概率专项训练-2025届高三数学一轮复习

2024-2025学年高三数学一轮复习10---概率专项训练 一、单选题 1．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是和，则两人成功破译的概率为（    ） A． B． C． D． 2．某俱乐部通过抽奖活动回馈球迷，奖品为第22届世界杯足球赛吉祥物“拉伊卜”.已知中奖的概率为，则参加抽奖的甲、乙两位球迷都中奖的概率为（    ） A． B． C． D． 3．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为6的概率等于（    ） A． B． C． D． 4．从标有数字1，2，6的号签中，任意抽取两张，抽出后将上面数字相乘，在10次试验中，标有1的号签被抽中4次，那么结果“12”出现的频率为（   ） A． B． C． D． 5．将一颗质地均匀的骰子一种各个面分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为大于8的偶数的概率为　　 A． B． C． D． 6．设随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 5 则下列说法中不正确的是（    ） A． B．当时， C．若为等差数列，则 D．的通项公式可能为 二、多选题 7．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝“两弹都击中飞机”，事件B＝“两弹都没击中飞机”，事件C＝“恰有一弹击中飞机”，事件D＝“至少有一弹击中飞机”，下列关系正确的是（　） A． B． C． D． 8．一个袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1，2，3，现分别用三种方案进行摸球游戏．方案一：任意摸出一个球并选择该球；方案二：先后有放回的摸出两个球，若第二次摸出的球号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择第一次摸出的球；方案三：同时摸出两个球，选择其中号码较大的球．记三种方案选到2号球的概率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．若事件A、B是对立事件，则 . 10．设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.8，0.9，则在一次射击中，目标被击中的概率为 11．已知一箱产品中有3件一等品，2件二等品，1件三等品．若从箱中任意取出3件产品检测，则抽出的3件产品中恰好有三等品的概率是 ；若从箱中逐一不放回地抽取产品进行检测，直到第4次才抽出第二件一等品的概率是 ． 12．随着阿根廷队的夺冠，2022年卡塔尔足球世界杯落下帷幕.根据足球比赛规则，两支球队先进行90分钟常规赛.若比分相同，则进行30分钟加时赛；如果在加时赛比分依旧相同，则进入5球点球大赛.若甲、乙两队在常规赛与加时赛中得分均相同，则甲、乙两队轮流进行5轮点球射门，进球得1分，不进球不得分.假设甲队每次进球的概率均为0.8，乙队每次进球的概率均为0.5，且在前两轮点球中，乙队领先一球，已知每轮点球大赛结果相互独立，则最终甲队获胜的概率为 . 四、解答题 13．在一次口试中，考生要从5道题中随机抽取3道进行回答，答对其中2道题为优秀，答对其中1道题为及格，某考生能答对5道题中的2道题，试求： （1）他获得优秀的概率为多少； （2）他获得及格及及格以上的概率为多少. 14．海水养殖场使用网箱养殖的方法，收获时随机抽取了 100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位:)，其产量都属于区间，按如下形式分成5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到频率分布直方图如图： 定义箱产量在(单位:)的网箱为“低产网箱”， 箱产量在区间的网箱为“高产网箱”. (1)若同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试计算样本中的100个网箱的产量的平均数； (2)按照分层抽样的方法，从这100个样本中抽取25个网箱，试计算各组中抽取的网箱数； (3)若在（2）抽取到的“低产网箱”及“高产网箱”中再抽取2箱，记其产量分别，求的概率. 15．某校高一年级设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标（正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑）考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示.    (1)由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数； (2)为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率； (3)若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，.记总的样本平均数为，样本方差为，证明：. 一轮复习习题集 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C B B D ABC CD 1．D 【分析】利用独立事件乘法公式求两人不能成功破译的概率，再由对立事件概率求法求两人成功破译的概率. 【详解】由题设，两人不能成功破译的概率， ∴两人成功破译的概率为. 故选：D 2．B 【分析】由独立事件的乘法公式即可得出答案. 【详解】因为抽奖中奖的概率为， 则参加抽奖的甲、乙两位球迷都中奖的概率为：. 故选：B. 3．C 【分析】根据题意，得到基本事件的总数，结合列举法求得所求事件中包含的基本事件的个数，利用古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【详解】抛掷两颗均匀的骰子，可得基本事件的总数为中情况， 则点数之和为的包含：，共有5种情况， 所以点数之和为的概率为. 故选：C. 4．