．B 【详解】设 ∵ ，         ∴         ∵且         ∴或         ∴或         ∴   或           ∴点的坐标为或，故答案选B 3．A 【分析】根据题意，得到，再由，可得，结合，即可求解. 【详解】因为，可得， 又因为，可得， 所以. 故选：A. 4．D 【分析】利用中点坐标公式可得点的坐标，设，利用，可解出点的纵坐标，最后利用数量积的坐标运算可得的值. 【详解】设，， ，，， 由， 整理可得：， 由，得， 化简得， 以上方程组联立得， 则. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了空间直角坐标系下向量数量积的运算,解题关键是掌握向量数量积运算的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 5．B 【分析】由题意，根据球的性质，建立空间直角坐标系，求直线的方向向量，根据夹角公式，可得答案. 【详解】由题意，取的中点为，连接， 在中，，且，则，，即为外接圆圆心，在球中，易知平面， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，作图如下： 在中，，则，即平面， 因为平面，所以，球的体积，解得， 在中，， 则，，，， 即，， ， 异面直线PB与AC所成角的余弦值为. 故选：B. 6．A 【分析】建立合适空间直角坐标系，表示出点坐标，然后求解出平面的一个法向量，根据求解出的取值范围. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设， 所以， 设，所以， 所以，， 设平面的一个法向量为， 所以，令，所以， 所以， 令，对称轴， 所以， 所以，即， 故选：A.    7．ABC 【分析】根据向量坐标的定义逐个分析判断即得. 【详解】对于AC，由于，因为点不一定为坐标原点，所以AC不正确， 对于B，若，则与点的坐标不相同，所以B不正确； 对于D，由于，所以向量与向量的坐标相同，所以D正确． 故选：ABC 8．BCD 【分析】由直线的位置关系判断A，由展开图求最短距离判断B， 建立空间直角坐标系，由空间向量的坐标运算判断C，由球的表面积公式判断D． 【详解】对于A，如图②，连接，，则，， 所以，所以直线与直线共面，故A错误； 对于B，将平面沿着翻折到与平面共面的位置，得到矩形，如图①所示． 图① 因为底面边长为2，，所以，则，故B正确； 对于C，以F为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图②所示的空间直角坐标系， 图② 则，，，，， 所以，，． 设平面的法向量为，则，即． 令，得，所以平面的一个法向量为． 设直线与平面所成角为，则，故C正确； 对于D，设球O的半径为R，则， 所以球O的表面积，故D正确． 故选：BCD． 9．4 【分析】由，可得两平面的法向量也平行，从而列方程可求出的值，进而可求得答案 【详解】解：因为两个平面，的法向量分别是和，且， 所以，解得， 所以， 故答案为：4 10． 【分析】由题知，进而根据向量数量积运算的坐标表示求解即可. 【详解】解：因为向量， 所以， 所以 故答案为： 11．3 【分析】根据空间向量平行和垂直的坐标表示求出和的值，进而可得的坐标，再由模长的坐标表示计算模长即可求解. 【详解】因为，，，且，， 所以，，可得，， 所以，，， 所以. 故答案为：. 12． 【分析】易知平面的一个法向量为,先求得，再由求解. 【详解】解：由题可知点在直线l上，取平面α内一点， 由题意知：平面α的一个法向量为,又， 所以， 所以直线l到平面α的距离为. 故答案为： 13．. 【分析】根据给定条件设出点P的坐标，再建立方程求解作答. 【详解】因点P在z轴上，则设，而，且， 因此，，解得， 所以点P的坐标是. 14． 【分析】根据向量平行的性质求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 因为与不平行，所以， 所以. 15．（1）；（2）不存在，理由见解析. 【分析】（1）以DC的延长线为x轴，以CB为y轴，为z轴，写出各相关点的坐标，求得平面法向量坐标和直线CM的方向向量坐标，利用空间向量的数量积求得所求线面角； （2）设线段上存在点，设点坐标为，则,求得平面法向量坐标，根据平面垂直其法向量垂直，利用空间向量的数量积运算求得a的值，检验即可得到结论. 【详解】（1）如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，，，. 设平面的法向量为，则 又，， 所以 令，则， 所以 设与平面所成的角为， 因为 所以 所以与平面所成角的大小为.　　　　　 （2）线段上不存在点，使平面与平面垂直，理由如下： 假设这样的点存在，设其坐标为，其中. 设平面的法向量为， 则 又，， 所以 令，则 所以 平面平面，当且仅当， 即. 解得，与矛盾. 所以线段上不存在点，使平面与平面垂直. 【点睛】关键点睛：利用空间向量求线面角，进而得出平面垂直，属中档题，解题关键在于建立适当的坐标系，正确求得平面的法向量，数量使用空间向量的数量积的坐标运算，属于中档题 16．(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】（1）连接FN，证明，再利用线面平行的判定定理作答. （2）根据给定条件，以点D为原点建立空间直角坐标系，借助向量计算作答. 【详解】（1）因为四边形PDCE为矩形，则N为PC的中点，连接FN，如图， 在中，F，N分别为PA，PC的中点，则有，而直线平面DEF，平面DEF， 所以平面DEF. （2）因平面，平面，则，而， 以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 直角梯形中，，， 则，， 设平面PBC的法向量为，则，令，得， 假定存在点Q满足条件，设，整理得， 则，因为直线BQ与平面BCP所成角的大小为， 所以，解得，即点Q与E重合， 所以在线段EF上存在一点Q，使得BQ与平面BCP所成角的大小为，且. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$