B 【分析】由标有1的号签出现4次，可知另外6次应抽到标有2，6的号签，所以乘积12出现6次，由此即可求出答案. 【详解】标有1的号签出现4次，另外6次应抽到标有2,6的号签， 所以乘积12出现6次，频率为. 故选：B. 5．B 【分析】先求出基本事件总数，再利用列举法求出点数之和为大于8的偶数有4种，由此能求出出现向上的点数之和为大于8的偶数的概率 【详解】将先后两次的点数记为有序数实数对，则共有个基本事件，其中点数之和为大于8的偶数有，，，共4种，则满足条件的概率为． 【点睛】本题考查了列举法求概率，求此类题目的基本思路是:先求出试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数,再代入古典概型的概率公式求概率. 6．D 【分析】利用概率的性质，等差数列的性质以及裂项法求和依次求解即可. 【详解】选项,由已知得，其中 ，,则，所以选项正确； 选项,当时，即， 则，所以选项正确； 选项,,解得，所以选项正确； 选项,，则 ， 即的通项公式不可能为，所以选项不正确； 故选：. 7．ABC 【分析】根据样本空间、事件的运算和含义即可解答. 【详解】因为事件指两弹都没击中飞机，第一枚击中第二枚没中，第一枚没中第二枚击中，两弹都击中飞机； “恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中； “至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中. 所以，， 所以，，故选项A，B，C正确，D不正确． 故选：ABC. 8．CD 【分析】利用列举法，结合古典概型的概率公式分别求得三个方案选到2号球的概率，从而得解. 【详解】方案一：易得“选到2号球”的概率； 方案二：先后有放回的摸出两个球的基本事件有，共件， 其中“选到2号球”的基本事件有，共件， 所以“选到2号球”的概率为； 方案三：同时摸出两个球的基本事件有，共3件， 其中“选到2号球”的基本事件有，共1件， 所以“选到2号球”的概率为； 所以，故AB错误，CD正确. 故选：CD. 9．1 【分析】利用对立事件的概率公式即可得解. 【详解】因为事件A、B是对立事件， 所以. 故答案为：. 10．0.98 【分析】利用对立事件和独立事件的概率公式计算． 【详解】由题意目标未被击中的概率是， 所以目标被击中的概率为． 故答案为：． 11． 【分析】（1）可求出共有种情况，恰有1件三等品共有种情况，即可得概率； （2）直到第4次才抽出第二件一等品的可能有事件为A:第一件一等品和第四件一等品；事件B：第二件一等品和第四件一等品；事件C：第三件一等品和第四件一等品，可得 ，进而求解； 【详解】（1）从6件产品中抽出3件，共有种情况， 其中3件产品中恰有1件三等品共有种情况， 所以抽出的3件产品中恰有1件三等品的概率是； （2）设从箱中逐一不放回地抽取产品进行检测，直到第4次才抽出第二件一等品的可能有事件为A:第一件一等品和第四件一等品；事件B：第二件一等品和第四件一等品；事件C：第三件一等品和第四件一等品， 则，， 从箱中逐一不放回地抽取产品进行检测，直到第4次才抽出第二件一等品的概率是 故答案为：①；② 【点睛】关键点睛：把直到第4次才抽出第二件一等品的可能有事件设为A:第一件一等品和第四件一等品；事件B：第二件一等品和第四件一等品；事件C：第三件一等品和第四件一等品，进而利用，求解即可，属于中档题. 12．0.304 【分析】先计算甲队获胜或平局的概率，再讨论甲队最终获胜的情况，依次计算其概率即可. 【详解】甲队在每轮点球比赛获胜的概率为， 甲队在每轮点球比赛平局的概率为. 由题可知最终甲队获胜，则后三轮比赛只能有两种情况： ①甲获胜两轮，剩下一轮甲乙平局，最终甲队获胜的概率为； ②甲获胜三轮，该情况下最终甲队获胜的概率为， 综上，甲队获胜的概率为0.24＋0.064＝0.304. 故答案为：0.304 13．（1）；（2） 【分析】（1）设这5道题的题号分别为1,2,3,4,5，其中，该考生能答对的题的题号为4,5，然后用列举法求解即可； （2）用列举法求解. 【详解】设这5道题的题号分别为1,2,3,4,5，其中，该考生能答对的题的题号为4,5，则从这5道题中任取3道回答， 该试验的样本空间Ω＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，共10个样本点.     （1）记“获得优秀”为事件A，则随机事件A中包含的样本点个数为3，故P(A)＝. （2）记“获得及格及及格以上”为事件B，则随机事件B中包含的样本点个数为9，故P(B)＝. 14．(1)37.5； (2)3,5,8,7,2； (3). 【分析】（1）根据组中值与对应区间概率乘积的和计算平均数; （2）按照分层抽样，应抽数按各箱数的比例分配; （3）先确定5箱中要抽取2箱的总事件数，再确定的含义为高低产箱中各取一箱，以及对应事件数，最后根据古典概型概率公式求概率. 【详解】（1）样本中的100个网箱的产量的平均数 . （2）各组网箱数分别为：12,20,32,28,8， 要在此100 箱中抽25箱，所以分层抽样各组应抽数为：3,5,8,7,2. （3）由（2）知低产箱3箱和高产箱2箱共5箱中要抽取2箱，设低产箱中三箱编号为1,2,3，高产箱中两箱编号为4,5，则一共有抽法10种，样本空间为 , 满足条件的情况为高低产箱中各取一箱，基本事件为 ,共6种， 所以满足事件A：的概率为. 15．(1)，85 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）首先根据频率和为1求出，再根据百分数公式即可得到答案； （2）求出各自区间人数，列出样本空间和满足题意的情况，根据古典概型公式即可； （3）根据方差定义，证明出分层抽样的方差公式，代入计算即可. 【详解】（1）由题意得：，解得， 设第60百分位数为，则， 解得，即第60百分位数为85. （2）由题意知，抽出的5位同学中，得分在的有人，设为，， 在的有人，设为a，b，c. 则样本空间为，. 设事件“两人分别来自和”， 则，， 因此， 所以两人得分分别来自和的概率为. （3）由题得①； ② 又 同理， ∴ . 得证. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$